Capítulo 4: Interpolação Polinomial. 1. Introdução

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1 Cpítulo 4: Iterpolção Poloml. Itrodução Supohmos que cohecemos ução em pes em potos do tervlo [b] e que pretedemos cohece-l em qulquer outro poto desse tervlo. Pr tl vmos com bse os potos cohecdos costrur um ução que substtu detro de um lmte de precsão. Um tl ução desg-se por ução promte. A escolh d ução promte é qu um polómo ms poder ser outr. Se escolhêssemos uções rcos terímos terpolção rcol se escolhêssemos uções epoecs terímos terpolção epoecl. Sej etão um ução ded em A : A R R e dmtmos que são cohecdos os potos com < - sedo e b. Pretede-se promr [ ] por um polómo P - - tl que os potos cohecdos P cocd com ução.é. que stsç: P Dremos que P é um polómo terpoldor pr os potos ddos que serão o suporte d terpolção. Assm ddos potos estêc de um polómo que stsç e cerc d ucdde e do gru do polómo temos ormção trvés do segute teorem: Teorem: Sejm ddos potos dsttos j e os vlores de esses potos. Etão este um úco polómo P de gru eror ou gul que stsz P.

2 . Iterpolção poloml: ler e qudrátc O cso ler é o cso ms smples d terpolção. Ddos dos potos dsttos de um ução e e pretedemos sber usdo terpolção poloml o vlor de. Pelo teorem teror vmos costrur um polómo de gru um P Ms P tem de ser tl que: P P Pr obtermos o vlor dos coecetes e temos que resolver o sstem teror em ordem e. A mtrz dos coecetes é A sedo que deta-. O sstem teror tem solução úc se deta.é. se. Ou sej pr potos dsttos o sstem tem solução úc. Iterpretção Geométrc O polómo P é equção d rect que pss os potos e. Eemplo: Cosderemos ução ded pelos potos.35 e.94. Determr promdmete o vlor de.73. Como temos dos potos vmos costrur um polómo de gru um.é. P. P é tl que : P P ou sej P e.73 P.73.5 O cálculo de e está ectdo por dos tpos de erro:. Erro de rredodmeto

3 . Erro de tructur cometdo qudo decdmos promr ução por um polómo de gru um. Erro de tructur O erro de tructur cometdo o poto é ddo pel órmul: E T -P O erro de tructur é um ução que se ul os potos e pos P e P etão: E T - - A ode A é um costte determr. Obteção de A Cosderemos ução ulr Gtt-P t-e T t ou sej Gtt- t -t- t- A A ução Gt ul-se em pelo meos três potos t t t. Se cosderrmos que t é cotíu e derecável em e um vez que P t e E T t são polómos tmbém são logo Gt é cotíu e derecável em etão podemos plcr o teorem de Rolle Gt. Recordção! Teorem de Rolle: Se é cotíu e derecável o tervlo b e b etão este ξ b tl que 'ξ. Aplcdo etão o teorem de Rolle Gt coclu-se que: ξ : G ξ ξ :G ξ Ou sej G t é tl que G ξ G ξ e G t é cotíu e derecável em ξ ξ plcdo ovmete o teorem de Rolle G t cocluímos que: 3

4 ξ ξ ξ : G ξ Ms se ξ ξ ξ etão ξ. Além dsso G t t- -t- A-t- A G t t-a-a t-a '' ξ Como G ξ etão ξ-a A O erro de tructur é etão ddo por: '' ξ E T - - com ξ Not: N mor prte ds vezes ão se cohece o vlor ecto de ξ como tl cosdermo-lo gul o vlor que mmz em.é. ξ tl que '' ξ m ''. < < Eemplo: Cosdere ução s. Utlzdo os potos.84 e.9 costru um polómo de gru um que prome. Clcule o vlor promdo de π. Determe o erro de tructur cometdo. Pretedemos etão P que é tl que : P.84 P etão P.77.7 e π P π.88. O erro de tructur é ddo por: π π π '' ξ E T - - com ξ e tl que ξ m ' ' cos e -s etão o mámo de -s o tervlo é π π tgdo em dode ET.. << 4

5 No cso d terpolção qudrátc pretedemos promr oss ução por um polómo do segudo gru d orm P. Pr tl precsmos de cohecer ução em três potos dsttos. Sejm três potos dsttos de. Pretedemos P tl que P P P A mtrz dos coecetes é A O sstem tem solução úc se deta o que cotece se os três potos orem dsttos. Erro de tructur O erro de tructur é gor ddo por E T -P. Segudo um rcocío álogo o eectudo pr o cso ler chegmos à coclusão que: E T ! ' ' ' ξ com ξ. 3. Iterpolção de Lgrge Tto terpolção ler como qudrátc são csos prtculres d terpolção de Lgrge. Geercmete pretedemos determr o polómo terpoldor de gru meor ou gul sedo cohecdos potos. Ou sej pretedemos P - - 5

6 ode P tem o mámo gru. - são determdos à cust d resolução do sstem: P P P.. cuj mtrz é A. Prov-se que solução do sstem teror é úc se deta ou sej se os potos orem todos dsttos. Obteção órmul de Lgrge Cosderemos os segutes polómos de gru p p p ou de orm brevd 3 j j j p Os polómos terores são ts que:. p. p j j. Os polómos terores chmmos polómos de Lgrge. 6

7 Como o polómo P que pretedemos determr é de gru e cotém os potos podemos escrever P como combção ler dos polómos terores p ou sej P b p Etão pr determr P bst clculr os b já que os polómos p são clmete clculáves. Tem-se etão que: P k b p k b p k b k p k k b p k ms p k k e p k pr k-k ou sej P P k b k p k k b k k pk k Como por hpótese P etão b. p Substtudo o vlor de b em 4 obtemos: e por 3 cocluímos que: p P p j P j j j que é órmul do polómo terpoldor de Lgrge. Eemplo: Determr o polómo terpoldor de Lgrge pr ução cohecd pelos potos

8 Como ução é cohecd em qutro potos vmos costrur um polómo de gru mámo.é. gru três 3 3 j P 3 P j j 3 j P O polómo terpoldor é : P 3. 3 Erro de tructur Tmbém qu o erro de tructur é ddo por E T -P. Segudo um processo álogo os csos terores e tedo em teção que P terpol em potos obtêm-se: ξ ET <ξ<.! De segud vmos ver outrs orms de costrur o polómo P. 4. Iterpolção com dereçs dvdds Há várs orms de escrever o polómo P o polómo terpoldor de Lgrge em sempre é o ms coveete. Vmos ver de segud como costrur o polómo terpoldor de Newto pr tl começremos por der o coceto de dereç dvdd. 8

9 4.. Coceto de dereç dvdd Sej um ução d qul se cohecem os potos. A prmer dervd de o poto é ded por: Lm A dereç dvdd de prmer ordem dee-se como sedo um promção d prmer dervd [ ] Not: As otções de dereç dvdd são: [ ] [ ] e. 5 Se em 5 zermos obtemos dereç dvdd de prmer ordem em relção os rgumetos e Note-se que [ ] ou sej [ ] [ ]. [ ] [ ] De um modo gerl dee-se dereç dvdd de prmer ordem em relção os rgumetos como sedo: [ ] se recordrmos que temos que [ ] A dereç dvdd de ordem zero é ded com [ ]. 9

10 Atededo à deção de dereç dvdd de ordem zero podemos escrever s dereçs dvdds de ordem um em ução ds dereçs dvdds de ordem zero do segute modo: [ ] [ ] [ ] Geercmete dereç dvdd de ordem é dd por: [ ] [ ] [ ] que é um promção pr dervd de ordem. É usul costrur-se um tbel chmd tbel ds dereçs dvdds ode se colocm todos os vlores terores. [ ] [ ] [ ] [ 3 ] [ 3 ]. [ ] [ - ] [ - - ] Pel tbel teror podemos coclur que:. Cd colu é costruíd à cust d colu teror;. Com potos podemos costrur dereçs dvdds de prmer ordem - de segud ordem e ssm sucessvmete té à um dereç dvdd de ordem. Eemplo: Dd ução pel tbel segute costru tbel ds dereçs dvdds

11 A tbel ds dereçs dvds é: ode e Ad cerc ds dereçs dvdds vejmos o segute coroláro Coroláro: Se é um ução poloml de gru etão tods s dereçs dvdds de ordem são gus um costte e s de ordem são uls. 4.. Fórmul de Newto pr terpolção com dereçs dvdds Cosderemos os potos dsttos e P o polómo terpoldor de gru que cotém esses potos. Pel deção de dereç dvdd tem-se: etão P P P [ ]P [ ]- -

12 etão P P P [ ]- P [ ]P [ ]- - - P P P [ ]- P [ ]- - P [ ] Desevolvedo P [ ] e plcdo um rcocío álogo o teror obtemos: P P P [ ]- P [ ]- - P [ ]- - - P [ ] P [ ] Como P é de gru pelo coroláro teror cocluímos que P [ ] lém dsso como P podemos escrever: P P [ ]- P [ ]- - P [ ]- - - P [ ] Ms como modo: P [ ] podemos escrever o polómo teror do segute P ou d

13 P j que é o polómo terpoldor de Newto pr dereçs dvdds. j Eemplo: Determr o vlor promdo de.4 usdo todos os potos tbeldos d ução Vmos começr por costrur tbel ds dereçs dvdds O polómo terpoldor de é: P ou sej P etão.4 P Erro de tructur A órmul do erro de tructur pr terpolção de Newto é mesm do que cometd com terpolção de Lgrge tl deve-se o cto de mbs utlzrem polómos do mesmo gru. Assm ξ ET <ξ<.! 3

14 5. Iterpolção com dereçs ts 5.. Coceto de dereç t Admtmos gor que os potos são gulmete espçdos.e. - h sedo h um costte que desgmos por psso. O cto de os potos serem gulmete espçdos deve ser provetdo pos etre outrs rzões os cálculos vêm ms smplcdos o que os lev utlzr outro operdor. Ates de dermos dereç t cosderemos um vrável ulr z dd por: etão z zh- h - - h- -hzh-hz-h - - h- -hz-h-hz-h cotudo o rcocío teror coclu-se que: h- - -hz--h-hz---hz--h substtudo os vlores terores em P P zh zhz-h zhz-hz-h 3 zhz-hz-h. z--h P zh zh z- zz-z-h 3 3 zz-z- z--h 6 P h z j j 4

15 Trt-se do polómo terpoldor de Newto pr potos gulmete espçdos. Vmos troduzr de segud o coceto de dereç t váldo pes qudo - - h. Dee-se dereç t de:. Ordem zero:. Ordem um: - -. Ordem dos: - v. Ordem : Eemplo: Costrur tbel ds dereçs ts pr ução dd pel tbel: A tbel ds dereçs ts

16 5.. Fórmul de Gregor-Newto pr terpolção com dereçs ts De segud vmos eucr um teorem que relco s dereçs dvdds e s dereçs ts. Teorem: sej um ução ded os potos ts que - h. Tem-se que:.! h Tedo em cosderção o teorem teror se substturmos por 6 obtemos: P zh h z--h P z! h 3 zh z- zz-z-h 3 3 zz-z-! h 3! h zz- ou de orm codesd!! h 3 zz-z- zz-z-z-- 3! P! z j j que é órmul de Gregor-Newto pr dereçs ts. Mostr-se de modo álogo que o erro de tructur é ddo por: ξ ET z h z z z z <ξ<.! em! Eemplo: Dd ução cohecd os potos bo tbeldos clcule um vlor promdo pr.5. 6

17 Vmos começr por costrur tbel ds dereçs ts De segud vmos costrur um polómo terpoldor de de gru mámo. P 4 z zz-! 3 zz-z- zz-z-z-3 3! ou sej P z.4zz--.6zz-z- com z. dode h. 4 4! P Etão.5 P Iterpolção de Hermte Supodo que é dus vezes derecável sbe-se que um zero de se dz de multplcdde dos se e. Dremos que dus uções e g -osculm osculm -vezes um poto se é zero de multplcdde d ução -g sto é g g g. 7

18 Tl comportmeto sgc que g terpol e g terpol em. Nestes csos lmos de terpolção oscultór ou repetd ou de Hermte. Por eemplo é bem cohecdo um polómo -osculdor de o poto o polómo de Mclur de : p '! Com eeto p p. p p. Cosderemos etão um suporte j pr j e um polómo dto polómo terpoldor de Hermte H vercdo s codções segutes: H H Mostr-se que este polómo de gru meor ou gul este e é úco. Vejmos como costrur H de um orm que geerlz o polómo terpoldor de Newto s dereçs dvdds. Cosderemos os potos e o polómo terpoldor de Newto p z z z z z z z z z z [ z z] z z [ z z z ] [ z z z ] 7 Recorredo o rtíco de cosderr cd gul um pr de z s cosecutvos supostos gus ou sej zedo z z 8

19 z z 3 z z etão órmul pss escrever-se [ ] [ ] p [ ] [ ] 8 De cto podemos geerlzr deção de dereçs dvdds de modo dr sgcdo à órmul teror: ssm [ ] [ ] ' Lm Lm [ ] [ ] ' [ ] [ ] [ ] Doutro modo o resultdo obtdo em 8 poder obter-se zedo o lmte em 7 qudo z z z z 3 z z. Pr o polómo cúbco de Hermte s relções terores dcm que podemos estbelecer um tbel com segute cogurção s. ds s. ds 3 s. ds [ ] [ ] [ ] [ ] Eemplo: Determr um vlor promdo de l.5 sbedo que l Tem-se que 9

20 D D D Tedo-se que o polómo de Hermte de gru três é: H Iterpolção com Sples N secção teror orm utlzdos polómos de ordem pr terpolr etre os potos cohecdos. Por eemplo com oto potos pode-se costrur um polómo de gru sete. Este polómo terá um comportmeto que se dequrá os potos cohecdos. No etto estem csos em que ests uções coduzem resultdos erróeos. Um promção ltertv cosste em justr polómos de ordem ms b subcojutos dos ddos. Ts polómos de lgção são chmdos uções sples. Polómos de ordem superor pel su regulrdde tedem ão cptr s lterções bruscs o comportmeto d ução o cotráro dos sples. Assm os sples coseguem um melhor promção pr s uções que tehm mudçs bruscs locs. 7.. Sples Leres A lgção ms smples etre dos potos é um lh rect. O sple de prmer ordem pr um grupo de ddos ordedos pode ser dedo como o cojuto de uções leres: m m m -

21 ode m é o declve d rect que ue os potos m Ests equções podem ser usds pr vlr o vlor d ução em qulquer poto etre e bstdo pr tl loclzr o tervlo em que o poto c. De segud equção proprd é usd pr determr o vlor d ução esse tervlo. Este método é muto dêtco à terpolção ler. Um ds grdes desvtges deste método resde o cto de ele ão ser suve. No poto ode dos sples se ecotrm chmdo ó o declve mud bruptmete. Ou sej prmer dervd d ução é descotíu estes potos. Est desvtgem é superd utlzdo sples de ordem superor que ssegurem suvdde os ós e que etrm com o vlor d dervd estes potos. 7.. Sples Qudrátcos Pr grtr que s dervds de ordem m sejm cotíus os ós têm de ser utlzdos sples com ordem pelo meos m. Polómos de tercer ordem ou sples cúbcos grtem cotudde ds dervds de prmer e segud ordem e são muto utlzdos prátc. Vmos lustrr o coceto de terpolção com sples utlzdo polómos de segud ordem. Estes sples qudrátcos têm prmer dervd cotíu os ós. Embor sples qudrátcos ão grtm seguds dervds gus os ós servem pr demostrr o procedmeto gerl pr desevolver sples de ordes superores. O objectvo os sples qudrátcos é rrjr um polómo de segud ordem pr cd tervlo etre vlores. O polómo pr cd tervlo pode ser represetdo de um modo gerl por b c.

22 Com potos tem-se tervlos e cosequetemete 3 costtes descohecds. Como tl são ecessárs 3 equções pr clculr s costtes descohecds. Ests são:. O vlor ds uções tem que ser gul os ós.é. b c b c - Como só os ós terores são utlzdos temos --- codções.. A prmer e últm ução têm que pssr os ós s. b c b c Temos etão ms dus codções. 3. A prmer dervd os ós terores tem de ser gul. b b b - Temos etão ms - codções. Até gor temos --3- codções. Como temos 3 costtes descohecds temos que rrjr ms um codção. Se ão tvermos ms ehum ormção dcol sobre s uções e s sus dervds temos que zer um escolh rbtrár pr clculr s costtes. Apesr ds escolhs que podem ser ets serem úmers por smplcdde: 4. Assummos que segud dervd d prmer ução é zero. Como etão. Est codção pode ser terpretd grcmete como os dos prmeros potos são lgdos por um lh rect. Eemplo: Ajustr um sple qudrátco os ddos d tbel segute e usr o resultdo pr estmr o vlor em 5.

23 Temos 3 tervlos como tl vmos ter 39 codções que são:.5 4.5b c b c. 49 7b c b3 c b c b3 c3 4.5 b 4.5 b 7 b 73 b3 Como o problem resume-se resolver oto equções smultemete. Em orm de mtrz temos: Resolvedo o sstem teror obtém-se b.. c...5. b.5. c b.. c3. b - c b c b c Temos etão os sples qudrátcos: Temos etão que