Produto Vetorial e Produto misto

Transcrição

1 Álgebr Liner e Vetores Prodto Vetoril e Prodto Misto Prodto Vetoril e Prodto misto Introdção Mtries e Determinntes Prodto Vetoril Definição Proprieddes Interpretção Geométric Prodto Misto André Lis Lpolli

2 Álgebr Liner e Vetores Prodto Vetoril e Prodto Misto Introdção Mtries e Determinntes Mtries Mtri é m rrnjo nmérico formdo por linhs e colns Representção: A mn = ij mn m: número de linhs n: Número de colns ij : é o elemento d i-ésim lin e j-ésim coln 4 A mn = 4 m m m mn = ij mn A: Denot mtri A o A mn pr definir nmero de linhs e colns Os elementos de m mtri podem ser reis o compleos As mtries são tilids pr resolção de diersos porblems qe enolem sistems lineres Mtemticmente definir-se-á determinnte e regr de Srrs pr s determinção e tilição em prodto etoril André Lis Lpolli

3 Álgebr Liner e Vetores Prodto Esclr Determinntes O estdo sistemático tee início no sec XIX pelo trtdo de AL Cch ( ) em 8 Posteriormente form desenolidos nos trblhos de Jcobi (804-85) Definição É m número ssocido m Mtri Qdrd 4 A mm = 4 m m m mm = ij mm Escree-se det A o A o det ij det = - determinnte de m mtri det André Lis Lpolli

4 Álgebr Liner e Vetores Prodto Vetoril e Prodto Misto det Utili-se regr de Srrs André Lis Lpolli

5 André Lis Lpolli Álgebr Liner e Vetores Prodto Vetoril e Prodto Misto Eemplo: Clcle ) ( 0 ) 0( Prodto Vetoril k j i Definição: Considerndo-se bse ortonorml positi ddos os etores: k j i k j i o Símbolo do prodto etoril É definido como Lê-se etor ) ( i k j i ) ( ) ( k j

6 Álgebr Liner e Vetores Prodto Vetoril e Prodto Misto Obs: O resltdo do prodto etoril é m etor Eemplo: Determine o prodto etoril e ( ) ( ) i j k i( ) ( j ) k(6 ) i j 5k i j k i( ) ( j ) k( 6) i j 5k Obs: =- Eemplo: Determine: ( ) (5) e ( ) (5) 5 0 Obs: O etor resltnte do prodto etoril entre dois etores é perpendiclr o plno dos etores originis André Lis Lpolli

7 Álgebr Liner e Vetores Prodto Vetoril e Prodto Misto Determinção do sentido do etor pel regr d mão direit Ddos dois etores qisqer no espço com m ânglo q 0 o sentido do etor resltnte pode ser definido pel regr d mão direit Consider mão direit Coloc-se mão com todos os dedos pontdos no sentido do primeiro etor e plm oltd pr o ânglo entre os etores F-se m rredr dest mão té o segndo etor e lent-se o polegr O sentido do etor é o mesmo do polegr André Lis Lpolli

8 Álgebr Liner e Vetores Prodto Vetoril e Prodto Misto Eemplo: Determine e represente grficmente o prodto etoril entre e ( 0) ( 0) i j k 0 0 k(4 ) 5k 5k q André Lis Lpolli

9 Álgebr Liner e Vetores Prodto Esclr Proprieddes Anticomtti ( ) ( ) ( ) ( ) André Lis Lpolli

10 Álgebr Liner e Vetores Prodto Esclr Interpretção Geométric O prodto etoril é tmbém chmdo de prodto eterno e o se módlo está relciondo com áre do prlelogrmo formdo pelos etores qe o originrm q cosq senq ( cosq senq ) A ( cosq ) senq A senq Usndo identidde de Lgrnge: sen q senq A senq senq cosq ( ) senq cos q cos q como cos q sen q ( sen q) sen q André Lis Lpolli

11 André Lis Lpolli Álgebr Liner e Vetores Prodto Esclr Prodto Misto Definição: Ddos três etores: ) ( ) ( ) ( Em relção m bse ortonorml (ijk) O prodto misto é: ) ( k j i k j i

12 André Lis Lpolli Álgebr Liner e Vetores Prodto Esclr Proprieddes 0 é linermente dependente (ld) o sej os etores são coplnres Propriedde cíclic: ' ' ) ( ' onde É m etor ddo 4 e

13 Álgebr Liner e Vetores Prodto Esclr Interpretção Geométric Sejm os etores O Prodto misto =( ) é definido por: cosq Onde q é o ânglo entre e ( ) O cálclo do olme do prlelepípedo d figr à direit é dd pelo prodto d áre d bse ees ltr A áre d bse é: A ltr é: h cos q Portnto o olme do prlelepípedo V p é ddo por: V p h cosq corresponde o prodto misto entre os etores D mesm form obserndo-se figr erific-se qe o olme do tetredro V t formdo por estes etores é: V t V p 6 André Lis Lpolli

14