Física 4. Operação com vetores subtração de vetores figura 4 figura 7 figura 8 5. Método gráfico do paralelogramo figura 5 figura 6 Há 23 anos

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1 ul 0 Vetores. Grndezs esclres e grndezs vetoriis N nturez, lgums grndezs físics ficm bem definids qundo lhes é tribuído um vlor numérico (módulo) e um unidde de medid. São s chmds grndezs esclres. Esss grndezs não têm nenhum orientção e su ritmétic é simples como utilizd no cix de um pdri. Dentre els, podemos citr mss, tempo, comprimento, tempertur, energi, corrente elétric, resistênci elétric, potênci. É isso í turm! Mss é um grndez esclr... infelizmente. Entretnto, existem grndezs que, lém de um vlor numérico (módulo) e um unidde de medid, tmbém recebem um orientção, crcterizd por um direção e um sentido. São s chmds grndezs vetoriis. s operções mtemátics com esss grndezs precism levr em cont não só o vlor numérico, ms tmbém su orientção. ssim, lnçmos mão d geometri pr nos uxilir ns operções mtemátics com esss grndezs. Deslocmento, velocidde, celerção, forç, impulso, quntidde de movimento, velocidde ngulr, momento de um forç são exemplos de grndezs vetoriis. forç é um grndez vetoril! Estou plicndo um forç verticl pr cim!. Vetores Pr representr s grndezs físics orientds (vetoriis), utilizmos um ente geométrico denomindo Vetor. Trt-se de um segmento de ret orientdo (orientção dd pel flech) que present um direção, um sentido e um módulo, que está relciondo com o comprimento do vetor. Um vetor, portnto, pode representr qulquer grndez físic vetoril. d B figur b c figur ilustr o vetor B que tem direção horizontl, sentido d esquerd pr direit e módulo ddo pelo comprimento B. O vetor B tmbém pode ser simplesmente designdo por um únic letr minúscul d. Pr nos referirmos pens o módulo do vetor d, podemos usr o símbolo d ou simplesmente d. Dizemos que dois vetores são iguis, se e somente se, presentrem mesm direção (forem prlelos), o mesmo sentido (flech) e mesmo módulo (comprimento). Sendo ssim, podemos dizer que: b e d c. Os vetores b e c são iguis pens em módulo e direção. Simbolicmente, podemos escrever b c pesr de b c. 3. Operção com vetores som vetoril Conforme dito, um vetor pode representr qulquer grndez vetoril. ssim, pr ilustrr operção d som vetoril, utilizremos vetores que representm o deslocmento de um pesso, que têm su origem no ponto de prtid e, su extremidde, no ponto de chegd. Imgine que um pesso prtiu do ponto e fez o percurso BCD prndo no ponto D. Cd um dos seus deslocmentos prciis B, BC e CD podem ser representdos, respectivmente, pelos vetores, b e c conforme figur. O deslocmento resultnte dess pesso é representdo pelo vetor r, que prte do ponto inicil e tem su extremidde no ponto finl D como mostr figur 3. Dizemos que r é som vetoril ou resultnte dos vetores, b e c e, simbolicmente, escrevemos: r + b + c Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses B B b figur b r figur 3 dmitindo que os módulos dos deslocmentos vlem 9 km, b km e c 3 km, fim de obter o vetor r, você não deve efetur o cálculo: + b + c km r finl de conts, expressão cim não se trt de um som lgébric ou som esclr. s flechinhs sobre cd letr indicm que estmos relizndo um som vetoril ou geométric e que não se pode substituir diretmente os vlores numéricos n expressão. Devemos fzer uso ds proprieddes d geometri e, prtir do digrm dos vetores ilustrdo n figur 3, obter o módulo do vetor r. prtir do Teorem de Pitágors, o triângulo hchurdo n figur 3 nos permite escrever : ( c) + ( b ) ( r ) ( 9 3 ) + ( ) ( r ) r 0 km c c C D C D

2 Físic ssim, sempre que desejrmos clculr o resultdo de um operção com vetores, é preciso primeiro trçr o digrm vetoril e, só em seguid, utilizr geometri pln pr efetur operção. Em linhs geris, pr se obter resultnte entre vários vetores, bst dispor os vetores um pós o outro, com extremidde de um n origem do próximo. O vetor som é sempre obtido ligndo origem do primeiro à extremidde do último. Esse processo gráfico chm-se método do polígono. seguir, destcmos um série de relções vetoriis existentes no digrm d figur. Observe: g f e c d b. Operção com vetores subtrção de vetores Sejm os vetores, b e c mostrdos n figur 7. Desejmos obter o vetor r tl que r + b c. Pr isso, definimos o vetor oposto c, representdo por c. Note que os vetores c e c têm o mesmo módulo (comprimento), mesm direção (são prlelos) e sentidos opostos ( flechs contráris) como n figur 7. Jorge, não existe vetor negtivo num! ssim como não existe triângulo negtivo! Entendi, prôfi! Esse -C é um vetor negtivo, né? + b + d figur + f g ms ( + b ) c, portnto: ( + b ) + d + f g c + d + f g ms ( c + d ) e, portnto: ( c + d ) + f g e + f g s relções vetoriis cim mostrm que som de vetores é ssocitiv. É fácil ver que tmbém é válid propriedde comuttiv pr dição, ou sej, Grficmente, temos: c b c figur 5 b + b b + : b c b c figur O vetor c não se trt de um vetor negtivo, finl de conts, um vetor é um ente geométrico e, ssim como não existem qudrdos negtivos ou triângulos negtivos, não existem vetores negtivos. pens, d mesm form que existe um vetor chmdo c, tmbém existe um vetor chmdo c, é o nome dele, chm-se vetor menos cê. c c figur 7 b c r figur ssim, reescrevemos expressão r + b c como r + b + ( c ) e trçmos o digrm vetoril nturlmente, dispondo os vetores, b e ( c ) em série, um pós o outro e trçndo o vetor resultnte r como mostr figur. Mis um vez, determinremos o módulo de r com bse n geometri d figur. 5. Método gráfico do prlelogrmo Pr determinr resultnte entre vários vetores trvés do método do polígono, vimos que devemos dispor um vetor pós o outro (figur 9), com extremidde de um coincidindo com origem do seguinte (em série). O vetor resultnte é obtido o finl, ligndo origem do primeiro vetor à extremidde do último (figur 9. Um form lterntiv de se trçr resultnte entre dois vetores e b que formm um ângulo entre si é trvés do método do prlelogrmo. Nesse método, que se plic pens dois vetores de cd vez, devemos dispor os dois vetores de form que b Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses

3 Físic 3 sus origens fiquem coincidentes (figur 9c). Trçndo-se s rets prlels r e s, determinmos um prlelogrmo. Trçndo-se digonl desse prlelogrmo (figur 9d) prtir d origem dos vetores, determin-se o vetor resultnte r tl que r + b. b b Figur 9 b Figur 9 c r s r b Figur 9 b r b b Figur 9 d É fácil ver que os trçdos gráficos mostrdos n figur 9b e 9d são equivlentes e determinm o mesmo vetor r, por qulquer um dos métodos. prtir d lei dos cossenos, pode-se demonstrr que, se e b são dois vetores que formm um ângulo entre si ( figur 9d ), resultnte r + b tem módulo ddo pel relção: r b..b. cos Pr um importnte revisão de geometri pln, vej págin 7. Já os vetores e c, n figur 0, têm origens coicindentes e, portnto, o ângulo formdo entre eles relmente vle 0, ssim como o ângulo formndo entre b e c. 7. Decomposição de vetores decomposição de vetores é um ferrment muito útil n nálise de problems de Físic. Sej um vetor genérico F. Estmos interessdos em determinr s componentes horizontl e verticl F x e F y do vetor F. F y F F F x Figur F x Figur b Pr isso, posicionmos o vetor F n origem de um sistem de eixos crtesinos e determinmos s projeções desse vetor sobre os eixos x e y (figur ). Os vetores projeções F x e F y mostrdos n figur clrmente stisfzem relção vetoril F F x + F y. Or Rul...bst usr os conceitos de seno e cosseno no triângulo retângulo. Vej seguir! F y E í...brother... como se determinm os módulos ds componentes Fx e Fy conhecendo o módulo de F?. Ângulo formdo entre dois vetores O ângulo formdo entre dois vetores, por definição, é o menor ângulo determindo entre eles qundo sus origens estão coincidentes. Observndo o triângulo retângulo d figur b, é fácil ver que: 0 o 0 o 0 o 0 o b 0 o 0 o c c Figur 0 Figur Pr esclrecer melhor, considere os vetores, b e c poidos sobre um triângulo eqüilátero n figur 0. 0 o 0 o Observndo pens os vetores e b, lguém, à primeir vist, poderi julgr que o ângulo formdo entre eles é de 0, o que estri errdo visto que sus origens não estão coincidentes. b sen cos ssim, ind é preciso mover um dos vetores prlelmente si fim de tornr su origem coincidente com do outro, como 3 com horizontl e escorreg ldeir bixo. Determine o sugere figur. Portnto, o ângulo formdo entre os vetores e b vlor d componente do peso responsável pelo movimento d não será 0, ms sim, o seu suplemento cix. Ddo 3, sen3 0, cos3 0, Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses Fy F Fx F Fy F. sen Fx F. cos dicionlmente, pelo teorem de Pitágors, os módulos dos vetores projeções F x e F y stisfzem relção lgébric: (F) (Fx) + (Fy) seguir, ilustrmos um plicção clássic d decomposição de forçs em Mecânic. Exemplo resolvido : Um cix de peso P 0 N encontr-se poid sobre um plno inclindo liso que form um ângulo

4 Físic Solução: figur 3 mostr s dus forçs plicds sobre cix: o peso P exercido pel Terr e reção norml N exercid pelo plno inclindo. N Solução: ) Os vetores V e V certmente NÃO são idênticos, pois têm orientções diferentes. pens presentm o mesmo módulo, portnto V V e V V V 0. V V V V ( V ), ou sej, devemos chr resultnte (+) entre os vetores V e V 90- P figur 3 V V 5 o 5 o N figur 5 P P.cos P.sen Vy Vy 5 o figur 3b Se o plno inclindo form um ângulo com horizontl, é fácil perceber que forç peso P tmbém form um ângulo com direção d norml N. ssim, decompondo forç peso em sus componentes (figur 3, temos que: P.sen P. sen3 0 x 0, 7 N P.cos P. cos3 0 x 0, 9 N Estndo cix em equilíbrio n direção norml, temos N P.cos 9 N. componente P.sen 7 N é responsável pelo movimento d cix ldeir bixo. Exemplo resolvido : Um bol de tênis, movendo-se com velocidde V de módulo 0 m/s, colide elsticmente com o solo horizontl de cordo com figur e retorn com velocidde V de mesmo módulo 0 m/s. Ddo sen5 0, cos5 0,, pergunt-se: ) É correto firmr que V V e, portnto, que V V V 0? Cso contrário, determine o vlor d vrição d velocidde vetoril V V V d bol n colisão. V V 5 o 5 o V Vx V Vx figur O vetor V é obtido invertendo-se flech do vetor V. figur 5 ilustr o digrm vetoril preprdo pr que se determine resultnte V ( V ). V N figur, tommos V V V 0 m/s e decompomos os vetores pr chr resultnte: N horizontl, s componentes Vx se cncelm e resultnte será purmente verticl, de módulo: V V Vy + Vy.V.cos x 0 x 0, m/s m/s V V 5 o 5 o V figur 7 ssim o vetor diferenç V V ( V ) é verticl, pontndo pr cim (figur 7) e tem módulo ddo por V m/s figur Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses

5 Físic 5. Multiplicção de um vetor por um número Sej um vetor. O resultdo d multiplicção desse vetor por um número rel n é um outro vetor de mesm direção de (prlelo ) e cujo sentido depende do sinl de n. Observe figur : 3 figur Not-se que o vetor é prlelo o vetor, tem mesm direção e sentido de e módulo (comprimento) dus vezes mior que. Já o vetor 3 tem mesm direção de (são prlelos) e sentido contrário de (flech invertid) e módulo 3 vezes mior que. ssim, generlizndo: Se b n. com n R, então o vetor b é prlelo o vetor Se n > 0, os vetores b e pontrão no mesmo sentido Se n < 0, os vetores b e pontrão em sentidos opostos Se b n. b n. b n. b n. Muits grndezs vetoriis n Físic são definids pelo produto entre um número rel n e um outro vetor. tbel ness págin mostr lgum desss grndezs, bem como interpretção físic. Se o estudnte conhece bem s proprieddes mtemátics dos vetores, ele percebe que s conclusões mostrds n tbel nterior são mers conseqüêncis mtemátics d relção vetoril que define esss grndezs. Isso signific que esss conclusões não merecem ser memorizds. O luno deve ser cpz de reproduzi-ls por si só posteriormente, sempre que se deprr com quels relções vetoriis. 9. Propriedde do polígono fechdo de vetores Se n vetores, dispostos em série, um pós o outro, formm um polígono fechdo, então resultnte desses vetores é nul. figur 9 B Grndez Relção vetoril Forç F F m. Forç elétric F e Quntidde de Movimento Q Impulso de um forç I Fe q. E Q m. V I F. t Conseqüênci mtemátic d relção vetoril Como mss m de um corpo é sempre positiv (m > 0), concluímos que celerção cusd por um forç F está sempre n mesm direção e sentido d referid forç. forç elétric F e é sempre prlel o cmpo elétrico E que trnsmite. Se q > 0, F e e E terão o mesmo sentido Se q < 0, F e e E terão sentidos opostos Como mss m de um corpo é sempre positiv (m > 0), concluímos que quntidde de movimento Q de um móvel está sempre n mesm direção e sentido d su velocidde V Como t é sempre positivo (t > 0), concluímos que o Impulso I plicdo por um forç está sempre n mesm direção e sentido d referid forç F. figur 0 Pr compreender melhor o significdo dess propriedde, considere os vetores d figur 9 dispostos num polígono fechdo. Se um pesso prte do ponto, segue no sentido ntihorário o cminho formdo pel série de vetores e retorn o ponto, qul o deslocmento efetivo dess pesso? Certmente é nulo. Ess é um form simples de entender propriedde do polígono fechdo de vetores. resultnte de todos os vetores é nul. Um outr form de visulizr que resultnte dos vetores é nul consiste em, inicilmente, determinr resultnte de todos os vetores exceto um deles, por exemplo, o vetor B, como indic figur 0. Em seguid, sommos resultnte de todos os vetores exceto B com o vetor B fltnte e, ssim, obtemos resultnte finl de todos os vetores. resultnte dos 7 vetores n figur 0, prtindo de B e percorrendo no sentido nti-horário o cminho de vetores, té o ponto é dd, grficmente, pelo vetor B. gor somndo resultnte dos 7 vetores B com o o vetor temporrimente deixdo de for, temos: Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses B B que foi

6 Físic B + B 0 Ess é um form mis elbord de entender propriedde do polígono fechdo de vetores. recíproc dess propriedde tmbém é verddeir, ou sej:, Se n vetores tem resultnte nul, então eles formm um polígono fechdo qundo dispostos em série, um pós o outro. Ess recíproc é muito útil n solução de problems de Estátic. Note que o símbolo 0 deve ser lido como vetor nulo e não, zero. D mesm form, um mtriz x tod preenchid com zeros é chmd de mtriz x nul e não, mtriz zero. Um número rel qulquer como o zero ( 0 ) pertence um espço de um únic dimensão R. Um vetor no plno pertence um espço de dus dimensões R e um vetor no espço pertence um espço de três dimensões R 3. Elementos que pertencem espços diferentes não são compráveis. Muitos estudntes fzem ml uso d simbologi de vetores por não tentrem pr esses ftos. 0. Representção i, j pr vetores Chmmos de versores unitários um conjunto de vetores que presentm módulo unitário e que são utilizdos pens pr indicr um direção. Os versores mis utilizdos universlmente são o i e o j. - i j - j y i x y b x 3 5 figur y x 3 5 figur 3 O vetor b pode ser representdo por b 5.i +.j. grnde vntgem d notção i j é que s operções com vetores pssm ser lgébrics. Vej: O vetor s b é ddo por: s b 3.i +.j + 5.i +.j s.i +.j O módulo de s é ddo por s ( sx) O vetor diferenç d b tmbém pode ser fcilmente (sy) () () s 0 determindo: d b ( 3.i +.j ) ( 5.i +.j ).i +.j s figur O versor i trt-se de um vetor unitário i que pont n direção positiv do eixo x o psso que o versor j é um vetor unitário j que pont no sentido positivo do eixo y ( figur ). notção vetoril utilizndo os versores unitários i e j é bstnte prátic. Por exemplo, considere o vetor mostrdo n figur, cujs componentes são x 3 e y. N notção i j, esse vetor pode ser representdo como: x.i + y.j ou 3.i +.j. O módulo de é ddo pelo teorem de Pitágors: ( x) (y) (3) () 5 d figur representção gráfic do vetor diferenç d é mostrd n figur. O exemplo resolvido mostr como é prático se trblhr com notção i j pr vetores. s figurs e 3 permitem o estudnte perceber o que relmente está ocorrendo qundo sommos dois vetores: n verdde, sus projeções é que são somds, no sentido rel d plvr, pr em seguid, determinrmos grficmente o vetor resultnte s. Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses

7 Físic 7 Exemplo resolvido 3 : Determine o módulo d resultnte entre os vetores, b, c e d ilustrdos n figur. Considere que cd célul é qudrd de ldo unitário. z b Solução: Inicilmente escrevemos cd vetor n notção i j : 0.i + 5.j b.i +.j c.i + 0.j d.i.j Em seguid, efetumos som operndo s componentes i e j individulmente: s + b + c + d s 0.i + 5.j +.i +.j.i + 0.j.i.j s 0.i + 5.j s +5.j O vetor s +5.j está mostrdo n figur o ldo e seu módulo é ddo por : s ( sx) (sy) (0) s 5 s c (5) d x 3. Breve Revisão de Geometri É importnte que o luno estej bem fmilirizdo com s proprieddes usuis d geometri pln, tis como Lei dos senos, Lei dos cossenos, Teorem de Pitágors, Proprieddes dos triângulos retângulos, fim de operr com os vetores sem miores dificulddes. Vmos um pequen revisão: Propriedde : Lei dos Cossenos plicção: Clcul o 3º ldo de um triângulo, do qul se conhecem dois ldos e um ângulo. esse é o ldo oposto esse ângulo b + c.b.c. cos Note que, n lei dos cossenos, o ldo que prece no º membro d fórmul é sempre o ldo oposto o ângulo. Pr exemplificr o uso d Lei dos cossenos, determinremos, seguir, o comprimento do 3º ldo de um triângulo do qul conhecemos dois ldos e um ângulo. y 5 cm?. Expndindo pr notção i, j e k pr vetores D mesm form que i represent um vetor de módulo unitário pontndo no sentido positivo do eixo x e j represent um vetor de módulo unitário pontndo no sentido positivo do eixo y, tmbém se define k como sendo um vetor de módulo unitário pontndo no sentido positivo do eixo z num sistem tridimensionl xyz. Dess form, poderímos definir um vetor tl que: 3i + j + k cuj representção gráfic é mostrd n figur. O módulo do vetor é clculdo, determinndo-se o comprimento d digonl do prlelepípedo mostrdo n figur, ddo por: (3) () () 9 3 Pr revisr como se clcul digonl de um prlelepípedo, vej propriedde 3 n págin Cálculo d Digonl mior de um Prlelepípedo. ssim, o ldo desconhecido tem um comprimento de 7 cm. Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses 0 o cm esse é o ldo oposto esse ângulo b + c.b.c. cos Chmremos de o ângulo de 0 o do triângulo. O ldo oposto o ângulo é sempre o ldo n lei dos cossenos e, nesse exercício, será ness incógnit. Os ldos b e c podem ser escolhidos em qulquer ordem. ssim, temos:? b cm c 5 cm 0 0 b + c.b.c. cos () + (5) x x 5. cos(0 o )

8 Físic Propriedde : Cálculo d Digonl de um Prlelogrmo plicção: Clcul o comprimento d digonl S de um prlelogrmo, do qul se conhecem os dois ldos e b e o ângulo formdo entre eles. digonl ser clculd prte do mesmo vértice que contém o ângulo. b S s + b +..b. cos b ess digonl prte desse ângulo O luno tento deve perceber que, pesr d semelhnç, fórmul cim não é lei dos cossenos, não recebendo denominção lgum. Tis fórmuls são diferentes (diferem pelo sinl lgébrico) pelo simples fto de que clculm coiss diferentes. Exemplo resolvido : Dois vetores e b, de módulos respectivmente iguis e 7, formm um ângulo 0 o entre si. Determine o módulo do vetor s + b Solução: Pelo método do prlelogrmo, determinremos digonl S que prte do ângulo 0 o, com o uso d fórmul d digonl: cm 0 o 7 cm S 7 cm b cm Substuindo cm, b 7 cm, 0 o n fórmul, vem : s + b +..b. cos s () + (7) + x x 7 x (/) s S 9 S 3. Profinho, e como eu fri pr clculr outr digonl do prlelogrmo? s () + (7) + x x 7 x (/) s S 57 S 57 cm cm S 7 cm 7 cm 0 o cm lei dos cossenos, plicd o triângulo em destque n figur bixo, tmbém permite clculr digonl, gor interpretd como sendo o 3º ldo de um triângulo do qul se conhecem dois ldos e um ângulo. Encontrremos mesm respost obtid cim. Vej: cm 0 o 7 cm 7 cm cm b + c.b.c. cos Substituindo os vlores n lei dos cossenos, vem:? b 7 cm c cm 0 0 esse é o ldo oposto esse ângulo b + c.b.c. cos (7) + () x 7 x. cos(0 o ) cm Obtivemos o mesmo resultdo de ntes! O luno tento deve perceber que lei dos cossenos NÃO é igul à fórmul que clcul digonl do prlelogrmo. Conforme vimos, tis fórmuls são diferentes pelo simples fto de que clculm coiss diferentes. Propriedde 3: Cálculo d Digonl (D) mior de um Prlelepípedo Sej um prlelepído (um cix de spto) de dimensões, B e C. O Teorem de Pitágors, no triângulo retângulo em destque n figur bixo, permite escrever: X + B ( I ) B Or, Cludete. outr digonl prte do ângulo de 0 o, suplementr o ângulo de 0 o. ssim, Substuindo cm, b 7 cm, 0 o n fórmul que clcul digonis de prlelogrmos, lembrndo que cos0 o /, vem : s + b +..b. cos Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses C B X

9 Físic 9 plicndo, mis um vez, o Teorem de pitágors no outro triângulo retângulo destcdo seguir, podemos escrever: D C + X ( II ) C D X X Substituindo I em II, vem: D C + X D C + ( + B ) + B + C D fmos relção cim clcul o comprimento d digonl mior D de um prlelepípedo, conhecendo-se s dimensões, B e C do mesmo. PENSMENTO DO DI Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses

10 0 Físic Pensndo em Clsse Pensndo em Clsse Questão Determine o módulo do vetor resultnte em cd um dos sistems bixo. Todos os vetores têm o mesmo módulo igul : ) c) d) Questão figur mostr um hexágono regulr de ldo sobre o qul se poim 5 vetores. resultnte desses vetores tem módulo ddo por : ) c). d).. 3 e) Questão 3 O esquem seguir mostr cinco vetores, b, c, d e e poidos sobre um pentágono regulr. relção vetoril que existe entre eles é: b c ) + b + c d + e + e + b + c d c) + b + c + d + e 0 d) + c + d b + e e) + e b + c + d Questão trvés do Método d Decomposição, determine resultnte dos vetores do sistem bixo: e d 0 U sen 0, cos 0, 7 U U Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses

11 Físic Questão 5 Sejm e b os dois vetores mostrdos n figur seguir. O prof Rento Brito pede pr você : ) determinr o módulo dos vetores s e d tis que s + b e d b. determinr orientção dos vetores s e d de cordo com o seguinte código (), (), (3) e () 5 cm 5 cm cm cm b 5 cm 5 cm Questão Sejm e b os dois vetores mostrdos seguir. Ddo que b 5 cm, sen 0, cos 0,, usndo o método d decomposição, o prof Rento Brito pede que você determine o módulo dos vetores s e d tis que s + b e do vetor d b. b Questão 7 Dois vetores de mesm intensidde U formm entre um ângulo de 0. Determine intensidde d resultnte deles. U U 0 o 0 o Questão Usndo o resultdo d questão nterior, determine mentlmente resultnte dos vetores bixo: ) 0 o 0 o 0 o 0 o 0 o 0 o Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses

12 Físic c) d) o 30 o 0 5 o 5 o Questão 9 Considere que um stélite estej girndo em torno d Terr em movimento circulr uniforme com velocidde esclr V constnte. Pergunt-se: ) velocidde do stélite permnece constnte durnte o movimento, ou sej, V VB VC VD? determine o módulo d vrição d velocidde V V B V em função de V c) determine o módulo d vrição d velocidde V V C V em função de V V B V V D Questão 0 Resolv s seguintes equções vetoriis e determine o módulo do vetor x em cd cso: ) 5 3 5X 0 V C 0 o 0 o X Questão Em cd ítem bixo, determine os vetores e b fzendo uso dos versores unitários i e j, bem como o módulo do vetor diferenç d b. dmit que s céluls são qudrdos de ldo. ) b b Dic: tenção, só contmos qudrdinhos n horizontl e n verticl. N digonl, quem cont pr gente é o Pitágors, ok? Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses

13 Físic 3 Questão Dus forçs F e F tem módulos respectivmente iguis N e 0 N. ssim, o módulo d forç resultnte R entre els só pode ssumir vlores no intervlo: ) R R c) R d) R Questão 3 Dus forçs F e F tem módulos respectivmente iguis N e N. ssim, forç resultnte entre els pode ssumir qulquer um dos vlores bixo, exceto: ) N 3 N c) N d) N Questão Dois vetores e b, de intensiddes respectivmente iguis 5 cm e 3 cm, formm entre si um ângulo 0 o. O vetor s tl que s + b, tem módulo: ) cm 7 cm c) cm d) 9 cm e) cm Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses

14 Físic Pensndo em Cs Pensndo em Cs Pr um bom prendizdo d físic, o estudnte deve inicilmente ler teori complet do cpítulo, escrit pessolmente pelo prof Rento Brito. Em seguid, deve rever tods s questões resolvids em clsse e que estão copids no seu cderno (o cderno é imprescindível!). Só então, o luno deve prtir pr fixção dos conceitos n list de exercícios de cs. Questão - Determine o módulo do vetor resultnte em cd um dos sistems bixo. Tods s figurs são polígonos regulres de ldo ) c) d) O símbolo, no começo de lgums questões, indic que quels questões encontrm-se resolvids no Mnul de Resoluções que encontr-se nexdo ess postil, prtir d págin 5 Questão - O vetor resultnte d som B + BE + C é: ) E D c) CD d) CE e) BC B C D E Questão 3 - Seis vetores de mesmo módulo F estão dispostos em série, um pós o outro, formndo um hexágono regulr, de modo que resultnte deles é nul. Se o prof. Rento Brito inverter o sentido de pens um dos vetores, forç resultnte nesse sistem pss vler: ) F F c) 3F d) 5F e) F Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses

15 Físic 5 Questão - figur mostr um hexágono regulr de ldo sobre o qul se poim 5 vetores. resultnte desses vetores tem módulo ddo por : ) c). d).. 3 e) Dic: Vej questão de clsse Questão 5 - Nos sistems bixo, os vetores têm mesm intensidde e estão dispostos o longo de um hexágono regulr. Determine resultnte dos vetores em cd cso, sem efetur cálculos, usndo pens s proprieddes prendids ns questões de prendizgem. ) c) Questão Suponh gor que um bol de frescobol que se movi horizontlmente com velocidde V de módulo 30 m/s, colide elsticmente com o solo horizontl de cordo com figur e retorn com velocidde V de módulo 0 m/s. Qul dos vetores bixo melhor represent vrição d velocidde vetoril V V V d bol durnte ocsião? ) c) 0 m/s 50 m/s 0 m/s V d) e) NUL V 0 m/s Colisão d bol Questão 7 - figur mostr dois vetores e b de mesm intensidde. Os vetores s + b e d b têm módulo respectivmente iguis : ) 3 cm, cm 0 cm, cm c) cm, cm d) cm, 0 cm e) cm, 0 cm cm cm 5 cm 5 cm b cm cm Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses

16 Questão Físic Sejm e b os dois vetores seguir. Usndo o método d decomposição, determine o módulo do vetor s + b e do vetor d b. Ddo: b 0 cm, sen 0, cos 0, b Questão 9 Um bol de tênis, movendo-se com velocidde V de módulo 50 m/s, colide elsticmente com o solo horizontl de cordo com figur e retorn com velocidde V de mesmo módulo 50 m/s. V V 0 o 0 o Determine qul dos vetores seguir melhor represent vrição d velocidde vetoril V V V d bol durnte ocsião. ) 50 m/s 50 m/s c) 0 o 50 m/s d) 0 o e) 0 o 5 m/s 50 m/s Dic: vej exemplo resolvido págin Questão 0 Determine m e n t l m e n t e resultnte dos vetores bixo em cd cso: ) 0 0 o 3 30 o 0 o 30 o 0 c) d) 0 o 0 o 5 o 5 o Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses

17 Físic 7 Questão - trvés do Método d Decomposição, determine resultnte dos vetores pr cd sistem bixo. Ddo sen 0, e cos 0, ) U 3 U 0 U 0 U c b U d 0 U 0 U Dic: o vetor b fz um ângulo com verticl. Por que? O símbolo, no começo de lgums questões, indic que quels questões encontrm-se resolvids no Mnul de Resoluções que encontr-se nexdo ess postil, prtir d págin 5 Questão N figur bixo, um cix de 0 kg encontr-se em equilíbrio estático sobre um plno inclindo que form um ângulo 3 com horizontl, grçs à forç de trito. Se grvidde locl vle g 0 m/s, decomponh forç peso e, em seguid, determine (sen 0, cos 0,): ) o vlor d forç norml N o vlor d forç de trito. Dic: vej exemplo resolvido págin 3 Ft N 90- P Questão 3 - Dois vetores e b tem intensiddes respectivmente iguis cm e 7 cm. Determine o ângulo formdo entre esses vetores, pr que resultnte deles tenh módulo igul 3 cm. Questão - Determine o módulo do vetor diferenç d b em cd um dos sistems bixo. dmit que s céluls são qudrdos de ldo e use o Método do Polígono ou do Prlelogrmo. ) b b Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses

18 Questão 5 - Físic Em cd ítem bixo, determine os vetores e b fzendo uso dos versores unitários i e j, bem como o módulo do vetor diferenç d b. dmit que s céluls são qudrdos de ldo. ) b b Dic: vej explicção e exemplo resolvido ns págins e 7. Questão - Dus bols de sinuc e B, de msss m kg e mb kg, se movem sobre um plno horizontl liso em movimento uniforme, com velociddes V (3.i + 5.J) e V B (.i.j) em m/s. Determine o módulo d velocidde V cm do centro de mss desse sistem, dd pel fórmul bixo: V m.v m B.VB cm m mb Questão 7 Determine o módulo e orientção proximd do vetor que result em cd sentenç vetoril seguir: ) 3. ( ). ( 3) +.( ) (exemplo resolvido) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) 0 ( 3).( ) +. ( 3 ).( 5 ) + 3.( ) c) ( ).( 7 ) +.( ) +. ( ) 3.( ) Questão - Resolv s seguintes equções vetoriis e determine o módulo do vetor x em cd cso: ) X 0 0 o 0 o X c) 30 o 30 o X Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses

19 Físic 9 Questão 9 Dus forçs F e F tem módulos respectivmente iguis N e 0 N. ssim, o módulo d forç resultnte R entre els só pode ssumir vlores no intervlo: ) R R c) R d) R Dic: vej questão de clsse Questão 0 Dus forçs F e F tem módulos respectivmente iguis N e N. ssim, forç resultnte entre els pode ssumir qulquer um dos vlores bixo, exceto: ) N 3 N c) N d) N Questão - (Medicin Christus 03) Suponh que dois músculos com um inserção comum, ms diferentes ângulos de trção se contrim simultnemente como mostr figur o ldo. O ponto O represent inserção comum dos músculos vstos lterl e medil, do qudríceps d cox, n ptel. O é o vetor que descreve trção do vsto lterl. OB é o vetor que descreve trção do vsto medil. Sendo os dois vetores de módulos iguis 0u e 5u, o intervlo que represent vrição possível pr o módulo do vetor som V é: ) u v,5 u. 5 u v 5 u. c) 0 u v 5 u. d) 5 u v 5 u. e) 5 u v 50 u. Dic: vej questão 9 de cs Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses

20 0 Físic Resposts ds Questões de Cs ) ),, c), d) ) D 3) B ) C 5) ) 3,, c) nul ) B 7) B ) é só decompor, s, d 9) B 0) ), 3, c) nulo, d) ) ) 5 3 ) ) N P. cos 0N Ft P. sen 0N 3) 0 ) ) 5, 5) ) 5, ) 5 m/s 7) 0, c) 0 ) ) 5, 5, c) 5 9) D 0) D ) B N próxim págin, seguem s resoluções ds questões de cs ns quis os lunos têm mis dúvids. Tods s questões de clsse serão resolvids em vídeo, por esse motivo, postil não trz s resposts ds questões de clsse. Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses

21 Físic UL - VETORES RESOLUÇÃO DS QUESTÕES MIS DIFÍCEIS DE CS ul - Questão - resolução ) ul - Questão 3 - resolução F F + F F + F F F + ul - Questão - resolução reposicionndo os vetores, temos: + 0 c) resultnte terá módulo ++ respost corret: Letr C d) Questão 5 - resolução Letr ) ul - Questão - resolução C B E D observndo figur d questão, note que: B + BE E e C + E CE ssim, o prof Rento Brito pode escrever: B + BE + C ( B + BE ) + C (E ) + C C + E CE Letr B) Letr C) Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses

22 Físic ul - Questão 7 resolução lterntiv Deslocndo, convenientemente, o vetor b, prontmente determinmos o vetor som grficmente. o seu módulo, como se pode verificr n figur bixo, vle 5 cm s cm cm b S 5 cm cm cm cm 5 cm 0 U 0 U U 0 U Decompondo o 0U sen 0, cos 0, Decompondo o 0U sen 0, cos 0, 0 U 0 U 0 U.sen U 0 U.cos U 0 U.sen U 0 U.cos U 0 U 0 U 5 cm 5 cm 5 cm cm cm b 0 U U 0 U 0 U U U U 0 U U U U 5 U pr chr o vetor d b, encre ess operção de subtrção como um operção de som : d b + ( b ). Prontinho, pr o prof Rento Brito determinr o módulo de d, bst chr resultnte (+) entre os vetores e ( b ) ssim: 5 cm 5 cm cm cm 5 cm cm cm 5 cm - b d cm cm 5 cm 5 cm deslocndo, convenientemente, o vetor, e invertendo flech do vetor b, fim de encontrr o vetor b, prontmente determinmos o diferenç d + ( b ) grficmente. o seu módulo, como se pode verificr n figur cim, vle : d + cm ul - Questão resolução7 pitágors ul - Questão 3 - resolução expressão bixo clcul o módulo d som S entre dois vetores e b que formm um ângulo qulquer entre si S + b +..b.cos Segundo questão, S 3,, b 7,? x x 7.cos 9 9. cos 5. cos cos 0,5 0 ul - Questão - resolução ) () d ( -b -b 3 pitágors d d 5 3U ) 0 U U 0 U Decompondo o 0U sen 0, cos 0, 0 U 0 U.sen U b 3 U 0 U U 3 U 0 U.cos U U 3 U U U pitágors 3 U U 5 U -b -b d Contndo qudrdinhos vemos que : d Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses

23 Físic 3 ul - Questão 5 - resolução letr B - resolução: ) i + j, b 5i j d b i + j (5i j) 3i + j d o 0 o X +i + 3j, b i + 3j d b +i + 3j (i + 3j) i + 0j X d 0 ul - Questão resolução V m.v mb.vb cm m m B.( 3.i 5.J).(.i.j ) X X V cm.i 0.j.i.j.i.j grficmente, vem: V cm (.i + 3.j ) m/s V cm ul - Questão - resolução letr - resolução: 3 5 m/s X 0 x letr C - resolução: pitágors: (x) () + () x 0 x 5 X x X 0 X 0 pitágors: (x) () + () x 0 x 5 grficmente, vem: 30 o 0 o 30 o 30 o 30 o 30 o 30 o 30o X X X X X x pitágors: (x) () + () x 0 x 5 Simétrico Pré-Universitário Há 3 nos ensinndo com excelênci os estudntes cerenses