Aula 5: Autômatos Finitos Remoção de Não-Determinismo

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1 Teori d Computção Primeiro Semestre, 25 DAINF-UTFPR Aul 5: Autômtos Finitos 3 Prof. Rirdo Dutr d Silv 5. Remoção de Não-Determinismo As lsses de utômtos definids nteriormente são tods equivlentes. Vmos mostrr um lgoritmo que onverte um λ-nfa em um DFA. Teorem 5.. Pr todo λ-nfa M existe um DFA M equivlente. Demonstrção. Sejm o λ-nfa M = (Q, Σ, δ, q, F ) e o DFA M = (Q, Σ, δ, q, F ).. Q = P(Q). 2. q = λ-feho(q ). 3. F = {S Q S ontém um estdo finl de F }. 4. δ (S, ), pr todo Σ e S Q, é ddo por () Sej S = {p, p 2,..., p m }. m () {r, r 2,..., r n } = δ(p i, ) i= n () δ (S, ) = λ-feho(r j ). j= Note que prov de equivlêni entre λ-nfa s DFA s present muito ds ideis que usmos pr definir o proessmento de um string em um λ-nfa. Os estdos Q do DFA podem ser vistos omo o onjunto dos estdos lnçdo em um determindo ponto n árvore de proessmento. Não é neessário rir todos os suonjuntos de Q no psso, podemos pen rir os estdos lnçáveis. Exemplo 5. Ddo o utômto M = ({q, q, q 2, q 3 }, {, }, δ, q, {q 3 }), om função de trnsição P(Q) é o onjunto de suonjuntos de Q. Conjunto potêni.

2 2 Aul 5: Autômtos Finitos 3 δ λ q {q, q } {q } q {q 2 } {q 2 } q 2 {q 3 } q 3 {q 3 } {q 3 } Suponh Q iniilmente vzio. Iniimos o DFA om o estdo que é o feho lmd de q, que são os estdos. O onjunto de estdos de Q pss ser Q = Q = {}. O digrm de estdos ixo mostr o efeito do que foi feito. strt Um estdo de um DFA preis ter um trnsição pr d símolo do lfeto. A prtir de, lendo um, otemos δ(q, ) δ(q, ) δ(q 2, ) = {q 2 } = {q, q 2 }. Então, ˆδ(, ) = λ-feho(q ) λ-feho(q 2 ) = {q 2 } =. Ms esse é justmente o estdo iniil, o que signifi que trnsição do estdo iniil lendo um lev pr ele mesmo. O digrm ixo reflete idei. strt A prtir de, lendo um, otemos δ(q, ) δ(q, ) δ(q 2, ) = {q, q } {q 3 } = {q, q, q 3 }. Então, ˆδ(, ) = λ-feho(q ) λ-feho(q ) λ-feho(q 3 ) = {q, q 2 } {q 3 } = {q, q, q 2, q 3 }. Como {q, q, q 2, q 3 } não pertene Q, rimos o estdo (Q = Q {q, q, q 2, q 3 } = {, {q, q, q 2, q 3 }}). strt {q, q, q 2, q 3 } Pr d novo estdo, repetimos o proesso. () S = {q, q, q 2, q 3 }.

3 5.. REMOÇÃO DE NÃO-DETERMINISMO 3 () δ(q, ) δ(q, ) δ(q 2, ) δ(q 3, ) = {q 2 } {q 3 } = {q, q 2, q 3 }. () δ (S, ) = λ-feho(q ) λ-feho(q 2 ) λ-feho(q 3 ) = {q 2 } {q 3 } = {q, q, q 2, q 3 }. O estdo já existe. strt {q, q, q 2, q 3 } () S = {q, q, q 2, q 3 }. () δ(q, ) δ(q, ) δ(q 2, ) δ(q 3, ) = {q, q } {q 3 } {q 3 } = {q, q, q 3 }. () δ (S, ) = λ-feho(q ) λ-feho(q ) λ-feho(q 3 ) = {q, q 2 } {q 3 } = {q, q, q 2, q 3 }. strt {q, q, q 2, q 3 }, Chegmos o finl do proesso rindo M = (Q, Σ, δ, q, F ), onde ˆ Q = {, {q, q, q 2, q 3 }} ˆ Σ = {, } ˆ q =, feho lmd de q. ˆ F = {{q, q, q 2, q 3 }}, estdos que ontém um estdo finl de F.

4 4 Aul 5: Autômtos Finitos 3 ˆ δ δ {q, q, q 2, q 3 } {q, q, q 2, q 3 } {q, q, q 2, q 3 } {q, q, q 2, q 3 } Digrm de estdos. strt {q, q, q 2, q 3 }, Exemplo 5.2 Considere o λ-nfa M = (, Σ = {,, }, δ, q, {q }), om função de trnsição e digrm de estdos δ λ q q {q } q 2 {q 2 } {q } q strt q λ q 2 Os fehos lmd dos estdos são λ-feho(q ) =, λ-feho(q ) = {q } e λ-feho(q 2 ) = {q, q 2 }. Iniimos o DFA M = (Q, Σ = {,, }, δ, q, F ) om o feho lmd de q. Então, Q = {} e q =.

5 5.. REMOÇÃO DE NÃO-DETERMINISMO 5 strt A prtir de q omputmos lendo : S = ; δ(q, ) = ; δ (S, ) = λ-feho(q ) λ-feho(q ) λ-feho(q 2 ) = {q } {q, q 2 } = ; Q = Q. strt Lendo o símolo prtir de q : S = ; δ(q, ) = ; δ (S, ) = λ-feho() = ; Q = Q. O onjunto vzio deve ser rido pr simulr proessmentos que prrim. Como veremos dinte, qundo o estdo do onjunto vzio é lnçdo ele grnte que string será proessd ms não hegrá em um estdo finl. strt O símolo tmém lev o estdo vzio qundo proessdo em q : S = ; δ(q, ) = ; δ (S, ) = λ-feho() = ; Q = Q. strt, Continumos o proesso prtir de outros estdos que ind não possuem trnsições pr todos os símolos do lfeto. Sej S =, temos

6 6 Aul 5: Autômtos Finitos 3. δ(q, ) δ(q, ) δ(q 2, ) = = δ (S, ) = λ-feho(q ) λ-feho(q ) λ-feho(q 2 ) = {q } {q, q 2 } = Q = Q. 2. δ(q, ) δ(q, ) δ(q 2, ) = {q } = {q } δ (S, ) = λ-feho(q ) = {q } Q = Q {q }. 3. δ(q, ) δ(q, ) δ(q 2, ) = {q 2 } = {q 2 } δ (S, ) = λ-feho(q 2 ) = {q, q 2 } Q = Q {q, q 2 }. strt, {q } {q, q 2 } A prtir de S = {q }:. δ(q, ) = δ (S, ) = Q = Q. 2. δ(q, ) = {q } δ (S, ) = λ-feho(q ) = {q } Q = Q {q }. 3. δ(q, ) = δ (S, ) = λ-feho() = Q = Q.

7 5.. REMOÇÃO DE NÃO-DETERMINISMO 7 strt,, {q } {q, q 2 } De S = {q, q 2 }:. δ(q, ) δ(q 2, ) = = δ (S, ) = λ-feho() = Q = Q. 2. δ(q, ) δ(q 2, ) = {q } = {q } δ (S, ) = λ-feho({q }) = {q } Q = Q {q }. 3. δ(q, ) δ(q 2, ) = {q 2 } = {q 2 } δ (S, ) = λ-feho({q 2 }) = {q, q 2 } Q = Q {q, q 2 }. strt,, {q } {q, q 2 }

8 8 Aul 5: Autômtos Finitos 3 O únio estdo que ind não tem tods s trnsições é o estdo do onjunto vzio. Ele só pode ter trnsições pr ele mesmo pois simul um proessmento que não pode ser eito. Logo, pens rimos tods s trnsições pr ele mesmo.,, strt,, {q } {q, q 2 } Os estdos finis são todos queles que ontém o estdo finl F = {q } de M.,, strt,, {q } {q, q 2 } O DFA pr o λ-nfa é M = (Q, Σ, δ,, F ), onde ˆ Q = {,, {q, q 2 },, {q }}; ˆ F = {, {q, q 2 }, {q }};

9 5.. REMOÇÃO DE NÃO-DETERMINISMO 9 ˆ δ δ {q } {q, q 2 } {q, q 2 } {q } {q, q 2 } {q } {q }