Capítulo 1 ( ) ( ) 1. Iniciação à lógica bivalente { } ( ) ( ) { } ( ) Pág { } { }

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1 Cítlo Iicição à lógic bivlete ,desigção ,roosição 8,desigção 8 >,roosição { },,5,desigção { } ˇ,,5,roosição Pág { } { } { } { },, É fls,, É verddeir 6 É verddeir 6 É fls Not: 8 6 ( 5) 0 É fls 5 0 É verddeir Not: mdc 8,0,desigção 9 A roosição é fls 8 mdc 8,0 8,roosição A roosição (), , é verddeir A roosição (4), 8 >,é fls, já qe 8 A roosição (6), ˇ{,,5,é } verddeir A roosição (8), mdc ( 8,0) 8,é verddeir A rimeir: 4 é m úmero r Pág 0 A rimeir: "+" e "4-" são desigções do úmero A segd: " " é m desigção de 0,5 Łł 4 A roosição, ++, é verddeir Pág 4 A roosição, "+""+", é fls 4 A roosição, "5+ """, é fls 44 8 A roosição, "4" " ", é verddeir Ł ł 5 É verddeir 5 É fls 5 É verddeir 6 O livro escolr ão é m istrmeto de trblho Pág 6 O tomóvel ão é m meio de trsorte 6 Nem todos os los gostm de mtemátic 7 + b + b Pág 9 6 É verddeir, visto qe 5 5 _ 0 A ág é m bem essecil e rotecção do Pág 4 mbiete é m resosbilidde de todos 0 b _ 4 A ág ão é m bem essecil e rotecção do mbiete é m resosbilidde de todos _ l l l m m m A roosição de é verddeir; roosição de é fls; roosição de é fls b O + o lógic é m btt O lógic é m btt o + A roosição de 4 é verddeir A roosição de 4 é fls Pág 5 Pág 6 O o Plio tem 7 os o Mi tem 6 os (Fls) O o Plio ão tem 7 os o Mi tem 6 os (Verddeir) É fls, orqe e q são mbs verddeirs 7 ão é m úmero irrciol 7 É verddeir, orqe é fls e q é verddeir 7 Nem todos os úmeros rimos são ímres 8 q 8 É fls É verddeir Not: q r q

2 Cítlo Iicição à lógic bivlete 9 Not: N roosição b deste exercício, ode 7 7 se lê b:, deve ler-se b: + 9 São mbs verddeirs < 9 e/o + (Verddeir) e/o + (Fls) e/o + (Verddeir) Pág 7 6 Plio estd mtemátic se e só se qer ser cietist 6 Plio estd mtemátic se e só se ão qer ser jorlist 6 7 Plio estd mtemátic e qer ser cietist se e só se ão qer ser jorlist Pág 9 é m úmero r se e só se é m úmero irrciol 0 Se q é verddeir, etão m ds roosições é verddeir e otr é fls 7 é m úmero r se e só se ão é m úmero irrciol 0 0 É verddeir, orqe m ds roosições é verddeir É verddeir, orqe m ds roosições é verddeir 7 ão é m úmero r se e só se e são úmeros rciois É verddeir Um ds roosições é verddeir É fls Um ds roosições é fls É verddeir Um ds roosições é verddeir q fi r Pág 8 74 é m úmero r e é m úmero rciol se e só 8 se é m úmero rciol A roosição de 7 é verddeir A roosição de 7 é fls A roosição de 7 é verddeir A roosição de 74 é fls fi r r fi q 9 Se «b é verddeir, etão s ds roosições têm o mesmo vlor lógico (mbs verddeirs o mbs flss) 4 4 ( ) r q fir Se + 5, etão ão é m úmero irrciol Se + 5, etão é m úmero irrciol Se e são úmeros irrciois, etão + 5 Se + 5 o ão é m úmero irrciol, etão ão é m úmero irrciol 9 É verddeir, orqe m ds roosições é verddeir 9 É verddeir, orqe s roosições ( b) e ão têm o mesmo vlor lógico 9 É verddeir, orqe s roosições ( b) e têm o mesmo vlor lógico _ 0 Pág 0 4 A roosição de é verddeir, m vez qe e são roosições flss b A roosição de é verddeir, m vez qe e c são roosições verddeirs A roosição de é verddeir, m vez qe ( b c) e são roosições verddeirs ( c) A roosição de 4 é verddeir, m vez qe e b são roosições flss Se fi q é fls, etão roosição é verddeir e roosição q é fls É fls, orqe mbs s roosições ( e q) são flss É fls, orqe m ds roosições é fls 0 5 É verddeir Um ds roosições é verddeir

3 Cítlo Iicição à lógic bivlete ( b) b V b V ( ) ( ) F b b b b ( ) ( ) V b b b b 8 Pode coclir-se qe roosição é verddeir q v q V V V V F V F V V F F F 9 _ 40 b Pág 40 b c 40 b c 4 4 É fls (0) Pág É fls (0) É fls (0) b ( ) b c e 5 ( + 7) 60 _ 4 ( fi b) ( b) Pág 4 ( b) ( b) ( b) ( b b) F ( b ) ( b ) 4 4 b 44 ( b) c Pág Jorge ão é médico e/o estd mtemátic Jorge é médico e estd mtemátic ( b) b F b F 45

4 Cítlo Iicição à lógic bivlete 46 b 0 Ordem ossível de reechimeto d tbel: b 49 fi q r fi qq «q r ( fi q) «( q fi r q) Resost: (D) Resost: (C) Pág 6 Se «b é fls, etão m ds roosições é verddeir e otr é fls Assim, (B) é verddeir, orqe s roosições ~ e q têm o mesmo vlor lógico (C) é verddeir, orqe s roosições e q têm vlor lógico diferete Logo s resosts (B) e (C) estão corrects 0 ( fi ) ( fi ) Ø( ) غ ( ) øß [ V] fi b b b b º b bøß b b V O Mel ão estd Físic em Mtemátic O Mel estd Físic e Mtemátic e ão estd Biologi É verddeir roosição b c Not: Por lso, existem ds resosts corrects 4 Resost: (A) 5 6 Resost: (B) Resost: (D) 7 Resost: (C) 8 r q Pág 7 A Olívi ão er estdte e o Jeremis er escdor q fi r Se o Jeremis ão er escdor, etão Olívi er estdte q r O Esébio foi ftebolist e o Jeremis er escdor e Olívi er estdte 8 r q: verddeir q fi r: verddeir q r: fls 9 b 9 fi b c 9 9 cfi b A roosição de 9 é verddeir A roosição de 9 é verddeir A roosição de 9 é verddeir 4

5 Cítlo Exressões lgébrics Qtificdores São codições s exressões de: Pág 9 () + > 0 (4) > (5) - > x (6) > x (7) - x - > 0 As resttes são exressões desigtóris " x H, x é mortl Pág 0 " x P, x tem gelrs " x Z, x R Existe elo meos m úmero rel qe é solção d ieqção x - < x Existe elo meos m úmero trl qe é solção d ieqção x - < x 9 (8) É verddeiro Por exemlo r x - (8) É flso (8) É verddeiro Por exemlo r x (84) É verddeiro Por exemlo r x Todo o qdrdo de m úmero rel é ão egtivo Todo o úmero trl metdo de m idde é mior qe esse úmero Todos os eixes resirm or gelrs Todo o úmero rel metdo de qtro iddes é ositivo Todo o úmero trl metdo de qtro iddes é ositivo 0 0 (85) É flso É verddeir (Pr x ) É fls (Admite ds solções: x - o x ) 0 É verddeir _ x e y são livres Pág x é md A firmção qe ão é verddeir é 4, " x R, x + 4 > 0 5 Proosição fls 5 Proosição verddeir 5 Proosição verddeir 54 Proosição verddeir 6 x > 0, " x A 6 " x Ax, < x $ x R, x > 50 Pág $ x { } úmeros rimos, x é r $ x R, x 6 74 $ x { cobrs }, x é veeos 8 Existe elo meos m úmero rel qe é Pág solção d eqção x + x Existe elo meos m úmero trl qe é solção d eqção x + x Existe elo meos m úmero rel cjo qdrdo metdo de três iddes é ositivo x é livre e y é md 4 x é md A exressão de é m codição A exressão de é m roosição A exressão de é m codição A exressão de 4 é m roosição Se x, vem:y < 5 Se x, vem:y < 4 Se x, vem:y < Se x 4, vem:y < Etão, em N*, o cojto-solção é {, } _ 4 ) b) c) d) " xy, R, x + y 0 Pág 4 $ xy, R, x + y 0 " x R $ y R, x + y 0 $ x R " y R, x + y 0 4 () Qisqer dois úmeros reis têm som l (Flso) (b) Existem elo meos dois úmeros reis cj som é l (Verddeiro) (c) Pr todo o úmero rel existe elo meos m otro úmero rel cj som com o rimeiro é l (Verddeiro)

6 Cítlo Exressões lgébrics Qtificdores 5 5 Verddeiro ( x 0) (d) Existe elo meos m úmero rel qe diciodo com qlqer otro dá som l (Flso) ( y ) Verddeiro $ x T, x ão jog ftebol Pág 5 " x T, x ão jog xdrez e/o x ão jog domió " x R,x + x -5 x N, x x $ x R " y Z, x y 8 A + - Pág 7 ( + ) Vmos rovr qe A é verddeir r o iteiro +, isto é: ( + ) Ø( + ) + ø ( + )( + ) + º ß + Sbemos qe: ( ) + ( + ) + O sej: Prtido dqi, ode-se escrever: ( ) + + ( + ) Ms sbe-se, or hiótese de idção, qe A( ) : Or, e + Logo, A( ) é verddeir Sohmos qe A é verddeir r o iteiro, o sej: + - Vmos rovr qe A é verddeir r o iteiro +, isto é: - ( + ) b) Etão, sbstitido, vem: ( + ) + + isto é, A ( + ) ( ) ( + ) + ( + ) ( + )( + ) A : ( ) Sbemos qe Ms sbe-se, or hiótese de idção, qe Prtido dqi, ode-se escrever: + Etão, sbstitido, vem: isto é, A ( + ) 8 ) ( + ) A : ( + ) A( : ) ( + ) Or, e Logo, A( ) é verddeir Sohmos qe A é verddeir r o iteiro, o sej: A( : ) ( ) Or, 6 e 6 ( ) Logo, A( ) é verddeir Sohmos qe A é verddeir r o iteiro, o sej: ( ) Vmos rovr qe A é verddeir r o iteiro +, isto é: + ( ) Sbemos qe: + e O sej: ( ) Prtido dqi, ode-se escrever: ( ) Ms sbe-se, or hiótese de idção, qe ( ) + Etão, sbstitido, vem: + ( ) ( ) ( ) isto é, A ( + ) +

7 Cítlo Exressões lgébrics Qtificdores Resost: (D) Pág 8 Flso Resost: (A) Verddeiro Resost: (C) 4 Resost: (C) 5 Resost: (B) 6 Resost: (A) 7 Resost: (B) 8 " x N, x > 0 Pág $ x R, x < 0 " x Q, x 0 " x R, x x + 6 () O rodto de dois úmeros reis existe semre e é úico (b) Proriedde comttiv (c) Proriedde ssocitiv (d) Existêci de elemeto etro (e) Existêci de iverso em R \0 { } Verddeiro Flso 4 " xy, R, x + y y + x 4 $ R " x R, x + + x x 4 " x R $ y R, x + y y + x $ x Z, x øß -5,5 غ " x Z, xˇøß 4,5 غ Todo o úmero trl é rel (Verddeiro) Em L cojção é idemotete (Verddeiro) Há elo meos m úmero rel cjo vlor bsolto é ão serior sete (Verddeiro) Todo o úmero trl é mior qe o se iverso (Flso) Há elo meos m úmero rel qe é mior qe o se iverso (Verddeiro) 96 Existe elo meos m úmero do itervlo غ,5 غ qe é igl 5 (Flso) 0 ) Existe elo meos m ser vivo qe esteve L b) Todo o úmero iteiro é igl o se dobro 0 A roosição de 0 ) é verddeir A roosição de 0 b) é fls 0 Proosição de 0 ) " x H, x ão esteve L Proosição de 0 b) $ x Z, x x ) " x Z $ y Z, y < x b) $ x Z " y Z, x < y A roosição de ) é verddeir A roosição de b) é fls