UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL DANIEL RODRIGUES MARQUES CÁLCULO E APLICAÇÕES DE DETERMINANTES FORTALEZA 04

2 DANIEL RODRIGUES MARQUES CÁLCULO E APLICAÇÕES DE DETERMINANTES Dissertção de Mestrdo presentd o Progrm de Pós-Grdução em Mtemátic em Rede Ncionl (PROFMAT) do Deprtmento de Mtemátic d Universidde Federl do Cerá, como requisito prcil pr obtenção do Título de Mestre em Mtemátic. Áre de concentrção: Ensino de Mtemátic. Orientdor: Prof. Dr. Mrcos Ferreir de Melo FORTALEZA 04

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5 À minh espos, Julin, e minh fmíli.

6 AGRADECIMENTOS A DEUS! À minh espos, Julin, por ser compreensiv e me motivr. À minh fmíli que sempre creditou nos meus estudos e me incentivou lutr por meus sonhos. Aos meus tios, Pedro e Ernestin, que me colherm como filho sempre que precisei. Ao meu orientdor, Prof. Dr. Mrcos Ferreir de Melo, por confir no meu trblho. Aos professores Dr. Mrcelo Ferreir de Melo, Dr. José Afonso de Oliveir, Dr. José Othon Dnts Lopes, Dr. José Robério Rogério, Dr. Jontn Florino d Silv, Dr. Romildo Silv, Dr, Alberto Mi e Dr. Gleison Alberto Grci, por tods s uls ministrds. Aos meus colegs do curso de Pós-Grdução em Mtemátic, d Universidde Federl do Cerá (UFC), pelo conhecimento, diversão e compnheirismo proporciondos os sábdos. Ao migo e coleg de trblho Antônio de Sous Zcris, pel jud no Trblho de Conclusão de Curso (TCC). À Universidde Federl do Cerá (UFC) por tod estrutur oferecid. À Coordenção de Aperfeiçomento de Pessol de Nível Superior (CAPES), pelo poio finnceiro. Ao meu migo Pedro Sérgio que me judou no início deste curso. Enfim, todos que, diret ou indiretmente, contribuírm pr relizção deste sonho.

7 RESUMO Este trblho trt ds proprieddes e plicções dos Determinntes reconhecendo-os como um ferrment importnte pr sintetizr representção e o cálculo de lgums funções e equções n áre de Geometri Anlític e Álgebr Liner. Nos primeiros cpítulos presentm-se um pouco d históri dos determinntes, os mtemáticos que contribuírm n su evolução e necessidde que gerou o início do seu estudo. Prossegue-se então, definição de determinnte e o cálculo dos determinntes prtir do teorem de Lplce vi recorrênci, bem como o dispositivo prático de Srrus pr determinnte de terceir ordem. No cpítulo seguinte, são presentds s proprieddes, num totl de doze, com sus demonstrções e eemplos, pois els serão utilizds ns plicções dos determinntes. Logo pós, present-se um série de plicções n áre de Álgebr Liner, por eemplo: dependênci e independênci liner, mtriz invers, solução de sistems lineres (Regr de Crmer) e produto vetoril; lém de plicções n áre de Geometri Anlític, tis como: condição de linhmento de três pontos, áre do prlelogrmo e volume do prlelepípedo. Por fim, conclui-se que é fundmentl o professor d segund série do Ensino Médio bordr em sus uls um pouco d históri, chmndo tenção dos lunos pr os mtemáticos que se destcrm neste estudo; epor s plicções dos determinntes, despertndo curiosidde de seus lunos e o interesse pel áre de Álgebr Liner ou Geometri Anlític. Plvrs-chve: Determinntes. Teorem de Lplce. Aplicções dos determinntes. Proprie- ddes dos determinntes.

8 ABSTRACT This pper dels with the properties nd pplictions of determinnts recognizing them s n importnt tool to synthesize the representtion nd clcultion of some functions nd equtions in the field of Anlyticl Geometry nd Liner Algebr. In the first chpters we present some of the history of determinnts, the mthemticins who contributed in its evolution nd the need tht generted the beginning of their study. Then we proceed, the definition of determining nd clculting the determinnts from the theorem of Lplce vi recurrence s well s the hndy device for determining Srrus third order. In the net chpter, we present the properties, totl of twelve, with their sttements nd emples, s they will be used in pplictions of determinnts. Soon fter, it presents number of pplictions in liner lgebr, eg, liner dependence nd independence, inverse mtri, solution of liner systems (Crmer's Rule) nd cross product; ddition to pplictions in nlyticl geometry, such s lignment condition of three points of the prllelogrm re nd volume of the prllelepiped. Finlly, it is concluded tht it is essentil the techer of the second grde of high school ddress in their clsses little history, clling students' ttention to mthemticins who hve ecelled in this study; epose the pplictions of determinnts, rousing the curiosity of their students nd interest in the re of Liner Algebr nd Anlytic Geometry. Keywords: Determinnts. Lplce theorem. Applictions of determinnts. Properties of determinnts.

9 SUMÁRIO INTRODUÇÃO...8 UM POUCO DE HISTÓRIA DOS DETERMINANTES CÁLCULO DOS DETERMINANTES... 4 ABAIXAMENTO DE ORDEM Teorem de Lplce Regr de Chió PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES APLICAÇÕES E EXERCÍCIOS Aplicções dos determinntes em Álgebr Liner Mtriz invers Dependênci e independênci Liner Solução de Sistems Lineres (Regr de Crmer) Produto vetoril Aplicções dos determinntes em Geometri Anlític Condição de linhmento de três ponto Equção gerl d ret determind por dois pontos ddos Áre de um triângulo em função ds coordends do vértice Áre do prlelogrmo Cálculo do volume do prlelepípedo CONCLUSÃO...47 REFERÊNCIAS...48

10 8 INTRODUÇÃO Definimos como determinnte um número rel que se ssoci mtriz qudrd M, de ordem n n, sendo representdo por det( ), D(M), M ij ou ind det n n nn, por recorrênci, como será presentdo bio. Se M ( ) D( M ) ij ij Se M D( M ) ( ) D( A ) ( ) D( A ), sendo que mtriz formd pel mtriz M ecluindo linh i e colun j, ou sej, D( M)... isto é, 3 3 Se M D( M ) ( ) D( A ) ( ) D( A ) ( ) D( A ) D( M ) A ij é Portnto, definimos o determinnte de um mtriz M n n, como o número rel n j j j j j j j D( M ) ( ) D( A ) ( ) D( A ) ( ) D( A ) ( ) D( A ) Enfim, definimos por recorrênci, pois pr encontrrmos o determinnte d mtriz M n n devemos ter definição do determinnte d mtriz (n-) (n-) A, que são os determinntes ds mtrizes A j. Est definição, tmbém conhecid como Desenvolvimento de Lplce, foi desenvolvid prtir d primeir linh d mtriz, o Teorem está demonstrdo pr o cso gerl no cpítulo 4 deste trblho. Segundo o Gui de Livro Didático PNLD 0, o conteúdo de determinntes é inicido n segund série do Ensino Médio em tods s coleções provds pr escolh do livro didático ns escols públics. Este conteúdo é precedido pelo estudo de mtrizes. Contudo, pens em um ds coleções provds, o conteúdo de sistems lineres precede o de mtriz, visto que historicmente s mtrizes e os determinntes surgirm como um ferrment essencil n resolução desses sistems.

11 9 Os educndos prendem inicilmente sus proprieddes, sber: som; o produto por esclr; o produto entre mtrizes, que fornece um primeiro eemplo de operção mtemátic não comuttiv, e invers de um mtriz. É bem verdde que descobert dos determinntes precede à ds mtrizes, porém é necessário que os educndos tenhm um conhecimento prévio de mtriz pr que hj um melhor compreensão dos determinntes. O grnde erro que muitos utores cometem, ind segundo o Gui do PNLD 0, é escrever um list de regrs pr clculr determinntes, pouco justificds. Ns mtrizes de ordem três prece, mgicmente, regr de Srrus; pens em um ds obrs justific porque o cálculo dos determinntes é feito d form indicd. Registrr os teorems ou proprieddes e justificá-los resultm em mecnismos prontos que os educndos pens reproduzem como está no livro, sem o interesse de sber como surgiu idei ou té mesmo tentr desenvolvê-l. Dess form, ger pens um memorizção, sem questionmentos, e não um prendizgem significtiv, pois é trvés do estudo de um cso gerl que o luno estrá preprdo pr resolver qulquer questão. Os determinntes surgirm prtir d necessidde de lguns mtemáticos, tis como: Lplce, Srrus, Cuchy, Leibniz, Kow, Crmer, entre outros; que pretendim descobrir novs forms de resolução de um sistem liner que, logo depois, em 8, se tornri um rmo distinto d Álgebr. Poucos livros trzem um breve resumo d históri dos determinntes, fto que pode deiá-lo menos trtivo pr queles que, possivelmente, nunc ouvirm flr sobre o ssunto e sus inúmers plicções, como por eemplo: n geometri nlític, álgebr liner, entre outrs. Atulmente, muitos educdores criticm inclusão dos determinntes no Ensino Médio, devido o fto de o método de esclonmento ser mis eficiente n solução de sistems lineres; já outros sugerem que sej um tópico opcionl (ou obrigtório?), devido su inegável importânci n mtemátic.

12 0 UM POUCO DA HISTÓRIA DOS DETERMINANTES O conceito de mtriz desenvolvido pelos mtemáticos ingleses Cyley e Sylvester (84-897) surgiu n metde do século XIX. O início d teori ds mtrizes remont um rtigo de Arthur Cyley (8-895), nturl de Richmond, Inglterr, em 855. Dig-se de pssgem, que o termo mtriz já for usdo, com o mesmo sentido, cinco nos ntes por Sylvester. Cyley fez questão de slientr que, embor logicmente idei de mtriz preced de determinnte, historicmente ocorreu o contrário. De fto, os determinntes já erm usdos há muito n resolução de sistems lineres. Cyley utilizou dus brrs verticis ldendo o qudrdo pr simplificr notção de trnsformção liner e observou que de dus trnsformções sucessivs sugeriu-lhe definição de produto de mtriz, dí chegou-se idei de invers e elemento neutro. Três nos depois ele introduziu o conceito de dição de mtrizes e o de multiplicção por esclr. A idei de determinnte surgiu inicilmente no Jpão, em 683, qundo o mtemático jponês Tkkzu Seki Kow (64-708), publicou su obr Kke fukudi no ho em que present um método gerl pr o cálculo de determinntes. Com finlidde de resolver sistems lineres, ele pretendi eliminr um incógnit em um sistem de equção de gru n. N Europ, no mesmo no de 683, o mtemático lemão Gottfried Wilhelm Von Leibniz (646-76) escreveu o mtemático frncês L Hospitl sobre clssificção de um sistem liner em que se plicv um novo tipo de cálculo, definindo como conhecemos hoje, determinnte. Leibniz pretendi desenvolver um cálculo pr eliminr s incógnits n solução de um sistem liner formdo por n equções n incógnits. Como vimos cim, o determinnte nsceu prtir do desenvolvimento de técnics pr resolução de sistems lineres. Um ds mis estudds no Ensino Médio é Regr de Crmer, publicd, em 750, pelo mtemático e strônomo suíço Gbriel Crmer (704-75), sendo utilizd pr resolver sistems lineres de n equções n incógnits. Outros mtemáticos que contribuírm n plicção e cálculo do determinnte form os frnceses: Ettiénne Bézolt ( ), que em 764, sistemtizou o processo de estbelecimento dos sinis dos termos de um determinnte; Alendre Vndermonde ( ), que no no de 77, fez primeir bordgem d teori dos determinntes, independentemente do estudo de sistems lineres. Em 77, Pierre Simon de Lplce (749-

13 87) demonstrou o teorem que é conhecido por teorem de Lplce, permitindo efetur o cálculo dos determinntes trvés dos menores complementres, tmbém chmdo complementos lgébricos. O termo determinnte, com o sentido tul, prece ter surgido em 8, em um trblho presentdo por Louis Augustin Cuchy ( ), n Acdemi de Ciêncis d Frnç. Nscido em Pris, seis semns depois d qued d Bstilh, Cuchy contribuiu de form significtiv pr teori dos determinntes. Dentre sus contribuições, podemos destcr notção ij, pr indicr linh e colun que o termo ocup; melhorou o desenvolvimento de Lplce dos determinntes, lém d formulção do teorem do determinnte do produto. O lemão Crl G. J. Jcobi (804-85) tmbém contribuiu pr consolidr teori dos determinntes, pois ele é devid um form mis simples e elementr de desenvolver ess teori. Ds sete coleções provds pelo PNLD 0, três dels inicim o conteúdo pel presentção de tetos que contetulizm, históric ou socilmente, o conhecimento e contribuem pr motivr sistemtizção do conteúdo. Em muitos csos, dá-se ênfse ns motivções sociis e econômics que levrm o vnço do conteúdo. Em outrs obrs, fz-se pens um listgem cronológic dos ftos.

14 3 CÁLCULO DOS DETERMINANTES Sej M um mtriz qudrd de ordem n, onde todos os seus elementos são números reis, podemos clculr o seu determinnte d seguinte form: ) Pr Eemplo 3.: Eemplo 3.: n, o determinnte d mtriz M det M M 8 det M 8 M 6 det M 6 b) Pr n M, o determinnte d mtriz é o próprio elemento d mtriz. M é diferenç do produto dos elementos d digonl principl pelo produto dos elementos d digonl secundári. M det M cos sen cos ² sen ² sen cos c) Pr n 3, o determinnte d mtriz M 3 3 pode ser clculdo utilizndo-se regr de Srrus, tmbém chmd de regr do octógono estreldo, est regr refere-se um determinnte de ordem 3, podendo ser estendid determinntes de ordem ímpr. Podemos plicá-l seguindo os seguintes pssos:. Repetimos s dus primeirs coluns o ldo d mtriz.. Os produtos dos elementos d digonl principl e o produto dos elementos ds digonis prlels principl são ntecedidos pelo sinl de mis, já o produto dos elementos d digonl secundári e o produto dos elementos ds digonis prlels secundári são precedidos pelo sinl de menos. 3 M det M

15 3 Ou, ind podemos representá-l d seguinte form: M det M Eemplo 3.3: 4 4 M det A.6.8 ( 4).( 3) ( 3) det A d) Pr n 4, n introdução presentmos definição de determinntes pelo desenvolvimento de Lplce, gor vmos presentr um demonstrção rápid de determinnte por permutção, pr o cálculo do determinnte de um mtriz resultdos serão iguis o determinnte. M n n, cujos. Tomemos os elementos ij, onde i j (digonl principl).. Fiemos o índice i nos elementos ij, tl que i n e j n, e permutemos de tods p p n! mneirs o índice j. Sej... n p qulquer um desss n! permutções, dí teremos. n! produtos do tipo... p p npn.3 Sej σ o número de inversões ds permutções de j em relção à permutção,,..., n tomd como principl em cd produto..4 Multipliquemos cd um dos. n! produtos pelo seu respectivo ( ).5 Somemos lgebricmente os n! produtos ( )... que o número p p npn rel obtido é o determinnte d mtriz. n n n nn M det ( ). p p... npn Pel definição de determinnte: det ( ).... p p npn, vemos que cd prcel d somtóri é formd por um produto de n ftores, tomndo um em cd linh e em um cd colun, hvendo, pois, elementos de tods s linhs e de tods s coluns de modo que não há dois elementos de um mesm linh ou colun.

16 4 Vmos ilustrr com dois eemplos, onde iremos plicr s dus definições de modo que possmos verificr os mesmos resultdos. Eemplo 3.4: Vmos clculr o determinnte ds mtrizes bio vi permutção e desenvolvimento de Lplce. ) A Vi permutção: Fimos i (. j j ) e escrevemos s possíveis permutmos de j (, ), logo, det A ( ) ( ) det A. 0 Vi desenvolvimento de Lplce pel primeir linh: det A ( ). D( ) ( ). D( ) det A b) Vi permutção: B Fimos i (.. 3 ) e escrevemos s possíveis permutmos de j (3, 3, 3, 3, 3,3), logo, j j j det A ( ) ( ) ( ) +( ) +( ) +( ) det A det A Vi desenvolvimento de Lplce pel primeir linh: det A ( ). ( ) ( ) det A ( ) ( ) ( ) det A det A Observção¹: Tods s definições presentds (vi Lplce ou vi permutções) conduzem à mesm form n-liner lternd em n, que é, precismente, função determinnte.

17 5 4 ABAIXAMENTO DE ORDEM Verificmos no cpítulo nterior como se clcul o determinnte de ª, ª e 3ª ordem. Foi demonstrd form gerl pr o cálculo de ordem n, onde foi dd definição de determinnte no cpítulo em que inicimos o Teorem de Lplce por recorrênci, qundo fimos linh. Agor, vmos definir pr um cso prticulr. Iremos presentr lgums regrs que permitem o bimento de ordem, ou sej, dd um mtriz M de ordem n podemos clculr o seu determinnte usndo mtrizes de ordem n e, plicndo sucessivmente este rciocínio, chegremos às mtrizes de 3ª ordem, onde finlmente podemos plicr regr de Srrus. 4.. Teorem de Lplce Menor complementr de um elemento: Dd um mtriz qudrd M de ordem n, denominmos de menor complementr de um elemento ij o determinnte d submtriz de M, obtid pels eliminções d linh i e colun j do elemento escolhido de M, qul representremos por M ij *. Eemplo 4.: O menor complementr do elemento, ou sej, * M, n mtriz n n M é o determinnte d mtriz n n nn colun e ª linh. Eercício 4.: 5 Dd mtriz M clcule M 3 * M3 *. 5 Solução: 3 n n n n3 nn suprimindo ª

18 6 5 5 M M3* M3 * M3* 3 ( 5) 5 M M3* Coftor ou complemento Algébrico de um elemento: Dd um mtriz qudrd M de ordem n, denominmos de coftor de um elemento ij i j o número ( ). *, que M ij será representdo por M ij. Eemplo 4. No eemplo 4. temos que M * det 3 n 3 3 3n n n nn, logo, o coftor do elemento Eercício 4. Solução: Então, será N mtriz 3 n 3 n 3 3 3n 3 3 3n M ( ) det M det. 3 8 M n n nn n n nn clcule A A 3 ( ).A 3 * ( ). ( ).( ) 9 7 (Regr de Lplce) Teorem: Sej M um mtriz n n, em que n e i n. det M ( ) D( A ) i i i ( ) D( A ) ( ) D( A ), isto é, o determinnte i in i i in in de M pode ser epndido segundo qulquer linh ou segundo qulquer colun (como é mostrdo n propriedde (P ) que o determinnte de um mtriz é igul o determinnte d su trnspost). O determinnte d mtriz M, de ordem n, é som dos produtos dos elementos de um fil qulquer (linh ou colun) pelos seus respectivos coftores. Isto é, ) Se escolhermos colun j d mtriz M

19 7 M j n j n n n nj nn n então: det M j. A j j. A j nj.a nj ij. Aij. b) Se escolhermos linh i d mtriz M i M n n i i in n n nn então: det M. A. A.A A. i i i i in in ij ij j Observção¹: Tods s definições presentds (vi Lplce ou vi permutções) conduzem n à mesm form n-liner lternd em n que é, precismente, função determinnte. Eemplo 4.3 Clcule, usndo o método de Lplce, os determinntes bio: ) b) Observção²: Como temos liberdde de escolh d fil, devemos escolher quel que present mior número de zeros. Solução: ) Tomndo ª linh pr epnsão, temos: det ( ) 5.( ).( ) (8 ).(6 8) 0 8

20 8 b) Usndo 3ª colun, pois el tem mior número de zeros: det 4.( ) ( ) 6 8 Clculndo os determinntes de 3ª ordem, temos: (4 8 0) (6 0 8) logo det. será = (3 4 8) (8 3 4) Eemplo 4.4 (EXPCEX-98) Pr todo e y reis, com ± y, o quociente entre os determinntes y y 0 0 y 0 ² y² é equivlente : y y Solução: Como vimos n observção nterior, iremos selecionr linh ou colun com miores números de zeros. y y 0 0 y 0 ² y² y y ( y) ( y).( ² y². y) e ² y² y ² y² y y ( y).( ² y². y) ( y).( ² y². y) ² y². y ² y² ( y).( y) y Eemplo (FATEC-87) Se + y =, então cos sen 0 3 seny cos y 0 é igul :

21 9 0 0 cos sen seny cos y 3 seny cos y 0 3 cos sen 0 ( ) cos. seny seny.cos cos( y) cos 4. Regr de Chió No cálculo do determinnte de um mtriz qudrd M, de ordem n 3, é interessnte bir ordem de M, isto é, obter um mtriz N, de ordem n, de modo que det. M = det. N. Agor, considere um mtriz M, de ordem n 3, com um elemento regr de Chió obedece os seguintes pssos: ) Eliminemos linh e colun que se cruzm no elemento ij, no cso, linh i e colun j. b) De cd elemento ij ij. A restnte d mtriz, subtrímos o produto dos elementos correspondentes à linh i e colun j que form elimindos no item. c) Com s diferençs obtids construiremos um mtriz de ordem (n-), cujo determinnte é multiplicdo por ( )i elemento Eemplo 4.6 j ij =, são iguis o d mtriz originl., onde i e j correspondente à linh e colun do Vmos clculr o determinnte d mtriz usndo regr de Chió detm ( ) por Srrus, 8 ( ) ( ) Coleção Elementos d Mtemátic (Oliveir,009) pg. 53.

22 0 5 PROPRIEDADE DOS DETERMINANTES Nest seção serão presentds s proprieddes que minimizrão nossos esforços pr o cálculo do determinnte, muits dels são conhecids pelos nomes dos mtemáticos que s desenvolverm e/ou relizrm prov ds mesms. Listmos doze proprieddes com su definição e su demonstrção. que det. M (P ) Sej M t um mtriz qudrd de ordem n e t M su trnspost, tem-se det. M, ou sej, o determinnte não se lter qundo trocmos ordendmente s linhs pels coluns. Demonstrção: Pelo princípio d indução finit. Pr t t M M M M, logo, propriedde é verddeir. n, temos det det Agor, suponhmos que propriedde sej verddeir pr mtrizes de ordem n, iremos provr que el será verddeir pr o determinnte de mtrizes de ordem n. Então, temos: 3 n b b b3 b n 3 n b b b3 b n t M n e M b3 b3 b33 b 3n b b b b n n n3 nn n n n3 nn onde, b i,,3,...,n e j,,3,...,n ij. Resolvendo por Lplce temos: ji det M. A. A. A. A (pel primeir colun) 3 3 n n det M b.b b.b b.b b.b (pel primeir linh) 3 3 n n Pel definição dd ntes de mtriz trnspost, temos que: b, b, b,, n bn, e pel hipótese de indução temos: 3 3 A B, A B, A3 B3,, An B n, pois A i é um mtriz de ordem n e B j é su trnspost, logo, det. M t det. M. Portnto, propriedde é verddeir pr tod mtriz qudrd de ordem n, n. Eemplo 5. As demonstrções presentds form bseds no livro Fundmentos de Mtemátic Elementr, vol. 4 (Iezzi, 993)

23 ) ( 4.8) b) e A prtir dest propriedde iremos chmr de fil um linh ou colun d mtriz, pois cbmos de provr que tod propriedde válid pr s linhs tmbém é válid pr s coluns. (P ) O determinnte de um mtriz qudrd M de ordem n é nulo se os elementos de um fil qulquer (linh ou colun) forem todos iguis zero, ou sej, det M 0 Demonstrção: Eemplo 5.. Suponhmos que os elementos d i-ésim linh de M sejm todos nulos, ou sej: i i i3 in 0 Desenvolvendo o determinnte por Lplce, temos: y z det M 0.A 0.A 0.A 0.A 0 b c d i i i3 in (P 3) Se multiplicrmos um fil (linh ou colun) qulquer de um mtriz qudrd M de ordem n por um número rel K, o determinnte d nov mtriz M obtid será o produto de K pelo determinnte de M, ou sej, det M' K.det M. Demonstrção: n n n n M e M ' K. K. K. i i in i i in n n nn n n nn

24 Desenvolvendo o determinnte de M e M por Lplce, temos: det M.A.A.A.A (I) i i i i i3 i3 in in det M ' K..A K..A K..A K..A (II) i i i i i3 i3 in in colocndo K em evidênci em (II) podemos concluir que: det M ' K(.A.A.A.A ) de (I), det M ' K.det M i i i i i3 i3 in in Eemplo ( ) 8.( ) Eemplo n 3 n Sej um número rel e M n, temos que o determinnte de. M n n n3 nn é igul : 3 n n n 3 n. M n n,.... n n n3 nn n n n3 nn 3 n 3 n n logo por (P 3) temos det(. M ).... det(. M ).det A n n n n3 nn Então, temos que qundo os elementos de um fil tiverem um ftor comum, este pode ser colocdo em evidênci no determinnte. (P 4) Teorem de Bezout Em um mtriz M qudrd de ordem n, o sinl do seu determinnte mud qundo trocmos posição de dus fils (linh ou colun), ou sej, o trocrmos dus fils obtemos um nov mtriz M, tl que, det M' det M. Demonstrção: Iremos demonstrr pelo princípio d indução finit. Inicilmente, vmos provr que propriedde é válid pr n=.

25 3 Sej M =, det M... Trocndo s linhs de posição, obteremos um mtriz M ', tl que: M ', det M '.. det M ' detm Suponhmos que propriedde é válid pr mtrizes de ordem (n-), dí provemos que el tmbém é válid pr mtrizes de ordem n. Permutndo-se dus linhs, somente mntendo s coluns, e desenvolvendo det M e det M, obtemos: n det M. A e det M '. A' ij ij ij ij i i n Sej A' ij o coftor, ou sej, o determinnte de um mtriz de ordem n obtido de A ij, o trocrmos dus linhs de posição, segue-se pel hipótese de indução que A' A, i e j,,,n, logo, concluímos que det M' det M. Eemplo ( 5) 45, trocndo-se linh pel linh 3 obtemos 3 3 ij ij o seguinte determinnte ( 36) (P 5) Se um mtriz M qudrd de ordem n tem dus fils prlels iguis, seu determinnte será igul zero, ou sej, det M = 0. Demonstrção: Tomemos um mtriz M qudrd de ordem n com dus coluns r e s formds por elementos respectivmente iguis, isto é, ir is, i,,,n. Trocndo-se posição desss coluns pel propriedde (P 4), obteremos um mtriz M, cujo determinnte é igul o oposto do determinnte d mtriz M, ou sej, det M' det M. (I) No entnto, como r e s são iguis mtriz, mtriz M é igul à mtriz M, logo, o determinnte de M é igul o determinnte de M, então, det M' det M. (II) De (I) e (II), concluímos que:

26 4 Eemplo 5.6 det M det M det M det M 0.det M 0 det M 0. Pel propriedde (P ), o mesmo ocorre qundo trocmos dus linhs. b c ( 6) 0, b 5 c (5c 0 4 b) (P 6) Teorem de Cuchy A som dos produtos dos elementos de um fil qulquer de um mtriz qudrd de ordem n, ordendmente, pelos coftores dos elementos de um fil prlel, é igul zero. Demonstrção: n n Sej o determinnte D r r rn s s sn n n nn Desenvolvendo D pel s-ésim linh, temos D. A. A A. s s s s sn sn Substituindo n mtriz s-ésim linh pel r-ésim linh, obtemos o determinnte n n D r r rn r r rn linh s n n nn Desenvolvendo D, ind pel linh s, temos que os coftores dos elementos continum os mesmos, logo, temos: D r. As r. As rn. Arn. Pel propriedde (P 5), pois os elementos ds linhs s e r são respectivmente iguis, temos: D 0 r. As r. As rn. Arn 0. Eemplo 5.7

27 5 3 4 M ª linh 3 4 elementos 3 ª linh 5 0 A A A coftores 3 Aplicndo propriedde de Cuchy: A 3, A 3 e A A. A. A 3.(3) ( ).3 ( 4).() Observção: Sej D o determinnte de um mtriz, podemos sintetizr os teorems de Lplce e Cuchy n epressão:, se n D r s D, se r s r. As r. As rn. Arn ou ri. Asi 0, se r s i 0, se r s (P 7) Se um mtriz qudrd M de ordem n tem dus fils prlels, formds por elementos respectivmente proporcionis, então: det 0. Demonstrção: Dd mtriz M cujs linhs r e s sejm formds por elementos proporcionis, tl K. j,,, n e K. que: rj sj Logo: M n n n n K. K. K. D, como K. D r r rn s s sn rj sj s s sn s s sn n n n3 n n n3 n n ( P3) s s sn ( P5) K. s s sn D K.0 0 n n n3 A demonstrção é nálog pr coluns proporcionis.

28 6 Eemplo sen sen sen b b b (P 8) O determinnte de um Mtriz de ordem n, com um fil formd de polinômios de K termos, pode se desdobrr num som de K determinntes, que se obtém de mtrizes formds, conservndo-se s outrs fils, e substituindo-se fil formd de polinômios, or pelos primeiros termos dos polinômios, depois pelos segundos termos e ssim por dinte. Demonstrção: (b j c j ) n (b j c j ) n Sej mtriz M cuj colun de ordem j é n n (b nj cnj ) nn formd por binômios. Aplicndo Lplce, n colun j temos que o determinnte D d mtriz M é: D (b c ). A (b c ). A (b c ). A j j j j j j nj nj nj D b. A c. A b. A c. A b. A c. A j j j j j j j j nj nj nj nj D b. A b. A b. A c. A c. A c. A D j j j j nj nj j j j j nj nj b j n b D D D j n j n j n b c n n nj nn n n nj nn b c c c A propriedde tmbém é válid se tivermos um dição em um linh. Eemplo y 4 = y 4 = y z z 7 4 z 7

29 (P 9) Se um mtriz qudrd M de ordem n, tiver um fil (linh ou colun) formd pel combinção liner de outrs fils (linh ou colun) prlels, seu determinnte será nulo. Demonstrção: Suponhmos que r coluns (ou linhs) de índices s, s,, s p. Desenvolvendo o determinnte pel n n colun (ou linh) sej um combinção liner de p outrs r colun (ou linh), temos: det M. A k. k. k.. A ir ir is is p sp ir i i 7 temos: Por (P 8), n n n e finlmente por (P 6), k. A k. A k. A is iq is iq p isp iq i i i det M k k k p Eemplo , pois 3ª colun é igul dus vezes ª colun mis ª colun Eemplo , pois 3ª linh é igul ª linh menos três vezes ª linh. 3 4 (P 0) Teorem de Jcobi Sej mtriz qudrd M de ordem n, o seu determinnte não se lter, qundo se som um fil, um combinção liner de fils prlels. Demonstrção: Primeirmente, iremos demonstrr que o determinnte não se lter, qundo sommos um fil outr fil prlel multiplicd por um constnte, ou sej: ( k. ) r s n r s s n ( k. ) det M = r s n r s s n ( k. ) n n nr ns nn n n nr ns ns nn temos: De fto, plicndo propriedde (P 9) o determinnte do º membro d iguldde,

30 8 ( k. ) r s s n r s n ( k. ) det M ' = r s s n r s n ( k. ) n n nr ns ns nn n n nr ns nn k. s s n k. s s n n n k. ns ns nn r Como segund prcel tem dus fils prlels proporcionis, podemos plicr propriedde (P 8), e ssim concluímos que: Eemplo 5. r s n r s n det M ' 0 = det n n nr ns nn Observção: Por meio do Teorem de Jcobi conseguimos reduzir zero todos os elementos de um fil, menos um, e ssim bir ordem d mtriz plicndo Lplce ou Chió. M (P ) O determinnte de um mtriz tringulr é o produto dos elementos d digonl principl. Demonstrção: Chm-se mtriz tringulr quel cujos elementos de um ldo d digonl principl forem nulos. Sej D o determinnte d mtriz, temos que: D nn

31 9 Aplicndo o Teorem de Lplce, D. A, como A. A e A 33. A33. Aplicndo sucessivmente o teorem, concluímos que: D nn ou Eemplo D ( ) n D ( ii ). i Corolário: Sej um mtriz qudrd de ordem n, cujos elementos de um ldo d digonl secundári forem nulos, o vlor do determinnte será o produto dos elementos d digonl secundári multiplicdo por nn ( ) ( ). Demonstrção: D n, n n n, n, n n, n n n n, n nn Aplicndo-se Lplce, teremos: D A ( ) ( ) n. n. n Porém, plicndo sucessivmente o teorem: A ( ).. A ( n) n, n, n A ( ).. A n, n 3, n 3, n A ( ).. 3 n,3 n, n ssim, D 34 ( ) ( ) n. n., n n como (( n ) 3).( n ) (4 n).( n ) 4( n ) n( n ) 3 4 ( n ) Concluímos que: 4( n) n( n) n.( n) n, n n n, n n D ( ).. ( )..

32 30 Eemplo (3) 0 7 ( ) ( ) Observção: N propriedde (P ) o determinnte d mtriz identidde I n é igul. (P ) Teorem de Binet Sej A e B mtrizes de ordem n, o determinnte d mtriz, produto de A e B, é igul o produto dos determinntes de A e B. Demonstrção 3 : Tomemos os determinntes b b b n n b b b A B n n b b b n n nn n n nn e o seu determinnte produto C c c c n c c c n c c c n n nn Pr provr que C=A.B, vmos construir um determinnte D de ordem n e clculálo de dus mneirs distints. N primeir vmos clculr D=A.B e n segund D=C, onde iremos concluir que: C=A.B. Inicilmente, teremos: n n n n nn D b b b n b b b n 0 0 b b b n n nn 3 Demonstrção retird do livro teori elementr dos determinntes, F A Lcz Netto, 958

33 3 Dividindo o determinnte cim em qudrnte, podemos observr que o determinnte A no º qudrnte e o determinnte B no 4º qudrnte, no º qudrnte os elementos são nulos e no 3º qudrnte digonl principl é formd pelo elemento - e os demis elementos nulos. Clculndo D pelo teorem de Lplce (generlizdo), o único determinnte de ordem n que obteremos, pois os outros são evidentemente nulos, será: B b b b n b b b n D, é o produto: b b b n n nn Igul o determinnte B, o complemento lgébrico desse menor complementr, em n A A ( ) ( ) ( ) n n n. ( ) ( n). n n nn Portnto, pelo teorem de Lplce (generlizdo): D A. B Agor, clculemos D d segund mneir. À colun de ordem (n+), somemos s n primeirs multiplicds respectivmente por b, b,, b n ; à colun de ordem (n+) somemos tmbém s n primeirs, multiplicds respectivmente por b, b,, b n, e ssim por dinte; à últim colun somemos s n primeirs multiplicds respectivmente por b, b,, b. n n nn Como um fil estmos somndo um combinção liner de fils prlels, plicndo o teorem de Jcobi (P 0), ficmos com: c c c n n c c c n n n n nn cn cn cnn D

34 3 Clculndo D novmente pelo teorem de Lplce (generlizdo), o único determinnte de ordem n que obteremos, pois os outros são evidentemente nulos, será o determinnte C, e o seu complemento lgébrico e o menor complementr é: ( ). ( ).( ) ( ) ( ) (n) n ( n) ( n) n n n (n) nn n(n) 0 0 Portnto, Como já provmos que Temos tese ( ) D C.( ) nn D C D A. B C=A.B Isto é, o determinnte-produto, por linhs, de outros num ordem dd, é igul o produto desses outros. Eemplo 5.4 A e B= AB A (-0).(-34)=840 B

35 33 6 APLICAÇÕES DOS DETERMINANTES Neste cpítulo destcremos plicção dos determinntes no estudo de Geometri Anlític e Álgebr Liner. É importnte fzer est ssocição - durnte o ensino de determinntes no segundo no do Ensino Médio, onde estes conhecimentos serão plicdos -, pois os livros dotdos pels escols públics trzem um estudo isoldo de mtrizes, determinntes e sistems lineres, sem defini-los como pré-requisitos pr o estudo de Álgebr Liner e Geometri Anlític, os quis são plicdos às turms de terceiro no do Ensino Médio. Espermos contribuir com eemplos que poderão ser utilizdos pelo professor em sus uls de determinntes. Inicilmente, veremos sus plicções no estudo de Álgebr Liner. 6. Aplicções dos determinntes em Álgebr Liner. 6.. Mtriz invers. Dd um mtriz qudrd A de ordem n, chmmos de invers de A um mtriz qudrd B de ordem n tl que AB BA In. Aplicção: Um mtriz A é invertível se, e somente se, o determinnte for diferente de zero. Se A é invertível, temos: A.dj(A), em que dj(a) é trnspost d mtriz dos coftores de A. DA ( ) Prov: Pel Propriedde de Binet (P ) D( A). D( B) D( A. B), pel definição de mtriz invers AB BA In, ssim pel propriedde (P ) DI ( n), logo: D(A). D( B) D( AB) D( I ) D( A) 0, D( B) 0. n Logo, se.dj(a) DA ( ) é invers de A, teremos: Eemplo 6. D( A) D( A).dj(A). A In A.dj(A).

36 34 Vmos determinr invers d mtriz 0 A utilizndo os determinntes. 0 DA ( ) ( 8 3 0), 4 8 teremos gor os coftores de A A ( ) ; A ( ) (4); A3 ( ) A ( ) ( ); A ( ) 0; A3 ( ) () A3 ( ) ; A3 ( ) ( ); A33 ( ) Logo, mtriz dos coftores de A será 0 e Concluímos então que: A dj( A) dj( A) DA ( ) Dependênci e independênci Liner Sejm v, v,, v n vetores em n, em que v (,,, ) e A é mtriz, i i i in ij cujs linhs são gerds por estes vetores, onde i n, são linermente independentes se, e somente se, A for invertível. Aplicção: Como vimos nteriormente, A só é invertível se, e somente se, seu determinnte for diferente de zero. Prov: Sejm v, v,, v n vetores em n. Dizemos que v, v,, v n são linermente independentes se equção v v v 0, dmite solução trivil. n n

37 35 n 0 n 0. o n n nn n Por hipótese, A é invertível, podemos plicr trnsformções elementres em A, tis que er ( ( e( e( A))) ) I, dí: n o logo, v, v,, v n são L.I. se o determinnte d mtriz. n 0 A ij for diferente de zero. Consequentemente, os vetores v, v,, v n são linermente dependentes se, e somente se, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinção liner dos outros vetores., Prov: Sej A mtriz gerd pelos vetores v, v,, v n, onde vi ( i, i,, in ) ij são s linhs d mtriz A. Pel propriedde (P 9) se pelo menos um linh for um combinção liner ds demis, o seu determinnte é igul zero. Pr concluirmos, verificmos se dois ou mis vetores são L.I. ou L.D. se o determinnte d mtriz gerd por estes vetores for diferente de zero (L.I.) ou igul zero (L.D.). Eemplo 6. Vmos verificr se os vetores v 3,0, 4, v 5,, e v,,3 linermente dependentes ou independentes. são 3 Sej mtriz A 5 3 gerd pelos vetores v, v e v 3, temos que: D(A) ( 4 6) 39 3 Logo, v, v e v 3 são vetores linermente independentes e A é invertível.

38 Solução de Sistems Lineres (Regr de Crmer) Vimos no cpítulo que os determinntes form cridos com finlidde de resolver sistems lineres. Em 750, Gbriel Crmer (704-75) publicou um técnic conhecid como regr de Crmer que utiliz determinntes pr encontrr solução de um sistem liner, estudd tulmente n ª série do Ensino Médio. Aplicção: A Regr de Crmer utiliz o quociente de dois determinntes pr descobrir s incógnits de um sistem liner. Sej AX B formd pelos coeficientes ds incógnits, e X mtriz,,, n, solução do sistem é dd por:, onde A é um mtriz n n n formd pels incógnits j j DA ( ), com j,,, n, DA ( ) onde j A é mtriz obtid pel substituição d j-ésim colun de A pel únic colun de B. Prov: Considere o sistem b b S b n n n n 3 3 3n n 3, b n n nn n n e sejm j n b j n b A j 3n, X 3 e B b 3 n n nj nn n b n Se DA ( ) 0, segue-se que A é invertível e o sistem tem um únic solução dd por: AX B X A. B X.dj(A). B DA ( ) X A A An b b A b A bn An A A A n b b A b A bn A n.. =. D( A) D( A) A A A b b A b A b A n n nn n n n n nn O elemento d j-ésim linh d mtriz X será:

39 37 j b A b A b A DA ( ) j j n nj. Substituindo j-ésim colun de A pel únic colun de B obteremos mtriz: A j, j b, j n, j b, j n n n n, j bn n, jn nn Clculndo o determinnte pel j-ésim colun, temos: D( A ) b A b A b A j j j n nj que implic: Eemplo 6.3 j j b A j b A j bn Anj DA ( ) D( A) D( A) y 3z 7 Resolv pel regr de Crmer o sistem liner 4 y z 6 3y z A 4 D( A) ( 4) A D( A ) (30 4 6) A y y 4 6 D( A ) (36 0 8) Logo, A z z DA ( ) (8 36 0)

40 38 y z D( A ) 6 D( A ) 48 D( A ) 3 ; y 3; z D( A) 6 D( A) 6 D( A) 6 Temos que o conjunto solução do sistem é, y 3 e z Produto vetoril O produto vetoril é um operção que combin dois vetores linermente independentes dndo como resultdo outro vetor que é ortogonl o plno gerdo pelos outros dois vetores. produto vetoril Aplicção: Ddos os vetores u (, b, c ) e v (, b, c), podemos definir o u v como o determinnte d mtriz: onde e,0,0, e (0,,0) e e 0,0, 3 e e e3 u v det b c, b c são s bses cnônics de Prov: Considere os vetores u (, b, c ) e v (, b, c) em que w u e w ve sus coordends é solução do sistem: wu. b y c 0 b y cz w. v b y c 0 b y cz Resolvendo o sistem ns incógnits e y, temos: b c b c c c b b b b. z e y. z Escolhendo z b. b Obtemos s coordends do vetor: O produto vetoril de u e v é o vetor w b c b c, c c, b b podendo ser escrito de form simplificd como o determinnte: 3 3. e w, y, z um vetor tl u v =b c b c, ( c c ), b b b c c b u v det. e det. e det. e3. b c c b Escrevendo este produto de form mis compct vmos obter um mtriz do tipo 33, cujo determinnte será igul à epressão que define o produto entre dois vetores u e v.

41 39 Est mtriz pode ser epress escrevendo n primeir linh bse cnônic, n segund linh s coordends de u (, b, c) e n terceir linh s coordends de v (, b, c). e e e 3 b c b c, onde e,0,0, e (0,,0) e e 0,0, são s bses cnônics de 3 3. Note que notção é pens forml, desprovid de qulquer conteúdo, pois em princípio, não fz sentido considerr o determinnte de um mtriz onde os elementos d primeir linh são vetores e os demis elementos ds demis linhs são números reis. (HEFEZ, 0) 4. Eemplo 6.4 Vmos clculr o produto vetoril de u(, 3, 5) e v (,, 4). Podemos escrever e e e u v det 3 5 u v det. e det. e det. e (, 0, 0) 6(0,, 0) 5(0, 0, ) (7, 6, 5) 6. Aplicções dos determinntes em Geometri Anlític 6.. Condição de linhmento de três pontos. Um dos primeiros conttos dos lunos d terceir série do Ensino Médio com Geometri Anlític é condição de linhmento de Três pontos. A y B y C y em Aplicção: Os pontos,,, e, 3 3, estão linhdos se, e somente se, o determinnte d mtriz formd pels coordends dos pontos com s uniddes sej nulo, isto é, y y y Prov: A y B y C y estão linhdos se stisfzem Os pontos,,, e, 3 3 seguinte relção: 4 Introdução Álgebr Liner, ª edição, 0, pg. -3.

42 40 AB y y AC y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y Que pode ser representdo n form de um determinnte: y y y Observção: Como s operções são reversíveis, temos que recíproc é verddeir. Eemplo 6.5 Vmos verificr se os pontos A, 5, B3,3 e C, estão linhdos. Clculmos o determinnte gerdo pels coordends de A, B e C (6 5) 0, logo A, B e C são colineres. 6.. Equção gerl d ret determind por dois pontos ddos. Como vimos no item nterior, três pontos estão linhdos, ou sej, pertencem mesm ret se, e somente se, o determinnte ds coordends deste pontos com s uniddes for igul zero. A prtir de dois pontos podemos trçr um ret, o considerrmos um ponto P de coordends P(,y) pertencente est ret, podemos escrever equção gerl d ret by c 0. Aplicção: Sejm ddos os pontos, e, A y B y, distintos, podemos escrever equção d ret pssndo por estes pontos, tl que o ponto P(, y) pertenç est ret by c 0, prtir d epressão: y y y 0 Prov: Vmos escrever equção d ret que pss pelos pontos, e, A y B y.

43 4 y y 0, desenvolvendo o determinnte pel primeir linh temos: y y y, que pode ser escrito n form by c 0, onde y y. y 0 y y, b e c y y, com e b simultnemente não nulos. Recíproc simultnemente. Tod equção do tipo by c 0 representm um ret se e b não se nulm Vmos supor que by c 0 represente um curv qulquer. Tomemos, e, A y B y que sej solução dest equção, logo: by c 0 by c 0 Sej (, y) um ponto qulquer d curv distinto de A e B, tl que by c 0. Considere o sistem: by c 0 by c 0 by c 0 Subtrindo s dus primeirs linhs d terceir teremos: ( ) b( y y) 0 () I ( ) b( y y) 0 ( II) De (I) temos que b y y, com 0, e substituindo em ( II ) y b y y b y y y y b y 0 0. Suponhmos b 0, então ( ) 0, como 0 implic 0, porém e b, por hipótese, não podem ser simultnemente nulos. Logo, devemos ter b 0 e epressão: y y y y yy y y 0 0 Figur

44 4 y y y 0. um ret. Eemplo 6.6 A Portnto, pr qulquer ponto P(, y) temos que equção by c 0 represent Vmos determinr equção gerl d ret que pss pelos pontos,6 e B, 3. y y 3 3 y y 5 0 y Áre de um triângulo em função ds coordends do vértice. Vimos n seção nterior qundo três pontos pertencem à mesm ret. Agor, veremos que qundo três pontos não estão linhdos eles representm os vértices de um região tringulr e podemos epressr áre dest região n form de determinntes. Aplicção: A áre de um região tringulr de um sistem de eios ortogonis OXY, pode ser determind prtir do determinnte d mtriz gerd pels coordends dos seus A B C s coordends dos vértices de um triângulo. vértices. Sej,, y,, y e, y 3 3 Então, áre dess região tringulr é dd por: y S D em que D y y 3 3 Prov: Vmos clculr áre do triângulo de vértices, y,, y e, y A B C. 3 3 Sej bse b d e ltur AC h d B,ret ÄC, temos que: AC s b. h, onde b d y y e 3 3 Figur - Áre d região tringulr

45 43 h ( y y ) ( ) y ( y y ) ( ) ( y y ) 3 3 D b, em que y y y y 3 3 y D D y y 3 3, logo o cálculo d áre é: y D S. b. h S. b. S. D, onde D y. b y Eemplo Vmos clculr áre do triângulo ABC, ddos A 3,, B5, 4 e C,7 Temos: Eemplo S. 5 4 S.( 4 35 ( 8 0) 7 S u... (PAPMEM_ jn/03) Use mtriz de Grm pr obter um epressão pr áre do triângulo cujos ldos medem, b e c. Solução: Representndo os ldos do triângulo pelos vetores u, v, u v, os comprimentos dos seus ldos são u, b v e c u v. Su áre S cumpre: S u 4 u, v Levndo em cont que u v u u, v v u, v u v u v u, v u, v b c Então, podemos escrever: b c 4S b b c 4 b c b Logo, podemos concluir que: S b b c. 4 v

46 Áre do prlelogrmo Consideremos um prlelogrmo ABCD no plno. Sej os vetores AB v, AD w e w' um projeção ortogonl de w sobre ret AB. Podemos escrever áre deste qudrilátero como determinnte ds coordends dos vetores w e v. Figur 3- O prlelogrmo construído sobre os vetores v e w Aplicção: Sej o prlelogrmo ABCD construído sobre os vetores w e v, podemos escrever e clculr su áre prtir do determinnte ds coordends de w e v. b S c d, onde, b, c e d são s coordends de v (,b) e w (c,d). Prov: A áre do qudrilátero ABCD é dd por.. S u v S u v, onde u w w'. Como w, v. v w ' é um projeção de w, podemos escrever w' e pelo Teorem de v Pitágors temos que ww' w. w'. Então, podemos concluir que: w, v. v S w w v w w v S w v v '. '.. w, v. v S w. v. v 4, portnto áre do prlelogrmo é: v S w. v w, v Como v v, v e w w,w, podemos escrever:

47 45 v, v v, w S v, w w, w Pel desiguldde de Cuchy-Schuwrz, temos que: w. v w, v w. v w, v 0, vetores u e v. Sejm s coordends dos vetores v(,b) e w (c,d). Podemos concluir que: v, v v, w ( b ) (. c b. d) S b c d c b d v, w w, w (.c b. d) ( c d ) ( ).( ) (.. ) c d b c b d c d b c (. c. b. d) (. d b. c) S Eemplo 6.9 (. c. b. d) (. d b. c) S. d b. c. c c d b d Vmos determinr áre do prlelogrmo construído sobre os vetores tl que A(0,), B(,5) e C (8,). AB e AC, Temos que AB ( 0,5 ) e AC (8 0, ), logo AB=(,4) e AC (8,0) e 4 S 3 u Cálculo do volume do prlelepípedo 3 Considere três vetores u (, y, z), v (, y, z) e w ( 3, y3, z3) não nulos em. Sej P o prlelepípedo determindo por estes três vetores, onde h denotltur do prlelepípedo e θ o ângulo entre u e v w. Figur 4 - Prlelepípedo no R³ 5 5 Figur retird do livro Introdução à Álgebr Liner. Hefez, Abrmo. SBM, 0. Pág. 6.

48 Aplicção: Podemos clculr o volume do prlelepípedo no 3 46 pel definição de produto esclr e produto vetoril prtir do produto misto dos vetores u (, y, z), v (, y, z ) e w (, y, z ) y z u.( v w) det y z 3 y3 z 3 Prov: Sej o volume do prlelepípedo construído sobre os vetores u (, y, z), v (, y, z ) e w (, y, z ) em , ddo pel fórmul V A h b., onde h u.cos e áre d bse do prlelogrmo gerdo pelos vetores v e w é dd, como vimos n seção nterior, por v w, portnto podemos escrever: y z V v w. u.cos V u. v w y z y z Eemplo 6.0 Clculr o volume do prlelepípedo que tem por rests os vetores u (,,0), v (,4,) e w (,,). Solução 0 V ( ) 9

49 47 7 CONCLUSÃO O estudo de determinntes é feito n segund série do Ensino Médio, pesr de muitos professores e livros didáticos presentrem este conteúdo de form básic, sem muits informções respeito do surgimento e plicções. Espermos, com este trblho, contribuir pr o plnejmento do professor de mtemátic no ensino de determinntes, um vez que procurmos demonstrr s plicções, que podem ser de fácil compreensão do luno, instigndo-o pesquisr sobre os mtemáticos que tiverm mior destque no estudo de determinntes e conhecer s áres em que eles são plicdos, o que poderá judá-lo em su vid cdêmic. Tão importnte qunto estudr s sus plicções é entender sus proprieddes, por isso presentmos doze proprieddes que irão judr n prendizgem de determinntes, pois é trvés dels que podemos compreender melhor o seu comportmento e diminuir nosso esforço em muitos eercícios e n demonstrção de sus plicções. Os determinntes form inicilmente descobertos pel necessidde de simplificr resolução de sistems lineres, porém cbou tornndo-se um ferrment importnte ns áres de Geometri Anlític e Álgebr Liner. É necessário o bom senso do professor em esclrecer os lunos que os determinntes e sus proprieddes poderão contribuir com su evolução no ensino superior. Além de que os determinntes não são um conteúdo isoldo e ssocido um mtriz, ms torn-se bstnte útil no estudo de vetores, fcilitndo su representção e cálculo.

50 48 REFERÊNCIAS BRASIL. Ministério d Educção. Gui de livros didáticos: PNLD 0, mtemátic. Brsíli: Ministério d Educção, Secretri de Educção Básic, 00. BRASIL. Ministério d Educção. Gui de livros didáticos: PNLD 0, mtemátic. Brsíli: Ministério d Educção, Secretri de Educção Básic, 0. FILHO, Mnoel Ferreir de Azevedo. Geometri nlític e álgebr liner. Fortlez: Edições Livro Técnico, 003. HEFEZ, Abrmo; FERNANDEZ, Cecíli de Sous. Introdução à álgebr liner. Rio de Jneiro: SBM, 0. IEZZI, Gelson; HAZAM, Smuel. Fundmentos de mtemátic elementr. 6ª ed. São Pulo: Atul, 993. v. 4. LIMA, Elon Lges. Geometri nlític e álgebr liner. Rio de Jneiro: IMPA, 0. LIMA, Elon Lges; CARVALHO, Pulo Cezr Pinto. Coordends no plno com s soluções dos eercícios. 5ª ed. Rio de Jneiro: SBM, 005. LIMA, Elon Lges et l. A mtemátic do ensino médio. 6ª ed. Rio de Jneiro: SBM, 006. v. 3. LORETO, An Céli d Cost; SILVA, Aristóteles Antônio d; JUNIOR, Armndo Pereir Loreto. Álgebr liner e sus plicções: resumo teórico e eercícios. ª ed. São Pulo: LCTE, 009. NETTO, F. A. Lcz. Teori elementr dos determinntes. 4ª ed. São Pulo: Livrri Nobel, 958. OLIVA, Wldyr Muniz. Geometri nlític determinntes. São Pulo: [s. n.], 953. OLIVEIRA, Mrcelo Rufino de; PINHEIRO, Márcio Rodrigues d Cost. Coleção elementos d mtemátic. ª ed. Belém: GTR, 009. v. 3. The McTutor History of Mthemtics rchive. Disponível em: < Bibliogrphy/inde.html>. Acesso em: 0 de fevereiro de 04.