CAPÍTULO 9 OPERADORES DIAGONALIZÁVEIS

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1 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r CAÍUO 9 OERADORES DIAGONAIZÁVEIS No cpítlo 8 vi-se qe é possível determir mtri de m trsformção o de m operdor lier em relção qlqer bse do espço ode estão defiidos Neste cpítlo cosiderdo m operdor lier :V V qer-se determir m bse de V em relção à ql mtri de sej mis simples possível Mostrr-se-á qe ess mtri é digol o qe jstificrá omecltr de operdor digoliável r tto são ecessários lgms defiições e resltdos Atovlores e Atovetores Defiição: Sejm: V m espço vetoril sobre o corpo K dos úmeros compleos o reis e :V V m operdor lier Um vetor ão lo v V é m tovetor de se eistir m esclr K tovetor v tl qe ( v) v O esclr é chmdo de tovlor de ssocido o Observção: podem ser sds ltertivmete s segites epressões pr tovetor : vetor próprio o vetor crcterístico Alogmete podem ser sds s segites epressões pr tovlor : vlor próprio o vlor crcterístico Eemplo: Sejm: V m espço vetoril sobre m corpo K e defiid por: H : V v V H ( v) v H homoteti de rão el defiição do operdor lier H vê-se qe todo vetor de V é m tovetor com tovlor roposição: Sej pelo tovetor v de Demostrção: Hipóteses: :V V m operdor lier O tovlor é ivocmete determido :V V é m operdor lier; v é m tovetor de ese: o tovlor é úico De fto spoh-se qe eistm dois tovlores e ( v) v e ( v) v Etão: ( ) v v v ssocidos o tovetor v isto é:

2 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r ogo o tovlor determido por v é úico Observção: este resltdo sigific qe cd tovetor está ssocido pes m tovlor o sej cd tovetor ger m úico tovlor Etretto como se verá segir cd tovlor pode gerr ifiitos tovetores Defiição: Sejm: V m espço vetoril sobre o corpo K dos úmeros compleos o reis e :V V m operdor lier Ddo o tovlor K o sbespço próprio de é o sbespço V ( ) V( ) { v V / ( v) v} ddo por: roposição: Sejm: V m espço vetoril sobre o corpo K dos úmeros compleos o reis e :V V m operdor lier Ddo o tovlor K ssocido o tovetor v V o sbespço próprio de é V( ) Ker( Id) Demostrção: Hipóteses: V é espço vetoril sobre K; ssocido o tovetor v V ese: V( ) Ker( Id) D defiição de V ( ) V tis qe ( v) :V V é operdor lier; K é tovlor de tem-se qe o sbespço próprio de é costitído pelos elemetos de v Etão vem: ( v) v ( Id)( v) e portto v pertece o úcleo do operdor lier ( Id) Assim pode-se escrever: V ( ) Ker( Id) Eemplos: ) Sej : R R o operdor lier defiido por ( ) ( ) Determir os sbespços próprios se eistirem Iicilmete observe-se qe esse operdor é refleão em toro d ret A represetção geométric de é presetd Figr 9 rimeirmete é preciso verificr se eistem tovlores r tto cosiderem-se v ( ) R ( ) vem: ( ) ( ) v e R Impodo-se codição ( v) v o sej ( ) ( ) de ode se sege qe Cocli-se ssim qe o o sej eistem dois tovlores

3 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r Determim-se gor os tovetores ssocidos cd tovlor r tem-se: FIGURA 9 o sej ger vetores d form v ( ) sbespço próprio V( ) ( ) { R / } Mis precismete ger o Geometricmete os vetores desse sbespço pertecem à ret bissetri do º e º qdrtes ode ( ) v v (Figr ) FIGURA r tem-se:

4 o sej ( ) ( ) INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r ger vetores d form v ( ) { R / } Esse tovetor ger o sbespço próprio V Geometricmete os vetores desse sbespço pertecem à ret bissetri do º e º qdrtes ode ( v ) v (Figr ) FIGURA ) Sej : R R o operdor lier ddo por ( ) ( ) qe é rotção de m âglo de 9 o em toro d origem Determir se eistirem os sbespços próprios A represetção geométric de é presetd Figr Sejm v ( ) R ( ) ( ) ( ) vem: ( ) ( ) v e R FIGURA de ode se sege qe Sbstitido-se primeir eqção segd vem: Impodo-se codição ( v) v o sej

5 ( ) o sej INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r ( ) r qe ess eqção sej verddeir pr todo deve-se ter ; etretto ess eqção ão dmite solção em R Cocli-se ssim qe ão eistem úmeros reis tis qe ( ) ( ) isto é ão eistem sbespços próprios ) Sej : R R o operdor lier ddo por ( ) ( ) Determir cso eistm os sbespços próprios O operdor é projeção ortogol de m poto ( ) Geometricmete pode-se vislir ção do operdor lier Figr sobre o plo O FIGURA Sejm R temse: e m vetor ão lo v ( ) R Impodo-se codição ( v) v ( ) ( ) isto é ( ) ( ) de ode vem: Desss eqções cocli-se qe há dois vlores de : e Sbstitido-se o vlor s eqções () obtém-se:

6 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r de ode se cocli qe e pode ssmir qlqer vlor isto é obtém-se o vetor ( ) Assim ( ) ( ) v { } R / V é o sbespço próprio gerdo por Esse sbespço geometricmete é o eio O R (Figr ) FIGURA FIGURA Sbstitido-se gor o vlor s eqções () obtém-se: de ode se cocli qe Assim ( ) ( ) e e são qisqer isto é obtém-se o vetor ( ) { R / } v V é o sbespço próprio gerdo por Esse sbespço

7 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r geometricmete é o plo R O (Figr ) Defiição: Dd m mtri qdrd A de ordem chm-se poliômio crcterístico d mtri A deotdo por ( ) C o determite: ( ) Id A det Observção: ess defiição Id deot mtri idetidde de ordem Assim se A etão: Id A ogo ( ) C roposição: Mtries semelhtes têm o mesmo poliômio crcterístico Demostrção: Hipótese: A e são mtries semelhtes ese: A e têm o mesmo poliômio crcterístico De fto sejm A e ds mtries eqivletes Etão eiste m mtri iversível tl qe: A Etão: Id Id A Clcldo o determite ds mtries dest eqção vem: ( ) Id Id Id Id Id Id A ogo A e têm o mesmo poliômio crcterístico Eemplo: Mostrr qe s mtries A e são semelhtes Mostrr-se-á qe esss mtries têm o mesmo poliômio crcterístico em-se: ( ) ( ) Id A det A C o sej ( ) A C

8 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r or otro ldo tem-se: ( ) det( Id) C de ode sege-se qe C ( ) Como ( ) C A C ( ) cocli-se qe A e são semelhtes Defiição: Sejm V m espço vetoril de dimesão e :V V m operdor lier Chm-se poliômio crcterístico do operdor o poliômio crcterístico d mtri de em relção qlqer bse Notção: ( ) Eemplo: Sej ( ) ( ) : R R o operdor lier defiido por: Determir o poliômio crcterístico de em relção: ) à bse côic do R b) à bse {( )( )( )} ) A bse côic do R é: C {( ) ( )( )} r determir mtri de em relção ess bse clclm-se primeirmete os vetores reslttes d plicção de em cd m dos vetores d bse isto é: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A mtri de em relção ess bse é qel cjs cols são s coordeds dos vetores ecotrdos o sej: [ ] C ortto o poliômio crcterístico de é o poliômio crcterístico dess mtri isto é: ( ) det( [ ] Id) C e portto ( ) ( ) b) Clcldo o vlor de em cd vetor d bse obtém-se:

9 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Escrevedo-se cd m dos vetores como combição lier dos vetores d bse tem-se: ( ) ( ) b( ) c( ) de ode vem qe: b c b c c de ode se cocli qe 8 b c ( ) d( ) e( ) f( ) o sej d e f e f d f de ode se sege qe d 8 e f ( ) g( ) h( ) i( ) isto é g h i h i g i e portto g 9 h i Assim mtri [ ] C é: [ ] C ogo o poliômio crcterístico de é o poliômio crcterístico dess mtri isto é: ( ) det( [ ] Id) C 8 8 9

10 e portto INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r ( ) ( ) Assim idepedetemete d bse o poliômio crcterístico de m operdor lier é sempre o mesmo roposição: Sej V m espço vetoril de dimesão e :V V m operdor lier Os eros do poliômio crcterístico do operdor são ses tovlores Observção: os eros do poliômio crcterístico ( ) são s ríes d eqção ( ) eorem: Atovetores ssocidos tovlores distitos são I Demostrção: Hipóteses: tovlores : V V é m operdor lier; v v vr são tovetores ssocidos os ese: os tovetores r distitos etre si Cosidere-se o operdor lier tovlores v v vr são I : V V e sejm v v vr tovetores ssocidos os r distitos etre si A demostrção será feit por idção r k tem-se pes m tovetor v ssocido o tovlor o ql é I pois é ão lo r k têm-se os tovetores v e v ssocidos respectivmete os tovlores e Demostrr-se-á qe v e v são I De fto tomdo-se esclres α e α tis qe: α v αv () vem: ( v α v ) ( ) α o sej ( v ) ( α v ) α isto é ( v ) α ( v ) α Sedo v e v tovetores ssocidos respectivmete os tovlores e pode-se escrever: ( v ) α ( v ) α () Mltiplicdo-se epressão () por obtém-se: α v αv () Sbtrido-se membro membro eqção () d eqção () vem: ( ) v α de ode se sege qe α já qe v e Sbstitido-se α em ()

11 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r cocli-se qe α e portto cocli-se qe v e v são I Spodo-se qe são I os tovetores v v vk ( < k < r) demostrr-se-á qe v v v k são I De fto sejm α α αk esclres tis qe α v αv αk vk () em-se: ( v α v α v ) ( ) α k k o sej ( v ) ( α v ) ( α v ) α k k o id ( v ) α ( v ) α ( v ) α k k k () Mltiplic-se gor epressão () por k e vem: α k v αk v αk k vk () Fedo-se () () vem: ( ) v α ( ) v α ( ) v α k k k k k k Um ve qe os vetores v v vk são I e os tovetores são distitos cocli-se qe α α αk Sbstitido-se esses esclres em () cocli-se qe α k e portto os vetores v v v k são I o qe demostr o teorem Observção: recíproc desse teorem ão é verddeir o sej se os tovetores v v v r são I isso ão sigific qe eles são ssocidos tovlores distitos De fto cosiderdo-se por eemplo homoteti de rão isto é o operdor H : V v V H ( v) v sedo V m espço de dimesão > vê-se qe todo vetor de V é m tovetor ssocido m úico tovlor qe é Corolário: Se V é m espço vetoril de dimesão e :V V é m operdor lier qe dmite tovlores distitos etão V possi m bse cjos elemetos são tovetores de Eemplo: Cosidere-se espço vetoril rel ( ) ( ) Mostrr qe eiste m bse do corolário terior A mtri de em relção à bse côic C do R e o operdor lier defiido por: R costitíd de tovetores de coforme firm o R :

12 [ ] C INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r O poliômio crcterístico de é obtido trvés do determite: ( ) C de ode vem: ( ) C cjs ríes são os tovlores de : e em-se portto tovlores distitos sedo qe dim ( R ) Determim-se gor os tovetores: r tem-se: de ode vem qe: A solção gerl desse sistem é: R com ger tovetores d form v ( ) ogo pr tem-se o tovetor ( ) r tem-se: de ode se obtém o sistem: cj solção gerl é dd por: R com ogo v ger tovetores d form ( ) tem-se o tovetor v ( ) r tem-se: R com Em prticlr v R com Em prticlr pr

13 o sej cj solção gerl é dd por: ogo INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r R com ger tovetores d form v ( ) tem-se o tovetor v ( ) R com Em prticlr pr Assim cd tovlor ger pes m tovetor ode-se verificr qe o cojto {( )( )( )} é I e portto é m bse do tovetores de R ql é formd por Digolição de Operdores eorem: Sej V m espço vetoril -dimesiol A mtri [ ] de m operdor lier :V V em relção m bse é m mtri digol se e somete se ess bse é formd por tovetores de Demostrção: Codição ecessári: Hipóteses: { v v } v é bse de V e v v v são tovetores de ese: mtri de em relção à bse é digol De fto sedo ( v) ( v ) v v M ( v ) v ode ( i ) M ( v) ( v ) ( v ) v v v são tovetores de tem-se: i são os tovlores ão ecessrimete distitos O sej v v v v v v v v v Assim mtri do operdor em relção ess bse é:

14 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r [ ] Vê-se ssim qe mtri de em relção o m bse de tovetores é digol Codição sficiete: Hipóteses: { } é bse de V e mtri de em relção ess bse é digol ese: são tovetores de Sej [ ] mtri de em relção à bse em-se etão: ( ) ( ) ( ) M e portto os vetores ( ) i i são tovetores de ssocidos os tovlores ( ) i i o sej bse é compost de tovetores de A defiição segite defie o qe é m operdor digoliável Defiição: Sej V :V m operdor lier Di-se qe é m operdor digoliável se eistir m bse de V formd por tovetores de Observção: por ess defiição se V tem dimesão e se o operdor é digoliável etão eiste m bse de V costitíd por tovetores de ssocidos tovlores ( ) i i Coforme se vi cim mtri de em relção ess bse é digol sedo qe s digol cotém os tovlores isto é [ ] O qestiometo qe se pode fer é: ql é posição dos tovlores i digol? O qe determi posição dos tovlores digol é posição dos tovetores detro d bse embrdo qe s ríes do poliômio crcterístico de são ses tovlores é possível qe hj ríes (isto é tovlores) com mltiplicidde mior do qe Assim

15 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r mtri de em relção à bse de tovetores é formd por blocos cjs ordes são igis à mltiplicidde dos tovlores ( i ) i como ríes do poliômio crcterístico or eemplo se o poliômio crcterístico de m operdor lier é: ( ) ( )( ) cocli-se qe ri tem mltiplicidde e qe ri tem mltiplicidde Etão mtri de em relção à bse dos tovetores ssocidos esses tovlores é formd por dois blocos: m de ordem ssocido o tovlor e m de ordem ssocido o tovlor ortto mtri [ ] pode presetr s segites forms: o Eemplos: ) Verificr qis dos operdores é digoliável r os qe forem eibir mtri de em relção à bse de tovetores () ( ) ( ) (b) ( ) ( ) () Observe-se qe é m operdor lier de R em R r determir os tovlores clclm-se s ríes do poliômio crcterístico de Como o poliômio crcterístico é o mesmo em relção qlqer bse sr-se-á bse côic de de em-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e portto s mtri em relção ess bse é: [ ] Assim o poliômio crcterístico de é o determite: ( ) R pr costrir mtri Os eros desse poliômio isto é s ríes d eqção são e ortto esses são os tovlores de r determir os tovetores ssocidos f-se: ( v) v o sej [ Id]( v)

16 omdo-se m vetor ( ) Etão: pr tem-se: ( ) INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r v vem: ( ) de ode se sege qe o sej Assim os tovetores ssocidos esse tovlor são do tipo v ( ) ( ) Fedo-se por eemplo pr tem-se: isto é De ode se cocli qe obtém-se o tovetor v ( ) ogo os tovetores ssocidos esse tovlor são do tipo v ( ) ( ) por eemplo obtém-se o tovetor ( ) v omdo-se Observe-se qe esses tovetores são I pois se e são esclres tis qe: v v vem: ( ) ( ) ( ) o sej ( ) ( ) de ode vem qe: A resolção desse sistem lier lev à solção trivil isto é e portto os vetores v e v são I e formm m bse de R isto é {( ) ( )} é m bse de R Cocli-se ssim qe é m operdor digoliável e s mtri em relção ess bse é m mtri digol cj digol pricipl é formd pelos tovlores o sej:

17 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r [ ] É clro qe [ ] é tmbém mtri de em relção à bse A ordem dos tovlores digol d mtri depede d posição dos tovetores detro d bse (b) Aqi tem-se qe é m operdor lier de R em R r determir os tovlores clclm-se s ríes do poliômio crcterístico de Usr-se-á bse côic de R pr costrir mtri de em-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Assim mtri de em relção à bse côic de R é: [ ] ; portto se poliômio crcterístico é: ( ) 8 Determido-se os eros desse poliômio isto é s ríes d eqção 8 obtêm-se: com mltiplicidde e com mltiplicidde ogo o poliômio pode ser escrito form: Etão ( ) ( )( ) r determir os tovetores ssocidos tom-se m vetor ( ) v e impõe-se codição: ( ) v v o sej [ ]( ) v Id o id Etão: pr vem: de ode se obtém o sistem lier

18 De s resolção obtêm-se: INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r Assim os tovetores ssocidos esse tovlor são do tipo ( ) ( ) Fedo-se por eemplo pr vem: de ode vem qe: qe lev à solção d form obtém-se o tovetor ( ) são do tipo v ( ) ( ) ( ) v v ortto os tovetores ssocidos e esse tovlor omdo-se por eemplo e obtém-se o tovetor v ( ) e ; tomdo-se otro pr de vlores pr e por eemplo obtém-se otro tovetor ssocido esse tovlor: ( ) v ode-se verificr qe os tovetores determidos são I e portto formm m bse de R : {( ) ( )( )} Etão é m operdor digoliável e s mtri em relção ess bse é digol dd por: [ ] Altertivmete mddo-se ordem dos vetores bse pode-se escrever mtri de form: [ ] ) Mostrr qe o operdor lier ( ) ( ) ão é digoliável em-se qi m operdor lier de R em R Cosiderdo-se bse côic de R verificr-se-á se eiste m bse de R costitíd por tovetores de r isso determim-se primeirmete os tovlores de costrido o poliômio crcterístico e clcldo-se ses eros em-se:

19 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e portto mtri de em relção à bse côic de R é: [ ] ortto o poliômio crcterístico é: ( ) 7 Determido-se s ríes d eqção 7 obtêm-se com mltiplicidde e com mltiplicidde Assim o poliômio pode ser escrito form ( ) ( )( ) omdo-se m vetor ( ) v e impodo-se codição ( ) v v o eqivletemete [ ]( ) v Id obtém-se: r tem-se: de ode vem qe: qe lev ogo os tovetores ssocidos são do tipo ( ) ( ) v omdo-se por eemplo obtém-se o tovetor ( ) v r tem-se: isto é

20 de ode se cocli qe INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r ortto os tovetores ssocidos são do tipo v ( ) ( ) eemplo obtém-se o tovetor ( ) v omdo-se por Vê-se ssim qe há pes dois tovetores ssocidos os tovlores obtidos e portto o cojto {( ) ( ) } ão é m bse de R Se ão eiste m bse de costitíd pelos tovetores de etão ão é m operdor digoliável e portto ão possi m mtri digol em relção ehm bse de R R Relção etre Mtri Digoliável e Atovetores No Cpítlo vi-se qe m mtri qdrd de ordem é digoliável se eiste m mtri ão siglr de mesm ordem tl qe A é m mtri digol Qdo isso ocorre di-se qe A e são semelhtes A dificldde cosiste em determir mtri No etto pode-se demostrr qe se for digoliável s cols d mtri são costitíds ds coordeds dos tovetores reltivos m operdor lier e mtri A cj digol pricipl é costitíd dos tovlores ssocidos é represetção digol d mtri Eemplos: ) No Eemplo ) do item Mtries Semelhtes do Cpítlo mostro-se qe s mtries A e são semelhtes determido-se trvés d defiição mtri A e determio-se mtri ; o sej impôs-se qe A o eqivletemete Determir-se-á gor ess mesm mtri tilido-se os coceitos de tovetores e tovlores ssocidos m operdor lier A prtir d mtri determi-se se poliômio crcterístico: C( ) cjs ríes são os tovlores e Os tovetores ssocidos são clcldos segir r tem-se: ( ) ( )

21 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r o sej qe lev o sistem lier Desse sistem cocli-se qe isto é o tovetor gerdo por é d form ( ) v R com Em prticlr pr ger-se o tovetor ( ) v r tem-se: isto é de ode se obtém: A solção gerl desse sistem é com R Etão o tovetor gerdo por é d form ( ) v R com Em prticlr pr tem-se o tovetor ( ) v ogo mtri é costitíd dos tovetores v e v o sej qe é mtri obtid teriormete Ess mtri é ão siglr e s ivers é Assim d mesm form qe se fe o Eemplo ) do item Mtries Semelhtes do Cpítlo tem-se: A 8 ) mbém o Eemplo ) do item Mtries Semelhtes do Cpítlo mostro-se qe s mtries A e ão são semelhtes o sej ão eiste mtri tl qe A ode-se chegr ess mesm coclsão tilido-se tovlores e tovetores ssocidos m operdor lier A prtir de determi-se se poliômio crcterístico: ( ) ( )( ) 7 C ;

22 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r s ríes desse poliômio são os tovlores (com mltiplicidde ) e (com mltiplicidde ) r tem-se: isto é A resolção do sistem lev às coclsões e gerdo por é d form v ( ) ger-se o tovetor ( ) r tem-se: v o sej obtém-se o sistem lier pr R Etão o tovetor R com Em prticlr pr cj solção gerl é e R Etão o tovetor gerdo por é d form ( ) v R com Em prticlr pr Como só eistem dois tovetores v ( ) e v ( ) tem-se o tovetor ( ) v ão eiste mtri de ordem costitíd de tovetores tl qe A Cocli-se portto qe s mtries A e ão são semelhtes o sej ão é digoliável como já se hvi coclído o citdo eemplo do Cpítlo ) No Eemplo ) do item Digolição de Operdores deste Cpítlo mostro-se: qe mtri A qe é mtri de m operdor lier em relção à bse côic do R é digoliável qe ses tovlores são e e qe os tovetores gerdos são v ( ) v ( ) e ( ) v ogo eiste mtri cj ivers é:

23 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r ode-se ssim tilir-se ess mtri pr determir mtri digol qe é semelhte à mtri A st qe se efete o prodto A : A Obteve-se ssim mtri digol ql é semelhte à mtri A qe é mesm obtid teriormete o citdo eemplo Eercícios ropostos ) Sej ( ) ( ) S M S M : ode ( ) S M é o espço vetoril ds mtries triglres speriores cj bse côic é C Mostrr qe o operdor lier c b b c b é digoliável e eibir s mtri em relção à bse de tovetores R: [ ] o [ ] ) Verificr qis dos operdores lieres é digoliável r os qe o forem eibir mtri do operdor em relção à bse de tovetores ) ( ) ( ) R: é digoliável; [ ] o [ ] o [ ] b) ( ) ( ) ( )t t R: é digoliável; [ ] o [ ]

24 INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r c) ( ) ( ) R: é digoliável; [ ] o [ ] o [ ] d) ( ) R: é digoliável; [ ] o [ ] e) ( ) ( ) R: ão é digoliável f) ( ) ( ) R: é digoliável; [ ] o [ ] o [ ]