Interpolação Polinomial e Quadratura Numérica

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1 CURSO DE NIVELAMENTO AO M. SC./PEQ- PROF. EVARISTO Iterpolção Poloml e Qudrtur Numérc Teorem de Weerstrss: se f() é um fução cotíu em um tervlo fechdo [, ], etão pr cd >, este um polômo de gru () tl que: f() p () < [, ] Emor sej um teorem motvdor pr usr polômos, o vlor de () gerlmete ão é cohecdo, prcplmete qudo f() ão é dd eplctmete. Outro motvo pr usr polômos promção de fuções é que sus dervds e tegrs são fáces de determr e tmém são polômos. Como promção poloml otd por epsão em sére de Tylor cocetr su precsão próm o poto em toro do qul fução fo epedd ( ), mesm ão é dequd pr mor ds plcções prátcs em que, gerlmete, se desej um o promção em um mplo tervlo de defção d fução f(). Cotudo, o polômo otdo pel epsão de Tylor é de grde utldde álse umérc pr estmtvs de erros de téccs umércs. Portto, este cpítulo são orddos polômos que utlzm ddos em város potos do tervlo, chmdos de polômos terpoldores. Ddos + pres de vlores {, f( )}, =,,,...,, este um e somete um polômo p () de gru o qul f( ) = p ( ), =,,,...,. Portto, emor estm várs fórmuls de terpolção poloml, se els utlzrem s mesms formções os potos ods {,,,..., }, etão os polômos otdos serão os mesmos. Nturlmete, se f() for um polômo de gru, etão promção tmém será et. Epressdo o polômo terpoldor form: p( ) c os coefcetes c são soluções do sstem o de + equções lgércs leres: cujo determte d mtrz dos coefcetes: c c c c f( ) c cc c f( ) c c c c f( ) V é chmdo de determte de Vdermode, sedo ão-ulo se j j.

2 . INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E QUADRATURA NUMÉRICA O prolem dest técc de determção dos coefcetes é su tedêc de propgr os erros de rredodmeto à medd que os potos ods se promm us dos outros, pos o determte de Vdermode tede zero ests stuções, gerdo um sstem de equções ml codcodo. Eercíco: Implemetr o códgo o o MATLAB ou SCILAB pr terpolr fução y seh( ) f( ) seh( ) que é solução lítc do prolem de reção com dfusão em um prtícul ctlítc esférc sotérmc com reção de prmer ordem ( é o ro dmesol e y é cocetrção dmesol). Utlzr como potos ods, potos gulmete espçdos etre, e,9, com espçmeto uforme de, pr o cso () e de,4 pr o cso (). Após oter o polômo, terpolr fução os vlores de em tervlos de,. Note que etre e, e etre,9 e os vlores serão etrpoldos. Comprr os dos csos. d=.; % pr o cso () d=.4; % pr o cso () =[.:d:.9]'; % potos ods ph=5; y=sh(ph*)./(*sh(ph)); % vlor d fução os potos ods =legth(); % úmero de potos c=[:.:]'; % potos pr terpolção m=legth(c); yc()=ph/sh(ph); yc(:m)=sh(ph*c(:m))./(c(:m)*sh(ph)); % formção d mtrz de Vdermode Um=oes(,); % vetor de tmho com todos elemetos gus M=Um; for =:- M=[M.^]; ed C=v(M)*y; % coefcetes poloms (versão sem pvotmeto) % C=M\y; % coefcetes poloms (versão com pvotmeto prcl) p=c'*(um*c').^([:-]'*oes(,m)); % vlores terpoldos % % form ltertv clculr os vlores terpoldos % %for =:m % p()=c(); % for j=-:-: % p()=p()*c()+c(j); % ed %ed codm=cod(m) % úmero de codcometo d mtrz dos coefcetes plot(c,yc,':',c,p,'r',,y,'o'); leged('eto','polômo','potos');

3 . TABELA DE DIFERENÇAS DE NEWTON O resultdo do eercíco cm é mostrdo fgur o, em que se oserv o cso () o efeto dos erros de rredodmeto devdo à versão mtrcl sem pvotmeto do sstem de Vdermode que este cso é ml codcodo. Este prolem ão ocorrer se fosse relzd versão mtrcl com pvotmeto (prcl ou totl)..9.8 eto polômo potos.9.8 eto polômo potos Cso () Cso () Pr mostrr que o mu comportmeto d terpolção poloml de gru elevdo [Cso () d Fgur cm] é decorrete do procedmeto umérco empregdo resolução do sstem lgérco ler, o mesmo prolem será resolvdo plcdo-se outro procedmeto umérco resolução do sstem lgérco ler. O procedmeto é p lsolve ecotrdo o MATHCAD e cujo trecho do progrm é mostrdo segur. 5 c sh( ) Coef( ).8 for c. pot f () for j A j pot f () f sh( ) c c pot pot lsolve( A ) p t ( c ) lst( c) y c for y y y c.4 c Coef( ) f t () p t ( c ) lst( c) X. Pr o cso (), o resultdo otdo é mostrdo Fgur segute.

4 4. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E QUADRATURA NUMÉRICA f f t fx Outro specto sore formulção X p ( ) c é su form efcete de cálculo de terpolção. A form ltertv (hd): p ( ) c ( c ( c ( c c )) )) requer um úmero em meor de operções de multplcção ( cotr (+)/) e pode ser mplemetd coforme o lgortmo: p c Pr =,,...,,,, fç p p + c Este lgortmo está mplemetdo de form cometd os dos códgos terores. As fórmuls de terpolção ms comumete usds e que ão fzem uso do determte de Vdermode são fórmul terpoldor ds dfereçs dvdds de Newto e os polômos terpoldores de Lgrge.. Tel de dfereçs de Newto Prtdo do coceto de dervd: df f ( ) f( ) f( ) lm d f( ) f( ) promção f [, ] pr é chmd de prmer dfereç dvdd ou dfereç dvdd de ordem com relção e. Aplcdo o teorem do vlor médo dferecl: f ( ) f ( ) f( ) pr f() C [, ] e lgum [, ], etão: f[, ] f( ) pr lgum [, ],

5 . TABELA DE DIFERENÇAS DE NEWTON 5 ou sej, f[, ] está relcod com dervd prmer de f(). Cosderdo o prolem d terpolção ler pssdo pelos potos {, f( )} e {, f( )}, temos: f ( ) p ( ) f( ) como f ( ) p ( ) ( ) f ( ) p ( ) f( ) f( ) ( ) f( ) f( ) e f[, ], ou sej, p( ) f( ) f[, ] ( ). Usdo defção de erro (ou resíduo) d promção: f ( ) p ( ) R ( ) e sedo que R () deve se ulr em e : R ( ) g( ) ( )( ) f( ) f( ) ou d R( ) f( ) f( ) f[, ] ( ) ( ) f[, ] ( ) f[, ] f[, ] R ( ) f[, ] f[, ] ( ) ( )( ) f[, ] f[, ] em que f [,, ]. Defdo fução: Q() t f() t p () t ( t )( t ) g( ) el se ul pelo meos em t =, t = e t =, logo Q () t deve se ulr pelo meos dus vezes o tervlo [, ] e Q () t deve se ulr pelo meos um vez em um poto t = [, ]: Q( ) f( ) p( )! g( ) como p( ) (polômo de gru ) temos: f ( ) g ( )! Agor, se ms um poto {, f( )} for cluído o cojuto de potos ods: f ( ) p ( ) ( ) ( )( ) fc evdete pelo eposto cm que = f[,, ] podedo tmém ser tomdo como um o promção pr R () se f ( ) for um fução suve (que ão mud ruscmete pr dferetes vlores de ). Isto mostr que s fórmuls ds dfereçs dvdds de Newto podem ser usds pr determr o gru proprdo do polômo terpoldor em fução d quldde desejd d promção.

6 6. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E QUADRATURA NUMÉRICA f [, ] f[, ] Retomdo epressão: f[,, ] f[,, ] f( ) f( ) f( ) f( ) ( ) f( ) f( ) ( ) f( ) f( ) ( )( )( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) f( ) f[,, ] ( )( )( ) ou d ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) f( ) f[,, ] ( )( )( ) ( ) f( ) f( ) ( ) f( ) f( ) f[,, ] ( )( )( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f[, ] f[, ] f[,, ] ou sej, f[,, ] = f[,, ] = f[,, ] = f[,, ] = f[,, ] = f[,, ], ordem dos rgumetos ds fórmuls ds dfereçs dvdds é dferete. Ds epressões cm, podemos oservr tmém que: f[,, ] f( ) f( ) f( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Geerlzdo pr potos ods, com clusão d dfereç dvdd de ordem zero: f[ ] f( ) temos pr dfereç dvdd de ordem : f [,,,, ] f[,,,, ] f[,,,,, ], =,,,..., e ( ) f ( ) f[,,,,, ], [, ].! O erro d terpolção por um polômo de gru é: ou R ( ) f[,,,,,, ] ( ) ( ) f ( ) R( ) ( ), [, ] ( )! sedo que segud form é útl somete qudo fução f() for dd eplctmete.

7 . TABELA DE DIFERENÇAS DE NEWTON 7 Eemplo: oter o polômo terpoldor de gru usdo s fórmuls ds dfereçs dvdds de Newto pr os ddos o: y p () f[ ] f[, ]( ) f[,, ]( )( ) f[,,, ]( )( )( ) p ( ) 5 6 ( ) ( )( ) ( )( )( ) 7 5 A tel ds dfereçs dvdds de Newto é costruíd d segute mer: y f[ ] f[, ] f[ ] f[,, ] f[ ] - f[ - ] f[, -, - ] f[, - ] f[ ] f[,,, ] f[, -, -, - ] f[, -,...,, ] Pr um qulquer etre e, terpolção poloml de gru é otd trvés ds epressões:

8 8. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E QUADRATURA NUMÉRICA f f f, f f f,, ms:,, f f f,, f, f, f,,, ms:,,,, f f f,,, f,, f,, f,,, f,,,,,,,,,, f f,,,,,,,,,, f f f e, flmete: f,,,,,,,,,,,,, f f,,,,,,,,,,,,, f f f em que o últmo termo: f [,,,,, ] ( ) é o erro d terpolção, que pode ser estmdo com o uso de um poto dcol { +, f( + )} prómo. Eemplos: ) A tel o cotém os vlores d vscosdde (em cetpose) de um solução cotedo 6% de scrose várs temperturs. Costru Tel de Dfereçs destes ddos. T ( o C) (cetpose),9-5,7 56,7,755 -,69 -,488 4,,499 -,7 4, ) Refç Tel de Dfereçs dotdo l() o lugr de : T ( o C) l() 4,75 -,69755

9 . INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE 9 4,7774,9 -,5 -,4,56655,6 -, ,5877 Algortmo: Iterpolção poloml de Newto Ddos + potos {, y }, desej-se terpolr fução em = * Pr =,,,...,, fç A, y Pr =,,...,, fç Pr j =,,,...,, fç A j, A p y * A, Pr =,,...,, fç p ( * - ) p y * y * + p A, A j, - j, - j j Ao fl do lgortmo y * cotém o vlor terpoldo de f() em = *.. Iterpolção de Lgrge N dervção ds fórmuls ds dfereçs dvdds fo dotd form poloml: p ( ) ( ) ( )( ) ( ) pr determção dos coefcetes, =,,,...,. No cso d terpolção de Lgrge, form poloml dotd é segute: p ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) cujos coefcetes, =,,,..., são determdos dretmete pels codções p ( ) = f( ), =,,,...,, resultdo em: f( ), =,,,...,. ( )( ) ( )( ) ( )

10 . INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E QUADRATURA NUMÉRICA Defdo os terpoldores de Lgrge: que são polômos de gru, temos: j ( ), =,,,..., j j j p ( ) ( ) f( ). Pel defção de ( ), podemos oservr que:, j ( j), j, j ou sej,,,,..., -, +,..., são s rízes de ( ). Se f() =, etão ( ) pr =,,,...,, pos promção é et se f() for um polômo de gru. Dest relção result pr = : ( ). Defdo o polômo odl, que tem como rízes =, =,,,...,, logo de gru + : P ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) e chmdo de q( ) ( j) o umerdor de ( ), =,,,...,, result que: j j q ( ) P ( ) ( ) e q( ) q ( ). P ( ) Aplcdo o lmte pr segud epressão: lm P ( ), temos: q( ) P ( ) e P ( ) ( ) ( ) P ( ), =,,,...,. Sedo que f() = p () + R () e que R () deve se ulr em, =,,,...,, etão R () = P + () G(), que procededo de mer álog à seção teror, fução: Qt () f() t p() t P () t G ( )

11 . INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE deve se ulr em t =, =,,,..., e em t =, ou sej, em o mímo + vezes detro do tervlo [, ]. Portto, Q (+) (t) deve se ulr em pelo meos um poto este tervlo, t = : Q ( ) f ( ) p ( ) P ( ) G( ) ( ) ( ) ( ) ( ) como ( p ) ( ) (polômo de gru ) e P ( ) ( )!, temos: ( ) f G ( ) ( ) ( )! ( ) e ( ) f ( ) R( ) ( ) com [, ]. ( )! Eemplo: oter o polômo terpoldor de Lgrge de gru pr os segutes ddos: y = f( ) -5 5 ( )( ) ( )( ) 4 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ()() ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ()() 6 ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) 5 ( ) 4 5 p f Comprdo com s dfereçs dvdds de Newto, terpolção de Lgrge tem como desvtges su dfculdde em oter um estmtv do erro e ecessdde de recostrur todos os terpoldores de Lgrge com dção de ovos potos. Ou sej, ão é um método dequdo qudo o gru do polômo ão é cohecdo pror. Além dsto, demd um qutdde mor de cálculos qudo várs terpolções precsm ser otds com o mesmo cojuto de potos ods. Um mer de costrur os polômos de Lgrge de mer recursv pr clusão grdul de ovos potos té um precsão desejd é trvés do uso do método de Nevlle (ão orddo qu, ms pode ser ecotrdo em Burde e Fres, ). Algortmo: Iterpolção poloml de Lgrge Ddos + potos {, y }, desej-se terpolr fução em = * Pr =,,,...,, fç p Pr j =,,,...,, fç

12 . INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E QUADRATURA NUMÉRICA Se j: p y * Pr =,,,...,, fç y * y * + p y * j j p Ao fl do lgortmo y * cotém o vlor terpoldo de f() em = *.. Aálse de erros Ao promrmos um fução f() pelo polômo de Tylor de gru, vmos que o erro de trucmeto d promção é ddo por: ( ) f [ ( )] R ( ) ( ) ( )!, com [, ]. Cotudo, como o clor de ( f ) [ ( )] ão pode, gerlmete, ser clculdo por ão cohecermos fução (), podemos pes estelecer um lmte superor pr o erro d ( ) promção, tomdo o vlor mámo de f ( ) o tervlo [, ]. No cso d terpolção poloml, vmos que o erro d promção é ddo por: ( ) f [ ( )] R( ) ( ) com [, ] ( )! e os mesmos cometáros cm se plcm, com o grvte que este cso, gerlmete, ( ) fução f() ão é cohecd pr podermos ecotrr o vlor mámo de f ( ). Neste cso podemos recorrer o uso d tel de dfereçs dvdds de Newto pr ecotrrmos ( ) o vlor mámo de f ( ), usdo relção: ( ) f [ ( )] ( )! f [,,,,,, ] de: Nturlmete, se f() for cohecd, etão R () tmém pode ser otd dretmete R () = f() p () Neste cso, um formção útl é o erro médo qudrátco (MSE, Me Squre Error) d promção o tervlo [, ]: MSE R ( ) d

13 . ANÁLISE DE ERROS ou ormlzdo pr o tervlo [, ]: y d = ( ) dy, result em: MSE R ( y) dy que pode ser usdo pr determr melhor promção pr f() detre várs ltertvs. Eemplo: costrur os gráfcos ds promções de f( ) usdo terpolções 5 poloms de ª, ª e ª grus com potos gulmete espçdos o tervlo [-, ], os gráfcos dos erros d terpolção e clculr o MSE. Iterpolção Comprção d Fução Rel com Iterpold Iterpolção Poloml de Y Segudo Gru com Z.5 Potos Igulmete Espçdos.8 Iterpolção Poloml de Y Tercero Gru com Potos Igulmete Espçdos Z.8.5 Iterpolção.846 Poloml de Y Décmo Gru com Z Potos Igulmete.55 Espçdos Iterpolção Poloml de Décmo Gru com Potos Rízes do o Polômo de Cheyshev Y Z z z Erro d Iterpolção R ( ) d.5,7,595 z z,7, - Neste eemplo form usdos potos gulmete espçdos pr costrur os polômos terpoldores. Porém, é possível determr os potos ods que germ um polômo terpoldor com o meor resíduo possível etre polômos de mesmo gru. Pr determr estes potos ods ótmos, prtmos d epressão do erro: ( ) ( ) f [ ( )] f [ ( )] ( )! ( )! R ( ) ( ) P ( )

14 4. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E QUADRATURA NUMÉRICA em que P + () é o polômo odl com + =. Reescrevedo P + () form: P ( ) c os + coefcetes c podem ser determdos de mer mmzr o MSE: c rg m ( c ) sedo MSE c, c,..., c ( ) f [ ( )] MSE() c R(;) c d c d ( )! Aplcdo o teorem do vlor médo: ( ) f ( ) MSE() c c d ( )! Como o mímo do MSE(c) ocorre qudo cmse, temos: ou sej, MSE c ( () c f ) () P ( d ) ( )!, =,,,..., P ( d ), =,,,..., Cocludo-se que P + () é um polômo ortogol o tervlo [, ] em relção à fução peso w() =. O polômo que stsfz est codção de ortogoldde é o polômo de (, ) Jco, P ( ), com = e =. Portto, os potos ods que mmzm o MSE são s (,) rízes do polômo de Jco P ( ). Se o tervlo utlzdo fosse [-, ], etão terímos o polômo de Legedre..4 Crtéro de mmzção do erro mámo Até o mometo utlzmos s codções: f( ) = p ( ), =,,,..., pr determrmos os coefcetes de p (). Um outro crtéro que pode ser utlzdo é mmzção do erro soluto mámo d promção os potos ddos: ou pr o cso de f() ser cohecd: m m f ( ) p ( ) c, c,, c c, c,, c m m f ( ) p ( ) Este crtéro é cohecdo como prcípo mm de Cheyshev e o polômo otdo é chmdo de polômo ótmo ou mm.

15 .4 CRITÉRIO DE MINIMIZAÇÃO DO ERRO MÁXIMO 5 Normlzdo z [, ] pr o tervlo [-, ]: z é possível oservr que os moômos,,,..., de p ( ) c possuem mgtude mám em = e mím em =, ão hvedo um dstrução uforme dos erros. Logo, se for possível ecotrr um polômo que dstru os erros de form ms uforme, mmzção do erro mámo resultrá melhor promção possível. Os polômos que presetm est propredde são os polômos de Cheyshev: T () = T () = T () = T () = 4 T 4 () = T 5 () = T 6 () = T 7 () = T 8 () = T 9 () = Fórmul de Recorrêc: T ( ) T( ) T ( ) pr,, com T ( ) e T( ) Gráfco dos 5 prmeros polômos de Cheyshev T, T,.5 T, T, T 4,.5.5.5

16 6. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E QUADRATURA NUMÉRICA peso Os polômos de Cheyshev são ortogos em [-, ] com respeto fução w ( ), ou sej: T( ) Tm( ) d T ( ), m, m Estes polômos orgrm ds fuções trgoométrcs cos, cos, cos,..., cos que dstruem seus mámos e mímos de mer uforme o tervlo [, ]. Ao plcr mudç de vrável: = cos [-, ] e propredde: cos = cos cos[( )] cos[( )], result os polômos de Cheyshev. Pel codção de ortogoldde, os coefcetes d promção: f ( ) T( ) podem ser determdos por: f d e ( ) f ( T ) ( ) d, =,,...,. d Como d, etão f(cos ) d e f(cos )cos( ) d, =,,...,. As rízes de T () são res (crcterístc de um polômo ortogol), ocorrem o tervlo [-, ] e são dds por: r ( ) cos, =,,...,. Represetdo os moômos por: T ( ), é possível costrur tel: Potêcs de em fução dos polômos de Cheyshev: = T () = T () = [T ()+T ()]/ = [T ()+T ()]/4 4 = [T 4 ()+4T ()+T ()]/8 5 = [T 5 ()+5T ()+T ()]/6 6 = [T 6 ()+6T 4 ()+5T ()+T ()]/ 7 = [T 7 ()+7T 5 ()+T ()+5T ()]/64 8 = [T 8 ()+8T 6 ()+8T 4 ()+56T ()+5T ()]/8 9 = [T 9 ()+9T 7 ()+6T 5 ()+84T ()+6T ()]/56

17 .5 TELESCOPAGEM DE SÉRIES 7 que tem utldde telescopgem de séres. Normlzdo os polômos de Cheyshev de tl form que o coefcete de mor gru sej gul, otém-se os polômos de Cheyshev môcos: T ( ) T ( ) Que possu propredde de um polômo mm: m T ( ) m P( ) P( ) [,] [,] E se m P ( ) m T ( ), etão P ( ) T ( ). [,] [,].5 Telescopgem de séres A telescopgem de séres de potêcs ou ecoom de Cheyshev cosste em epressr os moômos d sére em termos dos polômos de Cheyshev, coletr os coefcetes de cd polômo T () e trucr sére os moômos de Cheyshev de lt ordem sedo que seu coefcete represet o erro mámo d promção, pos T (). A sére trucd pode etão ser re-epress em termos dos moômos de. Este procedmeto é equvlete fzer sucessvs reduções de gru do polômo té precsão desejd usdo o polômo Cheyshev môco: p ( ) p( ) T( ), com p( ) p ( ) T( ) em que é o coefcete de de p (). Eemplo: reduzr o gru do segute polômo que prom fução f() = e : 4 p4( ) e [-, ] 6 4 Mtedo um erro mámo feror,5. (5) 5 f ( ) e O erro d promção por p 4 () é: R4 ( ) R4( ), 5! 5! Reduzdo o gru d promção pr p (): Cso ) Sem telescopgem: p( ), temos: 6 (4) 4 f ( ) e R ( ) R( ),, que está cm de,5. 4! 4!

18 8. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E QUADRATURA NUMÉRICA Cso ) Com telescopgem: T( ) T( ) T( ) T( ) T4( ) 4 T( ) T( ) p4( ) T( ) Que pós coletr os termos comus de T (), result em: T( ) T4( ) p4( ) T( ) T( ) T( ) Trucdo o termo de gru : 7 9 T ( ) p T T T ( ) ( ) ( ) ( ), o erro etre s dus promções é: T4 ( ) p4( ) p( ),5 9 9 Portto, o erro mámo o promr f() por p () é:, +,5 =,8 <,5. Reescrevedo o polômo em termos ds potêcs de : p( ) ( ) com R ( ),8. Ou de mer smlr: p( ) p4( ) 4T4( ), sto é: 4 4 p( ) , pos 4 = /4, que pós rerrjo dos termos result em: 9 p( ) Reduzdo ms um gru promção: p( ) p( ) T( ), temos: 9 p( ), levdo : p( ) 9 8 4, com p p T ( ) ( ) ( ), Portto, o erro mámo o promr f() por p () é:,8 +,4 =,7 >,5.

19 .5 TELESCOPAGEM DE SÉRIES 9

20 . INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E QUADRATURA NUMÉRICA

21 .5 TELESCOPAGEM DE SÉRIES

22 . INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E QUADRATURA NUMÉRICA

23 CURSO DE NIVELAMENTO AO M. SC./PEQ- PROF. EVARISTO Ns fgurs segur são comprdos os vlores dos polômos ods com potos gulmete espçdos com os polômos ods costruídos T prtr do polômo de Cheyshev ormlzdos [ t pr ]. Note que: t pr.

24 4. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E QUADR

25 CURSO DE NIVELAMENTO AO M. SC./PEQ- PROF. EVARISTO Itegrção Numérc N presetção ds forms de terpolção poloml, rgumetou-se que o uso de polômos promção de fuções está relcodo à fcldde de cálculos de dervds e tegrs. A segur, plcremos s promções poloms pr tegrção umérc de fuções, ou sej: Est promção, qudo escrt form: é chmd de qudrtur umérc. I f ( ) d p ( ) d I f( ) d f( ).6 Método tpo Newto-Cotes Adotdo o polômo terpoldor de Lgrge pr represetr p (): p ( ) ( ) f( ) E sedo que o erro de trucmeto d promção de f() = p () + R () é ddo por: ( ) f ( ) R( ) ( ) com [, ]. ( )! Etão tegrl de f() o tervlo [, ] pode ser escrt d segute form: ( ) f [ ( )] I f( ) d ( ) f( ) d ( ) d ( )! E um promção pr o cálculo dest tegrl é: I f( ) d ( ) df( ) f( ) em que ( ) d e o erro dest promção d tegrl é: ( ) Erro f [ ( )] ( ) d ( )! Qudo os potos, =,,...,, estão gulmete espçdos, ou sej, = + h, temos s fórmuls de Newto-Cotes. Ests fórmuls são dts fechds qudo = e =, com h = ( ) /, e erts qudo e estão detro do tervlo [, ], com h = ( ) / ( + ).

26 6. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA As fórmuls fechds pr = e = tmém são cohecds como regr do trpézo e regr de Smpso, respectvmete. Pr = temos =, =, h = e o polômo terpoldor p (): ( ) ( ) p ( ) f( ) f( ) ( ) ( ) Aplcdo mudç de vrável:, pos = h e h h h podemos escrever p () em termos de : p ( ) ( ) f( ) f( ) Como = equvle = e pr = temos =, tegrção de f() o tervlo [, ] em termos dest ov vrável result em: I f( ) dh f( h) dh p ( ) dh f ( ) f( ) que é gul à áre do trpézo de se h e ltur méd [f( ) + f( )] /. O erro dest promção é ddo por: h Erro f[ ( )]( )( ) d f[ ( h)] ( ) d! Como ( ) ão mud de sl o tervlo (, ), o teorem do vlor médo d tegrl pode ser plcdo: h f Erro d h f, com (, ). p (): ( ) h f ( ) ( ),8 ( ) Pr = temos =, = + h, =, h = ( ) / e o polômo terpoldor ( )( ) ( )( ) ( )( ) p ( ) f( ) f( ) f( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Em termos d vrável : ( )( ) ( ) p( ) f( ) ( ) f( ) f( ) Neste cso, = equvle = e = equvle = e tegrção de f() o tervlo [, ] result em: h I f( ) dh f( h) dh p ( ) d f( ) 4 f( ) f( ) que é regr de Smpso pr o cálculo de tegrs. O erro dest promção é ddo por:

27 .6 MÉTODO TIPO NEWTON-COATES 7 N 4 h Erro f[ ( )]( )( )( ) d f[ ( h)] ( ) ( ) d,! 6 porém como ( )( ) d, é ecessáro utlzr o prómo termo do resíduo d promção de f() pr o cálculo do erro (este efeto ocorre sempre quto for pr): 5 (4) h (4) 4! 4! Erro f [ ( )] ( ) d f [ ( h)] ( )( )( ) d Oserve que este cso ( )( )( ) mud de sl o tervlo (, ), etão o teorem do vlor médo d tegrl ão poder ser plcdo. Cotudo, pode-se mostrr que promdo f() por sére de Tylor em toro de té o termo de qurt ordem e tegrdo o mesmo tervlo [, ], otém-se resultdo equvlete : 5 (4) 5 (4) ( ) h f ( ) 5 (4) ( )( )( ), ( ) 4! 9 h f Erro d h f A tel o mostr s fórmuls fechds de tegrção de Newto-Cotes pr dferetes ordes. NC NC ( ) () () () () NC NC NC NC 5 () o 4 () NC6 Erro d Itegrção Erro d Itegrção,8h f Trpézo,8 f 4 5 IV 6 4 Smpso,47 f 5 IV,h f IV,54 f 5 IV,7 h f VI 5,67 f 7 VI,85h f VI,9 f 7 VI,h f VIII 9 VIII 6,79 f,64h f h f ( ) d NC f NC f N N ( ) ( ) j j j j j j Sedo h e j jh pr j,,, j ( ) ( ) NC j ( ) d N j!( j)!, j A mer ms smples de gerr os coefcetes do método de Newto-Cotes é prtr do cômputo de tegrs do tpo: é: I I d pr,,,. O vlor eto dest tegrl, mesm tegrl clculd pelo método de Newto-Cotes ser:

28 8. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA ( ) ( ) j j j j j j d Resultdo ssm o sstem lgérco ler: em form mtrcl: ( ) NC ( ) j, em que j. N ( ) j j pr,,, j / / / / / /. / / /, ou, Ao, o progrm de determção dos pesos e erros do método de Newto-Cotes é reproduzdo. Newto_Cotes ( ) for p odl ( ) p for for W A lsolve( A ) p p m floor f m m Erro( ) p odl ( ) d p p p Newto_Cotes ( ) T Newto_Cotes ( ) T 6 Newto_Cotes ( ) T 8 Newto_Cotes ( ) T 7 9 Newto_Cotes ( ) T 9 88 Newto_Cotes ( ) T Erro( ).8 Erro( ) Erro( ) Erro( ) Erro( ) Erro( )

29 .6 MÉTODO TIPO NEWTON-COATES 9 Eemplo: = ; =,, = 6 e f() = e,,,4, Assm: h, e j, j pr j,,,, 4, 5, 6 resultdo em:,6 6,8,, D tel:, e d e e e e e e e 84 6, 4 6, 7,4 7,6 7,8 6, 4,,699 Vlor eto:, e, d e,69 [ER(%) = -,6-7 %, EA = -6,55-9 ] A fórmul ert pr = é cohecd como regr do poto médo (ou regr do retâgulo). Neste cso, os potos ods = + h ( =,,..., e h = ( ) / ( + )), são teros o tervlo [, ] e defe-se - = e + =. Pr =, o polômo terpoldor p () = f( ) e h = ( ) /. Aplcdo mudç de vrável : h I f( ) dh f( h) dh p ( ) d h f( ) O erro dest promção é ddo por:!, ms como Erro f [ ( )]( ) d h f [ ( h)] d d é ecessáro utlzr o prómo termo do resíduo d promção de f() pr o cálculo do erro (como s fórmuls fechds, este efeto ocorre sempre quto for pr): h h f( ) Erro f [ ( )]( )( ) d f [ ( h)] ( ) d ( ) d Erro! h f( ), h f ( ), com (, ).

30 . INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Algortmo do Método de Smpso em Sutervlos (Regr de Smpso Compost) ETAPA : Especfcção pelo usuáro de,, N (úmero cl de práols, N > ), (crtéro de covergêc) e (meor vlor do psso de tegrção, h m ). ETAPA : Cálculo d prmer tegrl umérc (com N práols): S f( ) f( ) h N N j S f ( j) h mpr N Se N > etão Spr f( jh), seão S pr j h I S 4Smpr S ETAPA : Processo Recursvo: Fç I velho I N N + N h h S pr S pr + S ímpr N j pr Smpr f j h h I S 4Smpr S Equto I I velho > e h > ETAPA : Cálculo fl d tegrl umérc (etrpolção de Rchrdso): 6I I I velho 5 Imprm o vlor de I. FIM Como o erro em cd sutervlo é ddo por pr 5 (4) h f ( ) Erro (), o erro totl é: 9 h h h ( ) ( ) Erro f ( ) N f ( ) f ( ) h f ( ) N 5 5 (4) (4) (4) 4 (4) h com (, ), segudo o teorem do vlor termedáro.

31 .6 MÉTODO TIPO NEWTON-COATES Ilustrção do método de Smpso recursvo Cômputo de, f d com precsão de -6. Assm = ; =,, f() = e e = -6. Começdo com N = (dus práols) e estelecedo o h m = -6 = -6. ETAPA : Clculm-se: S = f() + f() = e + e, = +,7 = 4,7 e h = ( ) / ( N) =, Processo Recursvo N h S ímpr S pr I velho I I I velho,,8946,89, 4,5 7, ,658,,4 9,68-5 8,75 5,45955,678,4,7 6, -6 6,75,9764 8,789,7,6948,8-7 I eto =,69 I eto I =,55-8 Etrpolção de Rchrdso: I etrpoldo 6I Ivelho,69 I eto I etrpoldo =,6-5 Nots sore etrpolção de Rchrdso Se I N e E N são, respectvmete, tegrl umérc com N sutervlos e o seu erro, etão o vlor eto d tegrl é ddo por: I I E I E Como N N N N m ( m ) ( m) ( m) EN N f ( ), se cosderrmos que f ( N ) f ( ) N, etão: N m E N N E e, deste modo, pode-se oter um o estmtv pr E N em fução ds tegrs umércs I N e I N : IN I N EN m N N Resultdo fórmul de etrpolção de Rchrdso: N m I N I N I N N N IN N m m N N N N I I 6 I N I N Por eemplo, pr N = N e m = 4: I. 5

32 . INTEGRAÇÃO NUMÉRICA.7 Métodos tpo qudrtur de Guss Cosderdo tegrção: por: um Método de qudrtur de Guss com potos teros I f( ) f( ) I f d ser computd com mor precsão possível Est epressão é fórmul de qudrtur de Guss de I sedo,, e, respectvmete, os pesos e s scsss do método de qudrtur. Pr clculr esses prâmetros, fução teste f ( ) é utlzd, cujo vlor eto d tegrl é: I d e o correspodete vlor umérco é: I. Costrudo-se tel: um I I um Pr ssegurr mor precsão possível do método umérco proposto, mpõem-se s equções: () () () (4) 4 Pr resolver o sstem lgérco ão-ler cm se cosder que s scsss d qudrtur [ < ] são s rízes do polômo: p c, ssm:, c, p c, c p. Sutrdo d equção () equção () multplcd por e somdo o resultdo equção () multplcd por c, otém-se:

33 .7 MÉTODOS TIPO QUADRATURA DE GAUSS c c c, porém: c e c, ssm: c 6 c. Sutrdo d equção (4) equção () multplcd por e somdo o resultdo equção () multplcd por c, otém-se: c c c, porém: 4 c c e c, ssm: 4 6 c. 4 Ddo orgem o sstem lgérco ler: p 6 Cujs rízes são:,5., Os vlores de e 6 c, deste modo: 4 6 c c 6 são segur clculdos de () e (), ssm: e Ddo orgem, flmete, o método de qudrtur de Guss com dos potos teros: f d f,5 f, Que é et pr fuções poloms em de gru ão superor. Em vst dest propredde é tmém possível coclur que: () p p p( ) d ; () p p p d e p d p d p d () p d d

34 4. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA As propreddes () e () revelm que o polômo p () é ortogol o tervlo [, ] com relção à fução peso w() =, sto é: w ( ) p d =,,,...,, O polômo que tem est propredde é o Polômo de Jco, P( ) ( ), que é ortogol o tervlo [, ] com relção à fução peso w ( ) ( ). Neste cso = =. Por (,) eemplo, s rízes de P ( ) são =,5 e =,788675, que são s rízes otds pr p () qudrtur de Guss, por sto el tmém é referecd como qudrtur de Guss-Jco. Tmém estem s qudrturs de Guss-Legedre, Guss-Hermte, Guss- Cheyshev, Guss-Lguerre, etc., em fução d escolh do tervlo de tegrção e d fução peso pr o cálculo d tegrl. Qudo fução peso é dferete de w() =, s fórmuls de qudrtur devem ser plcds d segute form: I f ( ) d w( ) g( ) d g( ) em que f() = w() g(), são os pesos d qudrtur e são s rízes do polômo ortogol de gru o tervlo [, ] e fução peso w(). Os pesos d qudrtur podem ser otdos d form como descrto seção teror, com o uso do polômo terpoldor de Lgrge p ( ) ( ) g( ), ou sej: w( ) ( ) d. Porém, tto os pesos d qudrtur quto s rízes dos polômos ortogos ecotrm-se teldos. Ests qudrturs são ets qudo g() é um polômo de gru feror, que é o úmero de prâmetros determr (pesos e scsss) do método de qudrtur. Cálculo d epressão do erro do método de qudrtur de Guss com potos Como tegrção é et té tercer potêc em, pode-se ferr o resíduo (pr um tervlo de tegrção h ) o cômputo de um fução qulquer f(t), o tervlo etre e h, pelo cálculo d tegrl: d f t d f t t tt tt dt t tt tt dt h 4 4 h 4 4 4! dt 4! dt t t Epressdo est últm tegrl em termos de t h t h, result: h t t t t t dt h d h p h t Flmete: 5 4 h d f Erro 4 4 dt t t h d. 8 h Sedo: Erro f t dt f h f h.

35 .8 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 5.8 Itegrs múltpls Método de Smpso pr cômputo de tegrs dupls yd Cosderdo tegrção: f y computdo segudo o procedmeto: I, dy d o vlor umérco dest tegrl é yc I um h h 9 y N M j f, y j 4 f, y j f, y j 4f, y j 4 f, y j f, y j f, y 4 f, y f, y j j j Sedo: y d c h ; h y N M c h y, pr =,,..., M. ; h pr =,,..., N e.9 Itegrs mpróprs Itegrs mpróprs são quels em que fução ão é lmtd o tervlo de tegrção (preset sgulrdde), ou pelo meos um dos lmtes de tegrção é fto. No prmero cso, qudo fução ão é lmtd o promr-se dos etremos do tervlo, por eemplo, se houver um sgulrdde o etremo feror: p d ( ) ( < p < ) p ( ) p g ( ) e f( ), com g() lítc em =, etão o cômputo d tegrl I ( ) ( ) f d p pode ser relzdo d segute form: g ( ) g ( ) p( ) p( ) d d d p p p ( ) ( ) ( ) em que p () é o polômo de Tylor de gru resultte d epsão de g() em toro do poto =. A segud tegrl do ldo dreto pode ser clculd etmete, resultdo em: p g d ( ) ( )!( p) ( ) ( ) ( ) p p Pr prmer tegrl do ldo dreto, remove-se sgulrdde defdo fução:

36 6. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA g ( ) p( ) se p G ( ) ( ) ` se Etão o cômputo d tegrl Gd ( ) pode ser promdo por qudrtur. e Eemplo: Clculr tegrl I d com regr de Smpso Compost com N = e um polômo de Tylor de gru 4. Neste cso g() = e e =, cuj epsão em sére de Tylor result em: 4 p4( ) 6 4 Portto, p4( ) d, e p4( ) se A fução G() é defd por: G ( ) se Que tegrd pel regr de Smpso Compost com N = result em: h N 4 e h Gd ( ) [ G() 4 G(, 5) G(,5) 4 G(, 75) G()], 769 e p4( ) ( ),954. O erro dest promção Etão, tegrl I d G d d ( ) 4 (4) está ssocdo à prmer prcel e é ddo por: Erro h G ( ). Como o mor vlor 8 de G (4) () ocorre em =, cujo vlor é,4664, temos: Erro =, 6. Qudo tegrl mprópr evolve lmte fto: I f( ) d, plc-se mudç de vrável / I t f dt t prmero cso. t t e d t dt, resultdo tegrl:, que preset sgulrdde em t =, podedo ser trtdo como o / I se d Eemplo: Clculr tegrl com regr de Smpso Compost com N = e um polômo de Tylor de gru 4.

37 .9 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 7 / se( t) Aplcdo mudç de vrável t : I t se( t) dt dt t t sgulrdde em t =. Neste cso g(t) = se(t) e =, cuj epsão em sére de Tylor result em: p4( t) t, que preset t 6 Portto, 7 p4() t dt t t t, se( t) p4( t) se t A fução G(t) é defd por: Gt () t set Que tegrd pel regr de Smpso Compost com N = result em: h N 4 e h Gtd ( ) [ G() 4 G(, 5) G(,5) 4 G(, 75) G()], 4956 se( t) p4( t) ( ),654. O erro dest Etão, tegrl I dt G t dt dt t t ( ) 4 (4) promção está ssocdo à prmer prcel e é ddo por: Erro h G ( ). Como 8 o mor vlor de G (4) (t) ocorre em t =, cujo vlor é,6, temos: Erro = 7,86 7. Lst de eercícos. Busque um epressão de segudo gru e outr de tercero gru que melhor promm fução 4 o tervlo 8. Alse e dscut seus resultdos cofrotdo-os grfcmete.. Aprome fução e o tervlo: + por um polômo de meor gru em, em que se ssegur que o módulo do erro sej meor do que -.. Houge & Wtso sugerem epressão empírc o pr o cálculo do clor específco molr do gás trogêo: 6 p em que: C p : cl/gmol/k C,, T, T e T: Kelv. N f de K, o erro mámo do clor específco clculdo por est epressão é de, %. ) determe promção ler de C P que mmz o mámo do erro dcol f de K; ) Clcule o erro percetul mámo d promção propost em ).

38 8. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 4. A vrção do coefcete de epsão térmc do lumío f de o C é dd por: 4 6 o 9 com : T, T, T T C. ) prome (T) por um costte, mesm f de o C, de modo que o vlor do erro mámo sej mímo; ) Clcule o vlor médo de (T) ( T) dt e su méd rtmétc ( mesm f de tempertur) e compre e dscut todos estes vlores sugerdo que vlor é o ms dequdo! 5. Ns Tels o, presetm-se os vlores d codutvdde térmc do CO e d vscosdde do etleo glcol líqudo várs temperturs: T ( o F) (BTU/hr/ft/ o F) T ( o F) (l/ft/hr),85 4,, 5 8, 9,8,5 57,8 5,6 5,57 Determe, em cd cso, o polômo terpoldor de meor gru possível que ssegure um erro reltvo feror, % f teld de T. Oservção: depedêc poloml de com T é ms dequdmete epress por l(). 6. A tel o mostr depedêc d pressão prcl do vpor de mô com tempertur dferetes cocetrções: Cocetrção percetul moll d mô Tempertur 5 5 ( o F) 6,6,4,5 5,55 8,65, 8,5,4 5,85 9,6,86,6,95 4,5 9,4 4,,,6 4,89 9,98,49,54 45,7 64,78 8 7,5,65 44, 6,68 88,7,68 7,9 4,47 8,9,8 56,4,4 5 9,8 66,67 4,8 69,48 9,6 5,6 por terpolção ler s dus vráves depedetes [tempertur e cocetrção] clcule s pressões prcs d mô os segutes csos:

39 .9 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 9 T [ o C] 6,5 6,5 6,5 6, 7,5 7,5 Cocetrção Moll [%] 8,8 6,7 5,, 7,6 5, 7. O fluo, q(,t)d, com que eerg rdte é emtd d superfíce de um corpo egro com comprmeto de od etre e +d é dd pel equção de Plc: hc q, Td d 5 hc ep T Sedo: c: velocdde d luz: =,99795 cm/s; h: costte de Plc = 6,656-7 erg. s : costte de Boltzm =,854-6 erg /K T: tempertur [K]; : comprmeto de od [cm]. Clcule o fluo totl d eerg emtd [em erg/cm /s] de um corpo egro etre os comprmetos de em que: = 9,666 Agstrom e = 5895,9 Agstrom às temperturs de e 6 K. 8. Em um trocdor de clor de csco e tuo, vpor sturdo é lmetdo o csco vsdo quecer um correte de um fludo que esco o tuo, de cordo com o dgrm o: Vpor sturdo Fludo fro T etrd Fludo quecdo T sd Vpor codesdo L O comprmeto do trocdor é otdo trvés d tegrção do lço de eerg do sstem ddo orgem : Tsd W cp T L dt D T ht T etrd vpor T Sedo: L: comprmeto do trocdor; W: vzão mássc do fludo do tuo; D: dâmetro do tuo; c P : clor específco do fludo do tuo; h: coefcete de trsferêc de clor etre o tuo e o csco. O coefcete h é ddo trvés d correlção empírc:,8,4,t 4W TcP T ht ( ) D DT T

40 4. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Sedo: : coefcete de codutvdde térmc do fludo do csco; : vscosdde do fludo do csco. Clculr o comprmeto do trocdor pr cd um dos csos teldos o: CASO A CASO B Fludo CO - em fse gsos Etleo glcol líqudo W (l m /h),5 45 T etrd ( o F) 6 T sd ( o F) 8 e 5 9 e 8 T vpor ( o F) 55 5 D (polegds),495, c P [BTU/l m / o F],5+,46-5 T44/(T+46),5+,65T [BTU/h/ft/ o F] o, 85( F) o, 8(9 F),5 (costte) o, ( F) o, 8(57 F),95 o o o [l m /ft/h] T 46 4( F),5( F) 5,57( F), o o 46 8,(5 F),6(5 F). Um foguete é lçdo do solo sedo su celerção regstrd os 8 prmeros segudos pós seu lçmeto. Estes vlores estão teldos o t (s) (m/s ),,6,44 5,47 7,75 4, 4,9 46,69 5,67 Bsedo os vlores teldos clcule velocdde e ltur do foguete o co dos 8 s. 4. Determe e de modo que fórmul de qudrtur o presete mor ordem de precsão possível: f d f f f 5. Desej-se desevolver um fórmul de qudrtur do tpo: h h f d f f h h f f h Clcule costte e ordem do resíduo. 6. Determe s scsss e pesos d fórmul de qudrtur tpo Guss: f d f f 7. Determe s scsss e pesos d fórmul de qudrtur tpo Guss: l f d f f 8. Determe os vlores de, e fórmul de qudrtur:

41 .9 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 4 f d f f f Sedo um úmero etre e +. 5 Teste seu resultdo pr fução f e = -,. 9. Desej-se desevolver um fórmul de qudrtur do tpo Lotto: f d f f f f f Clcule o vlor d costte e de, e de modo que o método presete mor ordem de precsão possível.. Determe s scsss e o peso d fórmul de qudrtur tpo Cheyshev: f d f f f. Determe s scsss e os pesos ds fórmuls de qudrtur tpo Rdu: () f d f f f () f d f f f Cofrote s precsões ds fórmuls de qudrtur dos eercícos e.. Determe s scsss e pesos d fórmul de qudrtur tpo Guss pr o cômputo de tegrs dupls: y f, y dy d f, y f, y f, y f, y. Clcule tegrl mprópr: sgfctvos., 4. Clcule tegrl mprópr: sgfctvos., 5. Clcule tegrl mprópr: e l, e d com um precsão de qutro lgrsmos d e com um precsão de qutro lgrsmos d com um precsão de cco lgrsmos sgfctvos. 6. Clcule umercmete s tegrs mpróprs: d e e d e. 7. Clcule tegrl mprópr: sgfctvos. e d com um precsão de qutro lgrsmos,

42 4. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 8. A fução S() é defd por: S sgfctvos, tegrl: se S se d. d. Clcule, com qutro lgrsmos O Método de Mote-Crlo pode ser plcdo pr clculr tegrs defds. Tl método plcdo o cômputo de: f d (sedo: pr f fm ) cosste em sorter smultemete N pres de vlores de etre e e de y etre zero e f m. Após os sorteos clcul-se f, se f y fç (cdo-se com ) e prt pr ovo sorteo; cso cotráro, sto é: dos N sorteos clcule: f d fm cálculo d tegrl: f y d fç e prt pr ovo sorteo. Ao co N. Aplque o procedmeto pr o e d, compre o vlor otdo com o vlor eto d tegrl que é: e d erf [ erf é fução erro].