ENGENHARIA ASSISTIDA POR COMPUTADOR

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1 ENGENHARIA ASSISTIDA POR COMPUTADOR Prof. Isc N. L. Silv Prof. Crlos Crespo Izqierdo Professor do Deprtmento de Engenhri Mecânic e Mectrônic PUCRS ORMULAÇÃO DO ME NO CÁLCULO ESTRUTURAL

2 Em resmo o ME consiste em: Discretizção do contíno Gerção d mlh. ormção d Mtriz de rigidez [K] Solção de [] = [K]. [X] igr Eqilíbrio de m trecho d vig. As leis fndmentis pr mtriz de rigidez d estrtr: Eqilíbrio de forçs. Comptibilidde de deslocmentos. Comportmento do mteril (Hooke). Obs: Componentes de deslocmento = Grs de liberdde = Vriáveis de estdo.

3 É possível plicr eqilibrido de forçs pr resolver problems mis simples. Eemplo: Determine s componentes d forç tnte em C n estrtr, conforme ilstrção, bio: 3

4 Mtriz de rigidez d mol: { } = [ K] { µ } igr Mtriz de rigidez d mol. O elemento de rigidez Kij represent relção de cs-efeito. Conhecendo relção, pr deslocmentos nitários, podemos descobrir forç ssocid qlqer deslocmento. Se os deslocmentos tm simltnemente, os efeitos são sperpostos, dentro do âmbito liner. Ess relção pode ser mplid pr D e 3D. 4

5 Em m vig, por eemplo, dmite-se em cd nó, seis grs de liberdde, três trnslções e três rotções. igr 3 Os grs de liberdde dos nós. k ij represent forç no gr de liberdde i devido o deslocmento nitário no gr de liberdde j. Assim: Observções: i = K δ + K δ + K K i i ij δ j A resistênci dos mteriis não qntific tods s relções. Devem ser considerds s condições de contorno. Pr D os elementos podem ser etos. Pr D e 3D, proimdos. 5

6 igr 4 Os grs de liberdde dos nós, relção de cs e efeito. Lei do Eqilíbrio de orçs. orçs eterns nos nós e s forçs csds pelos elementos nos nós devem se eqilibrr. Isto serve, tnto pr estrtrs com pens dois nós, como pr estrtrs com milhres de nós 6

7 7 N mecânic do contíno, o processo de montgem de mtriz de rigidez é visto. Eemplo: Montr mtriz de rigidez pr o sistem ilstrdo bio. Eqcione o sistem em form mtricil. Solção: + = C B A B B B B A A A A C B A K K K K K K K K µ µ µ

8 O lgoritmo torn plicção d lei do eqilíbrio m processo repetitivo e é conhecido como regr d montgem. É importnte identificr em qe gr de liberdde o elemento trblh. Pr determinr devemos dividir por K. Isto envolve inversão de mtriz. Eistem lgns métodos mtemáticos pr solção de { } = [ K] { µ } qe podem ser implementdos em comptdor. Um deles é o método de eliminção de Gss. [ K] Pr qe m sistem sej possível, isto, os movimentos dos corpos rígidos devem ser elimindos, o qe é consegido pel plicção ds restrições nos nós. A prtir do movimento reltivo entre dois nós, podemos-se chegr deformção.. Pr Assim, conhecids s forçs plicds e mtriz de rigidez d estrtr, os deslocmentos são determindos, d mesm form, s deformções. Tmbém srgem forçs decorrentes ds restrições imposts. 8

9 Eemplo: Montr mtriz de rigidez d estrtr ilstrd bio: Solção: 9

10 Em resmo, o ME envolve três grndes trefs. Pré-processmento: modelo, discretizção e condições de contorno. Processmento: cálclos internos,determinção dos deslocmentos, reções e forçs interns. Pós-processmento: Interpretção dos resltdos. Um revisão de Álgebr Mtricil.

11 Um mtriz é chmd de vetor linh. Eemplo: Um mtriz é chmd de vetor coln. Eemplo: Adição: d = [ ] E = 6 ( n) ( m ) C = A + B C = + b ij ij ij Mltiplicção por m esclr: CA [ C ij ] Mltiplicção de mtrizes: A B = C ( m n) ( n p) ( m p) AB BA

12 Trnsposição: [ ] ij T A = A = [ ] T T T T ( ABC ) = C B A Diferencição: db d Integrção: = db ij ( ) d Bd d = [ bij dd] ji Mtriz qdrd i = j Mtriz digonl: A = 6 Mtriz simétric: = ij ji A = A T

13 Mtriz identidde: I = I X = X ( n n) ( n ) ( n ) Determinnte de m Mtriz: det A = = [ A] Esclr det = det = 33 ( ) ( ) + ( )

14 Mtriz Invers: Se [ A] A A = AA = I Eigenvlor e Eigenvetor: A Y ( n m ) ( n ) = λ Y ( A λi ) Y = ( A λi ) det = Eliminção de Gss Considere: A X = B ( n n) ( n ) ( n ) Mltiplicndo por : A X = A B Comptcionlmente não isso é viável. 4

15 Algoritmo gerl orwrd-elimintion de A e B Psso K B ( k ) ( k ) ij ( k ) ( k ) i = ij = B i = k +L ;, n i ( k ) A ( k ) ( k ) k ( k ) kj kk B ( k ) k ( k ) k Akk Após ( n ) pssos, tem-se: 5

16 Bck-sbstittion: b X n = A prtir dí tem-se: X i = i n nn b n ij j= i+ ii i = n, n, K, j Eercício: implementr lógic comptcionl: orwrd- Elimintion e Bck-Sbstittion 6

17 orwrd- Elimintion for k= to n- for i=k+ to n ik C = kk for j=k+ to n ij = ij C kj net j net i net k b = b Cb i i k Bck-Sbstittion for ii = to n- som= for j=i+ to n som = som + net j net ii b bn = n nn i = n ii ij b j bi som bi = ii 7

18 TRELIÇAS Definições Treliçs são brrs rticlds ns etremiddes. Comprimento >> seção trnsversl. Treliçs trnsmitem pens forçs iis Trção e compressão. 8

19 A figr bio mostr m eemplo do so de elementos de treliç. igr 5 Eemplo de elementos de treliç. No digrm de corpo livre, como mostr figr 6, de m brr de treliç srge: AA m forç de trção, forç intern tem intensidde igl. igr 6 Eemplo de elementos de treliç. 9

20 A seção trnsversl d brr de áre A, d origem o conceito de tensão il o norml: σ = A A deformção liner medi ( ε ) é definid como: igr 7 A definição d deformção liner médi

21 Pr mteriis de comportmento liner, tensão é proporcionl deformção. A constnte de proporcionlidde é o modlo de elsticidde ( E. ) σ = ε E = A Como: d ε = L A d = E L EA = d L

22 Comprndo brr de treliç com m mol temos: igr 8 Comprção: Mol/Brr de treliç. A brr de m treliç se comport como m mol de constnte AE elástic L AE L é rigidez il d brr.

23 3 Mtriz de Rigidez. A mtriz de rigidez de m elemento de brr é montd de modo idêntico do elemento de mol, sbstitindo k por L AE = L AE L AE L AE L AE Mtriz de rigidez do elemento. e são is, coordends locis. = e K Eemplo : Observr sperposição dos elementos de rigidez

24 4 Eemplo b: Pr qe se poss plicr o principio d sperposição nos nós, cd elemento individl deve ser relciondo o sistem de referenci globl, o d estrtr. O sistem locl é representdo por letrs minúscls, e o globl por miúscls.

25 5 Assim:. A mtriz de rigidez deve ser definid no sistem locl.. El define relção no elemento. 3. Os componentes de e D são diferentes no sistem globl. f d o Trnsformção de sistem. Mtriz de rigidez locl Mtriz de rigidez globl Mtriz de trnsformção f f

26 6 α α α α α α α α cos cos cos cos sen f sen f sen f sen f + = + = + = + =

27 7 ms e são nlos, pr treliçs. Pr fcilitr obtenção d mtriz de trnsformção, eqção de eqilíbrio pr o elemento será re-escrit, com zeros ns posições deqds. f f = L AE f f f f { } f [ ] e K { }

28 8 O qe reslt n mtriz de trnsformção: = sen sen sen sen L AE f f f f cos cos cos cos Notr qe : [ ] [ ] T T T = Pr os deslocmentos: { } [ ]{ } = T δ [ ] { } [ ] [ ] { } = T K T e { } [ ] { } δ = e K f

29 Mltiplicndo tdo por [ T ] : e [ T ] [ T ]{ } = [ T ] [ K] [ T ]{. } e [ I ] { } = [ T ] [ K] [ T ]{. } e { } = [ T ] [ K] [ T ]{. } M.R.G. Assim, pr o elemento mtriz de rigidez no sistem globl fic: [ ] K g = cos AE cos. sen L cos cos. sen cos. sen sen cos. sen sen cos cos. sen cos cos. sen cos. sen sen cos. sen sen 9

30 o Eercício : Montr mtriz de rigidez globl d estrtr, conforme ilstrção bio. 3