ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
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- Bernadete Teresa Sá
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1 ESCO POIÉCNIC D UNIVERSIDDE DE SÃO PUO PQI álse de Processos d Idústr Químc Egehr Químc. EPUSP el 9 ; F 88; v.prof. uco Gulerto, trv. º8 CEP 8-9 São Pulo SP Brsl. SogWo.Pr@pol.usp.r.. Prof. Sog Wo Pr Sstems de mtrzes e soluções de sstems lgércos. Oetvos d ul: Revsão de sstems de mtrzes. Itroduzr os cocetos de utovlores e utovetores ds mtrzes qudrds Ilustrr o coceto de decomposção em vlores sgulres pr mtrzes ão qudrds I INRODUÇÃO Equções lgércs leres Cosdere um sstem ser resolvdo, m m m m IV- Por smplcdde d ul, cosdere m e stetcmete, IV- em-se mtrz umetd [ ] M O M M IV-
2 solução do sstem depede d ordem crcterístc: Codção Sstem ão-homogêe Sstem homogêe r Solução úc Solução úc e ão-trvl r < - Iftos coutos de soluções r < e r r [ ] Iftos coutos de soluções - r < e r < r [ ] Não tem solução Um equção lgérc ler. tem solução dret. Pr um sstem de equções lgércs leres,., solução é otd umercmete trvés de :. Método gerl -.. Método de Guss-Jord. Método de trgulrzção Elmção de Guss. Ftorzção U lower-upper O método de determção pel vers, lém de cosumr ms operções em versão e multplcção mtrcl, ão é recomedável coforme lustrdo o eemplo : : : O método de Guss-Jord evolve operções elemetres pr segute trsformção: opercoeseleme tressorelhs [ M ] [ IM ] Not-se log com versão de mtrz sem o etto produzr eplctmete um vers. O método de trgulrzção v Elmção de Guss é stte cohecdo. técc evolve 'elmção p/frete' : pr e pr
3 'susttução p/trás' : < se / se / Chm-se de elemeto de pvotção, o elemeto rr d mtrz que é utlzdo pr operr lh r e elmr os elemetos r ode r r,,,. É possível selecor est r- esm lh trvés de permutção e outrs operções elemetres de multplcção e susttução. ftorzção U, que pode ser vst tutvmete como um 'geerlzção' d elmção de Guss, preset vtges de mor precsão, rpdez, fcldde pr cálculos de -.,., e preserv ms estrutur d mtrz orgl sto é, se tem mutos elemetos zeros, su vers smples - ão os preset ms decomposção e U os preset. N ftorzção U mtrz é decompost em P..U ode : P : mtrz de permutção : mtrz trgulr feror lower U : mtrz trgulr superor upper resolução é otd em três etps : PU Pz otém-se z U z z otém-se U tém-se mtrz P é pes um reordemeto d mtrz de modo que os elemetos ms sgfctvos estem dgol prcpl pvotção prcl. EXEMPO II-. Sstem lgérco z z z z z z......
4 Epermete resolver este eemplo com lgermete modfcd e com elmção de Guss SEM PIVOÇÃO : Erros e Resíduos. Se um equção. com solução et e solução et otd umercmete. O erro é : e - et O resíduo é : r -. et EXEMPO II-. Erros e resíduos cu solução et é.. Pelo método de elmção de Guss, com precsão de dígtos, tem-se :.8 portto..8 et et O resíduo é r - et Mso erro é e - et portto muto pequeo , portto muto grde. Neste eemplo o erro é muto grde porque mtrz é ml-codcod próm de sgulr. Bos pcotes umércos levm este fto em cot, trvés do úmero de codção de mtrz. No eemplo ddo em Brett 9 dfereç dd em e 9 crret em um grde dfereç solução: 9 tem solução
5 e 9 9 tem solução 8 Se mtrz é smétrc, pode-se provetr propredde pr fzer uso d decomposção de Choles :., cu decomposção é muto ms rápd que o método de decomposção.u. Se mtrz é esprs, ou se, com mutos elemetos zeros, pode-se eplorr esprsdde pr celerr resolução e ecoomzr memór. Se mtrz é trdgol, pode-se usr o lgortmo de homs: c c c d d d lgortmo de homs: I. w ; g d /w II. pr,,... q - c -/w - w - q - g d - g - /w III. g IV. pr -, -,...,. g -q emre-se porém que qu são presetdos pes os lgortmos. velocdde e efcêc tmém depede d su mplemetção como form de softwre. II UO-VORES estrutur do presete teto segue lrgmete o prmero cpítulo de Vrm e Mordell 99, que por su vez é muto prómo do teto de mudso 9. Etretto, pr que os cocetos ão sem descrtos de modo muto strto, vmos recorrer clmete os cocetos geométrcos. emre-se que de que se é um vetor de dmesão, tmém é um vetor, ou se, mtrz é um mtrz que fz um trsformção ler o vetor. No presete cso vmos.vrm d M. Mordell. Mthemtcl methods Chemcl Egeerg. Oford. 99. mudso, N.R. Mthemtcl methods Chemcl Egeerg. Mtrces d ther pplcto. Pretce Hll. 9.
6 trtr de mtrz qudrd [ ], porque vmos clmete flr de utovlores e utovetores. Ovmete, este vetor tem um comprmeto que gerlmete é dferete do comprmeto do vetor. Etretto, se flrmos de dreção, que vetor é prlelo su própr trsformção ler? Eemplo II-. Iterpretção geométrc de utovlor e utovetor. Cosdere mtrz. Se tvermos e, ote-se que e, ou se, ; sto é, o vetor é prlelo e o úmero esclr fz com que o vetor teh o mesmo comprmeto que o vetor. Novmete, se tvermos se, e, ote-se que e, ou e utovlor Deom-se de utovetor vetor ão-ulo, e pr cd utovetor. Note-se de que ão é qulquer vetor. Deve ser tem-se o seu utovlor ssocdo. So o poto de vst lgérco, questão é: qus pres de utovlores e utovetor,,,,,...,, stsfzem pr mtrz qudrd de dmesão [ ], equção III- Dest equção pr um geérco, tem-se I III- Desde que, porém com r, tem-se < det I III- Epddo form poloml, tem-se deomd equção crcterístc: det I P III- Os utovlores são s rízes,,... cosdere su equção ssocd: dest equção. Pr cd utovlor
7 I III- Note-se que mtrz d I tem r, ou se, tem tods s colus lermete depedetes etre s, e r I. Pr oter solução d equção III-, ou se, o utovetor, tom-se um colu ão-ul d mtrz d I. Os utovlores são lermete depedetes etre s. Eemplo II-. Iterpretção lgérc de utovlor e utovetor. No eemplo d mtrz, tem-se e como soluções d equção det I det Pr, d I d portto Pr, d I d portto Cosdere um prolem álogo o III-, so form de ou se, μ III- μ III- Note-se que det μi P μ μ μ μ III- tem como utovlores s mesms rízes μ, μ,... μ pos tem-se propredde de determtes: det μi det. I Ms gerlmete os utovetores são dferetes. O utovetor correspodete, é solução de I III-8
8 é colu ão-ul d mtrz d I, ou trspost d lh o-ul d mtrz d I. Eemplo II-. utovetores à esquerd. No eemplo d mtrz, Pr, d I portto Pr, d I portto Ovmete, se mtrz é smétrc, ão é o cso do eemplo., tem-se os mesmos utovetores, o que Os utovetores deomdos à esquerd ortogos etre s. e os utovetores deomdos à dret são D equção III-, multplcdo o ldo esquerdo por tem-se III-9 D equção III-, multplcdo o ldo dreto por, e utlzdo μ tem-se III-9 Sutrdo III-9 d III-9 otém-se III- Se, tem-se e portto, sto é, e são ortogos etre s. Ovmete, se mtrz é smétrc,, tem-se os mesmos utovetores,, o que sgfc que se,, sto é, e são ortogos etre s. Se ão sgulr, portto r. Como det I tem-se r I 8
9 Como r I r d I tem-se r d I Eemplo II-. utovetores e utovlores d mtrz smétrc Este eemplo vem de mudso 9. Cosdere mtrz smétrc I det I 9 dest equção crcterístc otém-se ; ; utovetor ssocdo é: d I d Se prefersse oter utovetor ormlzdo, prtr de str fzer. ssm, o ovo utovetor ter. utovetor ssocdo é: 9
10 d d I pr oter utovetor ormlzdo, prtr de fzer. utovetor ssocdo é: d d I pr oter utovetor ormlzdo, prtr de fzer. Como é smétrc, tem-se e se ormlzdo, Se ormlzdo, pr est mtrz qudrd smétrc oter [ ] X e oserve-se que I X X, ou se, X X o que mostr que X é um mtrz ortogol.
11 Eemplo II-. utovetores e utovlores d mtrz ão-smétrc Cosdere mtrz ão-smétrc o eemplo ddo em mudso9. I det I 9 dest equção crcterístc otém-se ; ; utovetores e ssocdos são: d I d utovetores e ssocdos são: ; [ ] rízes ds equções cúcs so S ; S S ; S S ode Q 9 ; Q ; S R Q R ; R Q R 9 ote-se que ; ; e se,, são tods res, pr D Q R result em D > um rz rel e dus comples cougds; D tods rízes res e pelo meos ; D < tods rízes res e dferetes etre s. Neste ultmo cso, D < θ Q cos θ Q cos θ Q cos ode cos θ R Q
12 d I d e utovetores e ssocdos são: d I d e Como é ão-smétrc, tem-se III FORMS QUDRÁICS, e Λ dg,,, tem-se segute decomposção de um mtrz qudrd ão-sgulr: Com Y [ ], X [ ] Λ X X Y Y III- ΛX X ou ΛY Y III- No cso especl de mtrz qudrd ormlzd, e portto ortogol, tem-se smétrc, com mtrz de utovetores X X X I, ou se, X X e portto,
13 Λ X X III- XΛX III- Eemplo II-8. Decomposção em utovetores e utovlores. No eemplo d mtrz, com Y, Λ e X Λ Λ X X Y Y Propreddes de I utovlor d mtrz Mtr utovlor Sgulr, det Pelo meos um utovlor é zero Não-sgulr, det Não tem utovlor zero Smétrc odos utovlores res Hermt trspost de compleo cougdo odos utovlores res Mtrz ul odos utovlores são Mtrz detdde I odos utovlores são Mtrz dgol odos utovlores correspodetes dgol Mtrz vers odos utovlores são vers Mtrz trsformd B Q Q utovlores de B são gus os de IV SVD: DECOMPOSIÇÃO EM VORES SINGURES Cosdere um mtrz ão-qudrd de dmesão [ m ]. Como poderemos ter lgum decomposção equvlete o descrto terormete? Note-se que mtrz é um mtrz qudrd smétrc com dmesão [ ], e é um mtrz qudrd smétrc com dmesão [ m m]. Supoh que m. Nós á vmos que pr mtrz qudrd smétrc, tem-se seu correspodete utovlor e utovetor u u III-
14 ou fzedo mtrz de utovetores dret U [ u u ] comoddde σ, Λ dg σ, σ,, σ m,, sto é, Σ dg,,,, e fzedo, pes por,,, Σ u m dg σ, σ,, σ m m,,,, U ΛU III- Por outro ldo, pr mtrz qudrd smétrc, tem-se seu correspodete utovlor e utovetor esquerd v v ou v v III- e fzedo mtrz de utovetores dret V [ v v ] comoddde σ, Λ dg σ, σ,, σ m,, sto é, Σ dg,,,, e fzedo, pes por,,, Σ v dg σ, σ,, σ m m,,,, V V Λ ou V ΛV ssm, álogo às equções III- temos VΛV VΣ V. III- UΛU UΣ U ou Ms o que ós teress é decomposção em vlores sgulres, com U mtrz ortogol [ m m], Σ dg σ, σ,, σ m,,,, V mtrz ortogol [ ], dd pel segute equção: UΣV III- Epermete [[,-,;,,] [U,S,V] svd U*S*V' help svd V EOREM DE HMION-CYEY Cosdere equção de utovlor e utovetor. III- Cosdere gor equção crcterístc P III-
15 pós-multplcdo por P III- Devdo equção III- podemos susttur P III-8 ssm temos o teorem de Hmlto-Cle, que dz que tod mtrz qudrd stsfz su própr equção crcterístc: P III-9 como coroláro, qulquer potêc ter p de um mtrz qudrd de ordem pode ser epress como um comção ler de prmers potêcs de : γ γ γ p III- como segudo coroláro, cosdere segute equção P III- etão : I III- portto, [ ] I III- estes coefcetes, oserve-se que rço de mtrz é dd por trc, e defe-se trc, trc, trc, etc. O polômo pode ser epresso como P fzedo-se
16 Eemplo II-9. eorem de Hmlto-Cle Dd mtrz e equção crcterístc é dd por. Note-se I VI EOREM DE SYVESER Este teorem, muto utlzdo pr trtmeto de poloms de mtrces, dz que ddo um poloml esclr c c c Q III- c Q III- o poloml de pode ser represetdo por c Q III- ode Q c III- Q Q III-
17 PENDICE: ftorção U psso psso Decomposção U Pr operções com sstems lres form mtrcl é ecessáro oter sstems leres equvletes otdos trvés de comções leres que permtm relzr um operção desed ou relz-l com mor fcldde. ftorção, ou decomposção, U tem como oetvo resolução d equção sem versão d mtrz. Isto porque em sempre é possível tl versão determte gul zero ou mtrz dos coefcetes é ml codcod. ssm ftorção U procur epressr mtrz como o produto de dus mtrzes trgulres sedo um feror ower e outr superor Upper de mer que s dus mtrzes sem versíves ou possmos resolver o sstem por retosusttução. Vmos supor resolução do sstem o pelo método d elmção de Guss. Motmos um mtrz umetd e fzemos s comções leres de form otermos um mtrz trgulr superor: segud lh ms prmer lh vezes ; tercer lh ms prmer lh vezes -; qurt lh ms prmer lh vezes. 9 8 tercer lh ms segud vezes ; qurt lh ms segud vezes -/. / / qurt lh ms tercer vezes /
18 8 / e podemos resolver o sstem por retrosusttução. gor podemos costrur um mtrz com os coefcetes utlzdos em cd etp d trsformção, cuo produto dê o mesmo resultdo que comção ler efetud. Pr sto utlzmos um mtrz detdde com os coefcetes de cd trsformção. e 9 8 logmete / e / / e flmete / e / ssm U, como o produto de mtrzes trgulres ferores result em um mtrz trgulr feror, e como o resultdo - é um mtrz trgulr superor: U U Otd mtrz U podemos resolver fzedo U
Método de Eliminação de Gauss
étodo de Elmção de Guss A de ásc deste método é trsformr o sstem A um sstem equvlete A () (), ode A () é um mtrz trgulr superor, efectudo trsformções elemetres sore s lhs do sstem ddo. Cosdere-se o sstem
1.6- MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES PRÉ-REQUISITOS PARA MÉTODOS ITERATIVOS
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Sequências Teoria e exercícios
Sequêcs Teor e exercícos Notção forml Defmos um dd sequêc de úmeros complexos por { } ( ) Normlmete temos teresse em descobrr um fórmul fechd que sej cpz de expressr o -ésmo termo d sequêc como fução de
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Cpítulo III - Resolução de Sstems Vmos estudr métodos umércos pr: - resolver sstems leres ão leres (; - Resolução de Sstems de Equções eres Cosdere-se o sstem ler de equções cógts:............ b b b usdo
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CAP. 5 DETERMINANTES 5.1 DEFINIÇÕES DETERMINANTE DE ORDEM 2 EXEMPLO DETERMINANTE DE ORDEM 3
DETERMINNTES CP. DETERMINNTES. DEFINIÇÕES DETERMINNTE DE ORDEM O ermte de um mtrz qudrd de ordem é por defção plcção: : M IK IK ( ) DETERMINNTES DETERMINNTE DE ORDEM O ermte de um mtrz qudrd de ordem é
Conceitos fundamentais. Prof. Emerson Passos
Cocetos fudmets Prof. Emerso Pssos 1. Espço dos vetores de estdo. Operdores leres. Represetção de vetores de estdo e operdores. 2. Observáves. Autovlores e utovetores de um observável. Medd Mecâc Quâtc.
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Ecoometr ANÁLISE DE REGRESSÃO MÚLTIPLA Tópcos osderr otudde do Progrm Mstrdo pelo Prof Alceu Jom Modelo de Regressão Múltpl Aordgem Mtrcl ) Pressupostos; ) Iferêc versão Mtrcl; c) Iferêc o Método de rmmer;
Método de Gauss- Seidel
.7.- Método de Guss- Sedel Supohmos D = I, como fo feto pr o método de Jco-Rchrdso. Trsformmos o sstem ler A = como se segue: (L + I + R) = (L + I) = - R + O processo tertvo defdo por: é chmdo de Guss-Sedel.
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AJUST D CURVAS Até or o polômo de promção o dedo de tl mer cocdr com o vlor d ução dd em potos dedos terpolção m certos tpos de prolems sto pode ão ser desejável em prtculr se os vlores orm otdos epermetlmete
Vitamina A Vitamina B Vitamina C Alimento 1 50 30 20 Alimento 2 100 40 10 Alimento 3 40 20 30
Motvção: O prole d det Itrodução os Sstes Leres U pesso e det ecesst dgerr drete s segutes qutddes de vts: g de vt A 6 g de vt B 4 g de vt C El deve suprr sus ecessddes prtr do cosuo de três letos dferetes
Em muitas situações duas ou mais variáveis estão relacionadas e surge então a necessidade de determinar a natureza deste relacionamento.
Prof. Lorí Vl, Dr. vll@mt.ufrgs.r http://www.mt.ufrgs.r/~vll/ Em muts stuções dus ou ms vráves estão relcods e surge etão ecessdde de determr turez deste relcometo. A álse de regressão é um técc esttístc
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