Matemática (e geometria) para CG
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1 Licencitur em Engenhri Informátic e de Computdores Computção Gráfic Mtemátic (e geometri) pr CG 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL Edwrd Angel, Cp. 3
2 Questão 1, exme de 06/06/11 [1.0v] Explique, no contexto d computção gráfic interctiv, o que é um frme e como est se relcion com o desempenho de um sistem gráfico. Frme: imgem estátic gerd no finl do pipeline contêm vist ser representd no dispositivo de visulizção Animção:? crid trvés d presentção em sequênci rápid deste frmes. tão mis fluid qunto mis frmes se conseguirem presentr por unidde de tempo. Pr se medir o desempenho de um sistem gráfico us-se o número de frmes por segundo (fps) Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
3 Licencitur em Engenhri Informátic e de Computdores Computção Gráfic Mtemátic (e geometri) pr CG 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL Edwrd Angel, Cp. 3
4 Nots As definições mtemátics qui presentds são descrits n perspectiv de CG Vmos evitr definições genérics demsido formis Trlhmos no espço tridimensionl (3D) Ms miori do que qui presentmos é válido pr espços n-dmensionis 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
5 LEIC CG Mtemátic pr CG Esclres, Pontos e Vectores 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
6 Ojectos Geométricos Linhs Polígonos Poliedros 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
7 Ojectos Geométricos Ojectoscomplexos podem ser definidos prtir de um conjunto limitdo de ojectos mis simples 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
8 Ojectos geométricos Ojectos e sus relções podem ser descritos usndo Esclres Pontos p = [ p p p ] T x y z Vectores T = [ d d d ] T x y z 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
9 Esclres Considermos esclres os números reis Operções sore esclres: Adição Multiplicção Proprieddes dests operções Comuttividde Associtividde Distriutividde Identidde Esclr D dição (0) D multiplicção (1) Inversos Esclr D dição (-α) D multiplicção (α -1 ), Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
10 Vectores no Espço Euclideno Espço Euclideno contém esclres e vectores Vectores têm s seguintes operções (neste espço) Som de vectores Multiplicção de esclr por vector Produto interno Produto externo Não se pode somr um esclr um vector! Não se multiplicm vectores (só mtrizes) 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
11 Vectores Conhecimentos Básicos Vector descreve um comprimento e um direcção 3 = = 2 2 [ 3 ] T Não esquecer: Vector unitário é um vector de comprimento Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
12 Vectores Conhecimentos Básicos = 1 1 Pergunt: Vector é unitário? 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
13 Vectores Conhecimentos Básicos = x y r 2 2 Comprimento = do + vector? x y 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
14 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL Vectores Conhecimentos Básicos = = + z z y y x x z y x z y x
15 Vectores Conhecimentos Básicos k k esclr k x y z = k k k x y z 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
16 Vectores Conhecimentos Básicos k esclr k k< 0 k x y z = k k k x y z 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
17 Produto Interno (dot product) φ = cosφ Ou melhor: = x x + y y 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
18 Produto externo 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
19 Produto Externo 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL = x y y x z x x z y z z y sinφ =
20 Produto Externo 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL = z y x z y x z y x det sinφ =
21 Produto Externo Regr d mão direit 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
22 Produto Externo Regr d mão esquerd 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
23 Atenção! É produto interno de dois vectores! Não é multiplicção de vectores! É produto externo de dois vectores! Não é multiplicção de vectores! Se d for esclr, isto não existe! 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
24 LEIC CG Mtemátic pr CG Espço Crtesino 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
25 Bse Ortonormd Mnipulção de sistems de coordends é um ds trefs se de computção gráfic Sistems de coordends são ses ortonormds Bse ortonormd em 3D Formd por três vectores unitários ortogonis entre si u = v = w = 1 u v = v w = u w = 0 w = u v 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
26 Espço Crtesino 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
27 Bse Ortonormd Crtesin 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
28 Bse Ortonormd Crtesin Existe um origem implícit A loclizção O e os vectores x, y e z não são explicitmente representdos 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
29 Plno Superfície idimensionl plnr Definido por Três pontos Dois vectores Dois vectores no plno Um vector no plno e outro norml o plno Um ponto e um vector norml 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
30 Polígono Figur geométric definid trvés de list de vértices ligdos entre si por segmentos de linh 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
31 Polígonos Regulres Polígonos convexos com ldos iguis 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
32 Sólido Definição forml Figur tridimensionl que represent um porção do espço limitd pels sus superfícies Kern nd Blnd, Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
33 Sólidos Regulres Figurs geométrics: fces são definids por polígonos regulres idênticos mesmo número de fces convergir em cd vértice Tetrtedro Cuo Octedro Dodecedro 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
34 LEIC CG Enqudrmento e Conceitos Fundmentis Trigonometri 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
35 Trigonometri Conhecimentos ásicos 180 grus = rdinos π π rdinos = grus 180 φ 2π φ 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
36 Trigonometri Conhecimentos ásicos θ = α + β α = θ β β = θ α θ β α 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
37 Trigonometri Conhecimentos ásicos o h φ sin φ =? o cos φ = tn φ =?? o h h sin cos ( φ ) =? sin( ( φ ) =? cos( φ ) φ ) 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
38 LEIC CG Enqudrmento e Conceitos Fundmentis Mtrizes 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
39 Mtrizes Operções mtrizes intensmente usds em CG Revejm com tenção est mtéri (Álger Liner) Prtiquem multiplicção de mtrizes 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
40 Multiplicção de Mtrizes!!!!!!!!!!!! 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
41 Multiplicção de Mtrizes Não é comuttiv " É ssocitiv # # # 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL
42 Multiplicção de Mtrizes 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL = = O M M L K O M M L K O M M L K 2,2 2,1 1,2 1,1 2,2 2,1 1,2 1,1 2,2 2,1 1,2 1,1 c c c c AB = = n r j r r i j i c 1,,,
43 Multiplicção de Mtrizes 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL? =
44 Multiplicção de Mtrizes 2014 Corpo docente de Computção Gráfic / CG&M / DEI / IST / UTL? =
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