Métodos Numéricos Sistemas Lineares Métodos Diretos. Professor Volmir Eugênio Wilhelm Professora Mariana Kleina

Transcrição

1 Métodos Numéricos Sistems Lieres Métodos Diretos Professor Volmir uêio Wilhelm Professor Mri Klei

2 limição de Guss Decomposição LU Decomposição Cholesky

3 Prtição d mtriz

4 limição de Guss

5 limição de Guss Motivção Qul sistem é mis fácil resolver? m m d c d c c d c c c m m m m b b b

6 limição de Guss Itrodução Cosiste em trsformr o sistem ser resolvido em um sistem triulr equivlete, por meio de operções elemetres. A solução é etão obtid, resolvedo-se um sistem triulr - resolução de form retrotiv. Operções lemetres - Trsformção do Sistem Lier: Trocr dus equções; Multiplicr um equção por um costte ão ul; Adicior um múltiplo de um equção um outr equção. Operções elemetres rtem que o sistem obtido é equivlete o oriil. 6

7 limição de Guss Trsformção em mtriz triulr superior Costrução d mtriz umetd [A b] b b b () () () () () () () () () b b b () () () () () () () () () () () b () () b () () b 7

8 limição de Guss Trsformção em mtriz triulr superior Pivotemeto pivô () () () () () () () () b () () b () () b Zerr coeficietes de usdo operções elemetres () () () () () () b () () b () () b 8

9 limição de Guss Trsformção em mtriz triulr superior Pivotemeto pivô () () () () () () b () () b () () b Zerr coeficietes de usdo operções elemetres () () () () () b () () b () () b 9

10 limição de Guss Trsformção em mtriz triulr superior strtéis prátics de pivotemeto. O que cotece se o pivô for ulo? Pivô próimo de zero pode levr resultdos totlmete imprecisos. Pr cotorr este problem deve-se dotr um estrtéi pr escolh de um bom pivô. Pivotemeto prcil scolher pr pivô o elemeto de mior módulo colu, detre os que id irão tur o processo de elimição. Pivotemeto completo scolher pr pivô o elemeto de mior módulo detre todos os elemetos que id irão tur o processo de elimição.

11 limição de Guss Resolução retrotiv Após trsformção do sistem ser resolvido em um sistem triulr, resolvese o sistem lier triulr de form retrotiv. Supoh que pós k iterções, lcçou-se mtriz triulr superior. tão solução de form retrotiv do sistem triulr é dd pel fórmul. i b k i ji k ii k ij j, i,, D -ésim equção clcule o vlor de ; substitu este vlor equção de ordem ( ) e clcule o vlor de - ; substitu os dois vlores equção de ordem ( ) e obteh o vlor de -,, té cher primeir equção ode substituirá os vlores de, -, -,,, e previmete clculdos pr obter o vlor de.

12 limição de Guss Resolução retrotiv ) ( ) ( (-) ) )( ( ) ( (-) ) ( ) ( b b b b ) ( ) ( ) )( ( (-) ) ( (-) ) ( ) ( b b b b º º Último Peúltimo

13 limição de Guss emplo dus operções elemetres L m L L m, m L m L L m 8 um operção elemetr resolução retrotiv 8

14 limição de Guss Número de Operções Sej um sistem de equções lieres A = b, com A. O úmero de operções pr resolver o sistem vi método de elimição de Guss é proimdmete iul Por eemplo, se mtriz A possui dimesões, o totl de operções pr resolver o sistem A = b é proimdmete, 7 (milhões)

15 Decomposição LU

16 Decomposição LU Itrodução m muits situções, é desejável resolver sistems lieres mis simples do que o oriil. Nesses cso, é idicdo resolver o sistem lier A = b por um técic de decomposição d mtriz A. Detre s técics de decomposição mis utilizds destc-se Decomposição LU. A u U L l l l u u u u u 6

17 Decomposição LU Procedimeto Um decomposição LU ou um ftorção LU de um mtriz qudrd A é um ftorção A = LU qul L é triulr iferior e U triulr superior. Cosidere um sistem lier A = b ode A é um mtriz qudrd e iversível. Supoh que é possível obter um Ftorção LU de form que LU = A, tl que: L sej qudrd, d mesm ordem de A e triulr iferior, iversível; U sej qudrd, d mesm ordem de A e triulr superior, iversível. Assim, fzedo A = LU, temos LU = b. Substituido U por y (U = y), temos que Ly = b. Loo resolver o sistem A = b é equivlete resolver o sistem U = y*, ode y* é solução do sistem Ly = b. = U - y* = U - L - b = (LU) - b = A - b 7

18 8 Decomposição LU emplo A / / A L L L / / / / A L L L / / A / / / / A L L L U 8 / / A 8 / / -/ - / - cotiu

19 9 Decomposição LU emplo 8 / / / / A mtriz superior U foi determid. mtriz iferior L? U A U A U A U A cotiução cotiu U L A A U e L

20 Decomposição LU emplo 8 / / / / LU / / L cotiução / / / /

21 Decomposição LU emplo(resumo) = A () / / = A () / / = A () - / -/ -8 m = -/ e m = -/ m =- / = L / / = U / -8 cotiu

22 Decomposição LU emplo(resumo) 8 U L A cotiução

23 Decomposição LU Procedimeto pr resolução do sistem O Método d Decomposição LU ste método, tmbém cohecido como Método de Doolittle, cosiste seuite sequêci de pssos: i. Obter ftorção LU d mtriz A; ii. Substituir U por y (fzer U = y LU = Ly Ly = b ); iii. Resolver o sistem triulr iferior Ly = b; iv. Obtid solução y* do sistem Ly = b, resolver o sistem triulr superior U = y*.

24 Decomposição LU emplo de Resolução de Sistem Lier 8 U L i. Obter ftorção LU d mtriz A ii. Resolver o sistem triulr iferior Ly = b iii. Resolver o sistem triulr superior U = y* y y y y y y y y y y y y y* 8 8

25 Decomposição Cholesky

26 Decomposição Cholesky Qudo mtriz é simétric, positiv defiid, etão o método de decomposição Cholesky é mis proprido que o método LU. A ftorção LU requer proimdmete / operções pr ser cocluíd ode é ordem d mtriz. A ftorção de Cholesky requer proimdmete metde. Requisitos Pr que ftorção de Cholesky poss ser relizd é ecessário que mtriz A sej simétric e defiid positiv. Um mtriz A é defiid positiv se T A> pr todo R,. Se um mtriz A é defiid positiv el pode ser descrit form A = GG T ode G é triulr iferior. Os elemetos d diol de G são estritmete positivos. 6

27 Decomposição Cholesky G G T A GG T = ( ) = ( ) / = = / = = / = ( ) + ( ) = ( ( ) ) / 7

28 Decomposição Cholesky Procedimeto Supoh A defiid positiv e simétric, ftord em A = LU = GG T. Cohecido o ftor G, temos A = GG T = b. stes sistem é resolvido em dois pssos: i. Resolve-se o sistem Gy = b, obtedo y* como solução; ii. A seuir, resolve-se o sistem G T = y*, obtedo os vlores de que são solução do sistem A = b. 8

29 Decomposição Cholesky emplo de Resolução de Sistem Lier i. Obter ftorção GG T d mtriz A; 7 A 7 7 = ( ) = () / = = = / = / = = 7/ =7/ 7 = ( ) + ( ) = ( ( /) ) / = ( /) / = (9/) / = / = + = (//)( 7//) = / = ( ) + ( ) + ( ) = ( (7/) (/) ) / = G 7 / / / / G T / / 7 / / 9

30 Decomposição Cholesky emplo de Resolução de Sistem Lier / / 7 / / G / / / 7 / G T i. Obter ftorção GG T d mtriz A ii. Resolver o sistem triulr iferior Gy = b iii. Resolver o sistem triulr superior G T = y* y y y y y y y y y 7 y y y y*

31 Revisão dos métodos diretos limição de Guss com pivotmeto Custo de memóri: O( ) Custo computciol: O( ) Só pode ser utilizdo pr pequeo, p. e., <= Decomposição LU Custo de memóri: O( ) Custo computciol: O( ) Só pode ser utilizdo pr pequeo, p. e.., <= Bom pr resolver problem pr os quis o sistem lier ssume vlores diferete o ldo direito (termos idepedetes diferetes)