y vetores do R 2. Então:

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1 ESPAÇOS VETORIAIS Espços Vetoriis Estdremos o coceito de espço etoril, qe é m cojto mido de certs operções, gozm de proprieddes ligds áris plicções mtemátics, s ciêcis bem como egehri Sej V m cojto ão zio Defi em V ds operções, m qe chmremos de som, e m otr qe chmremos de mltiplicção por esclr: : V V V, : R V V α, α todos O cojto V, com s operções defiids cim, é dito m espço etoril sobre R, se, pr,, w V e α, R, s segites proprieddes forem stisfeits: w w - ssociti - comtti Eiste em V m elemeto etro,, tl qe Eiste em V o elemeto tl qe α α α - distribti 6 α α 7 α α 8 Eemplos V R, com som e mltiplicção por esclr sis de etores é m espço etoril Solção: De fto, mos pror s oito proprieddes cim: Sejm,,, e w, etores do R Etão: w,,,,, w,,,, Sej, Etão,,,, Cosidere, Etão:,,,, α α, α α, α α, α α α

2 6 α α, α α, α, α 7 α α, α α, α 8,, b V, espço d mtrizes de ordem, com s operções de som o prodto por esclr de mtrizes sis é m espço etoril c V I R, R cojto ds fções reis com s segites operções: f g f g e α f αf Os ites b e c ficm como eercícios Cosidere V R, com s segites operções:,,,, α, α, α Vmos erificr se V com esss operções é m espço etoril Solção: Sejm,,, e w, etores do R Etão: w,,,,, w,,,, Sej, b Etão,, b, b,, b Portto o elemeto etro será o etor, Qeremos m etor, b tl qe Etão:,, b, b, b Obsere qe esss eqções só terão solções se e Portto em todo elemeto de V tem simétrico e, portto V ão é m espço etoril V R, com s segites operções:,,, α, α α α, Verifiqe se V é m espço etoril com s operções cim, Obserção: Os elemetos do espço etoril V serão chmdos de etores, embor preç estrho A jstificti se dee o fto de qe s operções de dição e mltiplicção por esclr relizds com esses elemetos se comportm de form idêtic como se estiéssemos trblhdo com os próprios etores do R e R

3 Sbespços Vetoriis Sejm V m espço etoril e W m sbcojto de V, ão zio O sbcojto W é m sbespço etoril de V se, com s operções herdds de V, W é m espço etoril Pr mostrrmos qe m sbcojto W é m sbespço etoril de V, deerímos testr s oito proprieddes de espço etoril, em relção às operções defiids em V No etto, sedo W m sbcojto de V, certos ioms ão precism ser erificdos O próimo teorem estbelece codições pr qe m sbcojto W, ão zio, de m espço etoril V sej m sbespço etoril de V Teorem : Um sbcojto W, ão zio, de m espço etoril V, é m sbespço etoril de V, se forem stisfeits s segites codições: i, W, W ii α R, W, α W Demostrção: As proprieddes,,, 6, 7 e 8 são fcilmete erificds pois os elemetos de W são tmbém elemetos de V De ii temos, tomdo α, qe W Tomdo α, teremos W Assim W é m espço etoril com s operções herdds de V Obserção: As codições i e ii do teorem terior são eqiletes : i W ii α, R,, W, α W Assim, pr qe W sej m sbespço etoril de V, bst mostrrmos s codições cim Eemplos: V R, W {, V ; } Solção: Obsere qe W é ão zio, pois o etor, pertece W Sejm, e, elemetos de W Etão, e,,, W Sej, gor, α R Etão α α, α α, α α, α α W ogo W é m sbespço etoril de V V R, W {,, V ; b cz,, b, c R} Solção: Sejm,, e,, elemetos de W Etão b cz e z z,, z z b c z b c b c b cz Temos qe Vejmos se W W Sej, gor, α R Etão α α, α, α e z α b α c α α b c α α W ogo W é m sbespço etoril de V I R, R f I R, R; f é difereciáel Solção: Sbemos do Cálclo Diferecil qe som de fções difereciáeis é difereciáel e qe mltiplicção de m costte por m fção difereciáel é m fção difereciáel Portto W é m sbespço etoril de V V, W { }

4 I R, R f I R, R; f Solção: Sejm f, g I R, R Etão f e g Agor, f g f g f g W e α f α f α α f W Portto, W é m sbespço etoril de V V, W { } V, e W { A V; AB, B V, B } Solção: Sejm A, C W Etão A C B AB CB A C W e α A B α AB α α A W Portto, W é m sbespço etoril de V Obserção: Todo espço etoril dmite pelos meos dois sbespços: o próprio V e W { } Estes sbespços são chmdos de sbespços triiis Teorem : Sejm W e W sbespços etoriis de m espço etoril V Etão iterseção W W é tmbém m sbespço etoril de V Demostrção: Sej, W W Etão, W e, W Como W e W são sbespços W e W ogo, W W D mesm form, α W e α W ogo, α W W Portto W W é m sbespço etoril de V Eemplos: Cosidere os segites sbespços: W {,, R ; } e W {,, R ; z } Clcle W W Solção: Sej, b, c W W Etão, b, c W e, b, c W ogo b e c e,, é m elemeto d iterseção com R, isto é: W W, b, c { R ; b, c } Sej V, e cosidere os segites sbespços de V: b b W ; e W ; b d c d c d Clcle W W b Solção: Sej A W W Etão A W e A W ogo b d ogo c d A é m elemeto d iterseção com c R c Obserção: A ião de sbespços em sempre é m sbespço De fto, tomemos os segites, V;, V; Etão sbespços: W { } e W { } W W {, V; o } Sejm, e, elemetos de W W Etão, W W ogo W W ão é m sbespço etoril de V

5 Eercício: Sejm U e W sbespços de m espço etoril V Etão: U W é m sbespço etoril de V U W o W U Demostrção: É clro qe se U W o W U, etão U W U o U W W Como U e W são sbespços etoriis de V, etão U W é tmbém m sbespço etoril de V Spohmos qe U W sej m sbespço etoril de V e dmitmos qe W U ostremos qe U W Pr isso, sej U Como W U eiste m elemeto w W tl qe w U Cosidere o etor h w U W Afirmmos qe h W De fto, h W, pois se h W, h estri em U Assim w h U, o qe é m bsrdo ogo h w W e, portto U W Teorem : Sejm W e W sbespços etoriis de m espço etoril V Etão, o cojto é m sbespço etoril de V W W V; w w, w W, w W Demostrção: Sejm, W W Etão w w e w w com w, w W e w, w W Como W e W sbespços etoriis de m espço etoril V etão w w W e w w W e α w W α w W Etão w w w w w w w w W W e W W é m espço etoril de V α α w w α w α w W W ogo W W é m espço etoril de V Defiição : Sejm W e W sbespços etoriis de m espço etoril V Dizemos qe V é som diret de W e W, deotd por V W W, se: i V W W ii W W { } Eemplos: Verificr se V R é som diret dos sbespços ddos bio, em cd cso { } W,, R ; z e W,, { R ; } Solção: Sej,, m elemeto qlqer do R Vmos mostrr propriedde i, isto é, mos mostrr qe qlqer etor de R se escree como som de m elemeto de W com m elemeto de W Etão,,,,,, de ode podemos coclir qe R W W Agor mos pror propriedde ii Sej, b, c W W Etão W c e W b Assim,, e {} W W ogo R W W { } b W,, R ; z e W,, { R ; z } Solção: Sej,, m elemeto qlqer do R Etão,,, z,, z, z Obsere qe o primeiro elemeto d som cim pertece W, pois z O segdo elemeto d som pertece W, pois som de tods s coordeds é l Dess form R W W Proremos, gor, propriedde ii Sej, b, c W W Etão

6 W c e W b c Como c etão teremos b c ogo c, c, c, c R Assim W { } c W,, d W { R ; } {,, z R ; z } W e portto Os ites c e d ficm como eercícios { R ; } {,, z R ; } e W,, e W R ão é som diret de W e W Obserção: Um espço etoril V é som diret de W e W se, e somete se, qlqer etor V se escree, de modo úico, como som de m elemeto de W com m elemeto de W, isto é, w w, w W, w W Proe! Eercício: Sej V o espço ds mtrizes qdrds de ordem Sejm A V ; A A t - cojto ds mtrizes simétrics W { } W { A V A A t } ; - cojto ds mtrizes ti-simétrics ostre qe V W W Sgestão: t A A A A A t 6 Combição ier Sejm,,, etores de m espço etoril V Um etor V é combição lier dos etores,,, se eistirem esclres,,, tis qe 7 Eemplos: O etor, é combição lier dos etores, e, pois,,, O etor,, é combição lier dos etores,, e w,,? Solção: O etor será combição lier dos etores e w se eistirem esclres e tis qe,,,,,, Obserção: Vmos relembrr o método do esclometo pr resolção de sistems lieres Pr resolermos m sistem lier deemos obter sistems eqiletes, ode os lores ds icógits são fcilmete obtidos Vejmos etão, como proceder pr obter o sistem eqilete coeiete, trés do processo elimição de riáeis em cd eqção Pr torr mis clro o processo, o ldo de cd sistem mos escreer s mtriz mplid mtriz formd pelos coeficietes ds icógits crescetd à col dos termos idepedetes ª Elimiemos d eqção Sbstitímos eqção por otr, obtid somdo-se eqção com mltiplicd por : 6

7 7 7 7 ª Vmos torr itário o coeficiete de eqção Pr isso, sbstitímos eqção por otr, obtid mltiplicdo-se eqção por 7 : ª Elimiemos d eqção Sbstitímos eqção por otr, obtid somdo-se eqção com eqção mltiplicd por : O último sistem é eqilete o sistem iicil, e obsere qe podemos obter solção do sistem fcilmete:, No eemplo presetdo prtimos de m sistem de eqções lieres e fomos obtedo sistems scessios, obtidos do terior por operções qe preserm s iglddes idicds, té chegrmos o sistem eqilete qe epress solção As etps itermediáris são tods reersíeis, pois podemos obter o sistem iicil prtir do último sistem efetdo s operções ierss ds meciods, ordem iers As operções qe forecem sistems eqiletes são chmds operções elemetres As operções elemetres sobre s lihs de m mtriz são: Permtção d i-ésim e j-ésim lih: j i Eemplo: ltiplicr i-ésim lih por m esclr qlqer k, ão lo: i i k Eemplo: 8 6 Sbstitição d i-ésim lih pel i-ésim lih mis k ezes j-ésim lih: j i i k Eemplo: 9 N resolção do sistem cim obsermos qe mtriz mplid do sistem obtido scessimete pes sofre operções elemetres sobre ss lihs com objetio de serem trsformds m mtriz form escd embremos qe qdo ão fzemos referêci lgm lih, mesm dee permecer ilterd Um mtriz é lih redzid à form escd se stisfz às codições: O primeiro elemeto ão lo de cd lih é Cd col qe cotém o primeiro elemeto ão lo de lgm lih tem todos os otros elemetos igis zero Tod lih l ocorre bio de tods s lihs ão ls

8 8 Se,,, r são s lihs ão ls e se o primeiro elemeto ão lo de i ocorre col j i, etão j < j < < j r embrmos qe m lih é l se todos os ses elemetos forem los Um lih ão l é qel qe possi pelo meos m elemeto ão lo A codição sigific qe os primeiros elemetos ão los itários de cd lih deem ocorrer em cols seqecids Cosideremos s mtrizes bio e erifiqemos qis são lih redzid à form escd: A ; B ; 8 C ; 8 D ; E As mtrizes A e B são lih redzid à form escd, pois tods s codições estão stisfeits A mtriz C ão é lih redzid à form escd, pois ão stisfz à codição A mtriz D ão é lih redzid à form escd, pois ão stisfz e codições A mtriz E tmbém ão é lih redzid à form escd, pois ão stisfz codição Dds ds mtrizes m, A e B, dizemos qe B é lih-eqilete A se B foi obtid de A pós m úmero fiito de operções elemetres sobre s lihs de A Neste cso, idicmos A B o A B Dd m mtriz A m, chmmos de posto o crcterístic de A, idicdo por p, o úmero de lihs ão ls de s mtriz eqilete lih redzid à form escd Eemplo: Pr obter o posto d mtriz A precismos, em primeiro lgr, obter s mtriz eqilete B lih redzid à form escd Isso é cosegido plicdo-se operções elemetres coeietes às lihs d mtriz A : A B Portto, o posto de A é igl, qe é o úmero de lihs ão ls d mtriz B Vmos sr esclometo pr resolermos o sistem

9 9 Tomemos mtriz mplid do sistem: Obsere qe o posto d mtriz mplid é igl eqto o posto d mtriz dos coeficietes é igl ogo o sistem ão tem solção e, portto o etor ão é combição lier dos etores e w Isto tmbém poderá ser obserdo qdo oltmos o sistem, pois terceir eqção temos m bsrdo Sej o espço dos poliômios de gr Sej 9 ostre qe é combição lier dos etores e 8 Solção: Deemos ecotrr esclres e b tis qe b, o sej, b b b b embrmos qe dois poliômios são igis qdo os coeficietes dos termos de mesmo gr são igis Etão temos:, 8 9 b b b b Portto e se escree como combição lier de e Sej S o cojto de tods s combições lieres dos etores,,,, isto é, { } R V S i, ; O cojto S é m sbespço etoril de V, chmdo de sbespço gerdo pelos etores,,, e será deotdo por [ ] S,,, Obserção: O sbespço [ ] S,,, é o meor sbespço etoril de V qe cotém os etores,,,, isto é, se W é otro sbespço etoril de V cotedo os etores,,,, etão S W 8 Eemplos: ostre qe os etores,,,,, e,, germ o R Solção: De fto esses etores germ o R pois, se,, z é m etor qlqer do R etão:,,,,,,,, z z

10 Determie os gerdores dos segites sbespços: { R ; z } W,, Solção: Sej w,, m elemeto qlqer de W Etão z z e w,,,,,,,,,,,, Obsere qe os etores,,,,, são elemetos de W, ssim como os etores,, e,, Nesse cso, qlqer etor w de W se escree como combição lier dos etores,, e,, ogo, esses etores são os gerdores de W { R ; z } b W,, c W,, Solção: Eercício Use mesm idei do eemplo terior { R ;, z } Solção: Sej w,, m elemeto qlqer de W Etão: w,,,,,, Obsere qe o etor,, é m elemeto de W, ssim como o etor,, Nesse cso, qlqer etor w de W se escree como combição lier do etor,,, qe é o úico gerdor de W b d W,; c b; d c d b Solção: Sej w m elemeto qlqer de W Etão c b e d Etão c d b b b w b c d b b b Obsere qe os etores e são elemetos de W, ssim como os etores b e Nesse cso, qlqer etor w de W se escree como combição lier dos etores e e, portto, esses etores são os gerdores de W Sej b S ;, b R b b m sbespço do, Determie os gerdores de S Sej V R Determie o sbespço gerdo pelos etores,, e,, Solção: Qeremos idetificr os etores,, de V qe são combições lieres dos etores,, e,, Etão

11 b,,,, b,, b b z Usremos esclometo pr determir s codições sobre, e z de modo qe o etor perteç W Etão z z z Pr qe esse sistem teh solção é preciso qe o posto d mtriz mplid sej igl o posto d mtriz dos coeficietes ogo deemos ter z e { R ; z } OBS: Note qe os etores,, e,, são liermete idepedetes embrdo dos cohecimetos dqiridos em Cálclo Vetoril podemos coclir qe esses etores determim m plo cj eqção é z Verifiqe W,, Sej V R Determie o sbespço gerdo pelos etores,, e,, Sgestão: Use mesm idei terior 6 Ddos os etores p t t t, p t t e p t t t, pede-se: Escre o etor p t t t 7 como combição lier de p, p e p Solção: Vmos ecotrr esclres, b e c tis qe t t 7 t t b t ct t c t b c t b Nomete, mos lembrr qe dois poliômios são igis qdo os coeficietes dos termos de mesmo gr são igis Etão temos: c b c, b, c b 7 Portto, t t 7 t t t t t 9 Depedêci e Idepedêci ier Sejm,,, etores de m espço etoril V O cojto {,,, }, é dito liermete idepedete I se eqção tier como úic solção Se, pelo meos, m elemeto i, o cojto {,,,, } será dito liermete depedete D Eemplos: Verificr se os cojtos de etores ddos bio são D o I: {,,, } Solção: Cosidere eqção,,,,

12 e ejmos ql é s solção Etão,,, Note qe o determite pricipl do sistem é igl 7 Dess form, o sistem terá m úic solção, Portto os etores são liermete idepedetes b,, Solção: Cosidere eqção, e ejmos ql é s solção Etão Vmos sr esclometo pr resoler esse sistem Etão 6 Temos qe o posto d mtriz mplid é igl o posto d mtriz dos coeficietes e esse posto é igl Isto grte qe o sistem tem solção Como esse posto é meor qe o úmero de cols etão o sistem tem ifiits solções e, portto solção ão l ogo os etores ddos são liermete depedetes c { },, Fic como eercício Vej eemplo 6 terior ostre qe se, e w são I, etão os etores, w e w tmbém são I Teorem Um cojto de etores { },,,, de m espço etoril V é D se, e somete se, m desses etores é combição lier dos otros etores Demostrção: Vej o liro teto Obserções: Se V,, etão { } é I Qlqer cojto de etores qe cotier o etor lo elemeto etro é D

13 Bse e dimesão Um cojto de etores {,,,, } i V [,,,, ] ii {,,, }, é I de m espço etoril V é bse pr V se: Eemplos: Os etores, e, formm m bse pr o R, chmd de bse côic do R O cojto {,, } {,,,,, } é bse pr? é bse pr o R? Obserção: O úmero de elemetos de m bse de m espço etoril V é chmdo de dimesão do espço etoril V e será deotdo por dim V Assim, dim R é, pois dois etores compõem bse Ql dim R? Ql dimesão do espço ds mtrizes de ordem? Ql dim? Um espço etoril V qe tem m bse fiit é dito m espço etoril de dimesão fiit Os resltdos qe eremos gor os mostrrão meirs de obter bses pr espços etoriis Teorem : Sejm,,, etores ão los de m espço etoril V Se estes etores germ V, etão, detre esses etores, podemos obter m bse pr V Demostrção: Se,,, forem I, d demostrr Se ão, m dos etores é combição lier dos otros etores, digmos, pois eqção,,, De fto, sej V Como,,, germ V, etão Como é combição lier dos etores,,, - etão b b b Sbstitido eqção terior, obtemos: dmite solção ão l Afirmmos qe V [, ] ogo V [, ] b b b,,, Se os etores,,, - forem I, teremos bse pr V Se ão, eiste m etor, detre esses, digmos -, qe é combição lier dos otros Prossegido com m rciocíio semelhte o terior, chegremos m cojto de etores {,,,, r }, r, liermete idepedete, qe germ V e, portto formrão m bse pr V Eemplos: Cosidere os etores,,,,,,,, e,, ostre qe eles germ o R b Ecotre m bse pr o R Solção: Sej,, m etor qlqer do R Vmos mostrr qe esse etor se escree como combição lier dos etores ddos Etão teremos:,,,, b,, c,, d,, Verifiqe qe esse sistem sempre tem solção, idepedete do etor ogo os etores ddos germ o R b Vmos sr o teorem terior Já sbemos qe dimesão do R é Como tod bse tem sempre o mesmo úmero de elemetos

14 Teorem 6: Sej V m espço etoril gerdo por m úmero fiito de etores,,, Etão, qlqer cojto de etores com mis de elemetos é D Demostrção: Como V [,,,, ], etão pelo teorem terior, podemos obter m bse pr V Sej {,,,, r }, r, est bse Sejm w, w,, w m etores qisqer de V, com m > Vmos mostrr qe estes etores são D, isto é, eqção w w m w m dee ter solção ão l Sedo m bse de V, etão qlqer w i se escree como combição lier dos etores de, isto é, Sbstitido em obtemos: wi i i irr, i,,, m m m r r m mr r r r Como,,, r são I etão m m r r mr m r m m r r Temos, portto, m sistem homogêeo com r eqções e m icógits Como r < m, tl sistem dmite m solção ão l, o sej, eiste i, pr lgm i Portto w, w,, w m são D Obserção: Vem do teorem terior qe m cojto I em V terá o máimo elemetos Corolário: Qlqer bse de m espço etoril V, terá sempre o mesmo úmero de elemetos Demostrção: Sejm {,,,, } e { w, w, w,, w m } bses de m espço etoril V Como,,, germ V, etão m D mesm form, os etores w, w,, w m germ V e portto m ogo m Teorem 7: Qlqer cojto de etores I de m espço etoril V de dimesão fiit é prte de m bse de V, isto é, qlqer cojto de etores I de m espço etoril de dimesão fiit pode ser completdo de modo formr m bse pr V Demostrção: Sejm,,, r etores I de m espço etoril V de dimesão fiit Etão r Se V [,,,, r ] etão {,,,, r } é bse pr V e este cso r Se,, m m mr m m m, r ão germ V, etão eiste m etor r V tl qe r [,,, ], Afirmmos qe os etores,,, r, r id são I De fto, cosideremos eqção r

15 rr r r Obsere qe r pois se r terímos r r r r [,,, ] r r r, o qe é m bsrdo Como,,, r etores I sege-se qe r e portto os etores,,, r, r são I Se V [,,, r, r ] etão o cojto {,,,, r, r } qe r [,,, ], é bse pr V e este cso r Se ão, eiste otro etor r V tl, r, r obteremos m bse pr V Prossegido dest form, pós m úmero fiito de pssos Corolário: Se dim V, qlqer cojto de etores I, com elemetos, é bse pr V Demostrção: Sej W m cojto de etores liermete idepedete com elemetos Pelo teorem terior, este cojto poderi ser completdo de modo formr m bse pr V ogo dim V seri mior qe, o qe é bsrdo Eemplo: Obteh m bse pr o R prtir do etor,, Teorem 8: Se U e W são sbespços etoriis de m espço etoril V de dimesão fiit, etão: i dim U dim V e dim W dim V ii dim U W dim U dim W dim U W Demostrção: Eercício Teorem 9: Dd m bse {,,, }, modo úico, como combição lier dos etores de Demostrção: Eercício Defiição : Sejm {,,, },, tis qe será deotd por, de m espço etoril V, cd etor se escree, de m bse de m espço etoril V e V Os úmeros, são chmdos de coordeds do etor bse e [] r dç de Bse Sejm {,,,, } e {,,,, } bses de m espço etoril V Se V, etão

16 Nosso problem é sber ql relção qe eiste etre s coordeds de bse com s coordeds de bse Como é bse de V, podemos escreer cd etor i como combição lier dos etores de, isto é: Sbstitido eqção, obtemos: Como s coordeds de m etor em relção m bse são úics, etão o sej, ogo, ' [] [] I [] ' A mtriz [ I ] ' é chmd de mtriz de mdç de bse de pr 6 Eemplo: Sej V R e {,,,,,,,, } Determie [, b, c ] Sej V ostre qe,, m bse orded de V { } é m bse pr V e determie [ ] Obserções: Spohmos qe escreêssemos os elemetos como combição dos elemetos de Etão terímos: 6

17 7 Sbstitido eqção cim, obtemos: Como s coordeds de m etor em relção m bse são úics, etão o sej, ogo, [ ] [ ] [ ] I ' ' A mtriz [ ] ' I é chmd de mtriz de mdç de bse de pr As mtrizes [ ] ' I e [ ] ' I são iersíeis e [] [] ' ' I I