UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATA07 ÁLGEBRA LINEAR A PROFs.: Enaldo Vergasta,Glória Márcia. 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATA07 ÁLGEBRA LINEAR A PROFs: Enldo VergstGlóri Márci LISTA DE EXERCÍCIOS ) Verifique se são verddeirs ou flss s firmções bixo: ) Dois vetores são LD se e somente se um deles é múltiplo do outro b) Um conjunto que contém um subconjunto de vetores LD é LD c) Um subconjunto de um conjunto LI pode ser LD d) Se [w w ] então {w w w é LD w e) Se w w ] [w w w ] então {w w w é LD [ f) Se w w w é LI então { [ w w ] [ww w ] ) Verifique se os conjuntos de vetores ddos seguir são LI ou LD { ( - ) ( 0- ) ( 0- ) ) V R S b) V M x (R) S c) V P (R) S {t -t +t+ t +t +t- t -t -t+ ) Considere os vetores de M (R) ddos seguir: v 0 v - x 0 v - - y v Determine se possível os vlores de x y e z pr que cd item bixo sej verddeiro y ) { v é LI b) { v é LI c) { v v v v z v é LI ) Verifique se os conjuntos ddos seguir são bses pr os respectivos espços Cso não sejm bses justifique o porquê ) V R S {( - ) (-) b) V R S {( 0 ) ( 00) c) V P (R) S { t -t + d) Mx(R) S V { ) Determine um bse e dimensão dos seguintes espços vetoriis: ) W [( 00 ) ( 0- ) ( 70 ) (?) ] b) [( 0 ) ( 0- ) ( -) ] c)w x y z w e) W ( xyzw) W M (R) ; x + z y 0 d) W { t +t t - t { R ;z w e y x ) Determine um bse pr os espços seguir contendo os respectivos conjuntos de vetores R S {( 0 ) ( 0-) b)v P (R)S { t + t - )V

2 7) Em cd item encontre s coordends do vetor v i em relção à bse i do subespço gerdo pelos vetores ds bses dds {( ) ( 00 ) v ( ) ) b) c) v { t t + v -t ) Sejm W e W subespços de R Determine justificndo dimensão de W sbendo que [( ) ( -00) ( 00) ] W W dim( W +W ) e {( ) ( 000 ) 00 é um bse de W 9) Sbendo que V W R e [( ) ( 9 )] V determine dimensão de W 0) Sejm U e V subespços do espço vetoril V de dimensão igul I Se dim (U) e dim (W) mostre que U W {0 II Se dim (U) dim (W) encontre s dimensões possíveis pr U W ) Dê se possível (se for impossível explique porque) exemplos de: ) Um conjunto LI de três vetores do R que não germ o R b) Um conjunto LD de três vetores de M (R) c) Um subespço U de R tl que U R e dim (U) d) Dois subespços U e W de R tis que dim (U) dim (W) e U W ) Verifique se s trnsformções dds seguir são lineres: )T : R R T ( x yz) ( x y) b) T : R R T c) T : R R T d) T : V V T ( x y) ( x + yx0) ( xyz) x - y + z ( v) - v x +y 0 e) T : R M(R) T y ( xy) x + y y g)t7 : P(R) M(R) T7(xt + yt +zt+ w) - z w + z b h) T :Mx (R) R T c d e f (- + cb +c) i) T9 : Pn (R) Pn (R) T9 (p) p' sendo p derivd do polinômio p ) Pr cd um ds trnsformções lineres dds seguir determine: i) A lei de definição ii) O núcleo e um bse d imgem ) : R R tl que T ( ) ( -) e T ( 0) ( -) T

3 ( 00) ( 0 )T ( 00 ) ( ) e T ( 00) ( 0-) b) T :R R tl que T ( 7 )T (t) ( 0) e T () ( 0) c) T : P(R) R tl que T (t ) e) T : P(R) M (R) tl que T (t -) T (t) e T (-) f) T : M (R) R tl que T T 0 T e T ) Exemplifique se possível s situções descrits nos itens seguir Cso não sej possível justifique ) T : R P (R) liner tl que Im(T )[()()] 0 b) T : M(R) R liner tl que N 0 0 c) T : M(R) P (R) liner tl que N ( T ) e Im( T ) [( 0 ) ( 0-0) ] ( T ) eim ( T ) [ t t + ] d) : R R T liner tl que N( T ) [()] e Im( T ) [(0)] e) Um plicção liner injetor T : R R f) Um plicção liner sobrejetor T : R R g) Um plicção liner T 7 :VW tl que Im( T 7 ){0 h) : R T liner tl que N ( T ) ( x yz) R { R ; z + y 0 i) Um subespço U de M (R) e um isomorfismo T 9 : P (R) U ) Sej T: VV um trnsformção liner Sbendo-se que dim(v) e dim[n(t) Im(T)] determine dim[ N(T)+Im(T) ] justificndo A trnsformção T pode ser injetor? Justifique x y x 0 ) Sej T: M (R) M (R) definid por T z w - z y + w I Determine: )N(T) e Im(T) b)n(t) Im(T) c)dim[n(t)+im(t)] II Verifique se M (R) N(T) Im(T) 7) Verifique em cd item seguir se trnsformção liner T i é um isomorfismo Em cso firmtivo determine trnsformção invers de T i ( ) ( ) T ( 00) ( ) e T ( 0 ) ( 0) ) T : R R tlque T b) T : P (R) R tl quet ( xt + yt + z) ( x yz) c) T : R P(R)tl quet (x yz) xt + (x - y)t+ (x+ y - z)

4 d) T : R 0 M (R) tl que T (000) T (000) T (000) e T (000) 0 e) T : R R definid por T (xy) (x-y x-y) ) Determine mtriz ssocid à trnsformção T i com relção às bses i e i ) T : R (xy) (x + yxx y) é bse cnônic de R T x y b) T : M (R) R T (xx y + wz w) z w x y c) T : P (R) M (R) T (xt + yt + z) z x + y z cnônic de M (R) d) : V V T { v v e) T :R (v) v R {(0)(0 0)(00 ) R e {( 0 ) ( 00 ) ( 0) e { t + t + t e é bse v onde T (v) v T (v ) v e T (v ) v T {(0)(0)(00 ) e é bse cnônic de R 9) Determine trnsformção liner T i nos seguintes csos: 0 0 ) T : R R b ) T : P (R) M (R) [ ] T sendo {( 0) ( 00) ( ) e {( ) (-) [ T ] sendo e { t t + t 0 0 c ) T : P (R) P (R) 0 0 [ T ] d ) T : R R 0 0 0) Considere : R R [ T ] 00 ( 00 ) ( 00 ) ( 00) { T tl que [ T ] onde {(0 )(0)(00) {(00)(0 )(0) e Determine s coordends dos seguintes vetores em relção à bse ) v (0 ) b) v (7) c) u (xyz)

5 ) Sej T o operdor liner em R definido por T(v)Av onde A Encontre s mtrizes de T [ T ] i i em relção às bses dds seguir ) é bse cnônic de R b) {()() P ) Considere s bses de (R) R e M (R) respectivmente { t t + e δ é bse cnônic Sejm f e g s trnsformções lineres definids por f : (R) P (R) tl que [ f ] M g : (R) d P R tl que [ g ] - - {( 0 )( ) Determine: ) [ g o f ] d b) 0 ( g o f) c)g (xt + yt + z) d) f x y z w e) x y ( g o f) z w ) Considere trnsformção liner T: V W dd por [ ] são bses de V e W respectivmente I Determine: ) dim (V) b) dim (W) c) dim [Im(T)] d) dim [N(T)] II Clssifique em verddeiro ou flso: ) T é um trnsformção liner invertível b) A dimensão d imgem de T é igul o posto d mtriz [ T ] c) Im(T) [ v v v ] v onde 0 0 v 0 0 [ ] [ v ] [ v ] e [ v ] d) O conjunto { v v v v é um bse de Im(T) e) nul [ T ] p[ T ] dim ( V ) dim [ Im( T )] T 0 - onde e 0 - f) [ T] p[ T] p onde são bses de V e W respectivmente g) nul[ T] nul[ T] dim [N(T)] onde são bses de V e W respectivmente ) Sej T : P (R) P (R) um trnsformção liner cuj mtriz em relção às bses cnônics é

6 [ T] 0 Determine se possível os vlores d constnte b nos seguintes csos: b b ) T é injetor b) T é sobrejetor c) dim [N(T)] ) Sej T: P (R) definid por: T(00) t R T(00) t e T(00) I Escolh bses e do modo mis conveniente e determine mtriz [ T ] II Clcule: ) T (xt + yt + z) [ ] b) O que se pode concluir sobre o exposto nos itens nteriores? T c) [ T ] [ T] ) Dê se possível s trnsformções lineres pedids seguir trvés de um mtriz ssocid T sobrejetor d) : R M (R) N(T ) [( )] ) : R R T b) T : M(R) P (R) injetor e) T : V W inversível dim (W) e dim (V) c) T : M(R) M(R) dim N(T ) f) T :R R sobrejetor RESPOSTAS 0) ) V b) V c) F d) V e) V f) V g) F 0) ) LD b) LD c) LI 0) ) y 0 ou z 0 b) x R c) x y R 0) ) S não é bse de R porque os vetores são LD b) S não é bse de R porque não germ o R c) S é bse de P (R) d) S não é bse de M x (R) porque não germ o M x (R) e) S não é bse de M (R) porque os vetores são LD

7 0) ) b) c) d) e) 0) ) b ) {( 00 ) ( 0- ) ( 70 ) {( 0 ) ( 0-) { t +tt - t dim(w ) dim (W ) 0 dim (W ) dim (W ) {( 00 )( 00) dim (W ) {( 0) ( 0- )( xyz) { t +t -xt + yt + z o n d e x 0 on d e z + y x 0-07) ) [ v ] b) [ v ] c) [ v ] - d) [ v ] - 7 0) Observe que: ( W W ) dim (W ) + dim (W ) dim (W W ) dim + Como dim (W ) di m (W W ) e dim (W + W) dí dim (W ) 09) dim (W) 0) I Observe inicilmente que dim(u+w) dim (V) Então: dim (U W) dim (U) + dim (W) dim(u+w) + Dí dim (U W) logo U W {0 II É verdde que: U U+W V Assim dim (U+W) Então pelo fto que dim (U W) dim (U) + dim (W) dim (U+W) temos que dim(u W) pode ser ou ) ) Impossível pois b) S c) Impossível pois ; 0 d) Impossível pois se W R então dim ( + W) U temos que U W { 0 e U + W R U dim (U ) + dim ( W) dim ( U W ); + 0 (bsurdo) ) As trnsformções dos itens b c d f g h e i são lineres e s trnsformções dos itens ) e e não são lineres b) T c)t ( y - xy - xx - y ) N(T ) { 0 e {( - -)( -) ( xyz) ( x + yy - z ) N(T ) [(- / ) ] e {( 0 ) ( ) (xt + yt + z) ( x7x + y + z ) N(T ) [ t - ] e {( 7 ) ( 0) ) T (xy) 7

8 d) T e) T x + y x + y ( xyz) N(T ) {( 000) x + z y ( xt + yt + z) N(T ) { 0 x y f) T x + w z w 0 z - 9x - y x + 9y z - 0x - 0y x x+ y + z N(T ) e e { ) ) T (00) () T (00) () e T (00) (79) b) Impossível pois dim [N( T )] dim [Im( T )] e + dim[ M (R)] c) T t T t + T 0 e T d) T (0) (0) T () (000) e) Impossível pois dim [Im( T )] ssim dim [N( T )]dim ( R ) dim Im[( T )] Dí T não seri injetor f) Impossível pois dim [Im( T )] dim ( R ) dim [N( T )] que é no máximo igul dois se dim [N( T )] 0 E como Im( T ) R temos que T não pode ser sobrejetor nesss condições g) T 7 é função identicmente nul isto é T 7 (v) 0 v V Pr qulquer espço vetoril V el é um trnsformção liner h) T (00) (000) T (0-) (000) e T (00) (00) i) O subespço U de M (R) deve ter dimensão três por exemplo U 0 0 ) Como dim [N(T)]+ dim [Im(T)] dim(v) temos: ) dim[n(t)+im(t)] dim [N(T)] + dim [Im(T)] dim[n(t) Im(T)] Como por hipótese dim [N(T) Im(T)] então dim [N(T)] dim(v) dí N(T) {0 e portnto trnsformção não pode ser injetor I )N(T) Im(T) b ) N(T) 0 0 Im(T) 0 c ) dim N(T) [ + Im(T) ] II Como N(T)+Im(T) é um subespço de M (R) e possui dimensão então N(T)+Im(T) M (R) Por outro ldo N(T) Im(T) {0 dí N(T) + Im(T) M (R) e

9 ) ) T é invertível e T ()() T ()(00) e T (0)(0) - b) T é invertível e T (xyz) xt + yt+ z - c) T é invertível e T (xt + yt + z) (x/x-y7x-y-z) d) T não é invertível pois dim [Im( T )] e) T não é invertível pois dim [Im( T )] ) ) [ T ] 0 b) [ ] / 0 T / / -/ / c) [ T ] d) [ T ] 0-0 e) [ ] T ) ) T (xyz) (9x y x + y) b) y (y + z)/ T (xt + yt + z) (z - x)/ x c) T é trnsformção identidde em P (R) d) T (xyz) (x yz y + xy x) 0) ) [ T(v )] b) [ T (7) ] / c) [ T (xyz)] 0 - / x (x + y - z)/ (x + y - z)/ ) ) [ T] A b) [ T] 0 ) ) [ f] 0 0 δ g o ; b) ( g o f ) () ; c) g(xt + yt + z) (xy + z) x y d) f (x + y)t + zt + w z w ) I ) dim (V) b) dim (W) c) dim [Im(T)] d) dim [N(T)] II ) F b) F c) V d) F e) V f) F g) V ) ) Impossível pois dim [N(T)] b R; b) b ; c) b ) I [ T ] 0 0 ; II ) T (xt + yt + z) ( xy(z + x)/ ) As mtrizes [ ] T e [ ] 0 b) [ ] T 0 0 c) [ T ] [ T] Id T são invertíveis / 0 0 / ) ) [ T ] b) [ T ] 0 c) [ T ] d) [ T ] onde {( ) ( 0 0)( 00 ) e) Impossível f) Impossível