Principio da Indução Finita (PIF)

Transcrição

1 Arquvo ceddo or Alex Perer Bezerr Lst de Dscussão OBM Prco d Idução Ft (PIF) ) Axom d Bo Ordem em N: Cd sucojuto ão vzo de N ossu um meor( ou rmero) elemeto O xom d o ordem em N frm que se A é um sucojuto do cojuto N e A etão exste um elemeto em A stsfzedo r cd tero do cojuto A Teorem :. Não exste um tero tl que < < ;. Pr cd tero m, ão exste tl que m < < m + ;. Se m e são teros com m < etão m +. Recrocmete, se m + etão m <. Demostrção:. Suohmos que exste um tero tl que < <. Tl é um úmero turl, e, ortto o cojuto A de úmeros turs crcterzdo or A { x N / x } é um cojuto ão vzo ( vsto que A ).Pelo xom d o ordem,a tem um meor elemeto.porém....,ou sej,.temos í um cotrdção,os A, orém é o meor elemeto de A e.. Sejm m e dos teros e suohmos m < < m +.Etão m < m <( m+) m, ou sej, < m <,o que é mossível,segudo o tem cm.. (exercíco) Teorem (Prmero Prcío de Idução Ft) Sej um úmero tero e suohmos que cd tero,,está ssocd um frmção A(), qul ossu, r cd, um vlor lógco V(qudo verdder) ou F(qudo fls).suohmos que s codções e xo sejm verfcds:. A frmção A() é verdder r ;. Pr cd k,se A(k) é verdder,etão A(k + ) é tmém verdder. Etão frmção A() é verdder r cd. Teorem(Segudo Prcío de Idução Ft) Sej um úmero tero e suohmos que cd tero,,está ssocd um frmção A(), qul ossu,r cd, um vlor lógco V ou F. Suohmos que s codções e xo sejm verfcds:. A frmção A() é verdder r ;

2 Arquvo ceddo or Alex Perer Bezerr Lst de Dscussão OBM. Pr cd tero k,se A() é verdder r k tmém verdder. Etão frmção A() é verdder r cd Exercícos Resolvdos )Provr que: = (/6)( + )( + ), N. () Pr = (/6)( + )( + ) = (/6)()() = (/6)(6) = =. () Hótese: = (/6)( + )( + ). () Provr ( + ) = [(+)/6]( + )( + ) etão A(k + ) é Demostrção: ( + ) = (/6)( + )( + ) + ( + ) = (/6)( + )( + ) + ( + ) (oserve que som té é (/6)( + )( + ) ( + ) = ( +)[(/6)( + ) + ( + )] = ( + )(/6)( ) = ( + )(/6)( ) * = ( + )(/6).( + /).( + ) = [( + )/6]( + )( + ) Not:- O olômo x + x + c, com rízes x e x ode ser decomosto em (x x)(x x). Como s rízes de são e /, temos = ( + /)( + ). ) Provr que: ( + ) = (/)( + )( + ) N. () Pr =.. = e (/)( + )( + ) = (/)()() =. () Hótese: ( + ) = (/)( + )( + ) () Provr que: ( + ) + ( + )( + ) = [( + )/]( + )( + ). Demostrção: ( + ) + ( + )( + ) = (/)( + )( + ) + ( + )( + ) = ( + )( + )[(/) + ] = ( + )( + )[( + )/] = [( + )/]( + )( + ). )Demostrr or dução mtemátc: ) < +, N. ) >, >. solução: ) () Pr =, = < + = = 4, verddero. () Hótese: < +. () Provr + < +. Demostrção:

3 Arquvo ceddo or Alex Perer Bezerr Lst de Dscussão OBM Por hótese < +. <. + + < +. () É verdde r =, os = e =. () Hótese: >. () Provr + > ( + ) Demostrção: - Provemos clmete que > +, r >. Est roosção é verdder r =, os > + =. Suodo verdder r, > +, devemos ter + > ( + ) + = +. Or, > + e > r >. Somdo memro memro, + > > + ( ). > Pel hótese > e coforme demostrdo, > +. Somdo memro memro esss gulddes, cocluímos: + > > ( + ). (exressão ser demostrd em (). Exercícos Proostos )Demostrr que + 9 é um múltlo de 8 r todo tero ostvo )Mostre que r cd tero,, o tero 9 é dvsível or 8. )A seqüêc de Focc é um exemlo de um seqüêc de teros defd dutvmete.el é defd como,,..., sedo e, r cd. ) Prove or dução sore que )Mostre que lm [( ) / ] 4)rove que o cojuto S { m Z : 7 m 8} é vzo. [( ) / ] )Pr,mostre que é um úmero dvsível or. 6)Pr R, k e,mostre que se( ) se se.se 7)Pr,mostre que é um úmero comosto se ão é um otêc de.

4 Arquvo ceddo or Alex Perer Bezerr Lst de Dscussão OBM 8)Sej cos se A.Determe A r. se cos! x ( )! 9)Pr e x,mostre que S ( x) ode ( ) ( x ) x ( x )( x ( x ) ( x ).( x )...( x ) ) )Prove que 4 é um tero r =,,,.. )Tome,,,,..., como úmeros res ode.def ( x) ( x)( x)...( x) f.prove que det 4 f ( ) f ( ) )Se A... A, A, =,,...,,etão se A se A se )Tome f ( x) se x se(x)... se( x).,ode,..., são úmeros res e ode é um tero ostvo.sedo que f ( x) se x, x R,rove que.... 4)Prove que ( ) ( )( )... ( ( ) )( ) ( ) )Prove que r x,...,, x x teros ão egtvos x... x x... x OBS: Algus exercícos form colocdos es título de cohecmeto, que estão lém do ível IME e ITA.

5 Arquvo ceddo or Alex Perer Bezerr Lst de Dscussão OBM Blogrf: )Mthemtcl Crcles Dmtr Fom )Mul de Idução Mtemátc Luz Loes )Itrodução à Álger Adlso Goçlves 4)Fudmetos de Mtemátc Elemetr- Gelso Iezz )Curso de Aálse- Elo Lges