ANÁLISE NUMÉRICA. Sistemas Lineares (2) Prof. Rodrigo Baleeiro Silva
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1 ANÁLISE NUMÉRICA Sistems Lieres () Prof. Rodrigo Beeiro Siv
2 Sistems Lieres Eimição de Gss Csses de métodos pr resoção de sistems de eqções ieres Métodos diretos: soção et do sistem é obtid teoricmete com m úmero fiito de operções ritmétics. Métodos itertivos: soção et do sistem é obtid somete com m úmero ifiito de operções Os métodos de eimição de Gss decomposição LU de Choesky e LDLT são métodos diretos. Os métodos de Jcobi e Gss-Seide são métodos itertivos.
3 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Sistems de eqções ieres Cojto de m eqções poiomiis com vriáveis i de gr m m m m m b b b b
4 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Sistems de eqções ieres Represetdo form mtrici ode A é mtriz de coeficietes é o vetor soção e b é o vetor de termos idepedetes. m m m m m b b b b
5 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Sistems de eqções ieres Pr m mtriz (A) qdrd ( ) ão sigr A b A A A b A O sej o vetor soção pode ser obtido peo prodto d mtriz ivers dos coeficietes peo vetor de termos idepedetes. Resover m sistem de eqções ieres cosiste em ecotrr m vetor ( ) qe stisfç simtemete às eqções. b 5
6 Sistems Lieres Coceitos Fdmetis Sistems de eqções ieres Cssificção de sistems Sobredetermido: qdo A (m ) possir m e posto(a) = Sbdetermido: qdo A (m ) possir m < e posto(a) = m Úic soção: qdo det(a) Ifiits soções: qdo det(a) = Sem soção: qdo det(a) = e 6
7 Sistems Lieres Sistems trigres Sistems trigr iferior Ddo m sistem trigr iferior de ordem 7 c c c c
8 Sistems Lieres Sistems trigres Sistems trigr iferior A soção do sistem é ccd por sbstitições scessivs 8 c c c c c c c...
9 Sistems Lieres Sistems trigres Sistems trigr iferior c... As sbstitições scessivs podem ser represetds por i c i ij j j i i... ii 9
10 Sistems Lieres Sistems trigres Eempo: soção de m sistems trigr iferior por sbstitições scessivs
11 Sistems Lieres Sistems trigres Eempo: soção de m sistems trigr iferior por sbstitições scessivs
12 INTRODUÇÃO Agoritmo Sbstitições_Scessivs { Objetivo: Resover m sistem trigr iferior L=c } { pes sbstitições scessivs } prâmetros de etrd L c { ordem mtriz trigr iferior e vetor idepedete } prâmetros de síd { soção do sistem trigr iferior } () c()/l() pr i té fç Som pr j té i- fç Som Som + L(ij)*(j) fimpr (i) (c(i) - Som)/L(ii) fimpr fimgoritmo
13 Sistems Lieres Sistems trigres Sistems trigr sperior Ddo m sistem trigr sperior de ordem d d d d
14 Sistems Lieres Sistems trigres Sistems trigr sperior A soção do sistem é ccd por sbstitições retrotivs d d d d d d
15 Sistems Lieres Sistems trigres Sistems trigr sperior As sbstitições retrotivs podem ser represetds por 5 d d i d ii i j j ij i i
16 Sistems Lieres Sistems trigres Eempo: soção de m sistems trigr sperior por sbstitições retrotivs
17 Sistems Lieres Sistems trigres Eempo: soção de m sistems trigr sperior por sbstitições retrotivs
18 INTRODUÇÃO Agoritmo Sbstitições_Retrotivs { Objetivo: Resover m sistem trigr sperior U=d } { pes sbstitições retrotivs } prâmetros de etrd U d { ordem mtriz trigr sperior e vetor idepedete } prâmetros de síd { soção do sistem trigr sperior } () d()/u() pr i - té psso - fç Som pr j i+ té fç Som Som + U(ij)*(j) fimpr (i) (d(i) - Som)/U(ii) fimpr fimgoritmo 8
19 Gss 9
20 Sistems Lieres Eimição de Gss Dois sistems de eqções ieres são ditos eqivetes qdo possem o mesmo vetor soção. Eempo: B A A B A ~ 9 B 8
21 Sistems Lieres Eimição de Gss Um sistem de eqções ieres pode ser trsformdo em otro sistem eqivete tiizdo operções -eemetres (operções de ih) As operções -eemetres são: Trocr ordem de ds eqções Mtipicr m eqção por m costte ão Somr m eqção à otr
22 Sistems Lieres Eimição de Gss A) Operção -eemetr: trocr ordem de ds eqções Eempo: C B B C B ~ 9 C 9
23 Sistems Lieres Eimição de Gss B) Operção -eemetr: mtipicr m eqção por m costte ão Eempo: D C D C ~ 9 D 9 C
24 Sistems Lieres Eimição de Gss C) Operção -eemetr: somr m eqção à otr Eempo: E D E D ~ 8 E 9 D
25 Sistems Lieres Eimição de Gss O método de eimição de Gss cosiste em trsformr m sistem de eqções ieres em m sistem trigr sperior eqivete por itermédio ds operções -eemetres. 5 d d d d b b b b ~
26 Sistems Lieres Eimição de Gss A trsformção pode ser represetd por: A = b ~ U = d A soção do sistem U = d é obtid por sbstitições retrotivs. A etidão d soção pode ser verificd peo cáco do vetor resído: r = b - A A soção será et se r =. 6
27 Sistems Lieres Eimição de Gss Eempo: resover o sistem bio peo método de eimição de Gss e verificr etidão d soção
28 Sistems Lieres Eimição de Gss Eempo: _ o psso: eimir os eemetos d primeir co bio d digo. eemeto pivô ih pivot L Mtipicdor A b Operções - m =(-)/= m =/= L + L L + L 6 8
29 Sistems Lieres Eimição de Gss Eempo: _ o psso: eimir os eemetos d segd co bio d digo. eemeto pivô ih pivot L Mtipicdor A b Operções - m =(-)/= m =/= L + L 5 m =6/= L + L L + L5 9
30 Sistems Lieres Eimição de Gss Eempo: _ o psso: resover o sistem trigr sperior eqivete (ihs L L5 e L6) por sbstitições retrotivs. 6 7
31 Sistems Lieres Eimição de Gss Eempo: _ o psso (cotição) 6 7 T 6 7
32 Sistems Lieres Eimição de Gss Eempo: _ o psso: ccr o vetor resído (r = b - A) e verificr etidão d soção. como r = soção é et r
33 Sistems Lieres Eimição de Gss O vor do determite pode ser obtido como m sbprodto do método de eimição de Gss. É ecessário sber qis s reções etre os determites ds mtrizes dos sistems eqivetes itermediários obtidos pes eqções - eemetres drte o processo de eimição. A A) Se s ihs ds mtrizes A e B forem trocds: det( B ) det( A) det( A) eb det( B )
34 Sistems Lieres Eimição de Gss A B) Se todos os eemetos de m ih de A forem mtipicdos por m costte k: det( B ) k det( A) det( A) eb det( B ) 5 C) Se m mútipo escr de m ih de A for somdo otr ih: det( B ) A det( A) det( A) 5 eb 5 det( B ) 5
35 Sistems Lieres Eimição de Gss D) Se A for m mtriz trigr o digo de ordem : det(a)... i A det( A) B 5 det( B ) 5 ii 5
36 Sistems Lieres Eimição de Gss E) Se mtriz C for o prodto etre s mtrizes A e B: det(c) det(a) det(b) A C det( A) det( C ) B det( A) e 6
37 Sistems Lieres Eimição de Gss * Cáco do determite do eempo terior: det(a)
38 Sistems Lieres Eimição de Gss O método de eimição de Gss irá fhr se o pivô for o. Pr evitr este probem pode ser tiizdo estrtégi d pivotção prci qe cosiste em escoher como pivô o mior eemeto em módo d co cjos eemetos serão eimidos. Um vtgem d pivotção prci é qe todos os mtipicdores stisfzem codição - m ij evitdo o so de mtipicdores com vores grdes. 8
39 Sistems Lieres Eimição de Gss Eempo: resover o sistem bio peo método de eimição de Gss com pivotção prci
40 Sistems Lieres Eimição de Gss Eempo: _ o psso: eimir os eemetos d primeir co bio d digo. eemeto pivô ih pivot L Mtipicdor A b Operções m =/=5 - m =(-)/= L + L L + L 6
41 Sistems Lieres Eimição de Gss Eempo: _ o psso: eimir os eemetos d segd co bio d digo. eemeto pivô ih pivot L Mtipicdor A b Operções m =/=5 - m =(-)/= m =(-5)/5= L + L L + L 6 6 L5 + L
42 Sistems Lieres Eimição de Gss Eempo: _ o psso: resover o sistem trigr sperior eqivete (ihs L L5 e L6) por sbstitições retrotivs
43 Sistems Lieres Eimição de Gss Eempo: _ o psso (cotição) T
44 Coteúdo d prov Todo coteúdo do Cdero visto em s de ; Sides Itrodção à áise méric; Sistems ieres I; Sistems ieres II. OBS: Toobo m foh A frete e verso
45 Importte! Este mteri tem como referêci básic os mteriis desevovidos peo professor Mríio J. Iácio ém dos coteúdos dispoíveis os ivros de referêcis d discipi. 5
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