Proposta de resolução do Exame Nacional de Matemática A 2017 (1 ạ fase) GRUPO I (Versão 1)

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1 Propost de resolução do Exme Ncol de Mtemátc A 07 ( ạ fse) GRUPO I (Versão ). Pretede-se determr qutos úmeros turs de qutro lgrsmos, múltplos de, se podem formr com os lgrsmos de 9. Nests codções, só exste um possbldde pr o últmo lgrsmo: ser gul. E exstem ove possblddes pr cd um dos três prmeros lgrsmos = 79 Logo, exstem 79 úmeros s codções pedds. Opção (A). Cosderemos os cotecmetos: V: ter olos verdes M: ser do sexo msculo Sbe-se que: P(V M) = 0 P(V M) e P(V M) =, sto é, = = P(M) P(M) = P(M) 0 Logo, como turm tem 0 luos, o úmero de rpzes d turm é ddo por 0 = 8. Opção (B). Por observção do gráfco d fgur sbemos que o gráfco de f tem cocvdde voltd pr bxo em ], 0[ e tem cocvdde voltd pr cm em ]0, + [. Etão, vem que: f () > 0, f () > 0, f ( ) < 0 e f ( ) < 0 Logo, f () + f () > 0 por se trtr d som de dos úmeros res postvos. f ( ) + f ( ) < 0 por se trtr d som de dos úmeros res egtvos. f ( ) f ( ) > 0 por se trtr do produto de dos úmeros res egtvos. f () f () > 0 por se trtr do produto de dos úmeros res postvos. Assm, úc frmção verdder é f () f () > 0. Opção (D) Edções ASA, Mtemátc A, 07

2 . Como ret de equção y = x é ssítot oblíqu o gráfco de f e o gráfco de g qudo x Æ + (pos D f = R + e D g = R + ), cocluímos que: f(x) lm = e lm f(x) = x Æ + x x Æ + lm x Æ + g(x) x = e lm g(x) = x Æ + Etão, tem-se que: f(x) g(x) f(x) lm = lm g(x) = x Æ + x x Æ + x f(x) = lm lm g(x) = x Æ + x x Æ + = ( ) = + Opção (A) p. Cosderemos fução g defd por g(x) = tg x de domío R\ bx: x = + kp, k Z e respetv c represetção gráfc. b c p tg = p tg = π π π π O π π π π π π p tg = p tg = p p Se g restrção de g o couto,. Etão, o cotrdomío de g é gul ], [. p p Se g restrção de g o couto,. Etão, o cotrdomío de g é gul ], + [. p p Se g restrção de g o couto,. Etão, o cotrdomío de g é gul ], [. p p Se g restrção de g o couto,. Etão, o cotrdomío de g é gul ], + [. p p Logo, dos coutos presetdos pes, pode ser o couto A. Opção (B) Edções ASA, Mtemátc A, 07

3 6. Se r um ret de clção. Etão, o seu declve é gul tg. Sbe-se que cos =, logo, tededo que + tg = vem que + tg = cos + tg = + tg = tg = tg = ± Sbe-se, tmbém, que clção de um ret é um vlor etre 0 rd e p rd e, tededo que p cos < 0, cocluímos que, p. Logo, tg = pos.º Q. Assm, úc equção que pode ser equção reduzd d ret r é y = x. Opção (C) p 7p 7. No plo complexo, codção rg(z) Im(z) defe o trâgulo represetdo fgur bxo. e.. 7π π e. r. b A trâgulo = A trâgulo = = Opção (D) 8. Como u =, u = e u =, etão (u ) ão é moóto. Averguemos se (u ) é lmtd: se 0 u 0 se > 0 u Logo, (u ) é lmtd. u 0, N Opção (C) Edções ASA, Mtemátc A, 07

4 GRUPO II. z = 9 = ( ) + ( + )( ) = = = = = = = ( + )( ) = + p z = k cs = k( ) = k.º Processo Sem A e B s mges geométrcs de z e z, respetvmete. Assm, A(, ) e B(0, k). Etão, A B = ( 0 ) + ( k ) = ( 0) + ( k) = + ( k) = ( k) = k = k = k = 0 k = Como k R +, etão k =..º Processo A dstâc etre mgem geométrc de z e mgem geométrc de z é gul z z. Assm, z z = + k = + ( k) = + ( k ) = + ( k) = + ( k) = ( k) = k = k = k = 0 k = Como k R +, etão k =.... Verfc-se que T(0, 0, ) e, como T é o smétrco de T reltvmete à orgem do referecl, etão T (0, 0, ). Assm, superfíce esférc de dâmetro [T T ] tem como cetro orgem do referecl e ro gul O T =. Logo, x + y + z = 9 é um equção d superfíce esférc pedd. Edções ASA, Mtemátc A, 07

5 ...º Processo Sbe-se que os vetores U P e R S têm setdos opostos. Logo, U P ˆ R S = 80º. U P. R S = U P R S cos(u P ˆ R S) = cos(80º) = = ( ) = 9.º Processo Sbe-se que U P = T O = (0, 0, ) e R S = O T = (0, 0, ). U P. R S = (0, 0, ). (0, 0, ) = 9.. Sbe-se que T(0, 0, ) e, como Q pertece o exo Oy, etão é do tpo Q(0, b, 0), com b R. Ddo que Q pertece o plo PQV defdo por x + y =, etão 0 + b = b =. Dode se coclu que Q(0,, 0). Tem-se que T Q = Q T = (0,, 0) (0, 0, ) = (0,, ). y z Logo, x = 0 = é um codção crtes que defe ret TQ....º Processo O úmero de csos possíves é 8 C. O úmero de csos fvoráves é 6 C, pos exstem ses plos perpedculres xoy (os qutro plos que cotêm s fces lters do prsm e os plos TVQ e USR) e cd um destes ses plos cotém qutro vértces do prsm. 6 Logo, probbldde pedd é C =. 7.º Processo O úmero de csos possíves é 8 A. 8 C O úmero de csos fvoráves é 6 A. 6 Logo, probbldde pedd é A 8 =. A 7. P( A B) represet probbldde de, o retrr um bol do sco, sr um bol com um úmero mor do que ses ou sr um bol com um úmero pr. A expressão pedd pode ser obtd pelos segutes processos..º Processo Tem-se que P( A B) = P(A B). P(A B) represet probbldde de, o retrr um bol do sco, sr um bol com um úmero feror ou gul ses e ímpr. Edções ASA, Mtemátc A, 07

6 Logo, P(A B)=. Dode se coclu que P( A B) = =..º Processo Tem-se que P( A B) = P( A) + P(B) P( A B) 6 6 Como P( A) =, P(B) = e P( A B) =, etão P( A B) = + 6 = + + =.º Processo O úmero de csos fvoráves o cotecmeto A B: o úmero d bol retrd é superor 6 ou o úmero d bol retrd é pr é gul, pos pes exstem três bols umerds com úmero ímpr feror ou gul 6: s bols umerds com, e. O úmero de csos possíves é gul. Logo, P( A B) =.... ( f ( 0 ) ) + x = (f(0)) + x =, pos (f(0)) + x > 0, x [0, 7]. (9, (e + e )) + x = 9, e + e + x = x = 9, e + e x = ± 9, e + e Como x > 0, etão x = 9, e + e Tem-se que x, Note-se que P(0, f(0)) e S(x, 0). Etão, ( f ( 0 ) ) + x = ( f ( 0 ) ) 0 ) + ( 0 x ) = P S = Logo, secção represetd,, é bcss do poto d superfíce d águ do ro que dst dos metros do poto P. 6 Edções ASA, Mtemátc A, 07

7 .. Este tem pode ser resolvdo por, pelo meos, dos processos..º Processo f (x) = (9,(e 0,x + e 0,x )) = =,( 0,e 0,x + 0,e 0,x ) = = 0,(e 0,x e 0,x ) f (x) = 0 0,(e 0,x e 0,x ) = 0 e 0,x e 0,x = 0 e 0,x = e 0,x 0,x = 0,x = 0,x x = x Sl de f Cálculo uxlr: f (0) = 0, e > 0 e Vrção de f m. Máx. m. f (7) = 0,(e 0, e 0, ) < 0 A fução f tem um máxmo bsoluto pr x = : f() = 9,( ) = 9 = Como f() < 6, etão o brco ão pode pssr por bxo d pote..º Processo f(x) 6 9,(e 0,x + e 0,x ) 9,(e 0,x + e 0,x ) e 0,x + e 0,x, e 0,x + e 0,x 6 0 Cosderemos mudç de vrável e 0,x = y: 6 y y y 0 y ( y) y ( ) ( y) y 6y + 0, pos y > 0 codção mpossível em R, pos o gráfco d fução qudrátc ssocd é um prábol com cocvdde voltd pr cm que ão terset Ox. Cálculo uxlr: y 6y + = 0 6 ± 6 ( ) ( ) y = 0 codção mpossível em R + Logo, f(x) 6 é um equção mpossível. Assm, o brco ão pode pssr por bxo d pote. Edções ASA, Mtemátc A, 07 7

8 ... g é cotíu em x = se e só se lm g(x) = lm g(x) = g(). x Æ x Æ + lm x Æ x g(x) = lm = x Æ e x ( + x)( x) = lm = x Æ e x = lm x Æ x ( + x) lm = x Æ e x x = lm x Æ e x Cosderemos mudç de vrável x = y. Como x Æ, etão y Æ 0. y = lm = lm y Æ 0 e y y Æ 0 e y = y = = = lm e y y Æ 0 y se(x ) lm g(x) = lm + = x Æ + x Æ + x Cosderemos mudç de vrável x = y. Como x Æ +, etão y Æ 0 +. se y = lm = = y g() = lmte otável y Æ 0 + lmte otável Logo, g é cotíu em x =. lm x Æ + se(x ) x.. Em ], [: se(x ) g(x) = + = x se(x ) = 0 x se(x ) = 0 x 0 se(x ) = 0 x = kp, k Z x = + kp, k Z k = 0 Æ x = e ], [ k = Æ x = + p e + p ], [ k = Æ x = + p e + p ], [ Logo, C.S. = { + p} codção uversl em ], [ 8 Edções ASA, Mtemátc A, 07

9 .. Determr bcss do poto A (com x < 0). Em x < 0: x = 0 x = 0 e x 0 e x x = e x (x = x = ) x x = Logo, bcss do poto A é gul. Equcor o problem. Se x bcss do poto P. Por P ser um poto de gráfco de f sbemos que s sus coordeds são do tpo P(x, f(x)). Como P tem bcss e orded egtvs, etão sbemos que x < e que g(x) < 0. Pretedemos determr x < tl que: A [OAP] = O A orded de P = ( g(x)) = x e x = x = ( e x ) Recorredo à clculdor gráfc, obtemos: x y =, x < ( e x ) y = y y I y Logo, I(,; ). A bcss do poto P é proxmdmete,., O x 6. Este tem pode ser resolvdo por, pelo meos, qutro processos..º Processo Como o poto P, de bcss, pertece o gráfco de f, etão tem como coordeds P(, ). Se r ret tgete o gráfco de f em P. m r = f () e r é defd por y = f ()x + b. Como o poto P(, ) pertece à ret r, vem que: = f () + b f () = b Logo, r: y = f ()x + f (). Edções ASA, Mtemátc A, 07 9

10 Determemos s coordeds do poto Q, poto de terseção d ret r com o exo Ox. 0 = f ()x + f () f () = f ()x = x f () Assm, Q, 0. f () Tem-se que O P = + ( f ( ) ) e P Q = f () E, tededo que O P = P Q vem que: + (). + ( f ( ) ) = f () + () + () = f () + () = f () Como > 0, > 0 e f () < 0, etão =, sto é, f () = f () + = 0. f ().º Processo Como o poto P, de bcss, pertece o gráfco de f, etão tem como coordeds P(, ). Se r ret tgete o gráfco de f em P. m r = f () e r é defd por y = f ()x + b Como o poto P(, ) pertece à ret r, vem que: = f () + b f () = b Logo, r: y = f ()x + f (). Determemos s coordeds do poto Q, poto de terseção d ret r com o exo Ox. 0 = f ()x + f () f () = f ()x = x f () Assm, Q, 0. f () Por outro ldo, como O P = P Q, cocluímos que o trâgulo [OPQ] é sósceles. Logo, O Q =. Logo, = = f () f () = f () 0 = f () + = = f () f () 0 Edções ASA, Mtemátc A, 07

11 .º Processo Sem mpltude do âgulo POQ e b clção d ret r, ret tgete o gráfco de f em. Sbemos que tg b = m r = f () e tg =. Como b = p, etão tg b = tg(p ) = tg, ou se, f () =, sto é, f () + = 0..º Processo Como o poto P, de bcss, pertece o gráfco de f etão tem como coordeds P(, ). Atededo que O P = P Q, cocluímos que o trâgulo [OPQ] é sósceles. Logo, O Q =. Como Q é o poto de terseção d ret r como o exo Ox, etão Q(, 0). 0 O declve d ret PQ é gul =. Por outro ldo, e tededo que PQ é ret tgete o gráfco de f em x =, o seu declve é gul f (). Dode se coclu que f () = f () + = 0. Edções ASA, Mtemátc A, 07