EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE TEORIA DOS GRAFOS

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1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE TEORIA DOS GRAFOS.) Considere tbel de trefs seguir pr construção de um cs de mdeir: TAREFAS PRÉ-REQUISITOS DIAS. Limpez do terreno Nenhum. Produção e colocção d fundção. Produção d estrutur 7. Colocção do telhdo. Colocção ds tábus externs. Instlção do encnmento e fição e 7. Colocção ds jnels e ports 8. Instlção ds jnels e ports 9. Pintur do interior 7 e 8 ) Constru o digrm PERT; b) Determine o tempo mínimo pr construir cs; c) Forneç o cminho crítico. ) () () () () (7) () 8() 7() 9() b) TAREFA : dis TAREFA : + = 7 dis TAREFA : = dis TAREFA : + = 0 dis TAREFA : + = 8 dis TAREFA : mx (TAREFA, TAREFA ) + TAREFA = 0 + = dis TAREFA 7: + = 9 dis TAREFA 8: + = dis TAREFA 9: mx (TAREFA 7, TAREFA 8) + TAREFA 9 = + = dis. c) Percorrendo o digrm PERT em ordem invers e selecionndo em cd ponto com mis de um pré-requisito o nó que contribui com o mior vlor, result: 8 9

2 .) Considere o grfo: 7 7 e respond s seguintes pergunts: ) O grfo é simples? b) O grfo é completo? c) O grfo é conexo? d) É possível encontrr dois cminhos do nó pr o nó? e) É possível encontrr um ciclo? f) É possível encontrr um rco cuj remoção trnsform o grfo em um grfo cíclico? g) É possível encontrr um rco cuj remoção trnsform o grfo em um grfo não-conexo? ) Sim. b) Não. Os nós e 7, por exemplo, não são djcentes. c) Sim. d) Sim: º cminho: e º cminho:. e) Sim:. f) Sim:. g) Sim: 7, por exemplo..) Esboce um grfo com s seguintes crcterístics: ) simples com nós, cd um com gru ; b) nós e ciclos de comprimento,, e ; c) não completo com nós, cd um com gru. ) b) c)

3 .) Observe o seguinte grfo direciondo: e respond s seguintes pergunts: ) Quis são os nós cessíveis prtir do nó? b) Qul o cminho mis curto do nó pr o nó? c) Qul o cminho de comprimento 8 do nó pr o nó? ) Os nós:,, e. b) 8. c)..) Observe o grfo direciondo bixo: 7 e respond s seguintes pergunts: ) Existe um cminho de comprimento do nó pr o nó? b) É possível cessr o nó de lgum outro nó? c) Quis são os ciclos deste grfo? ) Sim: b) Não. c) O lço e o cminho:.

4 .) Qul dos grfos não é isomorfo os outros e por quê? ( ) ( b ) ( c ) O grfo ( b ) pois não tem nenhum nó de gru zero. 7.) Qul dos grfos não é isomorfo os outros e por quê? ( ) ( b) ( c ) ( d ) O grfo ( c ) pois embor: º) Todos tenhm nós e rcos; º) Nenhum deles tenh rcos prlelos ou lços; º) Todos tenhm nós de gru e nós de gru ; º) Todos sejm conexos; º) Todos tenhm ciclos; no grfo (c) os nós de gru não são djcentes. Nos exercícios seguir ( 8, 9 e 0 ) verifique se os grfos são isomorfos. Se forem, forneç bijeção (no cso de grfos simples) ou bijeções que estbelecem o isomorfismo. Se não forem, expli- plique por quê. 8.) ( ) ( b ) e b d c

5 Inicilmente notemos que os grfos: º) tem nós e rcos; º) não tem rcos prlelos ou lços; º) tem nós de gru ; º) são conexos; º) tem pens ciclo. Como nenhum outro fto chm noss tenção e como os grfos são simples vmos tentr en contrr bijeção que ger o isomorfismo. Observndo que no grfo () o nó é djcente os nós e e no grfo (b) o nó é djcente os nós b e e, segue o isomorfismo: f : d b e c Observndo que, nós djcentes no grfo () correspondem por f nós djcentes no grfo (b) segue que os grfos são isomorfos. 9.) b c f e ( ) ( b) d Inicilmente notemos que os grfos: º) tem nós e rcos; º) não tem rcos prlelos ou lços; º) são conexos; º) tem nós de gru. Como verificção do número de ciclos prece ser trblhos e nd mis chm noss tenção vmos postr no isomorfismo. Observndo que no grfo () o nó é djcente os nós,, e é não é djcente o nó en qunto no grfo (b) o nó é djcente os nós b, d, e e f e não é djcente o nó c segue bijeção que grnte o isomorfismo: f :, b, d, c, e, f 0.) e b ( ) d c ( b ) f

6 Observndo que: º) O grfo () tem rcos e o grfo (b) tem rcos; º) O grfo (b) tem um nó ( f ) com gru e o grfo ( ) não tem. segue que os grfos não são isomorfos..) Sbendo que os grfos bixo são isomorfos determine um pr de bijeções que grnte o isomorfismo. e e b e e e c e 7 e 7 ( ) d ( b ) As bijeções são: ª) Entre nós: f :, b, c, d ª) Entre rcos: f : e, e 7, e, e, e, e, 7 e.) Constru todos os grfos não-isomorfos com nós.

7 .) Apresentmos bixo um conjuntos de grfos não-isomorfos com nós que chmremos de G: () (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Verifique se os grfos bixo pertencem est coleção ou se são isomorfos lgum dos grfos desenhdos cim:.) Não é isomorfo nenhum dos grfos cim pois possui rcos e nenhum nó de gru zero, como o grfo (c). Pertence, portnto, o o conjunto G.) Não pertence o conjunto G pois é isomorfo o grfo (d)..) N ão é isomorfo nenhum grfo de G pois pos sui rcos e nó de gru 7

8 .) Não é isomorfo nenhum grfo de G pois pos sui rcos e nenhum nó de gru zero. Pertence portnto G. Observe, entretnto, que este grfo é isomorfo o grfo do exercício., ssim pens um de les pode pertencer G..) Não é isomorfo nenhum grfo de G pois tem rcos e um nó de gru. Portnto pertence G..) Não é isomorfo nenhum grfo de G pois tem rcos e um nó de gru. Observe, entretnto, que este grfo é isomorfo o grfo do exercício., ssim pens um de les pode pertencer G..7) Não pertence o conjunto G, pois é isomorfo o grfo (h).8) Não é isomorfo nenhum grfo de G pois tem rcos e nó de gru. Observe, entretnto, que este grfo é isomorfo o grfo do exercício., ssim pens um de les pode pertencer G. 8