Guia Curricular. Bibliografia. Mecânica Geral 1 Capítulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1

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1 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 1 Ement Sistems de forçs plids eqilentes. Eqilírio d prtíl. Eqilírio de orpos rígidos. Centróide e entro de gridde. C distriído. Gi Crrilr 1 Introdção 1.1. VETORES DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES. 1.. VERSORES. NORMALIZAÇÃO DECOMPOSIÇÃO DE VETORES SISTEMAS DE UNIDADES EQUILÍBRIO DA PARTÍCULA.1. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO... DIAGRAMA DE CORPO LIVRE.3. SISTEMAS DE FORÇAS COPLANARES..4. SISTEMAS DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS. 1 3 RESULTANTES DE UM SISTEMA DE FORÇAS MOMENTO DE UMA FORÇA. FORMULAÇÕES ESCALAR E VETORIAL. 3.. O PRINCÍPIO DOS MOMENTOS BINÁRIOS REDUÇÃO DE UM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO SIMPLES. 4. EQUILÍBRIO DOS CORPOS RÍGIDOS 4.1. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO. 4.. DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO. Biliogrfi BIBLIOGRAFIA Bási 1. BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Meâni etoril pr engenheiros: inemáti e dinâmi 5ª ed.. São Plo: Mkron, HIBBELER, R. C. Dinâmi: Meâni pr Engenhri. 8.ed. Rio de Jneiro Prentie Hll Brsil, KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Meâni: dinâmi. Rio de Jneiro: LTC, FRANÇA, L.N.F.;MATSUMURA,A.Z. Meâni Gerl.Edgr Blher, GERE, J. Meâni dos mteriis. São Plo: Pioneir Thomson Lerning, KAMINSKI, P.C. Meâni gerl pr engenheiros. Edgr Blher, SEARS,F.;YOUNG H. D. Físi. ol.1, Meâni. Addison Wesle, 008. Cinemáti dos Sólidos,Unip, Versão, 009.

2 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 1 Introdção 1.1. VETORES DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES. 1.. VERSORES. NORMALIZAÇÃO DECOMPOSIÇÃO DE VETORES SISTEMAS DE UNIDADES Norm o módlo de m etor A norm o módlo de m etor (,, z), denotdo por o z z 0 é definid por: z (,, z) Normlizção de m etor: Ddo m etor qlqer, o etor de módlo 1 qe pont n mesm direção e tido de é ddo por: n n O: n z i j z k n i j k Dess relção, otém-se: 1 Importnte: é m etor, por tnto possi módlo direção e tido. m número. é o módlo do etor, do portnto Determinção de forçs Pr determinr m forç no espço R 3 deemos: 1. Lolizr o ponto de plição A.. Enontrr o etor n direção d forç. B A 3. Normlizr o etor. n 4. Enontrr forç: F F n ÂB Vetor Unitário e Versores. Um etor nitário é qele qe possi norm o módlo 1: 1 Ddo m etor (,, z), pr enontrrmos o etor nitário de mesm direção de, denomin-se ersor de. Repretremos o ersor de por : O ersor é m etor nitário, pois: 1 1 Chmmos de se no espço R 3 m onjnto de três etores linermente independente (LI), o sej, nenhm deles pode ser otido por m ominção liner dos otros dois. 1,, 3 Um so prtilr e de interesse n Geometri são s ses em qe os etores são nitários e perpendilres entre si. Esss ses denominm-se ses nônis. Dizemos qe tis etores são ortonormis. No espço R 3, se nôni é repretd por: i, j, k Onde: i 1,0,0

3 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 3 j k 0,1,0 0,0,1 Definido os ersores, podemos esreer m z omo do: i j k etor (,, ) Prodto Eslr entre dois etores: Definição: O prodto eslr dos etores i j z k i j z k repretdo por e é ddo por: z z Proprieddes do prodto eslr: i. ii. w w iii. i. 0 0 e 0 0. Oserções: 1. é hmdo de qdrdo eslr do etor. 3. z Definição Geométri do prodto eslr: Aplindo Lei dos os: Utilizndo propriedde : Ânglos diretores e os diretores de m etor. Ddo m etor i j z k não nlo hm-se ânglo diretor os ânglos qe o etor form om os ersores z i, j, k. 3 Ddos dois etores e e o ânglo entre eles definimos o prodto eslr omo do:

4 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 4 Determinção dos ânglos α,, : z r z z z r Ânglo entre dois etores. Ddos dois etores: i j z k i j z k Podemos enontrr o ânglo entre os etores por meio d eqção: zz zz r Projeção de m etor sore otro. Ddos dois etores: i j z k i j z k e o ânglo entre eles, hm-se de projeção do etor sore direção do etor o etor ddo por: proj 4 r z z

5 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 5 Interpretção Geométri do prodto eslr de dois etores. Considerndo o etor m etor nitário (om norm 1, 1), podemos fzer: proj 1 1 proj Portnto, se tomrmos gor o módlo do etor projeção, teremos: proj proj O sej, o omprimento do etor projeção de sore direção do etor do o etor nitário, é igl o módlo do prodto eslr de om o etor. Físi: Aplições do Prodto eslr n Um oneito importnte tilizdo n Físi enolendo nálise etoril é o prodto eslr de dois etores. Considere m orpo qe se deslo m distâni r o longo de m trjetóri desrit pel r C. Em d instnte deste deslomento há m forç F tndo sore o orpo de mss m. Definimos o trlho d forç F o longo d r C pel integrl de linh: W C F dl Aqi dl pont no tido d orientção d r, tem direção tngente à el e repret m deslomento infinitesiml do orpo de mss m. No so d forç ser onstnte: W F r W F r Onde r é o etor qe possi origem em O e termin no ponto de plição de F e o ânglo entre forç F e o etor r. W F d W F d Otro oneito importnte qe enole o prodto eslr de dois etores é potêni instntâne de m forç. Como potêni é dd por: W F d P lim P lim t0 t t0 t d P Flim t 0 t P F SISTEMA INTERNIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA (SI); onferêni gerl de pesos e medids Sistem Internionl de niddes (SI). Qntidde Nome d Símolo Fndmentis nidde Comprimento metro m Mss kilogrm kg Tempo segndo s Prefios pr o sistem SI: Ftor Prefi Símolo Ftor Prefi Símolo 10 4 ott Y 10-4 oto 10 1 zett Z 10-1 zepto z e Atto pet P femto f 10 1 ter T 10-1 Pio p 10 9 gig G 10-9 Nno n 10 6 meg M 10-6 miro 10 3 kilo k 10-3 Milli m 10 heto h 10 - enti 10 1 dek d 10-1 Dei d Prefios mis sdos: Ftor Prefi Símolo 10 6 meg M 10 3 kilo k 10 - enti 10-3 Milli m 10-6 miro 10-9 Nno n Algns ftores de onersão: 5

6 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 6 Mss Comprimento Volme As grndezs fndmentis são: 1kg=1000g= m=100m=39.4in =3.8ft 1m 3 =1000l=35,3ft 3 = 64gl Metro: (m) 1slg=14,6kg 1mi=1.61km=580 Tempo O metro foi definido, em 179 n Frnç, ft omo 1 déimo de milionésimo d distâni do pólo 1=1, kg 1 in=.54m 1d=86400s Densidde 0 1er= 365 1nm=10-9 m=10 4 A norte pr o eqdor. Atlmente é definido omo distâni entre ds linhs fins grds em m d=3, s rr de pltin-irídio, mntid no Interntionl 1kg/m 3 =10-3 g/m 3 1 lighter=9,46.10 m Medid Anglr Bre of Weights nd Mesres próimo à Pris. 1rd=57,3 0 =0,159re Em 1960 foi dotdo m noo pdrão pr rd=180 0 =1/ re o metro, sedo no omprimento de ond d lz. Espeifimente, o metro foi redefinido omo ,73 omprimentos de ond de m prtilr lz ermelho-lrnjd emitid por Veloidde Pressão Energi átomos de Kriptônio-86. 1m/s=3,7ft/s=. 1P= 1N/m 1J=10 7 erg=0,39l=0.73 4mi/h 8ft-l 1km/h=0.78m/s 1P=1dne/m 1kWh=3, J COMPRIMENTOS TÍPICOS m 1km/h=0.61mi/ 1P=1, l=4,19J Distâni o mis fstdo qsr (1990).10 6 h 4 l/in Distâni à glái de Andrômed.10 Forç 1tm=1, P 1eV=1, J Distâni à mis próim estrel (Próim N=10 5 dne 1tm=14,7l/pol Potêni Centri) 1l=4,45N 1tm=76m- Hg=760mm-Hg 1 horsepower=746w=550 ft.l/s Oserções: inh: polegd feet: pé light-er: no-lz, distâni qe lz perorre em m no. horsepower: hp lopor: 1 735W 1HP 1.014CV Notção Científi: Resltdos otidos em lldors o omptdores, possem formtos do tipo dos eemplos io: Eemplo 1- Visor: 16,096E+06=16, Esrito em notção ientífi: 1, Eemplo - Visor: 0,0108E-08=0, Esrito em notção ientífi: 1, O SI tmém é onheido omo sistem métrio. As grndezs derids do SI são dds em termos ds fndmentis. Distâni o mis fstdo plnet (Pltão) Rio d Terr Altr do monte Eerest 9.10 Espessr dess págin Comprimento de ond d lz Comprimento de m írs típio Rio do átomo de hidrogênio Rio de m próton Tempo: (s) Pr medir tempo-pdrão, os relógios tômi form deolidos em diersos píses. A 13 onferêni gerl de pesos e medids doto o segndo pdrão sedo no relógio tômio de ésio. (NIST- Colordo USA) Em prinípio, dois relógios de Césio fnionndo por 6000 nos não trsrim 1s em relção o otro. Interlo de Tempo (s) Tempo de id de m próton Idde do nierso Idde d pirâmide de Qéops Epetti de id hmn (EUA).10 9 Drção de m di Tempo entre ds tids do orção hmno Tempo de id de m múon.10-6 Menor plso lminoso no lortório (1989) Tempo de id d mis instáel prtíl 10-3 Constnte de tempo de Plnk Mss: (kg) A nidde pdrão pr mss é m ilindro de pltin-irídio grdd no Interntionl Bre of Weights nd Mesres, próimo à Pris, Frnç, omo mostrmos n figr 6

7 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 7 io:orresponde m mss de 1kg, de ordo internionl. Algms msss típis: Mss kg Unierso onheido Noss glái Sol L 7.10 Asteróide Eros Peqen Montnh Periferi do Oeno Elefnte Grmpo Grão de Arei Molél de Peniilin Próton.10-7 Elétron EQUILÍBRIO DA PARTÍCULA.1. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO... DIAGRAMA DE CORPO LIVRE.3. SISTEMAS DE FORÇAS COPLANARES..4. SISTEMAS DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS. Eemplos Eemplo 1 Enontre deomposição de d forç indid, esreendo n form F F i F j : 1 () F 300 i ( l) F 173. j ( l) 4 3 F 0030 i 0030 j ( l) F i j ( l) () Enontre s tensões nos fios e. T T 50i T 50 j T T 30i T 30 j P 736 j R 0 T 50 T 30 0 R 0 T 50 T 30 P 0 30 T T T T T 50 T 30 P T 736 T N T T N O mesmo prolem pode ser resolido pel Lei dos os. 7

8 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 8 Lei dos Senos: F F F T CB T CD P T 736 T T T N T T N 80 () Um mrinheiro está do resgtdo sndo m deir qe está sspens prtir de m roldn, qe pode rolr liremente sore o o de sporte B e é pd m eloidde onstnte pelo o CD. Sendo-se qe = 30 0 e = 10 0 e o peso d deir e do mrinheiro jntos, le 900N, determine tensão qe sport os os: ( 1 ) B. ( ) CD T P T CD T 900 T CB CD CB CD TCD T N TCB TCB N 40 A resolção pelo método d deomposição fi rgo do leitor. Eemplo Enontre d m ds forçs indids n estrtr: 8 Resolendo o prolem pel Lei dos o:

9 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 9 1 F 491 i 344 j N F 400 i 300 j N F 358 i 716 j N 3 Eemplo 3 - Enontre resltnte ds forçs qe t n estrtr io: R R 54l Usndo Lei dos Senos: Solção lgéri: R F R i i R 346l R F R i i R 393l R R i R j R 346 i 393 j l R R R R R 54l R rtg R 393 rtg Solção Geométri: 660 BD tg 40.9 CD Lei dos Cosos: Eemplo 4 - Enontre s omponentes d forç indid no sistem O.

10 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 10 F 50 i 433 j N Eemplo 5 Enontre resltnte ds forçs no ponto C d estrtr. (d) Enontre s forçs qe tm n direção, sendo qe ses módlos são F 500N e F F n R F F F i F F j N 1 1 F1 30 F 0 tg F 0 F 30 1 Eemplo 6 Sej estrtr io: (e) Enontre os ânglos qe ess forç fz om os eios. Solção: () Pontos: A(40, 0, -30); B(0, 80, 0); C(0, 0, 0) B A 40,80,30 () () n CB B C 0,80, 0 z ; C () Enontre os pontos A, B, C. () Ahe os etores: B A CB B C () Normlize os etores: n ; n BC BC BC n i j k n CB CB CB CB CB CB CB CB CB n CB 80 z CB 0i80 j 0k j 80 CB

11 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 11 (d) F 500N F F n F i j k F i j k F i j k N Eemplo 7 Nos eemplos io, enontre os etores indidos: () ED e EC r ,1,00rd r ,558rd z z r ` z 71,45 1,47 rd ()

12 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 1 () P (g) AO e OB. 1 (d) CA e FC (e) e. (f) CD e.

13 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 13 Eeríios 1. Determine forç resltnte no ponto B d figr. 4. N figr, forç F le 150N. Enontre tensão F 1 pr qe rtilção fiqe em reposo. 13 figr.. Determine forç resltnte no pino d 5. Deomponh os etores forç indidos, sendo qe: F F i F j () 3. Sendo qe tensão no o BA é 50N, determine tensão no o AD. () () 6. Pr o pino A, enontre resltnte ds forçs, tilizndo: () A deomposição dos etores. () A Lei dos os. () A regr do prlelogrmo.

14 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori O ânglo formdo por m etor de módlo 5 e o eio O é de Esre esse etor. 11. O ânglo formdo por m etor de módlo 10 e o eio O é de Esre esse etor. R N N F ; R i i1 i1 F i R R i R j R rtg R 7. São ddos os etores: 3i j i 5 j r i 3j k s 4i j 8k Determine: () () (e) (g) 3 () 3 r s (d) 3 r 3r (f) s 5r s 5r 8. Ddos os etores: i 3j 4i 6 j r i 6 j 3k () Enontre os módlos desses etores e os ânglos qe eles formm om os eios oordendos. () Determine os ânglos formdo pelo etor r om os eios oordendos. 9. Ddos os etores: 4i 3j 6k i j r 4i j 8k () Enontre os módlos desses etores e os ânglos qe eles formm om os eios oordendos. () Determine os ânglos formdo pelo etor 4 6r om os eios oordendos. 1. Os ânglos formdo por m etor de módlo 10 e os eios O, Oz são, respetimente, 30 0, Enontre: () A omponente desse etor. () Se ânglo om o eio O. 13. Os ânglos formdos por m etor de módlo 0 e os eios O, Oz são, respetimente, 60 0, Enontre: ()A omponente desse etor. () Se ânglo om o eio O. 14. Dois etores e possem módlos 3 e 4, respetimente. Enontre os etores S e D qndo o ânglo entre eles for de: () = 45 0 () = 0 0 () = (d) = (e) = (e) = 5 0 (f) = Fç repretção gráfi. D S 15. Dois etores e possem módlos 8 e 1, respetimente. Enontre os etores S e D qndo o ânglo entre eles for de: () = 1 rd () = 0 0 () = 90 0 (d) = (e) = (f) = 5 0 (g) = Fç repretção gráfi. 14

15 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori Apêndie I Regr do Prlelogrmo: Demonstrção: Osere qe: e j i j i j i ) ( ) ( ) ( Como: ) ( Teremos: Anlogmente, podemos pror qe: Relções trigonométris ) ( ) ( 1 ) ( ) ( Lei dos Coos: Lei dos Senos: Pro: Osere qe: 1 h m n h h {1} h h {} 1 1 h h 1 1 h h

16 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 16 h h m 1 m 1 n n ( 1 ) 1 1 m1 h n h ( m n) h h 1 Portnto: h {3}; Renindo {1}, {} e {3}: h Diidindo os memros por.: O: 16 Lei dos Coos:

17 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 17 Apêndie : Modo Esttístio ds lldors. Csio f-8ms Série HP Comndo Fnção on Lig Mode Entr no modo sd (sttistil dt) Shift CLR 1 = Limp memóris Ddo 1 M+ Inseri ddo 1 Shift Entr no s-r Shift 1 = Dá médi Shift = Dá o DPP Shift 3 = Dá o DPA Shift CLR 3 = Limp tdo Mode 3 Entr no modo reg 1 (regressão liner) 1, 1 M+ Inseri ponto ( 1, 1 ) Eemplo: 1.879EXP(- )5,.456EXP4 M+ Insere o ponto ( , ) Shift 1 = Dá médi de Shift = Dá o DPP de Shift 3 = Dá o DPA de Shift 1 = Dá médi de Shift = Dá o DPP de Shift 3 = Dá o DPA de Shift 1 = Dá o oefiiente liner A Shift = Dá o oefiiente nglr B Shift 3 = Dá orrelção r Rersos esttísti: Σ, Σ, Σ, Σ, Σ Desio pdrão de mostr, médi Desio pdrão de poplção Regressão liner Cominções, permtções Médi ponderd Editr, grr, nomer, listr Ajste de r ( LIN, LOG, EXP, POW ) Plotgem de ddos esttísti Testes de hipóteses Interlos de onfinç Comndo Fnção Single-r Edit popltion smple hk Fit dt Edit Entr no modo esttístio Entr no modo de edição. Esolh oln qe inserirá os ddos Dpp Dp Mrqe pr mostrr o lor Entr no modo de jste de rs Insir os ddos (,) ns olns 1 e, por eemplo Vle, rinh? 17

18 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 18 Prolems 1.Determinr forç pr qe o orpo se mntenh em eqilírio Um mro está sstentdo por ests e os omo mostr figr. Se s tensões nos os e lem, respetimente, 840 l e 100 l, determine o etor forç resltnte (módlo, direção e tido) qe t n est A. A i d figr possi peso de 735 N. Determinr s tensões nos os de sstentções. 3. Um torre está nord pelo o omo mostr figr. A tensão no o le 500 N. Enontre s omponentes F, F e F z d forç de tensão no o e os ânglos, e z qe ess forç fz om os eios oordendos.

19 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 19 Pontos (ft) (ft) z(ft) A B C Vetores B A C A RA r z z z 10.6 RA 5. Determine forç resltnte qe t no ponto O d figr. 0 B A 16 i 8 j 11 k ft ft n n i j k T T n T 840 i j k T 640 i 30 j 440 k C A 16 i 8 j 16 k ft ft n n i j k T T n T 100 i j k T 800 i 400 j 800 k RA T T R 1440 i 70 j 360 k l A RA 1650l RA r RA RA 0 r 64.1 R A 0 6. Um lde A e m loo C estão ligdos por m o qe pss o longo d roldn B. Sendo qe roldn B gir pr esqerd lentmente e qe os oefiientes de trito entre s sperfíies são E = 0.35 e = 0.5, determinr menor mss m do lde e se onteúdo pr o ql loo C estrá: () em reposo, () omeçndo sir ldeir, () sindo ldeir m eloidde onstnte. 7. N figr, o plno inlindo possi jste riáel no ânglo. Os oefiientes de trito estátio e dinâmio entre o loo e o plno inlindo lem, respetimente s = 0.40 e C = A mss do loo le m = 5 kg. Adote g = 10 m/s². () Determine elerção do loo pr = () Determine forç de trito pr = 5 0.

20 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 0 () Enontre o ânglo onde oorrerá iminêni de moimento. 8. N figr, os oefiientes de trito estátio e dinâmio entre o loo e o plno inlindo lem, respetimente s = 0.30 e C = 0.5. A mss do loo le é 100 kg. Adote g = 10 m/s². Determine o lor de m 0 pr o ql herá iminêni de moimento. () 0 9. N figr, os oefiientes de trito estátio e dinâmio entre o loo e o plno inlindo lem, respetimente s = 0.0 e C = A mss do loo le é 100 kg. Adote g = 10 m/s². Determine o lor d forç de trito e d elerção do loo. 11. Determine o módlo, direção e o tido e esre o etor forç resltnte qe t no pino n figr: (1 l = 0.455N). () 10. Ns figrs, os oefiientes de trito estátio e dinâmio entre o loo e o plno estão indidos. Adote g = 10 m/s². Determine o lor d forç de trito e d elerção do loo. () () P = 600 N

21 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori 1 () 14. Determine o ânglo formdo pelos os de sstentção d rede: () e AD () e. Use: 1 1. A tensão no o é 55 l e no o AD 315 l. Enontre forç resltnte no ponto A d estrtr. 13. Determine o momento d forç de 00N plid no ponto C d dordiç em relção o ponto A.

22 Meâni Gerl 1 Cpítlo 1: Vetores - Prof. Dr. Cládio S. Srtori

23 Meâni Gerl I Nots de AULA 1 - Teori Prof. Dr. Cládio S. Srtori 1