Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I
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- Nicholas de Sintra Silveira
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1 Cálclo Nmérico Resolção Nméric de Sistems Lineres Prte I Prof. Alirio Sntos de Sá lirios@fb.br Mteril dptd dos slides d disciplin de Cálclo nmérico dos professores Brno Qeiroz, José Qeiroz e Mrcelo Brros (UFCG). Disponível em:
2 Sistems Lineres Form Gerl x x... n x n b x x... n x n b onde: ij n x n coeficientes x i incógnits b i termos independentes x... nn x n b n
3 Sistems Lineres Exemplo x 4x 5x 5 4x x 5x x 4x 5x, 4, -5, 4,, -5,, 4 e 5 coeficientes x, x e x incógnits 5, e - termos independentes
4 4 Sistems Lineres Form Mtricil n ql: 4 Ax = b nn n n n n n A n b b b b n x x x x
5 5 Sistems Lineres 5x 4x x 5x x 4x 5 5x 4x x 5 Exemplo Form Gerl Form Mtricil 5 x x x
6 Sistems Lineres Sistems de considerdos: Possível Possi o mis solções Determindo Solção únic [det(a) ] Exemplo x x x x 4 8 6
7 Sistems Lineres Cso trivil (Sistems Homogêneos) Possível Possi o mis solções Homogêneo Vetor b= (x= sempre existe solção) Exemplo 4 x x x x 7
8 Sistems Lineres Sistems Tringlres (Csos especiis): Possibilidde de resolção de form Diret Tringlr Inferior A n n n nn 8
9 Sistems Lineres Sistems Tringlres (Csos especiis): Possibilidde de resolção de form Retrotiv Tringlr Sperior A n n n nn 9
10 Solção Retrotiv Exemplo 5: Ddo o sistem: x 4x x 5 x x 4x x4 x 5 x x Primeiro psso pr s resolção: x 4
11 Solção Retrotiv Exemplo 5: Segndo psso: Terceiro psso: x 5 4x 5 x 4x 4 x x x x x 4
12 Solção Retrotiv Exemplo 5: Último psso: x 4x 5x x 4 ( ) 5 x x Como serim os lgoritmos em psedocódigo? Vmos fzer pr tringlr inferior!! 4
13 Algoritmo Tringlr Inferior Procedimento resolvertringinferior(a: mtriz [..n,..n] de rel; b: vetor [.. n] de rel) Declre x: vetor [..n] de rel; i,j: inteiro; Início Pr i = té n fç x[i] = b[i] / A[i, i]; Pr j = té i- fç x[i] = x[i] - (A[i, j] * x[j]) / A [i, i]; Fim Pr Fim Pr Retorne x; Fim Procedimento
14 Algoritmo Tringlr Sperior Procedimento resolvertringsperior(a: mtriz [..n,..n] de rel; b: vetor [.. n] de rel) Declre x: vetor [..n] de rel; i, j: inteiro; Início Pr i = n té fç (psso -) x[i] = b[i] / A [i, i]; Pr j = i+ té n fç x[i] = x[i] - (A[i, j] * x[j]) / A [i,i]; Fim Pr Fim Pr Retorne x; Fim Procedimento 4
15 Métodos Nméricos Diretos Solção pode ser encontrd prtir de m número finito de pssos Método de Gss Método d Eliminção de Jordn Ftorção LU 5
16 Métodos Nméricos Itertivos Solção prtir de m seqüênci de proximções pr o vlor do vetor solção x, té qe sej obtido m vlor qe stisfç à precisão pré-estbelecid Método de Jcobi Método de Gss Seidel 6
17 . Método de Gss. Método de Gss com pivotemento prcil. Método de Jordn 4. Ftorção LU MÉTODOS DIRETOS 7
18 Método de Gss Propósito Trnsformção do sistem liner ser resolvido em m sistem liner tringlr; Resolção do sistem liner tringlr de form retrotiv. 8
19 Método de Gss Trnsformção do Sistem Liner Troc d ordem ds linhs; Mltiplicção de m ds eqções por m número rel não nlo; Sbstitição de m ds eqções por m combinção liner del mesm com otr eqção. 9
20 Método de Gss Pssos do Método de Gss Constrção d mtriz mentd Ab Ab n n n n n nn b b b n
21 Método de Gss Pssos do Método de Gss Psso : Eliminr os coeficientes de x presentes ns linhs,,...,n - sendo =, =... = n = - sendo chmdo de pivô d coln Sbstitir linh, L, pel combinção liner L m L, n ql : m
22 Método de Gss Pssos do Método de Gss Sbstitir linh, L, pel combinção liner: L L m L, n ql : m
23 Método de Gss Pssos do Método de Gss Continr sbstitição té linh n; Cso lgm elemento pp =, chr otr linh k onde kp e trocr tis linhs. Cso linh k não exist, o sistem liner não possi solção.
24 Método de Gss Pssos do Método de Gss Eliminr os coeficientes de x ns linhs, 4,..., n (fzer = 4 =...= n = ); Eliminr os coeficientes de x ns linhs 4, 5,..., n (fzer 4 = 5 =...= n = ) e ssim scessivmente. 4
25 Método de Gss Exemplo 6: Resolver o sistem: x 4x x x 4x x Mtriz mentd Ab Ab x x x
26 Método de Gss Exemplo 6: Fz-se: L L m L, m Assim: L L
27 Método de Gss Exemplo 6: Fz-se: L L m L, m Assim: L L
28 Método de Gss Exemplo 6: Obtém-se mtriz: Ab
29 Método de Gss Exemplo 6: Sbstitindo linh por: L L m L, m Têm-se: L L
![Método de Gss Exemplo 6: A mtriz [Ab]](/docs-images/77/75621790/images/30-0.jpg "fic ssim com os segintes vlores: Ab 5 5")
30 Método de Gss Exemplo 6: A mtriz [Ab] fic ssim com os segintes vlores: Ab
31 Método de Gss Exemplo 6: Us-se solção retrotiv: x x 5 6 x 5 x x x x 7 x 7 x x x 5 5x
32 Método de Gss Exemplo 7: Resolver o sistem.,5 x 4,x,7 x 5,4x,x 5,7 x,x 4,5x 7,8x,7 8,9 Representndo o sistem pel mtriz mentd: [ AB],5 4,,7 5,4, 5,7, 4,5 7,8,7 8,9
33 Método de Gss Exemplo 7: Escolhendo primeir linh como pivô, obtém-se: L L m L 4,, 4,5,7 (4,/,5),5 5,4, L L L L (,7/,5),8 4, 4,74 m L,7 5,7,5 5,4,,86 6, 9, 7,8 8,9
34 Método de Gss Exemplo 7: Representndo o sistem pel mtriz mentd: [AB],5 5,4,8 4,, 4,74,86 6, 9, 4
35 Método de Gss Exemplo 7: Escolhendo gor segnd linh como pivô, têm-se: L L 4,,86 9, 4,/,8,8 4,74 6, L L m L,46,9888 5
36 Método de Gss Exemplo 7: Obtêm-se seginte mtriz mplid: [AB],5 5,4,8, 4,74,46 6,,9888 6
37 Método de Gss Exemplo 7: O qe termin com tringlção:,5x 5,4 x, x x,8 x 4,74 x 6, x x,46 x,9888 7
38 Método de Gss Exemplo 7: Com solção: x = -,9888/,46=-,98 x =[ -6, - (-4,74)(-,9)]/(-,8) =,7 x = [ - 5,4(,7) -,(-,9)]/,5 =,5 Como seri o lgoritmo pr o método de Gss em psedocódigo? 8
39 Procedimento Gss(A: mtriz [..n,..n] de rel; b: vetor [.. n] de rel) Declre x : vetor [.. n] de rel, m : rel; Início Pr k = té n - fç Pr i = k+ té n fç m = A[i, k]/a[k, k]; A[i, k] = ; Pr j = k + té n fç A[i, j] = A[i, j] - m * A[k, j]; Fim Pr b[i] = b[i] - m * b[k]; Fim Pr Fim Pr x = resolvertringsperior(a, b); Retorne x; Fim; Fim Procedimento 9
40 Método do Pivotemento Prcil Semelhnte o método de Gss; Minimiz mplificção de erros de rredondmento drnte s eliminções; Consiste em escolher o elemento de mior módlo em cd coln pr ser o pivô. 4
41 Método do Pivotemento Prcil Exemplo 8: Resolver o sistem com precisão de 4 css decimis,5x 4,x,7x 5,4x,x 5,7x,x 4,5x 7,8x,7 8,9 4
42 Método do Pivotemento Prcil Exemplo 8: Mtriz mentd originl deve ser jstd:,5 4,,7 5,4, 5,7, 4,5 7,8,7 8,9 4,,5,7, 5,4 5,7 4,5, 7,8,7 8,9 4
43 Método do Pivotemento Prcil Exemplo 8: Sistem inlterdo, elemento pivô 4,. Encontrr s novs linhs: L L m L [,5 5,4, ] (,5/4,) [4,, 4,5,7] L L L m L [,7 5,7 7,8 8,9] (,7/4,) [4,, 4,5,7] L [ 4,5786,699 5,84] [ 4,4 4,97,786] 4
44 Método do Pivotemento Prcil Exemplo 8: A mtriz mplid fic d form: 4,, 4,5786 4,4 4,5,699 4,97,7 5,84,786 Como o elemento 4,5786 já é o pivô d ª coln, tem-se: L L m L (4,4/4,5786) L [,46,9886] [ 4,4 4,97,786] [ 4,5786,699 5,84] 44
45 Método do Pivotemento Prcil Exemplo 8: A mtriz mplid fic n form: 4,, 4,5786 4,5,699,46,7 5,84 -,
46 Método do Pivotemento Prcil Exemplo 8: A solção do sistem tringlr qe reslto desss operções é: x = -,9886/,46 = -,99 x = [5,84-,699(-,99)]/(4,5786) =,7 x = [,7-,(,7)- 4,5(-,99)]/4, =,5 46
47 Método do Pivotemento Prcil Exemplo 7: Exemplo 8 (com pivotemento): x = -,98 x = -,99 x =,7 x =,7 x =,5 x =,5 Solção encontrd com Softwre (Mtlb): x = -, x =, x =, Como seri o lgoritmo pr o método de Gss em psedocódigo? 47
48 Procedimento GssPivoPrcil(A: mtriz [..n,..n] de rel; b: vetor [.. n] de rel) Declre x : vetor [.. n] de rel; m : rel; k, i, j: inteiro; Início Pr k = té n - fç j = k; Pr i = k + té n fç Se bs(a[j, k]) < bs(a[i, k]) então Fim Pr j = i; Fim Se Fim Pr Se j <> k então Troc(A, j, k); Fim Se Pr i = k+ té n fç Fim Pr m = A[i, k]/a[k, k]; A[i, k] = ; Pr j = k + té n fç x = resolvertringsperior(a, b); Retorne x; A[i, j] = A[j, j] - m * A[k, j]; Fim Pr b[i] = b[i] - m * b[k]; Fim; Fim Procedimento 48
49 Método de Jordn Consiste em efetr operções sobre s eqções do sistem, com finlidde de obter m sistem digonl eqivlente; Um sistem digonl é qele em qe os elementos ij d mtriz coeficiente [A] são igis zero, pr i j, i, j =,,...,n. 49
50 5 Método de Jordn Sistem digonl eqivlente: nn [A]
51 5 Método de Jordn Exemplo 9: A prtir do sistem: Com mtriz mentd: 4 x x x x x 5x x 5x x Ab
52 Método de Jordn Exemplo 9: L L L L Sbstitindo linh por: L m L Sbstitindo linh por : 5 (/5) 5 4,6,4,6, m /5, L m L, 4 (/5) 5,,8,, m /5,4 5
53 Método de Jordn Exemplo 9: A mtriz mplid reslt em: Ab 5 4,6,4,6,,8, L L L Sbstitindo linh por: m L,,8, (,/4,6) 4,6,4,6,69,9, m,/4,6,478 5
54 Método de Jordn Exemplo 9: A mtriz mplid reslt em: Ab 5 4,6,4,69,6,9 Sbstitindo linh por L L (,4/,69) L m 4,6 L 4,6,69,,4,9,6 54
55 Método de Jordn Exemplo 9: Mtriz mplid reslt em: Ab 5 4,6,,69,9 Sbstitindo linh por L L 5 (/4,6) 4,6 5,57, m /4,6,, 55
56 Método de Jordn Exemplo 9: Sbstitindo linh por: L L 5 (/.69),57,69,9 5,779 m /,69 A mtriz mplid fic d seginte form: Ab 5 4,6.69,779,,9 56
57 Método de Jordn Exemplo 9: E s solções são: x =-,556, x = -,85, x =4,78 57
58 Decomposição em LU O objetivo é ftorr mtriz dos coeficientes A em m prodto de ds mtrizes L e U. Sej: LU l l l n l l n l n n n n nn 58
59 59 Decomposição em LU E mtriz coeficiente A: Tem-se, então: nn n n n n n A nn n n n n n n nn n n n n n l l l l l l [LU] A
60 Decomposição em LU Pr se obter os elementos d mtriz L e d mtriz U, deve-se clclr os elementos ds linhs de U e os elementos d colns de L como sege. 6
61 Decomposição em LU ª linh de U: Fze-se o prodto d ª linh de L por tods s colns de U e igl com todos os elementos d ª linh de A, ssim: j n j, j n n,,...,n. n,,, 6
62 Decomposição em LU ª coln de L: Fz-se o prodto de tods s linhs de L, (d ª té nª), pel ª coln de U e igl com os elementos d ª coln de A, (bixo d digonl principl), obtendo, l l l l l l l l l l l l,l,,...,n. l,,, 6
63 Decomposição em LU ª linh de U: Fz-se o prodto d ª linh de L por tods s colns de U, (d ª té nª), e iglndo com os elementos d ª linh de A, (d digonl principl em dinte), obtêm-se, l l l j n j n l n j, j n,...,n. n l l l n,,, 6
64 Decomposição em LU ª coln de L: Fz-se o prodto de tods s linhs de L (d ª té nª) pel ª coln de U e igl com os elementos d ª coln de A, (bixo d digonl principl), obtendo, l l l l 4 l l l l l l l l 4 l,l l 4 l l l l 4,...,n. l 4 l l l l 4,,, 64
65 Decomposição em LU Temos seginte fórml gerl: l lj lj ( lj lj l k l l lk lk kj kj, )/ jj, l l j, j. 65
66 Decomposição em LU Resmo de Pssos: Sej m sistem Ax = b de ordem n, onde A stisfz s condições d ftorção LU. Então, o sistem Ax = b pode ser escrito como: LUx = b 66
67 Decomposição em LU Resmo dos Pssos: Fzendo Ux = y, eqção cim redzse Ly = b. Resolvendo o sistem tringlr inferior Ly = b, obtém-se o vetor y. 67
68 Decomposição em LU Resmo dos Pssos: Sbstitição do vlor de y no sistem Ux = y Obtenção de m sistem tringlr sperior cj solção é o vetor x procrdo; Aplicção d ftorção LU n resolção de sistems lineres Necessidde de solção de dois sistems tringlres 68
69 69 Erros - Avlição de Erros No sistem Ax = b, no ql: o erro d solção é x x. n n nn n n n n b b b b x x x x [A]
70 Erros - Avlição de Erros Procedimento de Determinção do Erro Determinr: Ax = b 7
71 Erros Resído Procedimento de Determinção do Erro Fzer: Resído = b b Resído = b b = Ax - Ax = A(x x ) = Aerro 7
72 Erros Resído Verific-se qe: O resído não é o erro, pens m estimtiv do mesmo; Qnto menor for o resído, menor será o erro. 7
73 Erros Resído Exemplo : Refinr solção do sistem:,5x 5,4x,x 4,x,7x,x 5,7x 4,5x 7,8x Cj solção encontrd trvés pelo método de Gss, tilizndo solção retrotiv é: x () [,5,7 8,9,7 -,98] 7
74 Erros Resído Exemplo : O resído clcldo é: r () b Ax ()..6. Vê-se pelo resído qe precisão lcnçd não foi stisftóri. O vetor x () é chmdo de vetor solção. 74
75 Erros Resído Exemplo : Com o intito de melhorr solção, consider-se m novo vetor x () chmdo de vetor solção melhordo. 75
76 Erros Resído Exemplo : De form qe : x () = x () + δ (), onde δ () é o vetor de correção. Assim: Ax A(x Ax A A () () () () () b A b r () () ) b b () Ax () 76
77 Erros Resído Exemplo : Clclr o vetor de correção:,5 4,,7 5,4, 5,7, 4,5 7,8 δ,7. δ 8,9 δ,,6, 77
78 Erros Resído Exemplo : A solção é: () δ,,, 78
79 Erros Resído Exemplo : Dest form, solção melhord será: x () x () δ (),5,7,9 79
80 Erros Resído Exemplo : Cjo novo resído é: r () b Ax (),,, 8
81 Erros Resído Exemplo : Em exemplos onde o resído ind não sej stisfeito pode-se tilizr o mesmo procedimento: x () =x () +δ () Assim, o vetor correção δ (), será clcldo por A δ () =r (). 8
82 Erros Resído Exemplo : Ach-se ssim, sempre m solção melhord e com resído tendendo zero. 8
83 Sistems Lineres - Bibliogrfi Rggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. d R. Cálclo Nmérico: Aspectos teóricos e comptcionis. MAKRON Books, 996, ª ed. Asno, C. H. & Colli, E. Cálclo Nmérico: Fndmentos e Aplicções. Deprtmento de Mtemátic Aplicd IME/USP, 7. Snches, I. J. & Frln, D. C. Métodos Nméricos. DI/UFPR, 6. Plino, C. D. & Sores, C. Erros e Propgção de Erros, Nots de l, SE/ DM/ IST [Online] e 4-5/PE_erros.pdf [Último cesso 7 de Jnho de 7]. 8
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