Modelos de Computação -Folha de trabalho n. 2

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1 Modelos de Computção -Folh de trlho n. 2 Not: Os exercícios origtórios mrcdos de A H constituem os prolems que devem ser resolvidos individulmente. A resolução em ppel deverá ser depositd n cix d disciplin té o di (pr P-P4) e (pr P5-P9) às 3h3 e presentd n ul prátic respectiv. Pr ser quis dos exercícios que deverás presentr, consultr rvr/mc3/dist.pdf. Autómtos Finitos 2. Consider o utómto finito representdo n figur. s s s 2, () Constrói um descrição forml pr este utómto como um tuplo A = (Q, Σ, δ, q, F ); () Indic quis ds seguintes plvrs são ceites por este utómto:,, e ; (c) Diz (em português) qul propriedde que um plvr de {, } têm de ter pr ser ceite por este utómto. 2.2 Consider os seguintes utómtos finitos do lfeto Σ = {, }, com s funções de trnsição dds por: A = ({s, s }, Σ, δ A, s, {s }) B = ({s, s, s 2 }, Σ, δ B, s, {s, s 2 }) δ A (s, ) = s δ A (s, ) = s δ A (s, ) = s δ A (s, ) = s δ B (s, ) = s δ B (s, ) = s 2 δ B (s, ) = s 2 δ B (s 2, ) = s () Represent cd um dos utómtos por um grfo. () Diz quis ds seguintes plvrs são ceites por lgum dos utómtos: ɛ (c) Diz quis s lingugens reconhecids pelos utómtos. 2.3 Descreve um utómto finito que reconheç lingugem ds plvrs de {, } que... () não têm nenhum ; () são diferentes de ; (c) contêm pelo menos lgum e lgum ; (d) têm comprimento não inferior 2; (e) não contêm como su-plvr; (f) terminm em ; (g) terminm em ms não em ; (h) têm pelo menos dois consecutivos; Deprtmento de Ciênci de Computdores d FCUP 23 24

2 Modelos de Computção -Folh de trlho n. 2 (i) terminm em e têm pelo menos dois consecutivos; (j) têm um número ímpr de ou um número pr de ; (k) têm no máximo um pr de e um pr de consecutivos; (l) são representção inári de inteiros positivos múltiplos de 4; (m) são representção inári de inteiros positivos múltiplos de 2 ms não de 3; (n) contêm (lgures) pelo menos três seguidos, ms não contêm dois ou mis seguidos (o) se têm lgum pr de djcentes, este prece ntes de qulquer pr de djcentes; (p) não terminm em nem em ; (q) têm igul número de e e nenhum seu prefixo tem um número de que excede em dois o número de, nem um número de que excede em dois o número de 2.4 Sej A = (Σ, S, δ, s, F ) um utómto finito determinístico e s um estdo de A, tl que δ(s, ) = s, Σ. Mostr por indução no comprimento de x, que x Σ, δ(s, x) = s. 2.5 Dd um lingugem L, sej L R = {x R x L}. Mostr que se L for ceite por um utómto finito, então L R tmém o é. 2.6 Descreve um utómto finito determinístico que reconheç lingugem A ds plvrs de lfeto {, } em que não ocorrem sequêncis pres de s imeditmente à esquerd de sequêncis ímpres de s. 2.7 Sej B lingugem ds plvrs de lfeto {, } que representm em inário números múltiplos de 5. () Descreve um utómto finito determinístico que reconheç est lingugem. () Pr o utómto encontrdo, prov que o mesmo reconhece lingugem B. Autómtos não-determinísticos 2.8 Consider os utómtos finitos não-determinísticos representdos pelos seguintes digrms: A : B : Diz quis ds seguintes plvrs são ceites por A ou B: () () (c) (d) (e) 2.9 Constrói um utómto finito não-determinístico que reconheç q lingugem do lfeto Σ = {, } ds plvrs com um n terceir posição contr do fim. 2. Consider os seguintes utómtos finitos não-determinísticos representdos pelo seguinte digrm: Deprtmento de Ciênci de Computdores d FCUP 23 24

3 Modelos de Computção -Folh de trlho n. 2 A :, 2 Converte, pel construção dos suconjuntos, o utómto num utómto finito determinístico. 2. Sej A o utómto finito de lfeto {,, c} representdo pelo digrm seguinte.,,c () Qul é lingugem reconhecid pelo utómto A? Porquê? () Usndo o método d construção de suconjuntos, determin um utómto determinístico que sej equivlente A. (c) Record que se um ddo utómto determinístico (S, Σ, δ, s, F ) em que δ é um função totl (não encrv), reconhece L, então o utómto (S, Σ, δ, s, S \ F ) reconhece Σ \ L (isto é, lingugem complementr de L). Por que é que lingugem reconhecid pelo utómto seguinte não é complementr d lingugem reconhecid por A?,,c Resolução de exercícios escolhidos 2.6 () É prentemente demsido complicdo tentr encontrr directmente um utómto finito determinístico que reconheç est lingugem... e portnto em vez disso, pssmos rpidmente à forç rut... primeiro encontrmos um utómto finito não determinístico que reconheç lingugem complementr dest: ou sej lingugem formd pels plvrs que contêm um sequênci pr de s imeditmente à esquerd de um sequênci ímpr de s. Um utómto não determinístico pr est lingugem é: ɛ ɛ, c d e f g h i, Comecemos por encontrr um utómto finito determinístico completo equivlente este: Deprtmento de Ciênci de Computdores d FCUP 23 24

4 Modelos de Computção -Folh de trlho n. 2 {,, c} (A) {, d} (B) {, c} (C) {, d} (B) {, e} (D) {, c} (C) {, c} (C) {, d} (B) {, c} (C) {, e} (D) {, f} (E) {, c, g} (F ) {, f} (E) {, e} (D) {, c} (C) {, c, g} (F ) {, d, i} (G) {, c, h} (H) {, d, i} (G) {, e, i} (I) {, c, i} (J) {, c, h} (H) {, d} (B) {, c, g} (F ) {, e, i} (I) {, f, i} (K) {, c, g, i} (L) {, c, i} (J) {, d, i} (G) {, c, i} (J) {, f, i} (K) {, e, i} (I) {, c, i} (J) {, c, g, i} (L) {, d, i} (G) {, c, h, i} (M) {, c, h, i} (M) {, d, i} (G) {, c, g, i} (M) Como este utómto é completo, o utómto que reconhece lingugem complementr (o nosso ojectivo!) é: A C B E D H F L I M G K J Este utómto é equivlente este outro, muito mis simples : α β γ δ ɛ,...o que mostr que tlvez pensr um pouco ntes de tcr um prolem, compense () Um utómto finito determinístico que reconhece est lingugem é: s α s s s 2 s 3 s 4 () Pr provr que este utómto reconhece lingugem dd vmos provr que pr um plvr w que represente um número d form k5 + i (i {,, 2, 3, 4}) se tem δ(s α, w) = s i. A demonstrção segue por indução no comprimento de w. Se w = então ou w = e δ(s α, ) = s, ou w = e δ(s α, ) = s. Que se otém minimizndo o nterior. Deprtmento de Ciênci de Computdores d FCUP 23 24

5 Modelos de Computção -Folh de trlho n. 2 Suponhmos que propriedde se verific pr tods s plvrs de comprimento igul n e sej w tl que w = n +, podemos escrever w = wx em que w = n e x {, } e portnto δ(s α, w ) = δ( δ(s α, w), x). Por hipótese de indução w i (mod 5) δ(s α, w) = s i. Temos portnto que nlisr 5 csos: i =, então δ(s α, w) = s δ(s, ) = s. Como w = 2w, (w (mod 5)) (2w (mod 5)). δ(s, ) = s. Como w = 2w +, (w (mod 5)) ((2w + ) (mod 5)). i =, então δ(s α, w) = s δ(s, ) = s 2 e (w (mod 5)) (2w 2 (mod 5)). δ(s, ) = s 3 e (w (mod 5)) ((2w + ) 3 (mod 5)). i = 2, então δ(s α, w) = s 2 δ(s 2, ) = s 4 e (w 2 (mod 5)) (2w 4 (mod 5)). δ(s 2, ) = s e (w 2 (mod 5)) ((2w + ) (mod 5)). i = 3, então δ(s α, w) = s 3 δ(s 3, ) = s e (w 3 (mod 5)) (2w (mod 5)). δ(s 3, ) = s 2 e (w 3 (mod 5)) ((2w + ) 2 (mod 5)). i = 4, então δ(s α, w) = s 4 δ(s 4, ) = s 3 e (w 4 (mod 5)) (2w 3 (mod 5)). δ(s 4, ) = s 4 e (w 4 (mod 5)) ((2w + ) 4 (mod 5)). A propriedde verific-se pr um plvr de comprimento n + e portnto temos mostrdo que propriedde é universl. Fic ssim mostrdo, em prticulr, que s plvrs w que são reconhecids pelo utómto, quels que δ(s α, w) = s, são exctmente s que w (mod 5). Prolems origtórios A Sej A lingugem ds plvrs de lfeto {, } que depois de cd ocorrênci de contêm pelo menos um ocorrênci de. Por exemplo, e pertencem A, ms e não pertencem. () Descreve um utómto finito determinístico (que não encrve) que reconheç A. () Pr cd um dos estdos do utómto descreve informlmente lingugem correspondente. B Sej B lingugem ds plvrs de lfeto {, } que não terminm em nem em. Por exemplo, e pertencem B, ms e não pertencem. () Descreve um utómto finito determinístico (que não encrve) que reconheç B. () Pr cd um dos estdos do utómto descreve informlmente lingugem correspondente. C Sej C lingugem ds plvrs de lfeto {c, d} que têm no máximo um ocorrênci d su-plvr ccc e que não terminm em dc. Por exemplo dddccdcdccc, cc e dddccdcccddd pertencem C, ms dccccd e cccccdcc não pertencem. () Descreve um utómto finito determinístico (que não encrve) que reconheç C. () Pr cd um dos estdos do utómto descreve informlmente lingugem correspondente. D Sej D lingugem ds plvrs de lfeto {, } que não começm por e têm no máximo um ocorrênci d su-plvr. Por exemplo, e pertencem D, ms e não pertencem. Deprtmento de Ciênci de Computdores d FCUP 23 24

6 Modelos de Computção -Folh de trlho n. 2 () Descreve um utómto finito determinístico (que não encrve) que reconheç D. () Pr cd um dos estdos do utómto descreve informlmente lingugem correspondente. E Consider o seguinte utómto finito não-determinístico E definido no lfeto {, }. s s s 2 () Descreve L(E) e indic um plvr que pertenç L(E) e outr que não pertenç. () Usndo o método de construção de suconjuntos, determin um utómto finito determinístico equivlente E. Indic clrmente que suconjuntos de estdos de E corresponde cd estdo do novo utómto. F Sej F lingugem ds plvrs de lfeto {} d form k, onde k é múltiplo de 2 ou de 3. () Constrói um utómto finito não-determinístico que reconheç F. () Usndo o método de construção de suconjuntos, determin um utómto finito determinístico equivlente. v G Consider o seguinte utómto finito não determinístico E definido no lfeto {c, d}. s c c s d c s 2 d () Descreve L(G) e indic um plvr que pertenç L(G) e outr que não pertenç. () Usndo o método de construção de suconjuntos, determin um utómto finito determinístico equivlente G. Indic clrmente que suconjuntos de estdos de G corresponde cd estdo do novo utómto. H Ddo o lfeto {,, c}, consider lingugem H = {, c, c}. () Descreve um utómto finito não determinístico que reconheç H. () Converte o utómto d line nterior, num utómto determinístico completo (i.e que não encrve) que reconheç mesm lingugem. Deprtmento de Ciênci de Computdores d FCUP 23 24