CDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 12) y x 2 + y, 2. x x 2 + y 2), F 1 y = F 2

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1 Instituto Superior Técnico eprtmento de Mtemátic Secção de Álgebr e Análise Prof. Gbriel Pires CI-II Resumo ds Auls Teórics (Semn 12) 1 Teorem de Green no Plno O cmpo vectoril F : R 2 \ {(, )} R 2 definido por é fechdo, ou sej, F(, ) = ( 2 +, 2 F 1 = F ), No entnto o respectivo integrl de linh o longo de um circunferênci C R, centrd n origem e rio R, não é nulo. e fcto, temos C R F dγ = 2π, desde que C R sej percorrid um vez no sentido directo. Portnto, ser fechdo é um condição necessári pr que um cmpo vectoril sej grdiente ms não é condição suficiente. Note-se que o integrl de linh de F não depende do rio d circunferênci. Sej um linh fechd um vez em torno d origem. Será que temos F dγ = F dγ = 2π? C R O teorem de Green permite relcionr o integrl de linh o longo de um curv fechd com um integrl duplo n região limitd pel linh em R 2. Neste teto, iremos usr seguinte notção pr o integrl de linh de um cmpo vectoril F = (P, Q) o longo de um linh : F dg = Pd + Qd Ao integrl de linh de um cmpo vectoril F sobre um cminho simples e fechdo chmremos circulção de F o longo de. ***

2 1.1 omínio Elementr efinição 1.1 Sej R 2 um berto e limitdo. iz-se que é um domínio elementr se for descrito, simultnemente, ns dus forms seguintes: ) = {(, ) R 2 : f() < < g() ; < < b} em que f, g : ], b[ R são dus funções de clsse C 1. b) = {(, ) R 2 : φ() < < ψ() ; c < < d} em que φ, ψ : ]c, d[ R são dus funções de clsse C 1. Eemplo 1.1 Um intervlo em R 2 é um domínio elementr tl como se ilustr n figur 1. d = g() = d = φ() = = ψ() = b c = f() = c b Figur 1: Um intervlo é um domínio elementr Eemplo 1.2 Um círculo em R 2 é um domínio elementr. N figur 2 encontr-se um círculo de rio R e centrdo n origem. Pr este cso temos: f() = R 2 2 ; R < < R g() = R 2 2 ; R < < R φ() = R 2 2 ; R < < R ψ() = R 2 2 ; R < < R Eemplo 1.3 Um qurto de um coro circulr no primeiro qudrnte de R 2 não é um domínio elementr ms é união de seis domínios elementres como se ilustr n figur 3. Eemplo 1.4 Um losngo é união de qutro domínios elementres, 1, 2, 3, 4, como se pode consttr n figur 4. 2

3 = g() = φ() = ψ() R = f() Figur 2: Um círculo é um domínio elementr Figur 3: Um coro circulr é união de seis domínios elementres Figur 4: Um losngo é união de qutro domínios elementres 3

4 1.2 Teorem de Green Teorem 1.1 Sej R 2 um domínio elementr e su fronteir. Consideremos o cmpo vectoril F = (P, Q) : R 2 de clsse C 1. Então, ( Q P ) dd = Pd + Qd em que linh é percorrid no sentido positivo. do que F = (P, Q) = (P, ) + (, Q) e sendo o integrl liner, supomos que é descrito n form = {(, ) R 2 : f() < < g() ; < < b}, e que F = (P, ). Assim, temos P dd = = b b ( g() f() Por outro ldo, linh é união de qutro linhs definids por e percorrids no sentido positivo. Portnto, F dg = 1 ) P d d (P(, g()) P(, f()))d = = {(, ) : b ; = f()} = {(, ) : = b ; f(b) g(b)} = {(, ) : b ; = g()} = {(, ) : = ; f() g()} b F dg = 2 F dg = 3 F dg = 4 4 P(, f())d b P(, g())d

5 ou sej, Pd = F dg = b P(, f())d b P P(, g())d = dd o mesmo modo, considerndo F = (, Q) e descrito n form obtemos e, portnto, = {(, ) R 2 : φ() < < ψ() ; c < < d}, Qd = F dg = Q dd, ( Q P ) dd = Pd + Qd *** Eemplo 1.5 O teorem de Green plic-se tmbém um união finit de domínios elementres. Sej união de dois domínios elementres, 1, 2, tl como, título de eemplo, se ilustr n figur 5. Sej L linh comum às fronteirs de 1 e 2, ou sej, 1 = 1 L, 2 = 2 L 1 2 L Figur 5: União de dois domínios elementres Note-se que = 1 2. Aplicndo o teorem de Green mbos os domínios, obtemos ( Q 1 P ) dd = Pd + Qd + Pd + Qd 1 L ( Q P ) dd = Pd + Qd Pd + Qd 2 L 2 5

6 Note-se que o integrl de linh de um cmpo vectoril F o longo de um cminho tem o sinl contrário o do integrl de F o longo d mesm linh ms percorrid no sentido contrário. Portnto, dicionndo mbs s equções, obtemos ( Q P ) dd = Pd + Qd É clro que este procedimento é válido pr um união finit de domínios elementres. Um união finit de domínios elementres será designd domínio regulr. Eemplo 1.6 Consideremos um cmpo fechdo F = (P, Q), ou sej, Q = P. Sej um linh fechd em R 2 que limit um domínio elementr. Então, pelo teorem de Green, circulção de F o longo de é nul. O mesmo se pode concluir pr um domínio regulr. Eemplo 1.7 Sej coro circulr = {(, ) R 2 : 1 < < 4} e representd n figur 6. Sej F = (P, Q) um cmpo vectoril de clsse C Figur 6: Coro circulr A fronteir de é união d circunferênci de rio igul dois, 2, percorrid no sentido positivo, e d circunferênci de rio igul um, 1, percorrid no sentido negtivo. o eemplo 1.3, fic clro que coro circulr é um domínio regulr. Aplicndo o teorem de Green, obtemos ( Q P ) dd = Pd + Qd + Pd + Qd 2 1 6

7 Pr o cso em que o cmpo F é fechdo, obtemos Pd + Qd = Pd + Qd 1 2 Se s dus linhs 1 e 2 forem percorrids no sentido positivo, então Pd + Qd = Pd + Qd 1 2 Eemplo 1.8 Consideremos o cmpo ( F(, ) = 2 +, 2 ) Já sbemos que F é fechdo no seu domínio R 2 \ {(, )}. Pr lém disso, o integrl de linh de F o longo de qulquer circunferênci centrd n origem e percorrid um vez no sentido positivo tem o vlor 2π. C Figur 7: Sej um linh fechd em torno d origem e descrit por um cminho α, e um circunferênci centrd n origem e percorrid um vez no sentido positivo, tl como se ilustr n Figur 7. Suponhmos que o conjunto limitdo por e por C é um domínio regulr. Tl como no eemplo 1.7, plicndo o teorem de Green à região limitd por e por C, obtemos F dα = F dg = 2π. C 7

8 Eemplo 1.9 Consideremos o cmpo vectoril F : R 2 R 2 e definido por F(, ) = (, ) e sej um domínio regulr cuj fronteir é linh percorrid no sentido positivo. Sendo Q P = 2 do teorem de Green obtemos 2dd = d + d ou sej, temos um relção entre áre de e o integrl de linh de F o longo d fronteir vol 2 () = 1 F dg 2 Sej S o conjunto limitdo por um elipse, definido por cuj fronteir é descrit pelo cminho S = {(, ) R 2 : < 1} g(t) = (2 cost, 3 sen t) ; t 2π Então áre de S é dd por vol 2 (S) = 1 d + d 2 = 1 2 = 1 2 = 6π 2π 2π ( 3 sen t, 2 cost) ( 2 sen t, 3 cost)dt 6dt Eemplo 1.1 Consideremos o cmpo vectoril F : R 2 \ {(, 1)} R 2 definido por ( ) 1 F(, ) = 2 + ( 1) 2, 2 + ( 1) 2 e sej fronteir do qudrilátero com vértices nos pontos (3, ), (, 3), ( 3, ), (, 3) percorrid no sentido positivo e descrit por um cminho γ : [, 1] R 2. 8

9 1 C Figur 8: Pr clculr o integrl de linh F dg, consideremos região limitd por e pel circunferênci C de rio igul um e centro no ponto (, 1) percorrid no sentido positivo e descrit pelo cminho g(t) = (cost, sen t + 1) ; t 2π como se mostr n figur 8. Fcilmente se verific que o cmpo F é fechdo e que região considerd é um domínio regulr. Portnto, do teorem de Green obtemos, F dγ = F dg Por outro ldo, C F dg = 2π e, portnto, C ( sen t, cost) ( sen t, cost) = 2π F dγ = 2π Note-se que o cálculo directo do integrl F dγ, pel definição, seri bstnte mis complicdo. 9