Método de Eliminação de Gauss

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1 étodo de Elmção de Guss A de ásc deste método é trsformr o sstem A um sstem equvlete A () (), ode A () é um mtrz trgulr superor, efectudo trsformções elemetres sore s lhs do sstem ddo. Cosdere-se o sstem ler A Pr resolvê-lo, procedemos como segue: º Psso: A A () () é chmdo elemeto pvot. Se, podemos colocr zeros o de, e efectum-se s segutes operções: m,,3,..., () j j m j,, j,3,..., () m,,3,..., Aálse Numérc

2 Aálse Numérc étodo de Elmção de Guss º Psso: A ( ) () A Se (), podemos colocr zeros o de (), e efectum-se s segutes operções: () () () () 3 () () () m j m m j j j 3,...,, 3,...,,, 3,...,, () () () () () ()

3 étodo de Elmção de Guss Otém-se o sstem equvlete: [ A ] Prossegudo o processo, chegmos, o psso -, o sstem A () (), ode ( ) ( ) [ A ] () 3 () 3 33 É-se ssm coduzdo um sstem ler equvlete o sstem cl, cuj mtrz é trgulr superor. Este sstem pode fclmete ser resolvdo, começdo com () / () e clculdo-se -, -,...,, sucessvmete. () 3 ( ) 3 () ( ) () 3 () () 3 () 3 Aálse Numérc 3

4 étodos de Fctorzção U Estes métodos cosstem em decompor mtrz A um produto de dus mtrzes U, ou sej AU, ode é um mtrz trgulr feror e U um mtrz trgulr superor. Supodo que estem s mtrzes e U, etão pr resolver o sstem A st resolver os dos sstems g e Ug. Estem várs mers de se ecotrr mtrzes e U de modo que AU. l l l u U u u ª lh de U: u, u,, u º colu de : k h k de U : ukj kj lkrurj, j k, k +,, r u u u l 3, l3,, l Colu k de : l k k ( k r l k u rk ) / u kk, k +, k +, Aálse Numérc 4

5 Aálse Numérc 5 étodos de Fctorzção U Pode mostrr-se que se o método de elmção de Guss for plcdo o sstem A sem troc de lhs etão AU ode 3 3 m m m m m m ) ( () () ) ( A U

6 Pesqus de Pvot Devdo os erros de rredodmeto, o método de Elmção de Guss pode coduzr soluções erróes. Ou sej podemos ter prolems de stldde umérc. As téccs de pesqus de pvot surgem um tettv de morr o efeto de propgção dos erros de rredodmeto. Pesqus prcl de pvot: cosste em escolher pr elemeto pvot, o k-psso do método de Elmção de Guss, o elemeto de mor vlor soluto colu k. Aálse Numérc 6

7 trzes especs trz de dgol domte: A j j j,,,, dgol domte por lhs jj j,,,, j dgol domte por colus trz de dgol estrtmete domte: Se s desgulddes cm o sl for susttuído por > ( ou sej, desguldde estrt sempre) Aálse Numérc 7

8 trzes especs trz defd postv: A smétrc. A sumtrz A k, costtuíd pels k prmers lhs e k prmers colus de A, verfc: det(a k )>, k,,..., Oservções: Se A é smétrc e os vlores própros de A são postvos etão A é defd postv. Se A é defd postv etão os elemetos d dgol são postvos. Teorem: Sej A um mtrz de um dos dos tpos segutes: () smétrc defd postv () de dgol estrtmete domte por lhs ou colus. Etão A é ão sgulr e, lém dsso, o método de Elmção de Guss (tmém o método U) pode ser plcdo o sstem ler A sem troc de lhs. Ou sej o processo é estável em relção à propgção dos erros de rredodmeto, ão sedo precso usr ehum técc de pesqus de pvot. Aálse Numérc 8

9 Norms de Vectores Um orm em IR é um fução deotd por. com vlores em IR, stsfzedo: N., IR N. N3. α α, α IR IR N4. + y + y,, y IR Em IR usremos s segutes orms: I. (orm mám) II. III. m { } (orm utár) (orm Eucld) Aálse Numérc 9

10 Norms de trzes Um orm de mtrz é um fução defd o cojuto ds mtrzes qudrds res com vlores em IR stsfzedo: : A, A : A A 3: αa α A, α IR A 4: A + B A + B, A e B 5: A B A B, A e B 6: A A e A Dd um orm vectorl., plcção stsfz s codções -6. A m A (orm turl ou duzd) Aálse Numérc

11 Norms de trzes Pr orm vectorl m { } tem-se: A m j j (orm ds lhs) Pr orm vectorl tem-se A m j j (orm ds colus) À orm vectorl. está ssocd orm mtrcl A T ρ( AA ) ( ) T ode ρ AA é o ro espectrl d mtrz produto de A por A T. ρ(a)m m λ, λ é vlor própro de A. Aálse Numérc

12 Codcometo de Sstems leres vector promção pr e- erro de e - erro soluto de e ' erro reltvo de Sej A um mtrz ão sgulr. O úmero de codção de A é defdo por: cod(a) A A -, ode. é um orm turl de mtrzes. Sej solução ect do sstem A e solução otd do sstem perturdo A. Etão cod(a). Se cod(a) (pequeo) o sstem é um sstem em codcodo. Se cod(a)>>> (grde) o sstem é ml codcodo (um grde sesldde do sstem peques perturções). Aálse Numérc

13 étodos tertvos pr sstems leres Sstem ler A A C + d ode C é um cert mtrz proprd e d um vector. O método tertvo ssocdo é (k+) C (k) + d, k,,,... Oteção de métodos tertvos d form (k+) C (k) + d, k,,,... A + N, ode é um mtrz vertível A ( + N) A - - N+ - (k+) - - N (k) + -, k,,,... e (o) promção cl Aálse Numérc 3

14 Aálse Numérc 4 étodos de Jco e Gus-Sedel Nos métodos de Jco e Guss-Sedel escolh ds mtrzes e N é sed guldde A + D + U. Ao sstem ler A ssocmos s mtrzes, U, D defds do segute modo: A + D + U 3 U D

15 étodo de Jco (k+) - - N (k) + - Fzedo D e N + U result o método de Jco: (k+) -D - ( + U ) (k) + D - trz de terção C J -D - ( + U ) (estmos supor que os elemetos d dgol são dferetes de zero) Epressão gerl do método de Jco: j j ( k + ),,,..., j ( k ) j Aálse Numérc 5

16 étodo de Guss-Sedel (k+) - - N (k) + - Fzedo D + e N U result o método de Guss-Sedel: (k+) -(D + ) - U (k) + (D + ) - trz de terção C GS -(D + ) - U Epressão gerl do método de Guss-Sedel: ( k + ) j j j j + ( k + ),,,..., j ( k ) j Aálse Numérc 6

17 Covergêc dos métodos tertvos Teorem: (Codção sufcete de covergêc) Sej o sstem ler A e supohmos que o mesmo teh sdo trsformdo o sstem equvlete C + d () ode C é um mtrz qudrd e d um vector. Cosderemos o método tertvo (k + ) C (k) + d () com () um vector qulquer de IR. Se este lgum orm duzd (orml) de mtrzes tl que C <, etão o método tertvo () coverge pr solução do sstem () qulquer que sej o vector () ddo. E têm-se s fórmuls de erro (I) - (k + ) C - (k) (II) - (k + ) C k + - () (III) ( k + ) C C ( k + ) ( k ) Aálse Numérc 7

18 Covergêc dos métodos tertvos Coroláro: O método tertvo (k + ) C (k) + d coverge pr solução do sstem C + d qulquer que sej o vector () ddo se lgum ds codções se verfcm: () C < () C < Os: Pode ão se dr () em () e o método ser covergete. Teorem: (Crtéro de covergêc do método de Jco) Cosdere o sstem ler A. Se A é um mtrz de dgol estrtmete domte por lhs ou por colus etão o método de Jco coverge pr solução de A, qulquer que sej o vector cl (). Teorem: (Crtéro de covergêc do método de Guss-Sedel) Cosdere o sstem ler A. Se A é um mtrz de dgol estrtmete domte por lhs ou por colus etão o método de Guss-Sedel coverge pr solução de A, qulquer que sej o vector cl (). Aálse Numérc 8

19 Covergêc dos métodos tertvos Teorem: (Crtéro de covergêc pr o método de Guss-Sedel) Se A é smétrc e defd postv etão o método de Guss-Sedel plcdo o sstem A coverge pr solução do mesmo, qulquer que sej o vector cl (). Teorem:( Codção ecessáro e sufcete de covergêc) O método tertvo defdo por (k + ) C (k) + d coverge pr solução do sstem ler A, qulquer que sej o vector cl () se e só se ρ(c) <. Aálse Numérc 9

20 Aálse Numérc étodo de Newto pr Sstems ão eres ( + ) -[J( () )] - F( () ) ode F[f f... F ]T, [... ] T e mtrz Jco de F Cálculo de ( + ) f f f f f f f f f J ) ( + + d F d J ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (