Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I
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- Elias Prado Beppler
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1 Cálclo Nérico Resolção Néric de Sistes ineres Prte I Prof. Jorge Cvlcnti jorge.cvlcnti@nivsf.ed.br ATERIA ADAPTADO DOS SIDES DA DISCIPINA CÁCUO NUÉRICO DA UFCG -
2 Sistes ineres itos probles de teátic néric são odeldos e teros de siste de eqções lineres. Ess representção é vntjos, pois sepr o proble e prtes enores e possi vários étodos de resolção Eeplos de plicções de sistes lineres são encontrdos e váris áres d engenhri, coo por eeplo: Análise de circitos elétricos; Análise de vibrções e siste ecânico; Distribição d forç-peso n estrtr de edifício.
3 Sistes ineres For Gerl onde: ij ij coeficientes i vriáveis n n nn n n n n n n b... b... b... O n n nn n n n n n n b... b... b... O
4 Sistes ineres Eeplo,, -,,, -,, e coeficientes, e vriáveis
5 Sistes ineres For tricil onde: A b A n n O n n n nn n b b b b n
6 Sistes ineres Eeplo For Gerl For tricil. 6
7 Sistes ineres Clssificção I Ipossível Não possi solção Eeplo 9 7
8 Sistes ineres Clssificção II Possível Possi o is solções Deterindo Solção únic Eeplo 8 8
9 Sistes ineres Clssificção III Possível Possi o is solções Indeterindo Eeplo is de solção 8 9
10 Sistes ineres Clssificção IV Possível Possi o is solções Hoogêneo Vetor b Eeplo 6
11 Sistes ineres Sistes Tringlres: Possibilidde de resolção de for Retrotiv Inferior (( ij, se j >i; i, j,, n) A n n n O nn
12 Sistes ineres Sistes Tringlres: Possibilidde de resolção de for Retrotiv Sperior ( ij, se j<i; i, j,, n) A O n n n nn
13 Solção Retrotiv Eeplo 7: Ddo o siste: Prieiro psso pr s resolção:
14 Solção Retrotiv Eeplo 7: Segndo psso: Terceiro psso:
15 Solção Retrotiv Eeplo 7: Últio psso: ( )
16 étodos Néricos Diretos Solção pode ser encontrd trvés de núero finito de pssos étodo de Gss étodo d Eliinção de Jordn Ftorção U 6
17 étodos Néricos Itertivos Solção prtir de seqüênci de proições pr o vlor do vetor solção, té qe sej obtido vlor qe stisfç à precisão pré-estbelecid étodo de Jcobi étodo de Gss Siedel 7
18 étodo de Gss Propósito Trnsforção do siste liner ser resolvido e siste liner tringlr; Resolção do siste liner tringlr de for retrotiv 8
19 étodo de Gss Trnsforção do Siste iner Troc d orde ds linhs; ltiplicção de ds eqções por núero rel não nlo; Sbstitição de ds eqções por cobinção liner del es co otr eqção. 9
20 étodo de Gss Pssos do étodo de Gss Constrção d triz entd Ab [ Ab n n O n n n nn b b b n
21 étodo de Gss Pssos do étodo de Gss Psso : Eliinr os coeficientes de presentes ns linhs,,...,n - sendo,... n, sendo chdo de pivô d coln Sbstitir linh,, pel cobinção liner, onde :
22 étodo de Gss Pssos do étodo de Gss Sbstitir linh,, pel cobinção liner:, onde :
23 étodo de Gss Pssos do étodo de Gss Deve-se continr sbstitição té linh n; Cso lg eleento pp, chr otr linh k onde kp e trocr tis linhs. Cso linh k não eist, o siste liner não possi solção.
24 étodo de Gss Pssos do étodo de Gss Eliinr os coeficientes de ns linhs,,..., n (fzer... n ); Eliinr os coeficientes de ns linhs,,..., n (fzer... n ) e ssi scessivente.
25 étodo de Gss Eeplo 8: Resolver o siste: triz entd Ab [ Ab Pivô
26 étodo de Gss Eeplo 8: Fz-se: Assi:, [ [ [ 7 6
27 étodo de Gss Eeplo 8: Fz-se: Assi:, [ [ [ 6 6 7
28 étodo de Gss Eeplo 8: Obté-se triz: [ Ab Novo Pivô 8
29 étodo de Gss Eeplo 8: Sbstitindo linh por:, Tê-se: [ 6 7 [ 7 [ 9
30 étodo de Gss Eeplo 8: A triz [Ab fic ssi co os segintes vlores: [ Ab 7
31 étodo de Gss Eeplo 8: Us-se solção retrotiv: *
32 étodo de Gss Eeplo 9: Resolver o siste. Representndo o siste pel triz entd: [Ab / / / /
33 étodo de Gss Eeplo 9: Escolhendo prieir linh coo pivô, obté-se: [ (/) [ [ / / / [ ( / ) [ [ / / /
34 étodo de Gss Eeplo 9: Representndo o siste pel triz entd: [Ab / / / / / (/)/(/) / /
35 étodo de Gss Eeplo 9: Escolhendo gor segnd linh coo pivô, tê-se: [ / / / ( ) [ / / / [ 8 Obtê-se seginte triz plid: [Ab / / 8 /
36 6 étodo de Gss Eeplo 9: O qe terin co tringlção: 8 8
37 étodo de Gss Eeplo 9: Co solção: / * -9/ - * 7
38 étodo do Pivoteento Prcil Seelhnte o étodo de Gss; Usdo qndo o pivô é nlo o próio de zero. iniiz plificção de erros de rredondento drnte s eliinções; Consiste e escolher o eleento de ior ódlo e cd coln pr ser o pivô. 8
39 9 étodo do Pivoteento Prcil Eeplo : Resolver o siste bio: [Ab [Ab
40 étodo do Pivoteento Prcil Eeplo : triz entd originl deve ser jstd: O ior coeficiente (ódlo) n prieir coln é o eleento. Esse coeficiente será considerdo o pivô e deverá ocpr posição digonl n prieir coln. Portnto, deveos trocr ª linh pel ª linh, fzendo ocpr posição (,). [Ab [Ab
41 étodo do Pivoteento Prcil Eeplo : Aplicndo o étodo de Gss no pivô : Encontrr nov linh: / / [ / [ [ [ ) / ( [ / / [ / [ [ [ ) / ( [ / / Ab / / [ Ab / / [ O ior coeficiente (ódlo) n segnd coln é o eleento ; Esse eleento ocprá posição digonl, então troc-se ª linh pel ª linh..
42 étodo do Pivoteento Prcil Eeplo : A triz jstd será: Aplicndo o étodo de Gss no pivô Encontrr nov linh: / [ / / / [ / / [ [ ) / ( / / [ / [ / / / [ / / [ [ ) / ( / / [ / /9 Ab / / [ Ab / / [.
43 étodo do Pivoteento Prcil Eeplo : A triz plid resltnte fic: [ Ab 7 / 9 Resolvendo o siste tringlr sperior: ; ; * ; ;
44 étodo de Jordn Consiste e efetr operções sobre s eqções do siste, co finlidde de obter siste digonl eqivlente; U siste digonl é qele e qe os eleentos ij d triz coeficiente [A são igis zero, pr i j, i, j,,...,n.
45 étodo de Jordn Siste digonl eqivlente: [A O n n n nn / /?? n?
46 6 étodo de Jordn Eeplo : A prtir do siste: Co triz entd: [ Ab / / / /
47 7 étodo de Jordn Eeplo : Sbstitindo linh por: Sbstitindo linh por : [ [ [ 8, () [ [ [ 8, () [ [ [, () [ [ [, ()
48 8 étodo de Jordn Eeplo : A triz plid reslt e: Sbstitindo linh por: [ 8 Ab / -/-/ [ [ [ [ [ / / 6/ / 8 (/) [ [ [ [ [ / / 6/ / 8 (/) Novo Pivô
49 étodo de Jordn Eeplo : A triz plid reslt e: [ Ab 8 / / Sbstitindo linh por / - / Pivô [ ( /) [ 8 [ [ / 8/ [ / / 9
50 étodo de Jordn Eeplo : triz plid reslt e: [ Ab / / 8 / / Sbstitindo s linhs e por / / -/(/) - Novo Pivô [ / / () [ / / [ [ 8 ( ) [ / / [
51 étodo de Jordn Eeplo : A triz plid fic d seginte for: [ Ab / / Prodzindo o seginte vetor resltdo: * Ql vntge do étodo e relção o de Gss?
52 Decoposição e U O objetivo é ftorr triz dos coeficientes A e prodto de ds trizes e U. Sej: [ U n n n O nn O n n n nn
53 Decoposição e U E triz coeficiente A: Tê-se: nn n n n n n A O nn n n n n n A O [ nn n n n nn n n n nn n n n n n [U A O O O
54 Decoposição e U Pr se obter os eleentos d triz e d triz U, deve-se clclr os eleentos ds linhs de U e os eleentos d colns de coo sege.
55 Decoposição e U ª linh de U: Fz-se o prodto d ª linh de por tods s colns de U e igl co todos os eleentos d ª linh de A, ssi: [ A n n O n n n nn [U n n n O nn O n n n nn U n n n j j, j,,...,n. n,,, j j
56 Decoposição e U ª coln de : Fz-se o prodto de tods s linhs de, (d ª té nª), pel ª coln de U e igl co os eleentos d ª coln de A, (bio d digonl principl), obtendo: [ A n n O n n n [U nn n n l l n n n, l,,..., n. n n,,, O nn O U n n n nn l l / 6
57 Decoposição e U ª linh de U: Fz-se o prodto d ª linh de por tods s colns de U, (d ª té nª), e iglndo co os eleentos d ª linh de A, (d digonl principl e dinte), obtê-se, [ A n n O n n n nn [U n n n O nn O n n n nn j n j n n j, j n,..., n. n n,,, U j j -. j 7
58 Decoposição e U ª coln de : Fz-se o prodto de tods s linhs de (d ª té nª) pel ª coln de U e igl co os eleentos d ª coln de A, (bio d digonl principl), obtendo: [ A n l l n l O n l l n n [U nn n l,l n l,..., n. n l O nn l,,, O l ( l - l. )/ n n n nn 8
59 Decoposição e U Teos seginte fórl gerl: ij ij ij ( ij i k ik ik kj, kj ) / jj, i j, i > j. 9
60 Decoposição e U Reso de Pssos: Sej siste A b de orde n, onde A stisfz s condições d ftorção U. Então, o siste A b pode ser escrito coo: U b 6
61 Decoposição e U Reso dos Pssos: Fzendo U y, y eqção nterior redzse y b. b Resolvendo o siste tringlr inferior y b, b obté-se o vetor y. 6
62 Decoposição e U Reso dos Pssos: Sbstitição do vlor de y no siste U y Obtenção de siste tringlr sperior cj solção é o vetor procrdo; Aplicção d ftorção U n resolção de sistes lineres Necessidde de solção de dois sistes tringlres 6
63 6 Decoposição e U Eeplo : A prtir do siste: Encontrr s trizes U e chr o vetor solção *. 7 7
64 Decoposição e U Eeplo : triz A [ A [ U.inh de U j j, j,,,,.coln de. i i /, i, /, / / /, / [ U / /. 6
65 Decoposição e U Eeplo : Segindo: [ A [ U.inh de U j j -. j, j, -/* -/ -/* 7/.Coln de / /. i ( i - i. )/, i (-/*)/- /, - 6
66 66 Decoposição e U Eeplo : Segindo:.inh de U /*- (-) * 7/. [ 7 / /. / / [ U A [ 7 / /. / / [ U A
67 67 Decoposição e U Eeplo : Pr obter solção do siste A b, deveos resolver dois sistes tringlres: y b e U y. ebrndo Ab: Assi yb, isto é: 7. / / y y y 7. y y -7-6
68 Decoposição e U Eeplo : De U y: / 7 / / 7/ -7-68
69 Sistes ineres - Bibliogrfi Rggiero,,. A. Goes & opes, V.. d R. Cálclo Nérico: Aspectos teóricos e coptcionis.. ARON Books, 996, ª ed. Brroso,. C. et l. Cálclo Nérico co plicções ões. Hrbr,, 987, ª ed. Arenles,, S. & Drezzo,, A. Cálclo Nérico rico- Aprendizge co poio de softwre. Thoson, 8, ª ed. Brin,, R., i, A. C. & Jnior, A. H. - Cálclo Nérico rico.. TC, 7, ª ed. 69
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