Licenciatura em Ensino de Matemática

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1 UNIVERSIDADE DE CABO VERDE Lcectur em Eso de Mtemátc UNICV/9

2 UNIVERSIDADE DE CABO VERDE DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA & TECNOLOGIA CECÍLIO SEMEDO CABRAL TEMA: APROXIMAÇÕES NUMÉRICAS E APLICAÇÕES COM MAPLE 7 DE: INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Trlo cetífco presetdo o UNICV pr oteção de gru de Lcectur em Eso de Mtemátc Oretdor: Eg.º Aurélo Vcete UNICV/9

3 O júr: /Presdete/ /Arguete/ /Oretdor/

4 DEDICATÓRIA Dedco este trlo meus ps, Frederco e Mrgrd, pelo esforço, dedcção e compreesão, em todos os mometos dest e de outrs cmds. 4

5 AGRADECIMENTOS Quero regstr qu o meu púlco grdecmeto todos que, de um form ou de outr, cotruírm pr relzção deste trlo, destcdo-se lgus deles: Prmermete Deus pel súde, fé e perseverç que tem me ddo; A, m fel mg e comper or d trulção; meus ps, quem oro pelo esforço com o qul mtverm 4 flos escol púlc; os meus mgos pelo cetvo usc de ovos coecmetos; todos os professores que muto cotruírm pr m formção; professor Dr.ª Astrgld pel logrf dspolzd e flmete um grdecmeto especl o meu oretdor Eg.º Aurélo Vcete pel sedor e dedcção demostrdo durte relzção deste trlo. 5

6 ÍNDICE INTRODUÇÃO... Equdrmeto... Relevâc do tem... Ojectvos... Metodolog... Estrutur do trlo... CAPITULO I_ INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL Itrodução Iterpolção Poloml de Lgrge Polómo Iterpoldor: Exstêc e Ucdde Fórmul de Lgrge Dfereçs Dvdds Fórmul de Newto Iterpolção Ivers Erros de Iterpolção Iterpolção de Hermte Iterpolção com fuções Sple (Iterpolção segmetd) Sple Iterpoldor de gru zero Sple Iterpoldor Ler (ou Sple de gru um) Sple Iterpoldor Qudrátco Sple Iterpoldor Cúco

7 CAPITULO II_ INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Itrodução Regrs Báscs Regrs de Rectâgulo Regr do Poto Médo Regr do Trpézo Regr de Smpso Regrs de Newto-Cotes Erros de Itegrção Regrs de Guss Dedução ds Fórmuls Erros de Itegrção Regrs Composts Regr do Rectâgulo à Esquerd Compost Regr do Rectâgulo à Dret Compost Regr do Poto Médo Compost Regr do Trpézo Compost Regr de Smpso Compost Regr do Trpézo Corrgd Compost...7 CONCLUSÃO...74 BIBLIOGRAFIA...76 ANEXOS

8 ÍNDICE DE TABELAS Tel Dfereçs Dvdds... Tel Polómo Cúco de Hermte trvés de Dfereçs Dvdds... Tel Fórmuls de Newto-Cotes...58 Tel 4 Fórmuls de Guss ou Guss-Legedre com ( + ) potos

9 ÍNDICE DE FIGURAS Fg. - Iterpolção Ler...7 Fg. - Regr de Trpézo...5 Fg. - Regr do Rectâgulo à Esquerd...54 Fg. 4- Regr do Rectâgulo à Dret...55 Fg. 5- Regr do Rectâgulo...55 Fg. 6- Regr do Poto Médo...55 Fg. 7- Regr do Trpézo...56 Fg. 8- Regr de Smpso...57 Fg. 9- Regr do Trpézo Compost...68 Fg. - Regr de Smpso Compost...7 9

10 INTRODUÇÃO Equdrmeto A Mtemátc é usd mor ds plcções d Cêc e d Tecolog. Tem sempre vdo um relção muto próxm etre els. Algums ds áres d Mtemátc surgrm e form desevolvds tettv, às vezes té frustrd, de solucor prolems res, ou sej, queles relcodos com lgum stução prátc (CLÁUDIO, 99). Com frequêc estes prolems res ão podem ser coveetemete solucodos trvés de fórmuls excts. Assm se for possível cetr um solução proxmd, os métodos umércos serão s ferrmets dequds pr su solução. Um grde fote dos métodos umércos é s soluções e demostrções mtemátcs que germ métodos costrutvos ou lgorítmcos. Os lgorítmos gerdos são utlzdos pr se oter s soluções umércs. As plcções em cálculo umérco são lrgmete utlzds em dversos processos d Eger. Su utlzção v desde determção de rízes de equções, pssdo por terpolção de vlores teldos, equções dferecs prcs ou ordárs té tegrção umérc etre outros. Dest form, tor-se cd vez ms comum ecessdde de progrmr ts plcções pr resolução de prolems do quotdo do profssol d áre de Eger. São úmeros os prolems de Eger que se resolvem trvés de tegrs. Apesr de exstrem tels de prmtvs pr um grde clsse de fuções, o que de certo é que, mor prte dos csos sej ecessáro usr tegrção umérc. Algums vezes, porque

11 fução tegrr é muto complcd outrs, smplesmete ão podem ser prmtvds usdo fuções elemetres ou etão porque ão se coece expressão lítc d fução. Os métodos umércos proxmm o vlor de um tegrl defdo de um dd fução trvés de um som poderd de vlores d fução em potos específcos. A terpolção permte fzer recosttução (proxmd) de um fução, pes coecedo lgums ds sus csss e respectvs ordeds (mges). É um método que permte costrur um ovo cojuto de ddos prtr de um cojuto dscreto de ddos potus. Em Eger e Cêc, gerlmete tem-se ddos potus prtr de um mostrgem ou expermeto. Atrvés d terpolção pode-se costrur um fução que proxmdmete ecxe estes ddos potus. Outr plcção d terpolção é proxmção de fuções complexs por fuções ms smples. Supo que temos um fução, ms que sej muto complcd pr vlr de form efcete. Podemos etão, escoler lgus ddos potus d fução complcd e tetr terpolá-l estes ddos pr costrur um fução ms smples. Ovmete, qudo utlzmos fução ms smples pr clculr ovos ddos, ão se otém o mesmo resultdo d fução orgl, ms depededo do domío do prolem e do método de terpolção utlzdo, o go de smplcdde pode compesr o erro. Exstem város prolems mtemátcos cujs soluções ão são possíves determr por métodos lítcos. Por exemplo: o cálculo do vlor de um tegrl de um fução cuj prmtv ão se coece; determção de zeros de um fução; e, em prtculr, de um polómo qudo ão exste um fórmul explíct pr o fzer. Qudo stuções, como s exemplfcds, cotecem são muts vezes possíves recorrer determdos métodos (Métodos Numércos) pr oter um solução proxmd pr o prolem em questão. Algus destes métodos ssocdos estes prolems comus são: cálculo de rízes de equções ão leres, resolução de sstems de equções leres, terpolção poloml e cálculo tegrl ou tegrção umérc. Neste presete trlo ecotrm-se os prcps métodos umércos pr oteção d terpolção poloml e determção proxmd de um tegrção umérc. Bscmete, o método umérco é um cojuto ordedo de operções rtmétcs e lógcs fudmetds em teorems d Aálse Mtemátc, que coduz à solução proxmd do prolem. É de sletr que o precmeto de computdores veo possltr cálculos umércos que té etão precm mpossíves, o que teve como reflexo o desevolvmeto de ovos métodos

12 umércos e o perfeçometo dos já exstetes. Desde etão, Aálse Numérc desevolveu-se como cêc própr cotrudo pr resolução dos ms vrdos prolems umércos. A Aálse Numérc desevolveu um teor própr deomd Teor dos Erros. Deste modo, um método umérco deve ser sempre compdo de um estudo sore mjorções de erros e covergêc. Relevâc do tem É de costtr que Aálse Numérc e Computcol é um ds áres d Mtemátc que muto tem cotruído pr o desevolvmeto d Computção, d Eger. É um rmo d Mtemátc que desevolve métodos pr proxmção d solução de prolems complexos, que ão são resolúves por téccs lítcs. Atededo estes e outros fctos escol do tem Aproxmções Numércs de Iterpolção Poloml e Itegrção Numérc com Aplcção do Mple 7 rec o fcto de lsr os prcps métodos de terpolção e de tegrção umérc e tmém mpulsor utlzção de ovs tecologs em prtculr o softwre Mple 7. Ojectvos Este trlo tem como ojectvo estudr os dferetes métodos utlzdos pr oter polómo terpoldor e presetr s prcps regrs de tegrção umérc. Com o mesmo pretede-se desevolver coecmetos que permtem: Compreeder os métodos de terpolção; Idetfcr s vtges e desvtges de cd um dos métodos; Utlzr s ferrmets computcos (como por exemplo Mple 7) oteção do polómo de terpolção; Alsr o erro de terpolção; Compreeder s regrs de tegrção umérc, detfcdo s vtges e desvtges de cd um; Alsr o erro de tegrção umérc; Crr rots o Mple 7, que permtem, umercmete determr um proxmção pr tegrção umérc.

13 Metodolog Quto à metodolog utlzd, fo do tpo: pesqus lográfc e explortór. Iclmete fo feto um log e exustv pesqus dos ddos lográfcos exstetes e Iteret de modo defr s ls oretdors do trlo. Após álse lográfc, cetrou-se o desevolvmeto do tem em estudo. N prte fl do trlo efectuou-se um estudo do softwre Mple 7 e su plcção o tem em estudo. Estrutur do trlo Est moogrf dvde-se em cpítulos. No prmero relzou-se um estudo sore terpolção poloml, ssm como, descrção de lgus métodos de terpolção determção do polómo terpoldor, etre os qus, o método de Lgrge e o método de Newto, fo feto álse do erro de terpolção, um vez que terpolr um polómo é proxmá-lo de um fução e otd ão será mesm que orgl, e este mesmo cpítulo, fez-se plcção do softwre, Mple 7 pr determção do polómo terpoldor. No segudo cpítulo fo troduzd oção d tegrção umérc, ssm como, s regrs de tegrção umérc, álse dos erros de tegrção e plcção do softwre, Mple 7.

14 CAPÍTULO I INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL.. Itrodução Este cpítulo e o segute são dedcdos proxmção de fuções, sto é, dd um fução f oter um fução g, em gerl ms smples, que proxm f, segudo um certo crtéro. A terpolção poloml cosste em escoler detro de um clsse de fuções fução g (terpoldor) cujo gráfco, defdo por y = g( x), pss por um ddo cojuto de potos ( x, y ), =,,...,. O crtéro de proxmção cosste, portto, em mpor g( x ) = f ( x ), =,,..., () Devdo às sus propreddes lgércs e lítcs, os polómos são s fuções ms frequetemete utlzds proxmção e em prtculr terpolção. A terpolção poloml é utlzd prefereclmete resolução de equções ão leres, dferecs e tegrs, dervção e tegrção umérc e terpolção de tels; costtudo se de mutos métodos umércos. Ddo que terpolção poloml forece, frequetemete um proxmção grosser d fução, tem vdo ser susttuíd pel terpolção por Sple e pel terpolção rcol. O teresse pel terpolção por Sple tem vdo crescer os últmos os. É utlzd, por exemplo, o trçdo de gráfcos, dervção e, tl como terpolção rcol, o cálculo computcol de fuções. Como já refermos, terpolção tem várs plcções mporttes. A ms tg cosste em terpolr um tel, sto é, defd um fução f ( x ) por meo de um tel, oter um 4

15 vlor proxmdo de f ( x ) correspodete um rgumeto x ão teldo ( x x, =,,..., ). Hoje em d utlzção de tels cu um pouco em desuso vsto que podemos, quse sempre, determr drectmete o vlor de um fução com o uxílo do computdor. Neste cpítulo, são deduzds s fórmuls de Lgrge e de Newto. Porque terpolção é um proxmção, dá-se especl relevo o erro cometdo. Assm, fz-se referêc o exemplo de Ruge e preset-se terpolção utlzdo pr ós os zeros de polómos de Ceysev o que permte oter proxmção que quse mmz o erro o setdo d orm do máxmo. Teorem.. (Weerstrss): Sej Ω um tervlo fto, eε, um úmero rel postvo rtráro. Etão, pr qulquer fução f C Ω, exste um polómo p tl que f p < ε. (P, 995, p. 7) Podemos coclur, que um vzç de qulquer fução cotíu exste sempre um polómo. Por outro ldo, um polómo pode ser clculdo recorredo pes operções rtmétcs em úmero fto e, portto, é úc fução que pode ser clculd pelo computdor sem recorrer proxmções evolvedo precsmete polómos. Tedo em teção s vtges dests propreddes (outrs poderm ser presetds), pode frmr-se que são os polómos exceletes cddtos pr desemperem o ppel d fução f. A de de terpolr vlores de um fução pode esteder-se tmém à própr terpolção de vlores ds dervds, pelo que o prolem gerl d terpolção se pode formulr d segute mer: Determr fução f que stsfz s codções ( f j) ( x ) = y, j =,,..., m, =,,..., () j em que m é o úmero de dervds terpolr o ó x, e os y j são os vlores terpolr e são cosderdos como ddos. Qudo os m forem todos gus zero dz-se que terpolção poloml é do tpo de Lgrge (só se terpol fução). Se os m ão forem todos gus zero dz-se que terpolção poloml é do tpo de Hermte e do tpo de Broff (terpol-se ão só fução como tmém (s) su(s) dervd(s)). 5

16 Defção.. Dz-se que um fução é um polómo de gru se puder ser escrto form p ( x) = x + x x + () em que é um úmero turl e excepto se =. Aos,,...,, dá-se o ome de coefcetes do polómo, e, o de gru do polómo p, deotdo por deg p. O cojuto de polómos de gru meor ou gul será desgdo por desg-se móco. (P, 995, p. 7) P. Se =, o polómo Algums forms de se ecotrr o polómo terpoldor P são trvés dos polómos de Lgrge e fórmul de Newto... Iterpolção Poloml de Lgrge... Polómo Iterpoldor: Exstêc e Ucdde Cosderemos um cojuto de potos (desgdos ós de terpolção) x, x,..., x, que estão ssocdos os vlores de um fução: f, f,..., f, respectvmete. Pretedemos ecotrr um polómo p( x ), tl que p( x ) = f, pr =,,...,. Escrevedo p x x x x ( ) = , otemos o sstem + x + x x = f ( x ) + x + x x = f ( x )... + x + x x = f ( x) (4) Otemos ssm o sstem ler: x... x f ( x )... f ( x ) x x = x... f ( x ) x em que mtrz do sstem é coecd como Mtrz de Vdermode. A solução do sstem forece os coefcetes do polómo. 6

17 Emor os coefcetes,, possm ser determdos pel solução de equções smultâes usdo um progrm de computdor, tl tettv ão é desejável por dus rzões. Prmer, ser ecessáro um progrm pr resolver um cojuto de equções leres, e, segud, solução por computdor pode ão ser exct. Felzmete, exstem mutos métodos pr determr Iterpolção Poloml sem resolver o sstem de equções leres. Métodos esses que estudremos ms frete. A exstêc e ucdde do polómo terpoldor é equvlete ssegurr que o sstem é possível e determdo pr qusquer x, x,..., x dsttos. O teorem segute mostr-os que o polómo terpoldor exste e é úco. Teorem.. Sej P o cojuto dos polómos de gru meor ou gul. Ddos + potos suporte dsttos ( x, y ), =,,...,, exste um e um só polómo p P tl que p ( x ) = y, =,,..., Demostrção: A exgêc de que o polómo vlores ods p, de gru meor ou gul, terpole os y os ós dsttos x, =,,...,, org que os coefcetes deste polómo stsfçm o sstem de equções leres de ordem + ( x ) = y, =,,...,. (5) = Pr que este sstem te solução úc é ecessáro e sufcete que respectv mtrz dos coefcetes, coecd por mtrz de Vdermode e defd por (,,..., ) V x x x x x... x x x... x =... x x... x possu um determte dferete de zero. O determte de Vdermode tem o vlor ( ) = ( j ) det V x, x,..., x x x, (7), j= j> como se pode demostrr por dução em. (6) Pr =, tem-se x V ( x, x ) = x verfc-se (7), pos det V ( x, x ) = x x. 7

18 Supomos que ele é verddero pr. Etão, multplcdo prmer colu por x e sutrdo o resultdo à segud colu, multplcdo segud colu por x e sutrdo o resultdo à tercer, etc., cegmos à guldde... x x x ( x x )... x ( x x ) det V ( x, x,..., x ) = det x x x ( x x )... x ( x x ) Desevolvedo este determte, temos que e, portto, x x... x x x... x det V ( x, x,..., x ) = ( x x )( x x )...( x x )det... x x... x ( ) = ( ) det V x, x,..., x ( x x )( x x )...( x x )det V x, x,..., x ( x j x ) det V ( x, x,..., x ) = j= det,,..., Aplcdo gor ( ) V x x x est mesm expressão e procededo ssm sucessvmete de modo recursvo, otém-se det V ( x, x,..., x ) = ( x j x ), j= j>. Atededo que x x j pr j, o determte d mtrz de Vdermode é ão ulo e pode coclur-se medtmete que o sstem tem solução úc.... Fórmul de Lgrge Um v drect (ão úc) pr costrur o polómo terpoldor se-se os polómos de Lgrge. Defção.. Os polómos de gru x x L ( x) =, =,,..., (8) x x = São desgdos por polómos de Lgrge ssocdos os ós x, x,..., x. Vmos ver que, recorredo os polómos de Lgrge, costrução do polómo terpoldor é um tref trvl. 8

19 Teorem.. O polómo terpoldor vlores ods y, y,..., y os ós dsttos x, x,..., x é ddo por p de gru meor ou gul que terpol os ( ) = ( ). (9) = p x L x y Demostrção: Pel su defção os polómos L stsfzem relção ( ) L x = δ, () j j em que δ j é o delt de Kroecer e tem o segute sgfcdo δ j = se = j. se j Nests codções Este polómo ( ) = ( ) = δ =, =,,...,. p x L x y y y j j j j j = = p, cujo gru é meor ou gul, terpol os vlores ddos e é, pelo Teorem.., o úco polómo terpoldor estes potos. Exemplo : Costrur o polómo terpoldor de gru que terpol os segutes vlores: x - y - 4 RESOLUÇÃO Os polómos de Lgrge ssocdos os ós ( x ; x ; x ) L L L x x L ( x) =, =,, x x ( x) ( x) ( x) = ( )( ) ( x x )( x x ) ( )( ) ( )( ) = = =. x x x x x + x x x = = = + ( )( ) ( x x )( x x ) ( )( ) ( )( ) x x x x x x x x + = = = 6 ( )( ) ( x x )( x x ) ( )( ) ( )( ) x x x x x x + x = = = + Assm sedo, pelo Teorem.., tem-se: 9

20 ( ) = ( ) = ( ) + ( ) + ( ) p x L x y L x y L x y L x y = x x x x + x x 9x 6 4x 4 = + 4 = x + 9x 6 8x 8 5x + 9x 4 = + = O polómo terpoldor é: 5 7 p ( x) = x + x 6 No Mple7 pode-se mplemetr um rot que permte determr esse polómo ( mplemetção está o exo). > lgrgepol(); Itroduz o úmero de ós serem utlzdos > ; Itroduz os ós >,-,; Itroduz os vlores ods >,-,4; O polómo de Lgrge, L, é, + + x x O polómo de Lgrge, L, é, + 6 x x O polómo de Lgrge, L, é, x 5 O polómo terpoldor é p(x)=, + 6 x x 7 Oservção : A fórmul de Lgrge pode ão ser represetção ms coveete do polómo terpoldor. Isto cotece, fudmetlmete por dus ordes de rzões ser:. É possível oter este polómo com meos operções rtmétcs que s requerds por quel fórmul;. Os polómos de Lgrge estão ssocdos um cojuto de ós e um mudç de posção ou do úmero destes ós lter completmete estes polómos.

21 Defção.. Sejm x, x,..., x... Dfereçs Dvdds + potos dsttos o tervlo [, ] vlores de um fução f os potos x = x, =,...,. Defe-se: [ ] =, =,..., f x y [,,..., ] f x x x = [,,..., ] [,,..., ], ode [ ] f x x x f x x x x x e sejm y, y,..., y + f x, x,..., x é deomd dfereç dvdd de ordem d fução os potos x, x,..., x. (Rodrgues,, p.6) Pr clculr s dfereçs dvdds de um fução f sore os potos x, x,..., x, costró-se segute tel: x x x Ordem f [ x ] f [ x ] Ordem Ordem Ordem [, ] = f x x f[ x] f[ x ] x x [, ] f [ x, x ] f x x f [ x, x, x ] = x x x f [ x ] [ ] f [ x ] f x f [ x, x ] = x x [, ] f [ x, x ] f x x f [ x, x, x ] = x x x f [ x ] [ ] f [ x ] f x f [ x, x ] = x x [, ] f [ x, x ] f x x f [ x, x, x4 ] = x x 4 4 [,..., x ] f x [,..., ] [,..., ] f x x f x x = x x x 4 x f [ x 4 ] f [ x ] [, ] f x x 4 [ ] f [ x ] f x = x x 4 4 Tel : Dfereçs dvdds

22 Teorem.4: Os coefcetes do polómo p de gru que terpol os vlores y, y,..., y os ós dsttos x, x,..., x são ddos dutvmete pel expressão [,,..., ] = f x x x = [,..., ] [,..., ] f x x f x x x x ( P, 995, p.5 ) () Demostrção: Desgemos por p m, o polómo de gru que terpol os vlores ym, ym,..., y os + m+ ós dsttos x, x,..., x m m+ m+. Etão, o polómo x x x x p ( x) = p ( x) + p ( x) x x x x,, () é um polómo de gru que terpol os vlores ods y, y,..., y os ós dsttos x, x,..., x, como fclmete se pode verfcr. Ddo que este polómo é úco, p cocde ecessrmete com p. Iguldo os coefcetes dos termos de mor gru os dos memros d expressão teror, fclmete se coclu que [,..., ] [,..., ] f x x f x x = f [ x, x,..., x ] = x x x x, o que prov vldde de (). Nests codções o polómo terpoldor, com dfereçs dvdds, ssume segute expressão: ( ) [ ] [ ]( ) [ ]( )( ) [,,..., ]( )( )...( ) p x = f x + f x, x x x + f x, x, x x x x x f x x x x x x x x x () A prtr d expressão (), temos em prtculr que: [ ] f x [, x ] f x [, x, x ] f x = f = = [,,, ] f x x x x [ ] f [ x ] f x x x [, ] [, ] f x x f x x = x x [,, ] [,, ] f x x x f x x x x x,

23 ..4. Fórmul de Newto Sej f um fução com dervds cotíus em[, ] té à ordem +. Sejm = x < x < x <... < x =, ( + ) potos. Costruremos o polómo p( x ) que terpol f ( x ) em x, x,..., x. Icremos costrução otedo p ( ) x que terpol f ( x ) em x = x. E ssm, sucessvmete costruremos p ( x ) que terpol f ( x ) em x, x,..., x, =,,...,. Sej p ( ) x o polómo de gru (zero) que terpol f ( x ) em x x =. Etão, p ( x) f [ x ] =. Pel defção de dfereçs dvdds, temos que, pr todo x [, ], x x [ ] [ ] f [ x ] f x f x, x =,pr x x x x [ ] [, ] [, ] f x x f x x f x, x, x =,pr x x x x x x [ ] [,...,, ] [,,..., ] : f x x x f x x x f x x x x = x x =,,...,,,pr,,..., x x () () () De () temos que: f ( x) = f [ x ] + ( x x ) f [ x, x] (#) De () temos que, f [ x, x] = f [ x, x ] + ( x x ) f [ x, x, x] e susttudo em (#) temos que: f ( x) = f [ x ] + ( x x ) f [ x, x ] + ( x x )( x x ) f [ x, x, x] Aplcdo o mesmo rcocío pr (),, () teremos que: p ( x) = f [ x ] + ( x x ) f [ x, x ] + ( x x )( x x ) f [ x, x, x] ( x x )... ( x x ) f [ x, x,..., x, x] (Ruggero & Lopes, 996, p. 8) (4) O polómo cm defdo cm-se polómo de terpolção pel fórmul de Newto os potos x, x,..., x. Exemplo : Determ o polómo terpoldor, form de Newto, que terpol os segutes vlores. (provetdo o exemplo ) x - y - 4

24 RESOLUÇÃO Costrudo tel de dfereçs dvdds, temos segute: x f [.] f [.,.] f [.,.,.] x = x = x = 4 7 f [ x ] =, f [ x ] =, [ ] [, x ] f x [, ] f x x [, x, x ] f x [ ] f [ x ] f x f x =, 4 = = = x x [ ] f [ x ] f x x x + = = = 7 f [ x, x ] f [ x, x ] 5 x x 6 = = = O polómo terpoldor de Newto é ddo por: [ ] [ ]( ) [ ]( )( ) p ( x) = f x + f x, x x x + f x, x, x x x x x 5 = ( x ) + ( x )( x + ) 6 Ou sej, 5 7 p ( x) = x + x 6 A mplemetção do lgortmo pr determção ds dfereçs dvdds o Mple 7 é fet trvés de um mtrz que depos forece expressão do polómo terpoldor. Segue su rot o Mple 7 ( mplemetção está o exo). > ewtopol(); ; Qutos ós serão utlzdos? Itroduz o vlor de cd um dos ós 4

25 ,-,;,-,4; Itroduz os vlores ods A MATRIZ CONTENDO AS DIFERENÇAS DIVIDIDAS É:, O polómo terpoldor de Newto é: p(x)=, + x 5 6 ( x ) ( x + ) Smplfcdo:p(x)=, + x x Oservção : A ordem pel qul os ós são tomdos é rtrár. Se pretedêssemos crescetr ms lgum ó os terores três, str colocá-lo o fudo d tel e clculr ms um l de vlores. As dfereçs dvdds terormete otds ão serm fectds. Se os vlores ods forem os vlores ods de um fução f, é possível estelecer um lgção mportte etre s dfereçs dvdds de ordem e dervd d mesm ordem d fução f...5. Iterpolção Ivers Dd tel: x x x x x f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) O prolem d terpolção vers cosste em: ddo ( ( ), ( )) f ( x) = y. Pr se resolver este prolem, cosder-se dos csos: y f x f x, oter x, tl que ) Oter p( x ) que terpol f ( x ) em x, x,..., x e em segud ecotrr x tl que p ( ) x = y. Exemplo : Cosder segute tel, ecotrr x tl que f ( x ) =. x,5,6,7,8,9, f ( x ),5,76,,4,77 4, 5

26 RESOLUÇÃO Como (,76;,), usremos terpolção ler sore x =,6 e x =,7. x x x x p ( x) = f ( x ) + f ( x ) x x x x x,7 x,6 =,76 +,,6,7, 7, 6 x,7 x,6 =,76 +,,, = 7,6( x,7) +, ( x,6) = 7, 6x + 46,9 +, x 48, =,6x, 4 p ( x ) =,6 x,4 4,4 Etão, p( x) =, 6x, 4 = x = =, 69769,6 Neste cso, ão cosegumos em mesmo fzer um estmtv do erro cometdo, pos o que semos é medr o erro em se proxmr f ( x ) por p ( x ), e qu queremos medr o erro cometdo sore x e ão sore f ( x ). ) Iterpolção vers Se f ( x ) for vertível um tervlo cotedo y, etão fremos terpolção de x = f ( y) = g( y). Um codção pr que um fução cotíu um tervlo [, ] sej vertível é que sej moóto crescete (ou decrescete) este tervlo. Se f ( x ) for dd form de tel, supodo que f ( x ) é cotu em ( x, x ), etão f ( x ) será dmtd como moóto crescete se f ( x ) < f ( x ) <... < f ( x ) e decrescete se f ( x ) > f ( x ) >... > f ( x ). Coforme dssemos cm, se codção teror for stsfet, o prolem de se oter x tl que f ( x) g y f x ( ) ( ) = y será fclmete resolvdo, se for otdo o polómo p ( y ) que terpol y y. = sore [ ], Pr sto, st cosderr x como fução de y e plcr um método de terpolção: x = f ( y) = g( y) p ( y). (Ruggero & Lopes, 996, p. 7 8) 6

27 ..6. Erros de Iterpolção Um questão que é ecessáro resolver é de ser que erro se comete qudo se terpol um fução f por um polómo p de gru utlzdo os ós dsttos x, x,..., x. Normlmete, o erro em proxmr fução f ( x) por um polômo terpoldor p ( x ), de gru meor ou gul, é ddo por: E ( x) f ( x) p ( x) = pr todo x de [ ] x x. O estudo do erro é mportte pr sermos quão próxmo f ( x) está de p ( x )., Exemplo 4: Iterpolção Ler de f ( x) e f ( x ). f(x) p (x) f (x )= f (x )=p (x ) f (x) f (x )= f (x )=p (x ) f (x) x x Fgur : Iterpolção ler (Ruggero & Lopes, 996, p.8) x O mesmo polómo p ( x) terpol f( x) e f( x ) em x e x. O erro = > = pr todo x de (, ) E ( x) f ( x) p ( x) E ( x) f ( x) p ( x) O erro depede d cocvdde d curv, ou sej, de Teorem.5: Sejm x < x <... < x, ( + ) potos. Sej f ( x ) com dervds té ordem ( ) f ( x) e f ( x ). x x. + pr todo x em [ ] Sej p ( x ) o polómo terpoldor de f ( x ) os potos x, x,..., x. Etão, em qulquer poto x pertecete o tervlo [ ],, x x. x x, o erro é ddo por: 7

28 ( ) = ( ) ( ) = ( )( ) ( ) E x f x p x x x x x... x x (Ruggero & Lopes, 996, p. 9) f ( + ) ( ξx ), ode ( ) ( + )!, x x x ξ. (5) Demostrção: Sej w( x) ( x x )( x x )... ( x x ), [, ] =. Etão, pr x x,,,..., x x x = =, temos f ( x ) = p ( x ), pos w( x ) E ( x ) cso o erro é ovmete ulo. Vejmos gor o cso de x x, =,,...,. Começdo por cosderr ( ) w x = ( x x )( x x )... ( x x ) Defmos um fução uxlr: w x F ( x) = e ( x) e x w x ( ) ( ) ( ) ( ˆ ) ( ˆ) w( x) ( ) ( ) w( xˆ ) = f x p ˆ ˆ x f x p x. A fução F ( x ) possu, pelo meos, os ( + ) zeros em [ ], = =, este x x. Aplcdo sucessvmete o Teorem de Rolle (que dz: se f é um fução cotu em [, ] com dervd ft em [, ] e f ( ) = f ( ) etão exste pelo meos um poto c ], [ tl que ( ) etão: + Etão, F ( ξ ) F ( x ) possu pelo meos + zeros em [ ] x x ; F ( x ) possu pelo meos zeros em [ ] F +,, x x ; ( x) possu pelo meos zero (sej ξ esse zero) em [ ] =, ou sej, ( ) w( xˆ )! f ( ξ ) f ( xˆ ) p ( ˆ x) =, pos, ( ξ ) ( ˆ) ( ) ( ˆ) ( ˆ ) + ( ξ ) ( ˆ) ( )! ( ˆ) ( ˆ ) + f ( ξ ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ) ( ˆ ) ( + )! f w x +! f x p x = f w x = + f x p x f x p x = w x = E x, f c = ), tem-se x x. p = e w = ( + )!. ( + ) ( + ) 8

29 Susttudo ˆx por x, escrevemos que: ( ) ( ) ( ) querímos provr. + f ( ξ ) ( + )! ( ) E x = f x p x = w x, como Estmtv do Erro de Iterpolção Dd fução f, ão podemos utlzr drectmete fórmul exct do erro de terpolção devdo o fcto de descoecermos ξ. No etto, podemos clculr um lmte superor do erro de terpolção. Um estmtv do erro que por vezes é útl é segute: ( e ( ) ) x f ( x) 4 ( + ) + + em que é o espçmeto máxmo etre ós cosecutvos. (P, 995, p.55).. Iterpolção de Hermte A terpolção poloml que se otém ds fórmuls de Lgrge ou Newto utlz como úc formção s csss e s ordeds telds. Se, dcolmete, se dspuser de formção sore s dervds d fução, pode melorr-se quldde d proxmção umetdo-se o gru do polómo terpoldor. Ess técc desg-se por terpolção de Hermte e, gerlmete, preset um meor tedêc pr comportmeto oscultóro. O ojectvo dest presete secção é determção dos coefcetes do polómo que terpole ão só os vlores d fução ms tmém ds dervds. Exemplo 5: Imgemos que se regstou velocdde de um utomóvel: t( s ) x( m ) v( m / s ) Como semos, velocdde é prmer dervd do deslocmeto em ordem o tempo: d v( t) = x( t), logo procurmos um fução que lém de terpolr os deslocmetos ( x ) dt tmém terpol s velocddes (v ), ssm estremos fzer um terpolção de Hermte. 9

30 Supomos que pretedemos costrur um polómo p que terpole os vlores d fução f e d respectv dervd f. Este prolem pode ser formuldo como, ddos os vlores d fução f e d su dervd x, x,..., x. Clculr p( x ) de tl modo que: f : y, y, y,..., y e y, y, y,..., y, os ós dsttos p x = y e p x = y = (6) ( ) ( ),,,,..., À semelç do que se fez Iterpolção de Lgrge, escrevmos o polómo terpoldor segute form: (7) = p( x) = U ( x) y + V ( x) y ode s fuções U ( x) e V ( x ) são polómos determr. Estes deverão stsfzer o segute: U ( x ) = δ, V ( x ) = U ( x ) =, V ( x ) = δ (8) Como s expressões (6) cosustcm ( + ) codções, é de esperr que o gru do polómo terpoldor sej +. Vmos tetr cegr à su expressão esdo segute form pr os polómos U ( x) e V ( x ), ode R e U x R x L x ( ) = ( ) ( ) V x S x L x ( ) = ( ) ( ) S são polómos de gru e (9) L são polómos de Lgrge de gru ssocdos os ós x, x,..., x. Itroduzdo ests relções s expressões (8), cegmos R x L x ( ) ( ) = δ R ( x ) L ( x ) + R ( x ) L ( x ) L ( x ) = S x L x ( ) ( ) = S ( x ) L ( x ) + S ( x ) L ( x ) L ( x ) = δ Como semos, de cordo com o teorem., o símolo δ é desgdo por delt Kroecer e tem o segute sgfcdo: δ = se = se Um vez que L stsfzem relção L ( x ) = δ, logo é fácl verfcr que ests relções são detcmete verdders pr. Pr = devemos ter que

31 R x R x L x ( ) =, ( ) = ( ) S x S x ( ) =, ( ) = Os polómos de gru que stsfzem ests equções são, como é fácl de ver, R x L x x x ( ) = ( )( ) S ( x) = x x () Teorem.6: O polómo de gru + que terpol os vlores y, y, y,..., y e s dervds y, y, y,..., y os ós dsttos x, x,..., x é ( ). (P, 995, p. 7) () = p( x) = L ( x )( x x ) L ( x) y + ( x x ) L ( x) y O polómo terpoldor de Hermte tmém pode ser otd form de Newto. Pr tl st cosderr que os ós x, x,..., x são susttuídos pelos ós x, x, x, x..., x, x, e que fz teder [, x ] x pr f x f ( x ) f ( x ) f x x f x x x = = x x x x lm, lm ( ). O polómo de Hermte form de Newto pss escrever-se x, =,,...,, de tl modo que [ ]( ) [ ]( ) [,,, ]( ) ( ) [,,...,, ]( ) ( )...( ) ( ) H ( x) = f ( x ) + f x, x x x + f x, x, x x x + + f x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x Pr o polómo cúco de Hermte podemos estelecer um tel de dfereçs dvdds com segute cofgurção: x x f x x x f f f [.,.] ou D f [.,.,.] ou [, ] = f x x f f f [ x, x, x ] D f [.,.,.,.] ou D f [ x, x ] f [ x, x, x, x ] f f [ x, x, x ] [, ] = f x x f Tel : Polómo cúco de Hermte trvés de dfereçs dvdds ()

32 Exemplo 6: Com f ( x) = l ( x), clculr um proxmção pr (.5) f usdo terpolção cúc sedo que: f f = = f = () l() ; () = = f = () l().6947 ; ().5 (um vez que dervd de f ( x) l ( x) = é f ( x) = ). x Usdo o teorem do erro de terpolção, determ um estmtv pr o lmte superor do erro soluto cometdo proxmção. RESOLUÇÃO Pr ser possível utlzr terpolção cúc temos de recorrer à terpolção de Hermte. O polómo de Hermte form de Newto é ddo pel expressão (). Costrudo tel de dfereçs dvdds temos: x x = f = f f [.,.] f [.,.,.] f [.,.,.,.] x = f = x = f = x = f = x =, x = [, ] f x x = f = f [ x ] f [ x ].6947 f [ x, x ] = = =.6947 x x [, ] f x x = f =.5 f [ x, x ] f [ x, x ].6947 f [ x, x, x ] = = =.685 x x f [ x, x ] f [ x, x ] f [ x, x, x ] = = =.947 x x f [ x, x, x ] f [ x, x, x ].947 (.685) f [ x, x, x, x ] = = =.76 x x

33 O polómo terpoldor de Hermte de gru de f, form de Newto, é ddo por: [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) ( ) H ( x) = f ( x ) + f x, x x x + f x, x, x x x + f x, x, x, x x x x x Assm, H x x x x x ( ) = + ( ).685( ) +.76( ) ( ) Portto, f (.5) = l(.5) = e H = + + =.4974 (.5) (.5 ).685(.5 ).76(.5 ) (.5 ) Logo f (.5) H(.5) = Estmtv do Erro O teorem do erro de terpolção cotu váldo o cso d terpolção de Hermte. A + fução f deverá ser de clsse C ([, ] ) e pr qulquer x [, ], exste um (, ) tl que: ( ) ( ) ( + f ) ( ξ ) ( ) ( ) ( ) ( + )! e ( x) f x H x = x x x x... x x x x x x x x = w. ode ( ) ( ) ( ) ξ, () Assm, do exemplo 6: Sedo mx x [, ] ( 4 ) ( ) e f x = M Podemos escrever, Ms, ( ) ( 4 ) ( ξ ) ( ) ( ) ξ ( ) f.5 =.5.5,, 4! M e 4! 4 (.5).5 x (4) 6x 6 (5) 4 f ( x) =, f ( x) =, f ( x) = =, f 4 ( x) = =, f ( x) = x x x x x x x Como 4ª dervd é um fução moóto, o máxmo cocde com o extremo do tervlo. Verfc-se que:

34 (4) 6 (4) 6 f ( ) = = 6 e f 4 ( ) = =.75 4 Logo [, ] ( 4 ) ( x) mx f = 6 x ! Etão, e ( ) e ( ) 4.4. Iterpolção com Fuções Sple (ou Iterpolção Segmetd) A orgem do ome sple vem de um régu elástc, usd em deseos de eger, que pode ser curvd de form pssr por um ddo cojuto de potos ( x, de sple. y ), que tem o ome A álse revelou que ests régus produzm curvs cuj equção er um polómo do tercero gru seccolmete cotíuo, cocretmete com dervds cotíus té à segud ordem, ms com dervds descotíus d tercer ordem em dte. A prmer defção rgoros deste tpo de fuções surge em 946 por Scoeerg. Mtemtcmete, Sples são defds como sedo polómos segmetdos de gru cujos vlores d fução e sus prmers dervds cotíus pssm os potos ode se jutm. A proxmção por Sple é um terpolção trvés de um clsse de fuções de coordeds, s qus podem ser descrts como um cojuto de polómos cúcos segmetdos com juções suvzdos. Em vez de proxmr um dd fução ( ) f x sore um tervlo (, ) por um úco polómo, é possível dvdr (, ) em sutervlos (, x )( x, x ),...,( x, ) proxmr f ( x ) por um polómo dferete em cd sutervlo. e Fzedo y = f ( x) ser equção pr curv qul é defd pel Sple e so certs póteses (de cordo com teor d elstcdde) curv defd pel régu pode ser descrt 4

35 proxmdmete como sedo um fução por prtes, cd qul, um polómo cúco, de tl form que f ( x ) e sus dus prmers dervds são cotíus em qulquer poto. A tercer dervd, etretto, pode ter descotuddes os potos x. Tl fução é um Sple cúc terpoldor com os ós os potos dte. x, de cordo com defção que remos ver ms Se fução f ( x ) está teld em ( + ) potos e proxmrmos por um polómo de gru que terpol sore os potos teldos, o resultdo dess proxmção pode ser desstroso. Um ltertv é terpolr f ( x ) em grupos de poucos potos, otedo-se polómo de gru meor, e mpor codções pr que fução de proxmção sej cotíu e te dervds cotu té um cert ordem. A de ásc cosste em plcr terpolção em cd segmeto, usdo dferetes polómos terpoldores de xo gru pr terpolr sucessvos pres de ddos. Defção.4: Cosdere fução f ( x ) teld os potos x < x <... < x. Um fução S p ( x ) é deomd sple de gru p com ós os potos x, =,,...,, se stsfzer s segutes codções: ) Em cd sutervlo [ ] S ( ) p x. x, x +, =,,..., ( ), S ( x) é um polómo de gru p : p ) S p ( x ) é cotu e tem dervd cotu té ordem ( ) Se, lém dsso, S ( x) tmém stsfz codção: p p em [, ]. c) S ( x ) = f ( x ), =,,...,, etão será deomd sple terpoldor. (Ruggero & p Lopes, 996, p.45).4.. Sple Iterpoldor de Gru Zero O Sple ms smples correspode o cso m =. De cordo com defção, o Sple de gru m = cocde em cd sutervlo Ω com um costte e pertece C ( Ω ). 5

36 Defção.5: Desgemos por zero cocde em cd sutervlo Ω = [ x, x [. É óvo que: sutervlo S o polómo de gru zero com o qul o Sple S de gru S ( x) = y, x x < x, =,,...,, e em que y é o vlor do Sple o Ω. Pr costrur este sple é precso tomr um opção reltvmete à escol dos vlores dos y s. Se o sple terpolr um fução f C ( Ω ) podemos escoler potos Ω e fzer S ( x) = f ( ), =,,...,. Os csos ms vulgres são tomr o extremo esquerdo do sutervlo,.e., = x ou o extremo dreto,.e., = x, ou o poto médo,.e., x + x =. (P, 995, p.78) Teorem.7: Sej f C e S p, ( Ω). Etão, o erro de terpolção de f por S é mjordo por,, o cso de os ós de terpolção e f ou e f cocdrem com os extremos dos sutervlos ou com os potos médos dos sutervlos, respectvmete. (P, 995, p.78).4.. Sple Iterpoldor Ler (ou Sple de gru um) Defção.6: A fução sple ler terpoldor de f ( x ), S ( x ), os ós x, x,..., x pode ser escrt em cd sutervlo [ ] Verfcção: ) ( ) x,,,,..., x = como x x x x S ( x) = f ( x ) + f ( x ), x x, x [ ] x x x x S x é polómo de gru em cd sutervlo [ x x ] ) ( ) S x é cotu em ( x x ), defd, pos: S ( x) S ( x) f ( x ) S( x) é sple ler; +,. (4), por defção;, por defção, e, os ós x, relmete S está em = = é cotu em [, ] e, portto, S ( x ) 6

37 c) S ( x ) = s ( x ) = f ( x ) S ( x) é sple ler terpoldor de f ( x ) os ós x, x,..., x. (Ruggero & Lopes, 996, p.46) Exemplo 7: Ecotrr fução sple ler que terpol fução teld: x 4 6 f ( x ).5 RESOLUÇÃO x =, x =, x = 4, x = 6 x x x x S ( x) = f ( x ) + f ( x ) x x x x x x = + = x + x = x, x, [ ] x x x x S ( x) = f ( x ) + f ( x ) x x x x 4 x x = + = (4 x) + x = (8 x), x, x x x x S ( x) = f ( x ) + f ( x ) x x x x 6 x x 4 x 4 = +, 5 = 6 x +,5, x 4, [ ] [ ] Teorem.8: sej f C e S P, ( Ω). Etão, o erro de terpolção de f por S é mjordo por e 8 f. (P, 995, p.79).4.. Sple Iterpoldor Qudrátco A Sple ler preset desvtgem de ter prmer dervd descotíu os ós. Se usrmos Sples qudrátcs, teremos que S ( ) x tem dervds cotíus té ordem e portto curvtur de S ( x ) ão é suve os ós. (Ruggero & Lopes, 996, p.48) Exemplo 8: Sej fução f defd por: 7

38 f ( x) x + x pr x = [ ] [ ],, x pr x Not que fução f e su prmer dervd são cotíus em x =. Cotudo, su segud dervd, em x =, ão é cotíu. Grfcmete Grfcmete, vemos descotudde d segud dervd (curvtur). Cosdere gor stução em que f ( x) e su prmer dervd são cotíus em x =, cotudo ocorre mudç de sl d segud dervd em x =. Est é stução que ocorre o juste de sple qudrátc. Grfcmete: f ( x) x + x pr x [ ] [ ], = x + 8x 5 pr x, Pr grtr que dervds de ordem m sejm cotíus os ós, têm de ser utlzdos sples com ordem pelo meos m +. Polómos de tercer ordem ou sples cúcs grtem cotudde ds dervds de prmer e segud ordem e são muto utlzdos prátc. Vmos lustrr o coceto de terpolção com sples utlzdo polómos de segud ordem. Estes sples qudrátcos têm prmer dervd cotíu os ós. Emor sples qudrátcos ão grtm seguds dervds gus os ós, servem pr demostrr o procedmeto gerl pr desevolver sples de ordem superor. 8

39 O ojectvo dos sples qudrátcos é rrjr um polómo de segud ordem pr tervlo etre vlores. O polómo pr cd tervlo pode ser represetdo de um modo gerl por: S x = x + x + c = (5) ( ),,..., Com + potos tem-se tervlos e cosequetemete costtes descoecds. Como tl são ecessárs equções pr clculr s costtes descoecds. Ests são:. O vlor ds fuções tem que ser gul os ós,.é., S x x x c f x ( ) = + + = ( ), S ( x ) = x + x + c = f ( x ), =,..., Como só os ós terores são utlzdos temos + = codções.. A prmer e últm fução têm que pssr os ós fs. S ( x ) = x + x + c = f ( x ) S x x x c f x ( ) = + + = ( ) Temos etão ms dus codções.. A prmer dervd os ós terores tem de ser gul. S ( x) = x + S ( x ) = x + = x + = S ( x ), =,..., Temos etão ms codções. Até gor temos + + = codções. Como temos costtes descoecds temos que rrjr ms um codção. Se ão tvermos ms eum formção dcol sore s fuções e s sus dervds, temos que fzer um escol rtrár pr clculr s costtes. Apesr ds escols que podem ser fets serem úmers, por smplcdde: 4. Assummos que segud dervd d prmer fução é zero. Como =. S ( x) = etão Exemplo 9: Ajustr um Sple Qudrátco os ddos d tel segute e usr o resultdo pr estmr em x = 6. x f ( x )

40 RESOLUÇÃO Temos = tervlos, como tl vmos ter = = 9 codções que são: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x + x + c = f x x + x + c = f x x + x + c = f x x + x + c = f x x + x + c = f x x + x + c = f x x + = x + x + = x + = ( ) + + c = ( 4.5) c = ( 7) c =.5 ( 7) c =.5 ( ) + + c =.5 ( 9) c = = = 7 + = c = c = c = c = c = c = = = 4 + = Como =, o prolem resume-se resolver oto equções smultemete. Em form de mtrz temos: c = c c Resolvedo o sstem teror otém-se: =, =, c = 5.5, =.64, = 6.76, c = 8.46 =.6, = 4.6, c = 9. Temos etão os sples qudrátcos: = + [ ] = + [ ] S ( x ) x 5.5, x, 4.5 S ( x ).64 x 6.76 x 8.46, x 4.5, 7 S x x x x [ ] ( ) = , 7, 9 Como 6 [ 4.5, 7]. Logo, temos etão que S (6) = =.94. 4

41 Como podemos costtr, se usrmos Sples qudrátcos, teremos que S ( ) x tem dervds cotíus pes té ordem e, portto, curvtur de S ( ) x pode trocr os ós. Por est rzão, os Sples qudrátcos são poucos utlzdos Sple Iterpoldor Cúco Mtemtcmete é possível costrur fuções poloms de gru, S ( x ), em cd tervlo [, ] x x +, de tl form que curv segmetd resultte segud dervds sejm cotus em todo o tervlo [ x, x ]. S e s sus prmer e A sple ler preset desvtgem de ter prmer dervd descotíu os ós. Se usrmos sples qudrátcs, teremos que S ( ) x tem dervds cotíus pes té ordem e, portto, curvtur de S ( ) x pode trocr os ós. Por est rzão, s sples cúcs são s ms usds. Um sple cúc S ( x) é um fução poloml por prtes, cotíu, ode cd prte S ( x ) é um polômo de gru os tervlos [ x x ] Como S ( ) curvtur os ós.,. x tem prmer e segud dervds cotíus, logo ão tem cos e ão troc O ojectvo d terpolção por sple cúc é oter um fórmul de terpolção que é suve prmer dervd e cotíu segud dervd (tto o teror do tervlo como froter). Defção.7: Dd fução f defd em [, ] e um cojuto de úmeros, = x < x <... < x =, defe-se um sple cúc terpoldor de f, fução S que stsfç s codções: ) S é um polómo cúco, represetdo por =,,..., S x f x ) ( ) = ( ), =,,..., c) ( ) ( ) S x = S x, =,,..., S x = S x, =,,..., d) ( ) ( ) S o sutervlo [, ] x x + pr cd 4

42 e) ( ) ( ) S x = S x, =,,..., f) Um ds codções é stsfet se: S x = S x = _ Sple cúc turl ( ) ( ) Ou S ( x ) f ( x ) S ( x ) f ( x ) = = _ Sple cúc completo Costrução d sple cúc Pr costrurmos sple cúc teremos de plcr s codções terormete referds à defção de polómo cuco: ( ) ( ) ( ) ( ) S x = + x x + c x x + d x x, =,,..., (6) Cosderemos: = x + x Aplcdo codção ), temos que: ( ) = ( ) = ( ) S x S x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S x = + x x + c x x + d x x = ` S x = f x =, =,,..., Aplcdo codção c) ( ) = ( ) S x S x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + ( ) + ( ) + ( ) S x = + x x + c x x + d x x = ` S x x x c x x d x x c d = , =,,..., Sedo que dervd de S( x ) é: ( ) ( ) S ( x) = + c x x + d x x, =,,..., Aplcdo codção d) ( ) ( ) S x = S x, =,,...,

43 ( ) = + ( ) + ( ) S x c x x d x x ( ) = + ( ) + ( ) S+ x + + c + x + x + d+ x + x + ( ) S x = = + c + d Etão, c d = + + +, =,,..., Clculdo ª dervd de S( x ), otemos: ( ) ( ) S x = c + 6 d x x, =,,..., Aplcdo codção e), teremos ( ) ( ) S x = c + 6d x x = c ( ) = + 6 ( ) S x c d x x + + ( ) ( ) S x = S x = c = c + 6d Etão, c = c + d, = +,,..., Assm, cegmos às expressões: () c d = = +,,..., () c + d,,,..., () c c + d,,,..., De () otém-se d c + c = e susttudo em () e em (), otemos c c = + + c + c c = c + c + = + c + + c c + c = c + = + + ( c + c + ), =,,..., + = + ( c + c + ) Este sstem pode ser reduzdo um equção sedo que ª equção tmém se escreve 4

44 () ( ) = + c + c (*) E que d ª equção do sstem se otém: e + = + + ( c + c + ) = c + c ( ) + + = c + c ( ) Susttudo ests dus expressões em (), otém-se c + + c + c =, =,,..., ( ) ( ) ( ) + + Est expressão represet um sstem de equções leres de equções e + cógts c, c,..., c. c + ( + ) c + c = ( ) ( ) c + ( + ) c + c = ( ) ( )... c + + c + c = ( ) ( ) ( ) Pr se resolver este sstem ecesstmos de ms equções. Aplcdo etão codção f): S x S x = = (I) sple turl: ( ) ( ) ( ) ( ) S x c d x x c = + 6 = ( ) ( ) S x c d x x c = + 6 = E o sstem será: 44

45 c = c + ( + ) c + c = ( ) ( ) c + ( + ) c + c = ( ) ( )... c + + c + c = c = ( ) ( ) ( ) Este sstem de equções pode ser escrto form mtrcl:... c ( )... c + ( + )... c... = ( + ) c... c ( ) ( ) ( ) ( ) =... ( ) ( ) Ac =, que será resolvdo c = A. c, c,..., c são s cógts determr, A e são coecdos. (II) sple complet: S ( x ) = f ( x ) S ( x ) = f ( x ) ( ) ( ) ( ) ( ) S x = f x = + c x x + d x x = ( ) ( ) ( ) ( ) S x = f x = + c x x + d x x = 45

46 Ms como Logo, e portto = c + c ( ) + + f x c c ( ) = = ( + ) c + c = f x Tmém, pelo (*) Logo como e ( ) ( ) ( ) = + c + c () f ( x ) = = + ( c + c ) = c + c ( ) + + = c + c (**) ( ) Susttudo est ª expressão (**) em () otém-se, e flmete f x c c c c ( ) = ( + ) + ( + ) f x = c + c + c + c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x = c + c + c + c c + c = f x c + c = f x, =,,..., ( ) ( ) 46

47 O sstem será: c + c = ( ) f ( x ) c + ( + ) c + c = ( ) ( ) c + ( + ) c + c = ( ) ( )... c + + c + c = c + c = ( ) f ( x ) ( ) ( ) ( ) Este sstem de equções pode ser escrto tmém form mtrcl. Exemplo : Clculr um sple cúc turl que terpol os potos: x f ( x ) RESOLUÇÃO Um vez que sple cúc é dd pel expressão: ( ) ( ) ( ) ( ) S x = + x x + c x x + d x x, =,,..., Temos que clculr os,, c e d, =,,...,, que costtuem os coefcetes dos polómos S. - Como semos os são clculdos de = f ( x ) =, =, =, =, = Etão 4 - Os são clculdos de = x + x =, =, = e = 4 Estmos em codções de clculr mtrz A e o vector. ( + ) 8 A = = ( + ) 8 6 ( + ) 47

48 ( ) ( ) 5 = = 5 ( ) ( ).5 ( 4 ) ( ) Depos clculmos os c c = A A = = = = c A Agor vêem os = c + c ( ) + + = ( c + c ) = (.) =.7 = ( c + c ) = ( (.) +.6) =.8 = ( c + c ) = (.6.) =.75 = ( c + c ) = ( (.) + ) =

49 Etão,.7.8 =.75.6 E por últmo clculmos os d, =,..., d d d d d c + c = c c. = = = c c.4.6 (.) = = = c c..6 = = = c c (.) 4 = = = Logo,.4. d = O resultdo é ( ) ( ) ( ) ( ) S x = + x x + c x x + d x x, =,,..., Como temos 4 sudvsões do tervlo [,8], dode = 4, e portto temos de determr ( ), ( ), ( ) ( ) S x S x S x e S x, pr ( ) =. ( ) = + ( ) + ( ) + ( ) S x x x c x x d x x = + + = + [ ] ( x ) ( x ).4( x ).4( x ), x, ( ) = + [ ] S x 5( x ).( x ).( x ), x, 5 ( ) = + + [ ] S x 5( x 5).6( x 5).787( x 5), x 5, 6 ( ) = + [ ] S x.5( x 6).( x 6).7( x 6), x 6, 8 49

50 Erro de Iterpolção pr fuções Sple Cúcs 4 Teorem.9: sej [ ] terpoldor de f em x, x,..., x. Se f C x x e x x x, < <... <. Sej S fução sple cúc e se mx [, ] x x x ( 4 ) ( ) f x M etão mx [, ] x x x ( ) = x x mx + 5 f ( x) S ( x) M 84 4 e mx [, ] x x x f ( x) S ( x) M. 4 5

51 CAPÍTULO II INTEGRAÇÃO NUMÉRICA.. Itrodução Dd um fução f defd um tervlo fto [, ], desejmos clculr o tegrl defdo por f ( x) dx, (7) dmtdo que f é tegrável. Se f ( x) em [, ], o tegrl (7) tem o vlor de áre lmtd pel curv y = f ( x), pelo exo dos XX e s rects x = e x =. Se for possível ecotrr um fução F tl que tegrl utlzdo relção F = f etão podemos clculr o vlor do f ( x) dx = F( ) F( ). Muts vezes ão é possível ecotrr um fução F, e, mesmo se F for ecotrd, pode d ssm torr-se ms coveete utlzção dum método umérco pr estmr o vlor de (7), prcplmete o cso de F exgr grde esforço de computção. Se ão é possível determr F ou se f for coecdo pes um úmero fto de potos métodos umércos, que estudremos este cpítulo, pr proxmr o vlor de (7). x, utlzmos O processo óvo cosste em susttur fução tegrd f de (7) por um polómo terpoldor p que proxm e tegrr o polómo. (Ros, 98, p.9) 5

52 Defção.: Sej f ( x ) um fução cotíu um tervlo [, ]. Sej F( x ) su prmtv. Etão, tegrl de f ( x ) o tervlo [, ] é ddo por: f ( x) dx = F( ) F( ). A de ásc de tegrção umérc é susttução d fução f ( x ) por um polómo que proxme rzovelmete o tervlo [, ]. Assm o prolem ser resolvdo pel tegrção trvl de polómos. Com este rcocío queremos um fórmul pr proxmr f ( x) dx do tpo: f ( x) dx A f ( x ) + A f ( x ) A f ( x ), x = [, ], =,,...,. cmdos pesos d regr. (Ruggero & Lopes,, p. ) ode os A são Como podemos costtr, tegrção umérc mplc susttur o tegrl por um som, fzedo-os lemrr o Itegrl de Rem. Exemplo : Um exemplo smples é proxmr fução por rects terpoldors os potos e. Fgur : Regr de trpézo Clro que, este cso, proxmção pode estr desjustd, e podemos melorr proxmção, usdo, por exemplo, um polómo de gru superor ou um sple ler. 5

53 Iteresse d tegrção umérc: Qudo ão se coece expressão lítc de f ; Qudo ão coecem expressões lítcs de prmtvs de f ; Qudo o cálculo de prmtvs de f é dspedoso. NOTA : De cordo com o vlor de (úmero de ós) e d loclzção dos ós o tervlo [, ], ssm é otdo s dferetes regrs de tegrção... Regrs áscs Cosstem em proxmr o tegrl de f em [, ] pelo tegrl de um polómo terpoldor de f um cojuto de ós em [, ]. Sej p o polómo de gru que terpol f os ós x < x <... < x, pertecetes [, ]. Represetdo este polómo form de Lgrge, otém-se =, p ( x) f ( x ) L ( x) = ode L são os polómos de Lgrge. Etão, I( p ) = p ( x) dx = f ( x ) L ( x) = f ( x ) L ( x) dx. = = Defdo A, pr =,,...,, como A = L ( x) dx, verfc-se que logo o tegrl de f será proxmdo d segute form I( p ) = A f ( x ), e = I( f ) A f ( x ), = ou sej, por um comção ler dos vlores de f os ós. Os coefcetes ( A ) dest comção ler (tmém desgdos por pesos) pes depedem dos ós escoldos. Escoledo dferetes úmeros de ós e dferetes loclzções destes otém-se dferetes regrs de tegrção que em segud remos estud-ls. 5

54 ... Regrs de rectâgulo Nests regrs, o tervlo de tegrção [, ], é prtcodo em sutervlos o teror de cd qul fução tegrdo é proxmd por um polómo de gru zero, sto é, por um costte dequd. Supo-se que o tervlo de tegrção se ecotr prtcodo um úco sutervlo. Etão, o procedmeto descrto terormete coduz-os às proxmções do tegrl defdo procurdo que segudmete se presetm. Comecemos pelo cso ms smples, o do polómo de gru = que terpol fução f o poto x. Etão, e portto, p ( x ) = f ( x ), I( f ) = I( p ) = f ( x ) dx = ( ) f ( x ) (8) O vlor do tegrl fo deste modo susttuído pelo vlor d áre de um rectâgulo de ldo e ltur f ( x ). E ests fórmuls de tegrção são desgds por regrs do rectâgulo. Algus csos prtculres ds regrs do rectâgulo se x ) Regr do rectâgulo à esquerd I ( f ) = f ( x ) dx f ( ) dx = ( ) f ( ), (9) =, ou sej, se x cocdr com extremo esquerdo do tervlo. Exemplo : Iterpretção geométrc Fgur : Regr do rectâgulo à esquerd (P, p. 9) ) Regr do rectâgulo à dret I ( f ) = f ( x ) dx f ( ) dx = ( ) f ( ), () 54

55 se x =, ou sej, se x cocdr com extremo dreto do tervlo. Exemplo : Iterpretção geométrc Fgur 4: Regr do rectâgulo à dret (P, p. 9) Um vez que est regr é sed um proxmção frágl do tegrdo, su exctdão é x. Se proxmrmos f ( x ) do seu vlor o cetro do tervlo cegmos à regr do poto médo. (Ls & Wg, p. )... Regr do poto médo + Se proxmrmos f ( x ) do seu vlor o cetro do tervlo, ou sej, x =, à regr coecd por regr do poto médo, que é ddo pel expressão: + ( ) + () I ( f ) = f ( x ) dx = f dx = f Est regr é de gru um. Est ocorrêc serve pr lertr de que o gru de exctdão de um regr de tegrção ão tem de cocdr ecessrmete com o gru do polómo terpoldor utlzdo su costrução. Um álse à terpretção gráfc dests dus regrs smples, rectâgulo e poto médo, fgurs (5) e (6), sugere que regr do poto médo é superor à regr do rectâgulo. (Ls & Wg, p. ) Exemplo 4: Iterpretção geométrc (Ls & Wg, p.) + Fgur 5: Regr do rectâgulo Fgur 6: Regr do poto médo 55

56 ... Regr do trpézo A regr de trpézo cosste em se proxmr o vlor d fução cotíu de f ( x ) o tervlo [, ] por um fução de prmer ordem, sto, geometrcmete, é equvlete proxmr um curv qulquer por um rect. Dest form, áre so fução f ( x ), que é equvlete à tegrl dess fução, é proxmd pel áre do trpézo cuj lrgur é gul (, ) e ltur méd gul ( ) + f ( ) f. Ns fórmuls terores, s fuções tegrds erm proxmds em cd sutervlo, por polómos de gru zero. A cmd regr de trpézo cosste em cosderr um polômo de prmero gru que proxm um fução f ( x ), ou sej, =. Este polômo terá form y = + x e trt-se d equção que ue dos potos: = x e = x. Se proxmrmos f de um fução ler, terpoldo os potos e. Assm, f ( x) dx [ f ( ) + f ( ) ] (Ls & Wg, p. ) O ome regr de trpézo surge porque proxmmos áre dexo de um curv de um trpézo. Exemplo 5: Iterpretção geométrc Fgur 7: Regr do trpézo Sej p o polómo de gru terpoldor de f os ós e, sto é, form de Newto e portto p ( x) = f ( ) + f [, ]( x ) ( x) dx = f ( ) dx + f [ ]( x ) p, dx 56

57 Otém-se = f = f ( )( ) [ ] ( ) x + f, ( )( ) [ ] ( + f, ) ( )( ) = f + ( ) ( ) ( ) f f ( ) f ( ) ( ) f = f ( )( ) + = ( ) f ( ) + ( ) f ( ) f ( ) + ( ) ( ) f f f = ( ) ( ) ( ) f ( ) = f + f ( x) dx [ f ( ) + f ( ) ] () Est fórmul () é coecd por regr do trpézo...4. Regr de Smpso A regr de Smpso cosste proxmção d fução cotíu ( ) f x o tervlo [, ] por um fução de segud ordem, ou sej, proxmção de um curv por um práol. + Ao proxmrmos f de um terpolção qudrátc os potos, c e, com c =. + Assm, teremos, ( ) ( ) ( ) f x dx f + 4 f 6 Exemplo 6: Iterpretção geométrc: + f. (Ls & Wg, p.) Fgur 8: Regr de Smpso 57

58 + Sej p o polómo de gru terpoldor de f os ós, c e, com c =. Tem-se p ( x) = f ( ) + f [, c]( x ) + f [, c, ]( x )( x c) Efectudo os cálculos ecessáros, cegmos à expressão p ( x) dx = [ f ( ) + 4 f ( c) + f ( ) ], () 6 otedo-se desgd regr de Smpso: f + ( x) dx f ( ) + 4 f + f ( ) 6 (4)..5. Regrs de Newto Cotes Tods s regrs presetds têm como crcterístc comum de recorrerem polómos terpoldores d fução tegrd em ós equdsttes o tervlo de tegrção. Se coturmos determr polómos terpoldores de ós equdsttes oteremos fmíl de regrs de Newto-Cotes: Com x = +, I f = f x dx f x (5) d = ( ) ( ) ( ) =,,...,, = Not: Os coefcetes são smétrcos ( = ). A tel segute reúe lgums dests regrs Regr d 4 Trpézo Smpso 6 4 Três Otvos 8 Boole ( ) Tel : Fórmuls de Newto-Cotes ( ) 58