Fernando Nogueira Programação Linear 1

Transcrição

1 Progrmção Liner Fernndo Nogeir Progrmção Liner

2 Eemplo Típico Um indstri prodz prodtos I e II sendo qe cd prodto consome m certo número de hors em máqins A B e C pr ser prodzido conforme tel: Prodto Tempo Máqin A Tempo Máqin B Tempo Máqin C I II O tempo de fncionmento máimo disponível ds máqins é: Máqin Máimo tempo disponível A 6 B C O lcro otido por cd prodto I é $ e por cd prodto II é $5. Qnto fricr de cd prodto de modo qe sej oedecid cpcidde opertiv ds máqins com o mior lcro possível? Fernndo Nogeir Progrmção Liner

3 Modelgem Mtemátic qntidde do prodto I ser fricd qntidde do prodto II ser fricd Fnção Ojetivo ( ) Z.5 M lcro Restrições 6 Máqin A Máqin B Máqin C Prod. não negtiv Em notção mtricil Fnção Ojetivo Z c Restrições A Z [.5 ].. 6 Fernndo Nogeir Progrmção Liner

4 Interpretção Geométric A região fechd formd pels restrições é sempre conve e contém tods s solções possíveis o viáveis: região ds restrições. Teorem Fndmentl d Progrmção Liner Um vez qe tods s eqções e/o ineqções envolvids são lineres o vlor ótimo d fnção-ojetivo Z só pode ocorrer em m dos vértices d região ds restrições. Fernndo Nogeir Progrmção Liner

5 O Método Simple (Dntzig 9) Considerções Iniciis O Método Simple é m lgoritmo qe sistemtiz solção de prolems de P.L. de mneir eficiente comptcionlmente (não é forç-rt). Sej m o número de eqções e/o ineqções de restrição e n o número de vriáveis (incógnits) tem-se: cn n Z m An n m prolems ocorrem n resolção de )A eistênci de desiglddes < o > implic qe solção é gerlmente m conjnto e não únic. )A não necessrimente possi invers gerlmente A não é qdrd.os: o fto m de na ser qdrd não grnte eistênci de invers. ( ) m A n n ( ) m Fernndo Nogeir Progrmção Liner 5

6 Solção do Prolem Trnsformr s desiglddes em iglddes trvés d introdção de vriáveis de folg (slck vriles). Eemplo: 6 6 com Solção do Prolem Tem-se então m sistem com m eqções e (n m) incógnits: A ( n m ) ( n m ) m Anlr n vriáveis. Um vez qe (n m) é sempre mior qe m sempre tem-se mis incógnits de qe eqções ssim o sistem é sdetermindo infinits solções. No entnto nlndo n vriáveis o sistem fic: m A m m m Qis n vriáveis deve-se nlr pr oter solção ótim??? Fernndo Nogeir Progrmção Liner 6 m

7 O Método Reescrevendo fnção-ojetivo e s ineqções como eqções: Z.5 6 Deve-se chr m solção inicil viável qlqer. A mneir mis simples pr isto é zerr s vriáveis de controle ( ). Com isso s vriáveis de folg ssmem vlores máimos ( 6 e ). Est é m solção viável (nenhm restrição foi viold) porém é pior possível pois Z. Pode-se clssificr s vriáveis do prolem como: Vriáveis Básics: vriáveis qe compõem solção em cd iterção. Vriáveis Não-Básics: vriáveis qe form nlds. Fernndo Nogeir Progrmção Liner 7

8 Prtindo de m solção inicil qlqer o Método Simple verific se eiste m otr solção qe sej melhor qe solção tl. Isto se dá trvés d nálise d fnção-ojetivo:.5 Z Fzendo Z.5 s derivds prciis de Z em relção s vriáveis (de controle e de folg) fornecem t de crescimento de Z ns direções dests vriáveis. Z Z Z Z Z.5 O fto cim permite dedzir qe enqnto hover vriáveis não-ásics com coeficientes negtivos em Z.5 solção poderá ser melhord. Um vez qe o ojetivo é mimizr Z deve-se escolher dentre s vriáveis não-ásics qel qe possir mior t de vrição (coeficiente mis negtivo) pr compor s vriáveis ásics no cso. Pr isso lgm vriável ásic terá qe deir se pr compor s vriáveis não-ásics. Ql vriável deve deir se o sej mdr do grpo ds vriáveis ásics pr o grpo ds vriáveis não-ásics? Fernndo Nogeir Progrmção Liner

9 A medid qe ( vriável qe er não-ásic e gor é vriável ásic) ment deve-se diminir cd vriável ásic corrente correspondente m linh n ql tenh coeficiente positivo. Assim qnto pode crescer ntes qe m ds vriáveis ásics corrente tinj se limite inferior (não viole nenhm restrição)? Z os: pois.5 é vriável nãoásic Pr Com isso concli-se qe qndo 6 e portnto poderá ir pr o grpo ds vriáveis não-ásics. Antes 6 Pr Pr Agor Vriáveis ásics 6 Vriáveis não-ásics Fernndo Nogeir Progrmção Liner 9

10 Um vez qe entro n se e sí d se fz-se necessário então lterr os vlores dos coeficientes do sistem de eqções de mneir eqivlente. Este processo é otido trvés do Método de Gss-Jordn. Retomndo o prolem o ponto inicil pode-se montr seginte tel (Tel Simple):. 5 Se o vetor [.5] t (correspondente coln de ) trnsformr-se no vetor [ ] t (correspondente coln de ) estrá pertencendo se e sirá d se. Pr relizr o Método de Gss-Jordn é necessário escolher o elemento pivô o ql é otido pel interseção d coln pivô com linh pivô. 6 Fernndo Nogeir Progrmção Liner Restrições fnção-ojetivo

11 A coln pivô é coln correspondente à vriável qe vi entrr n se ( no cso) e linh pivô é linh n ql interseção com coln correspondente à vriável qe vi sir d se é igl (no cso interseção d linh com coln correspondente ). Relizndo o Método de Gss-Jordn Tel Simple fic: Est tel refere-se o seginte sistem: Z Fernndo Nogeir Progrmção Liner Restrições fnção-ojetivo fnção-ojetivo Restrições

12 A Tel Simple nterior fornece seginte solção: 6 6 e Z 9. Um vez qe é m vriável não-ásic e possi coeficiente negtivo est deverá entrr se e conseqüentemente deverá sir d se. Com est lterção Tel Simple pós o Método de Gss-Jordn fic: qe corresponde o seginte sistem: Z Fernndo Nogeir Progrmção Liner Restrições fnção-ojetivo fnção-ojetivo Restrições

13 A Tel Simple nterior fornece seginte solção: e Z. Um vez qe não eiste vriáveis não-ásics com coeficiente negtivo solção não poderá mis ser melhord portnto está solção é ótim. Conclsão Em P.L. eiste mneirs de cominr n vriáveis igis zero. No eemplo n e m qe reslt em solções possíveis o qe implic qe seri necessário resolver sistems de eqções (forçrt). No entnto o Método Simple resolve pens sistems de eqções (neste cso) e lcnço solção ótim. os: y y!! ( n m) m ( y )! cominção Fernndo Nogeir Progrmção Liner

14 Solção de m Modelo Gerl de P.L. pelo Método Simple Até o momento Fnção-Ojetivo deve ser mimizd Vriáveis de controle não negtiv Apresentm m solção ásic inicil Qndo m o mis desss crcterístics não são stisfeits fz-se necessário determinr m form eqivlente mdr o modelo e não o lgoritmo..minimizção Se fnção-ojetivo é de minimizção deve-se mltiplic-lá por. Min Z M Z os: restrições não são lterds. Simple eige esss crcterístics Fernndo Nogeir Progrmção Liner

15 .Vriável Livre o Negtiv Sstitir vriável livre pel diferenç de otrs não-negtivs. Sstitir vriável negtiv por m otr positiv com coeficiente -. M Z livre Fzendo 6 negtiv 5 M Z Solção Básic Inicil Se restrição é do tipo fz-se necessário crescentr m vriável de folg negtiv. com Se restrição é do tipo já tem-se m eqção e portnto não é preciso crescentr vriável de folg. No entnto qndo estes csos ocorrem não é formd m smtriz identidde tomticmente e portnto não origin m solção ásic inicil. Eemplo: Fernndo Nogeir Progrmção Liner 5

16 Fernndo Nogeir Progrmção Liner 6 6 Z M 6 Z 6 Restrições fnção-ojetivo A Tel Simple fic: Not-se n Tel Simple qe não eiste m s-mtriz identidde. Neste cso crescent-se Vriáveis Artificiis (Ailires) ns linhs cjs s restrições são do tipo o. O sistem fic:

17 Fernndo Nogeir Progrmção Liner 7 com 6 Z A Tel Simple fic: 6 Restrições fnção-ojetivo Agor tem-se m s-mtriz identidde porém e 6. O retorno o modelo originl deve ser feito com eliminção ds Vriáveis Artificiis. Isto é relizdo trvés do Método do M Grnde o do Método d Fnção-Ojetivo Ailir.

18 Método d Fnção-Ojetivo Ailir Este método consiste em tilizr m fnção-ojetivo ilir W(... r ) formd pel som ds r Vriáveis Artificiis W(... r )... r. Um vez qe s Vriáveis Artificiis podem ser escrits em fnção ds Vriáveis de Controle e de Folg pode-se sempre minimizr W(... r ) té W(... r ) o qe corresponde... r fzendo então s Vriáveis Artificiis pertencerem o grpo ds Vriáveis Não-Básics. Com isso otém-se m solção viável pr o prolem podendo-se então ndonr Fnção-Ojetivo Ailir e s Vriáveis Artificiis. Eemplo: M Z Z 6 Fnção-Ojetivo Ailir W( ) com Fernndo Nogeir Progrmção Liner Dá o restrição Dá o restrição 6 6

19 Fernndo Nogeir Progrmção Liner 9 Sstitindo e em W( ) fic: Min W( ) M W( ) 5 qe n form de eqção é W( ) 5 A Tel Simple fic: 5 6 Restrições fnção-ojetivo fnção-ojetivo ilir Após iterções (neste eemplo) do Método Simple Tel Simple fic: 6 6 Restrições fnção-ojetivo fnção-ojetivo ilir

20 Fernndo Nogeir Progrmção Liner A Tel Simple gor present m solção cj s Vriáveis Artificiis são Vriáveis Não-Básics (portnto igis zero) e podem então ser desprezds e o Método Simple pode continr sendo tilizdo fim de encontrr solção ótim. Considerções Finis.Prolem de Degenerção A síd de m V.B. com vlor nlo provoc o precimento de m otr V.B. nl n próim solção sem lterção do vlor d Fnção-Ojetivo. Neste cso solção é denomind degenerd indicndo qe eiste no mínimo m restrição redndnte. Se os coeficientes d Fnção-Ojetivo retornm não negtivos em lgm iterção o cso não present dificldde. O prolem srge qndo s iterções levm circitos sem crcterizr solção ótim. Neste cso fz-se necessário tilizr regrs mis comples s qis não serão ordds neste crso. Tl prolem é stnte rro em plicções prátics. Eemplo em qe degenerção não crreto em circito: 9 Z M 9 9 iterção iterção

21 Fernndo Nogeir Progrmção Liner Eemplo em qe degenerção ocorre temporrimente:.solção Ilimitd Ocorre qndo vriável qe entr n se não possi em s coln nenhm coeficiente positivo não sendo portnto possível determinr linh pivô. Eemplo: Z M Z M iterção iterção iterção

22 .Solções Múltipls Se n solção ótim o coeficiente de m V.N.B. é zero est vriável poderá entrr n se sem lterr o vlor d fnção ojetivo gerndo otr solção ótim. Neste cso qlqer cominção liner desss solções tmém será ótim. Eemplo: M Z 5.Solções Inviável Se o prolem de P.L. não possir nenhm solção viável então o Método d Fnção- Ojetivo Ailir (o do M Grnde) irá fornecer n solção finl no mínimo m vriável rtificil com vlor diferente de zero cso contrário tods vriáveis rtificiis serão nls. Eemplo: M Z Fernndo Nogeir Progrmção Liner

23 Fernndo Nogeir Progrmção Liner 5.Ldo Direito ds Restrições Negtivs Solção Inicil: - e - Inviável pois e são negtivos. Sempre qe hover restrições cjo ldo direito são negtivos deve-se mltiplicr mos os ldos dests restrições por. Solção Inicil: Viável