6-1 Determine a primitiva F da função f que satisfaz a condição indicada, em cada um dos casos seguintes: a) f(x) = sin 2x, F (π) = 3.

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1 6 Fich de eercícios de Cálculo pr Informátic CÁLCULO INTEGRAL 6- Determine primitiv F d função f que stisfz condição indicd, em cd um dos csos seguintes: ) f() = sin, F (π) = 3. b) f() = 3 + +, F (0) = 3. c) f() = , F ( ) = 3. d) f() =, F () = Primitive s funções seguintes, indicndo um intervlo onde ess primitivção sej válid: ) 3 + b) 3 sin c) ( + ) d) + 3 e) 3 + f) e g) e sin e h) sin ( + cos ) i) k) sin + sin j) e rctg l) + m) 3 log n) 4 o) 4 p) + 3 q) tg r) log 3

2 s) e e t) + e u) 3 + v) sin 3 + cos 4 w) tg ) y) log e z) e 6-3 Utilize o método de primitivção por prtes, ou outro, pr primitivr s seguintes funções, indicndo os respectivos intervlos de primitivção: ) cos b) cos c) e d) e sin e) e f) log g) rctg h) log i) log( + 3) j) rctg k) rcsin 6-4 Primitive s seguintes funções, indicndo um intervlo onde est primitivção sej válid; + 5 ) b) c) ( ) 3 ( + )( + ) d) e) 4 f) 3 ( + ) 6-5 Use o método de mudnç de vriável, ou outro, pr primitivr s funções seguintes, em intervlos determinr: ) sin + b) c) 3 d) 5 6 e) f) e g) sin cos + cos h) + i) j) k) + l) + 3

3 3 m) 4 n) sin ( ) o) e + e 3 e p) q) sin + cos Sugestões pr s substituições efectur: ) u = + b) u = 3 c) u = d) imedit e) u = 5+ 5 f) u = e g) u = cos h) = tn u, (sinh u) i) imedit j) = sec u, (cosh u) k) u = + l) u = 6 m) = sin u n) imedit o) u = e p) = sin u q) u = tn(/) 6-6 Um ponto percorre o eio dos com celerção (t) = 8t (m/s ) em cd instnte t. Sbendo que ocupv posição = 0 (m) no instnte t = 0 (s) e tinh velocidde 0 (m/s) nesse instnte, clcule: ) A su velocidde no instnte t = (s). b) A su posição no instnte t = 3 (s). c) A velocidde máim, em vlor bsoluto, durnte todo o movimento e o instnte em que ess velocidde foi tingid. d) Ecluindo o instnte inicil t = 0 (s), o ponto esteve prdo em lgum instnte? 6-7 Sejm e g() = se f() = se < < 3 5 se 3 5 f(t) dt pr todo [, 5]. ) Determine epressão que define g(). b) Esboce os gráficos de f e g. c) Dig onde é:

4 4. f contínu.. f diferenciável. 3. g diferenciável. 6-8 Determine áre d região limitd pelo gráfico de f e pelo eio dos qundo: ) f() = + 3, [0, ]. b) f() = +, [3, 8]. c) f() = (3 + ), [0, 8]. d) f() = cos, [π/6, π/3]. e) f() = ( + ), [0, ]. 6-9 Considere função f() = sin. ) Clcule os integris e π π/ f() d 0 π/ f() d, π/ 0 f() d, π π/ f() d, e interprete o resultdo em termos de áres. b) Clcule áre d região limitd pelo gráfico de f e o eio dos, pr [ π/, π]. 6-0 Em cd um ds línes seguintes esboce o gráfico d função f e determine áre d região limitd por ele e pelo eio dos, ) { f() = + se 0 3 se < 3 b) f() = { 3 se 0 4 se < 6- Em cd um dos seguintes csos, represente região limitd pels curvs dds e determine su áre. ) y = + cos, y =, pr 0 π/ b) y = e y = c) y = 6 e y =

5 5 d) y = cos e y = 4 π 6- Clcule derivd ds seguintes funções, definids em R ou em ]0, + [; ) F () = c) F () = e) F () = 0 dt b) F () = t sin t dt d) F () = / cos (t ) dt e t dt log t dt 6-3 Sej f : R R um função derivável tl que f(0) = 0 e R, f () > 0. Representndo por g função invers de f, defin-se: F () = 0 f(t) dt + ) Clcule derivd de F. f() 0 g(t) dt f(). b) Qul o vlor de F ()? Interprete este resultdo geometricmente. 6-4 Sej f : [, b] R um função integrável tl que f( + b ) = f(), R. ) Qul o significdo geometrico d relção cim? b) Vej qu função g() = f() + b f() stisfz g( + b ) = g(), R. c) Qul o significdo geometrico dest nov relção? d) Prove que b f() d = + b b f() d. 6-5 Verifique s seguintes relções, onde n, k N {0} : ) π π cos (n) cos (k) d = π ou 0 resp. conforme n = k ou n k. b) π π sin (n) sin (k) d = π ou 0 resp. conforme n = k ou n k.

6 6 c) π π sin (n) cos (k) d = 0 pr todo n, k. Sugestão: Use s seguintes indentiddes trignométrics: cos cos y = (cos( y) + cos( + y)) sin cos y = (sin( y) + sin( + y)) sin sin y = (cos( y) cos( + y)) 6-6 Um objecto move-se o longo de um eio de coordends. O seu movimento é descrito por um função = (t) no intervlo de tempo [0, T ]. Sbendo que posição no instnte inicil é (0) = 0 e que lei ds velociddes deste movimento é descrit pelo seguinte gráfico: v 0 v h h 3h 4h 5h 6h=T t -v 0 determine: ) os intervlos de tempo onde o objecto está respectivmente: prdo, em movimento uniforme, em movimento celerdo e em movimento descelerdo; b) os deslocmentos efectudos nestes intervlos de tempo; c) s distâncis percorrids nos mesmos intervlos de tempo; d) posição no instnte finl t = T e o deslocmento totl; e) lei do movimento (t). Esboce o seu gráfico. 6-7 Considere sequênci de pontos { 0,,,..., n, n } no intervlo [, b], onde i = + i (b )/n pr cd i =,,, n. As soms

7 7 superior e inferior d função f() = neste intervlo são n ( ) b n ( ) b S n = i e s n = i. n n i= i= y y b b b b Mostre que ( ) S n = (b ) + (b ) n + ). ( n b) s n = (b ) + (b ) n ). n c) mbs ests sucessões convergem pr (b )/. b d) conclu que d = b. 6-8 Escrev em coordends crtesins (, y) os pontos com s seguintes coordends polres (r, θ): ) (3, π/4) b) (, π/6) c) (5, 0) d) (0, 6π/7) 6-9 Escrev em coordends polres (r, θ) os pontos com s seguintes coordends crtesins (, y): ) (3, 3) b) (, ) c) (0, 5) d) (3, 3 3) e) ( 3, 3) f) (0, 0) 6-0 Escrev s equções dds em coordends polres. Sempre que possível presente o resultdo n form r = f(θ). ) + 3y = 4 b) y = 4 c) + y = 4 d) + y = e) y = 3

8 8 6- Escrev s equções dds em coordends crtesins. ) r = 5 b) r = 3 cos θ c) tg θ = 6 d) r = sin θ e) r = / sin θ 6- Desenhe o gráfico polr d equção: ) r = 5 b) θ = 3π/ c) r sin θ = 5 d) r = sin θ e) r = /( cos θ) 6-3 Clcule áre d região limitd pelos gráficos ds seguintes funções: ) r = 4 b) r = 3 sin θ, 0 θ π/3 e θ = π/3 c) r = 3 sin θ d) r = 9 sin θ (ros de 4 pétls) e) r = ( sin θ) 6-4 Clcule áre d região interior à primeir curv e eterior à segund. ) r = 5 e r = b) r = 5 e r = ( + cos θ) c) r = 3( + cos θ) e r = cos θ 6-5 Desenhe região limitd pels curvs e, determine o volume do sólido gerdo pel rotção d região em torno do eio dos. ) y =, y = 0, = b) y = 3, y = 8, = 0 c) y =, y = 6-6 Desenhe região limitd pels curvs e, determine o volume do sólido gerdo pel rotção d região em torno do eio dos yy. ) y =, y = 4, = 0 b) = y 3, = 8, y = 0 c) = y, = y 6-7 Considere elipse de equção + y = (, b > 0). b ) Represente, trvés de um integrl, áre d elipse e clcule-. b) Represente, trvés de um integrl, o volume do elipsoíde de revolução gerdo pel rotção d elipse em torno de um dos seus eios e clcule-o. Deduz, do resultdo obtido, fórmul do volume d esfer.

9 6-8 Um bói chei de r, tem um secção circulr de 5 centímetros de rio e um burco pr o corpo, tmbém circulr, com 40 centímetros de diâmetro. Clcule o volume de r contido n bói, supondo desprezível su espessur Encontre os comprimentos ds seguintes curvs: ) y = log, 3. 8 b) y = 3 6 +,. c) y = e, Determine s soluções dos seguintes problems: ) = sin(3), y(π) =. d b) c) d = cosh (), y(0) =. d = ( + ), lim y() =. + d) d y d =, y () = e y() = Determine s soluções ds seguintes equções diferenciis. ) d = y b) d + y cos = 0 c) d = ey cos d) d = y + sin y 3

10 0 e) d = y f) d = y tn 6-3 Pr cd um ds línes do eercício nterior determine solução que obedece à seguinte condição inicil. ) y() = b) y(π) = c) y(0) = d) (π) = π /3 e) y(0) = 3 f) y(0) = 6-33 Um depósito contem 00 litros de slmour cuj concentrção no instnte t = 0 minutos é de.5 grms de sl por litro. Um slmour contendo grms de sl por litro é lnçd no tnque à velocidde de 5 litros por minuto, e mistur (tornd uniforme por gitção) corre do tnque n mesm proporção. Designmos por q(t) quntidde de sl dissolvido no tnque no instnte t. ) Qul quntidde inicil, q(0), de sl no depósito? b) Quntos grms de sl por minuto entrm no tnque? Observe que est velocidde é constnte. c) Quntos grms de sl por minuto siem do tnque? Observe que est velocidde depende d quntidde de sl no tnque q(t) em cd instnte t. d) Escrev derivd dq em função ds velociddes ds dus línes dt nteriores. e) Resolv equção diferencil obtid n líne nterior pr ver quntos grms de sl eistem no depósito em cd instnte t. f) Qul quntidde de sl no depósito o fim de um hor? 6-34 No estudo do crescimento de um populção é costume utilizremse vriveis contínus em vez d simples contgem do número de indivíduos. Um vrivel rel pode por eemplo medir densidde d populção (n o de indivíduos por unidde de áre), ou então medir mss totl d populção (em grms ou kilogrms), ou pode ind medir o número de milhres de indivíduos dess mesm populção. Considere um função = (t) que descrev evolução d populção o longo do tempo t. A derivd (t) mede velocidde (instntâne) de crescimento d populção, i.e. o número de novos indivíduos por unidde de tempo. Ao cociente (t)/(t) é costume chmr-se t de crescimento d populção. Serve pr medir contribuição médi de cd indivíduo, por unidde de tempo, pr o crescimento d populção. As leis de crescimento de populções postulm como vri t de

11 crescimento d populção em função do próprio tmnho, (t), d populção. Cd lei de crescimento vem epress n form de um equção diferencil. Pr cd um ds dus leis de crescimento seguintes: I. A lei de crescimento eponencil, que postul um t de crescimento constnte > 0, i.e. independente do tmnho d populção, II. A lei de crescimento logístic, que postul um t de crescimento que decresce linermente com o tmnho d populção, i.e. d form b, com > 0 e b > 0 (o coeficiente mede t de crescimento qundo populção é muito pequen; por su vez o termo b mede o efeito negtivo de competição entre indivíduos que vi umentndo com o tmnho d populção), ) Escrev equção diferencil correspondente, b) Resolv- sujeit à condição inicil (0) = 0, c) Descrev o comportmento ssintótico d solução, i.e. qundo t +. Este comportmento depende do tmnho inicil d populção, (0) = 0? 6-35 A lei de rrefecimento de Newton diz que: t de vrição d tempertur de um corpo é proporcionl à diferenç de tempertur do corpo e d tempertur médi mbiente. Cd corpo tem su constnte de proporcionlidde k > 0 específic. Sej Q um vrivel com o vlor d tempertur de um corpo num meio mbiente mntido à tempertur constnte A. A evolução d tempertur desse corpo o longo do tempo será então descrit por um função Q = Q(t) d vrivel tempo t. ) Escrev equção diferencil em Q(t) que trduz lei de rrefecimento de Newton. b) Ache solução Q(t) dest equção sujeit à condição inicil Q(0) = Q 0. c) Um corpo é colocdo num qurto quecido um tempertur constnte de 30 o F. Depois de 0 minutos, tempertur do corpo é de 0 o F, e o fim de 0 minutos tempertur do corpo é de 5 o F. Qul tempertur inicil do corpo? d) Um brr de metl um tempertur inicil de 0 o C é colocd num recipiente com águ ferver (00 o C). A águ continu ferver e 0 segundos mis trde tempertur d brr é de 30 o C. Qul tempertur d brr no finl do primeiro minuto. Qunto tempo demorrá té brr tingir os 98 o C? 6-36 A vrivel 0 represent proporção de indivíduos infectdos com um determind doenç contgios num cert comunidde, enqunto y = represent proporção de indivíduos sudáveis,

12 ms susceptíveis à doenç, n mesm comunidde. Supondo que os indivíduos se movem livremente o número de contctos entre indivíduos infectdos e sudáveis, suscetíveis de provocr o contágio d doenç, é proporcionl o produto y = ( ). Queremos nlisr evolução d proporção = (t) o longo do tempo. A derivd (t) mede t de contágio, i.e. proporção de novos indivíduos infectdos por unidde de tempo. ) Trduz num equção diferencil lei epidemiológic que postul ser t de contágio proporcionl o número de contctos entre indivíduos infectdos e sudáveis. Cd doenç tem su constnte de proporcionlidde (que é positiv) específic, crcterístic do seu gru de infeciosidde. b) Ache solução (t) dest equção sujeit à condição inicil (0) = 0 com 0 < 0 <, i.e. determine proporção de indivíduos doentes no instnte t, supondo que no instnte t = 0 proporção de indivíduos doentes é 0. c) Clcule lim t + (t). Interprete este resultdo.