Programação Linear Introdução

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1 Progrmção Liner Introdução Prof. Msc. Fernndo M. A. Nogueir EPD - Deprtmento de Engenhri de Produção FE - Fculdde de Engenhri UFJF - Universidde Federl de Juiz de For

2 Progrmção Liner - Modelgem Progrmção Liner consiste em métodos pr resolver problems de Otimizção com restrições (injunções) em que Função Objetivo é LINEAR em relção s vriáveis de controle,,..., n, e o domínio dests vriáveis é injunciondo por um sistem de inequções lineres (Advnced Engineering Mthemtics). Vmos ilustrr este prágrfo trvés de um simples eemplo. Eemplo Suponh que pr construir um cs populr por mês um construtur necessite de pedreiros e 4 serventes. Pr construir um prtmento no mesmo intervlo de tempo, mesm construtor necessit de 3 pedreiros e 8 serventes. A construtor possui um efetivo totl de 30 pedreiros e 70 serventes contrtdos. A construtor obtém um lucro de R$3.000,00 n vend de cd cs populr e de R$5.000,00 n vend de cd prtmento e tod "produção" d construtor é vendid. Qul é quntidde ótim de css populres e prtmentos que construtor deve construir pr que está obtenh lucro máimo. Solução Vmos inicilmente representr este problem em form de tbel. Cs Populr Aprt. Disponibilidde de Mão de Obr Pedreiro 3 30 Servente Lucro (em mil R$) 3 5 A Função Objetivo (que deve epressr o lucro totl) é dd por: (, ) 3 5 f = ()

3 onde: é quntidde de css populres construíds; é quntidde de prtmentos construídos. A modelgem mtemátic d Função Objetivo neste eemplo é muito simples, pois o lucro totl vi ser ddo pel som do lucro obtido com css populres e prtmentos multiplicdos por sus respectivs quntiddes produzids ( e ). Por eemplo, se construtor construir css populres ( =) e 3 prtmentos ( =3) o lucro totl vi ser: (, ) = () f = Como o lucro está ddo em milhres de Reis, construtor terá um lucro de R$.000,00. No entnto, será que este lucro de R$.000,00 é o melhor resultdo que está construtor pode obter? Prestndo tenção no enuncido do problem, podemos reprr que eiste um limitção de mão de obr (não eistem infinitos pedreiros e serventes!) e portnto, este fto limitrá "produção" dest construtor. Est limitção é denomind de mneir mis forml de Restrição ou Injunção. Vmos ver como ests injunções pode ser modelds mtemticmente: Pr cd cs construíd construtor necessit de pedreiros e pr cd prtmento construído construtor necessit de 3 pedreiros. Eistem 30 pedreiros contrtdos. Portnto, podemos modelr está restrição de mneir mtemátic por: 3 30 (inequção de injunção de pedreiros) (3) De mneir nálog epressão 50, construtor necessit de 4 serventes pr cd cs construíd e 8 serventes pr cd prtmento construído. Eistem 70 serventes contrtdos. Est injunção é dd por: (inequção de injunção de serventes) (4)

4 Além ds inequções 3 e 4, podemos escrever mis dus inequções de injunção pens pr limitr s quntiddes construíds de css e prtmentos pr vlores positivos por motivos óbvios (não se pode construir - (menos um) prtmento ou - (menos dus) css!). Ests inequções são: 0 (5) 0 (6) As inequções 3, 4, 5 e 6 definem um qudrilátero no plno (, ) onde qulquer ponto que estej "dentro" (contido) deste é um solução possível (viável) pr este problem. Cbe então nós descobrirmos qul destes pontos é solução ótim. A figur mostr este qudrilátero. otimizção liner - cs X prtmento 0 pedreiro quntidde de prtmentos servente quntidde de css Fig. - Qudrilátero representndo região de soluções viáveis. O gráfico d figur mostr, por eemplo, se construtor construir 5 css, est não poderá construir nenhum prtmento, ou sej, =5 e =0. Est é um solução possível pois stisfz s 4 inequções de injunção citds, porém não é ótim. As inequções 5 e 6 "forçm" que solução estej no primeiro qudrnte, inequção 3 "forç" solução estr sobre ou bio d ret 3 = 30 3

5 (linh vermelh) e inequção 4 "forç" solução estr sobre ou bio d ret 4 8 = 70 (linh verde). Se fizermos f Função Objetivo: (, ) = constn te estremos determinndo s "curvs de nível" d otimizção liner - curvs de nível pedreiro servente Fig. - Qudrilátero representndo região de soluções viáveis e curvs de nível. As curvs de nível estão indicndo que os vlores d Função Objetivo estão umentndo medid que ests proimm-se ds rets delimitdors referente s injunções do pedreiro e do servente (linhs vermelh e verde). Todos os pontos (, ) que estão sobre um mesm curv de nível crcterizm um mesmo vlor pr Função Objetivo (mesmo lucro no cso), porém combinções diferentes de quntiddes de css populres e prtmentos construídos. A figur 3 mostr Função Objetivo e s sus respectivs curvs de nível projetds sobre o plno (, ). 4

6 Fig. 3 - Qudrilátero representndo região de soluções viáveis, curvs de nível e Função Objetivo. A figur 4 mostr o mesmo gráfico d figur 3, porém de outro ponto de vist. Fig. 4 - Qudrilátero representndo s soluções viáveis, curvs de nível e Função Objetivo de outro ponto de vist. 5

7 Neste eemplo solução ótim será interseção d "equção d ret do pedreiro" (linh vermelh) e "equção d ret do servente" (linh verde), ou sej, =7.5 e =5.0. O próimo eemplo trt este mesmo problem, porém vmos incluir mis um restrição referente o trblho do crpinteiro n construção ds css populres e prtmentos. Eemplo Suponh que pr construir um cs populr por mês um construtur necessite de pedreiros, 4 serventes e crpinteiro. Pr se construir um prtmento no mesmo intervlo de tempo, mesm construtor necessit de 3 pedreiros, 8 serventes e 3 crpinteiros. A construtor possui um efetivo totl de 30 pedreiros, 70 serventes e 0 crpinteiros contrtdos. A construtor obtém um lucro de R$3.000,00 n vend de cd cs populr e de R$5.000,00 n vend de cd prtmento e tod "produção" d construtor é vendid. Qul é quntidde ótim de css populres e prtmentos que construtor deve construir pr que está obtenh lucro máimo. Solução D mesm mneir que procedemos no eemplo, vmos inicilmente representr este problem em form de tbel. Cs Populr Aprt. Disponibilidde de Mão de Obr Pedreiro 3 30 Servente Crpinteiro 3 0 Lucro (em mil R$) 3 5 A Função Objetivo é mesm do eemplo : 6

8 (, ) 3 5 f = (7) onde: é quntidde de css populres construíds; é quntidde de prtmentos construídos. As inequções de injunção são: 3 30 (inequção de injunção de pedreiros) (8) (inequção de injunção de serventes) (9) 3 0 (inequção de injunção de crpinteiros) (0) 0 () 0 () Temos gor 5 equções, sendo que o ponto oriundo d interseção d "equção do pedreiro" com "equção do servente" (ponto A) é diferente do ponto oriundo d interseção d "equção do servente" com "equção do crpinteiro" (ponto B). 7

9 Fig. 5 - Equções ds rets que delimitm região de soluções viáveis. Olhndo o gráfico d figur 5, vemos que solução sem restrição devid o crpinteiro é solução que obtivemos no eemplo nterior (ponto A) por motivos óbvios (é o mesmo eemplo!), porém com o créscimo d injunção do crpinteiro, solução ótim gor pss ser o ponto B cuj coordend é =0.0 e =3.33. A figur 6 mostr o qudrilátero d região viável. otimizção liner - cs X prtmento 0 pedreiro quntidde de prtmentos servente crpinteiro quntidde de css Fig. 6 - Qudrilátero representndo região de soluções viáveis. 8

10 É importnte reprr que o crescentrmos mis um injunção ( do crpinteiro) áre do qudrilátero diminui, estndo de cordo com noss intuição, um vez que menos soluções viáveis são possíveis gor. A figur 7 mostr s curvs de nível e o qudrilátero deste eemplo. otimizção liner - curvs de nível pedreiro servente crpinteiro Fig. 7 - Qudrilátero representndo região de soluções viáveis e curvs de nível. Fig. 8 - Qudrilátero representndo região de soluções viáveis, curvs de nível e Função Objetivo. 9

11 Como vimos nos eemplos e, solução gráfic pr os problems de Progrmção Liner é possível qundo temos té dus vriáveis de controle, porém miori dos problems práticos envolve mis vriáveis o que eige utilizção de outros métodos de solução. O método mis empregdo pr solução de problem de Progrmção Liner é o Método Simple. Formulção do Problem De mneir forml, o problem de Progrmção Liner consiste em determinr o vlor d solução (,,... n ) que mimize Função Objetivo dd por: (,,..., ) = c c... c n n n = (3) z f De mneir mis elegnte, epressão 3 pode ser dd por: z = f n c j j j= (,,..., ) = n (4) Precismos mimizr z obedecendo às m restrições (injunções) imposts às n vriáveis j :... m m n n mn n n n b b b m (5) ou de mneir mis elegnte: n. ij j j= b i, pr i=,,...,m (6) onde: j 0 é vriável j ser designd ou produzid; c j é o coeficiente de lucro (ou de custo) pr vriável j ; z é Função Objetivo ser mimizd; 0

12 ij é o coeficiente d vriável j n injunção i; b i é o vlor limite d restrição i; j=,,...,n é o número de vriáveis; e i=,,...,m é o número de injunções imposts. Utilizndo notção mtricil, o problem de Otimizção Liner pode ser escrito como: Mimizr z = CX (7) sujeit às restrições A.X B (8) onde: C = [ c j ] é um vetor linh X = [ j ] e [ b i ] A = [ ij ] é um mtriz m n. B = são vetores coluns; e Utilizndo notção mtricil, o eemplo fic: z = C.X = [ 3 5]. (9) Sujeit às restrições: A.X B = (0) Alguns comentários tornm-se interessntes neste momento:

13 ) As inequções de injunção delimitm um áre ou região (no cso de 3 ou mis vriávies de controle) fechd ou conve de soluções viáveis, denomind região de injunções (ou de restrições). ) Devido tods s equções (e inequções) envolvids serem lineres, o vlor ótimo d Função Objetivo z só pode ocorrer em um dos vértices d região ds soluções viáveis (Teorem Fundmentl d Progrmção Liner). 3) Pr determinrmos solução ótim bst procurrmos o vlor d Função Objetivo nos vértices d região de soluções viáveis. Estes vértices correspondem à interseção de pelo menos dus equções de injunção.