Aula 8: Gramáticas Livres de Contexto

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1 Teoria da Computação Primeiro Semestre, 2015 Aula 8: Gramáticas Livres de Contexto DAINF-UTFPR Prof. Ricardo Dutra da Silva Veremos agora maneira de gerar as strings de um tipo específico de linguagem, conhecido como linguagem livre de contexto. As strings serão geradas por regras que formam a chamada gramática livre de contexto. As gramáticas livres de contexto são usadas para definir linguagens de programação bem como os seus compiladores. Os elementos básicos que formam as regras da gramática são os símbolos terminais, formados por elementos de um alfabeto Σ, e os símbolos não-terminais, comumente chamados de variáveis. Definição 8.1. Uma gramática livre de contexto é uma quádrupla (V, Σ, P, S) onde V é um conjunto de variáveis; Σ é o conjunto de símbolos terminais; P é um conjunto de regras que são elementos do conjunto V {V Σ}, sendo, em geral, uma regra (A, w) escrita como A w. S V é uma variável inicial. Exemplo 8.1 A gramática G = ({S, A}, {a, b}, P, S) com o conjunto P de regras S AA A AAA A ba A Ab A a gera strings com um número par de a s. Quando temos diferentes regras para uma mesmo símbolo, como A Ab e A a, podemos simplificar a escrita usando uma barra vertical para separar as regras. Poeríamos escrever o exemplo como A Ab a. Exemplo 8.2 O conjunto P de regras da gramática G = ({S, A}, {a, b}, P, S), do Exemplo 8.1, pode 1

2 2 Aula 8: Gramáticas Livres de Contexto ser simplificada como S AA A AAA ba Ab a. O processo fundamental para a geração de uma string é a aplicação de regras. A aplicação de uma regra A w sobre um string uav {V Σ}, produz a string uwv. Os prefixo u e o sufixo v definem o contexto em que a regra é aplicada. Uma gramática livre de contexto é aquela em que os prefixos e sufixos não definem restrições sobre quando e onde a regra pode ser aplicada. Definição 8.2. Uma string w {V Σ} é derivada de v {V Σ} se existe uma sequência finita de aplicações de regras que transformam v em w: v w 1 w 2... w n = w Essa derivação pode ser representada por v = w. Definição 8.3. Seja G = (V, Σ, P, S) uma gramática livre de contexto e v {V Σ}. O conjunto de strings deriváveis de v é definido como Base: v é derivável de v; Passo: Se u = xay é derivável de v e A w P, então xwy é derivável de v. Exemplo 8.3 Uma derivação da string ababaa na gramática G = ({S, A}, {a, b}, P, S) com o conjunto P de regras S AA A AAA ba Ab a.

3 Aula 8: Gramáticas Livres de Contexto 3 pode ser escrita como S AA aa aba abaaa abaaa ababaa ababaa ababaa A derivação de uma string pode também ser visualizada como uma árvore. Definição 8.4. Seja G = (V, Σ, P, S) uma gramática livre de contexto e S = w uma derivação de G. A árvore de derivação de S = w, pode ser construída da seguinte forma 1. Inicia a árvore com raiz S. 2. Se A x 1 x 2... x n com x i {V Σ} é a regra de derivação aplicada à string uav, então adicione x 1, x 2,..., x n como nós filhos de A na árvore. 3. Se A λ é a regra de derivação aplicada à string uav, então adicione λ como filho de A na árvore Exemplo 8.4 Uma derivação da string ababaa na gramática G = ({S, A}, {a, b}, P, S) com o conjunto P de regras S AA A AAA ba Ab a. pode ser visualizada como

4 4 Aula 8: Gramáticas Livres de Contexto S S AA A A aa aba abaaa a b A A A A abaaa a b A a ababaa ababaa a ababaa Definição 8.5. Seja G = (V, Σ, P, S) uma gramática livre de contexto, a linguagem de G, L(G), é o conjunto {w Σ S = w}. Uma linguagem é livre de contexto se existe uma gramática livre de contexto que a gera. Exemplo 8.5 Seja a gramática G = ({S, B}, {a, b}, P, S) com conjunto P S asa aba B bb b então L(G) = {a n b m a n n > 0, m > 0}. Exemplo 8.6 Dada a linguagem L = {a n b m c m d 2n n 0, m > 0}. A gramática G tal que L(G) = L é dada por G = ({S, B}, {a, b}, P, S) com conjunto P S asdd B B bbc bc. Note que a derivação dada nos Exemplos 8.3 e 8.4 não é única. Podemos derivar uma mesma string fazendo escolhas diferentes para aplicação das regras e para a ordem em que são aplicadas. Exemplo 8.7 Diferentes derivações da string ababaa na gramática G = ({S, A}, {a, b}, P, S) com o

5 Aula 8: Gramáticas Livres de Contexto 5 conjunto P de regras S AA A AAA ba Ab a. S AA S AA S AA S AA aa AAAA Aa aa aba aaaa AAAa aaaa abaaa abaaa AAbAa aaaa abaaa abaaa AAbaa abaaa ababaa ababaa AbAbaa ababaa ababaa ababaa Ababaa ababaa ababaa ababaa ababaa ababaa Definição 8.6. A derivação de uma string w em uma gramática G é uma derivação mais à esquerda se a aplicação de regras, a cada passo, é realizada na primeira variável que aparece da esquerda para a direita. A derivação dada no Exemplo 8.3 é uma derivação mais à esquerda. Definição 8.7. A derivação de uma string w em uma gramática G é ambígua se existe mais de uma derivação mais à esquerda. Uma gramática G é ambígua se alguma string possui uma derivação ambígua. Exemplo 8.8 Seja a gramática G = ({E}, {a, +,, (, )}, P, E) com o conjunto P de regras E E + E E E (E) a. e as seguintes derivações da string a + a a

6 6 Aula 8: Gramáticas Livres de Contexto E E + E a + E a + E E a + a E a + a a S E E E + E E a + E E a + a E a + a a. Como existem duas derivações mais à esquerda diferentes, a gramática é ambígua. A ambiguidade reflete em como as expressões são avaliadas, podendo gerar resultados errados, que não respeitam ordens de precedência. A gramática G = ({E, T, F }, {a, +,, (, )}, P, E) com o conjunto P de regras E E + T T T T F F F (E) a não é ambígua para as mesmas strings de G. Gramáticas não ambíguas são essenciais para a definição de linguagens e para a construção de compiladores. No entanto, existem linguagens inerentemente ambíguas. Definição 8.8. Uma linguagem L é livre de contexto se existe uma gramática livre de contexto que gere L. Às vezes é interessante que a gramática esteja numa forma simplificada. A mais comum é a forma de Chomsky. Definição 8.9. Uma gramática (V, Σ, P, S) livre de contexto está na Forma Normal de Chomsky se as regras estão em uma das formas: A BC A a S λ onde A, B, C V, a Σ e B, C são diferentes de S. Teorema 8.1. Seja L uma linguagem livre de contexto, então existe uma gramática G c na Forma Normal de Chomsky tal que L = L(G c ).

7 Aula 8: Gramáticas Livres de Contexto 7 Demonstração. Como L é uma linguagem livre de contexto, então existe uma gramática livre de contexto G = (V, Σ, P, S) para ela. Uma gramática na Forma Normal de Chomsky pode ser obtida pelos passos abaixo. 1. Eliminação da variável inicial do lado direito das regras. Criamos uma nova variável S 1 que será a nova variável inicial. Portanto, G = (V {S 1 }, Σ, P {S 1 S}, S 1 ). 2. Eliminação de regras lambda. Sejam u, v, w {V Σ}, enquanto houver regras da forma A λ com A S 1 : (a) remova a regra: P = P \ {A λ}; para cada regra: B A faça P = P {B λ}, exceto se a regra B λ já foi eliminada; B uav faça P = P {B uv}; B uavaw faça P = P {B uvaw, B uavw, B uvw}; proceda da mesma maneira para regras com mais de dois A s. 3. Eliminação de regras unitárias. Seja u {V Σ}, enquanto houver regras do tipo A B: (a) remova a regra: P = P \ {A B}; para toda regra B u faça P = P {A u}, exceto se a regra A u é uma regra unitária que já foi eliminada; 4. Eliminação de regras com mais de dois símbolos no lado direito. Sejam x 1, x 2,..., x n símbolos de V Σ, enquanto houver regras da forma A x 1 x 2... x n. (a) adicione uma nova variável B, V = V B; remova a regra A x 1 x 2... x n, P = P \ {A x 1 x 2... x n }; (c) adicione as regras A x 1 B e B x 2... x n, P = P {A x 1 B, B x 2... x n }; 5. Eliminação de regras com dois símbolos que contenham símbolo terminal. Enquanto houver regras do tipo A x 1 x 2 tal que x 1 Σ: (a) adicione uma nova variável B, V = V B; remova a regra A x 1 x 2, P = P \ {A x 1 x 2 }; (c) adicione as regras A Bx 2 e B x 1, P = P {A Bx 2, B x 1 }; Enquanto houver regras do tipo A x 1 x 2 tal que x 2 Σ:

8 8 Aula 8: Gramáticas Livres de Contexto (a) adicione uma nova variável B, V = V B; remova a regra A x 1 x 2, P = P \ {A x 1 x 2 }; (c) adicione as regras A x 1 B e B x 2, P = P {A x 1 B, B x 2 }; Exemplo 8.9 A gramática G = ({A, B}, {0, 1}, P, A) com o conjunto P de regras A BAB B λ λ (8.1) não está na Forma Normal de Chomsky. Os passos a seguir constroem uma gramática com tal forma. 1. Eliminação da variável inicial do lado direito das regras. S A A BAB B λ λ 2. Eliminação de regras lambda. Iteração 1: A λ. (a) S A A BAB B λ

9 Aula 8: Gramáticas Livres de Contexto 9 S A λ A BAB B BB λ Iteração 2: B λ. (a) S A λ A BAB B BB S A λ A BAB B BB BA AB A Note que a regra A λ já foi eliminada na primeira iteração, logo ela não é readicionada. 3. Eliminação de regras unitárias. Iteração 1: S A. (a) S λ A BAB B BB BA AB A

10 10 Aula 8: Gramáticas Livres de Contexto S BAB B BB BA AB λ A BAB B BB BA AB A Note que a regra S A não é adicionada pois ela já foi removida. Iteração 2: A A. (a) S BAB B BB BA AB λ A BAB B BB BA AB S BAB B BB BA AB λ A BAB B BB BA AB A regra A A não é adicionada pois ela já foi removida. As outras regras já existiam. Iteração 3: S B. (a) S BAB BB BA AB λ A BAB B BB BA AB

11 Aula 8: Gramáticas Livres de Contexto 11 S BAB 00 BB BA AB λ A BAB B BB BA AB Iteração 4: A B. (a) S BAB 00 BB BA AB λ A BAB BB BA AB S BAB 00 BB BA AB λ A BAB 00 BB BA AB 4. Eliminação de regras com mais de dois símbolos no lado direito. Iteração 1: S BAB. (a) G = ({A, B, S, A 1 }, {0, 1}, P, S) G = ({A, B, S, A 1 }, {0, 1}, P, S) S 00 BB BA AB λ A BAB 00 BB BA AB

12 12 Aula 8: Gramáticas Livres de Contexto (c) G = ({A, B, S, A 1 }, {0, 1}, P, S) S BA 1 00 BB BA AB λ A BAB 00 BB BA AB Iteração 2: A BAB. (a) G = ({A, B, S, A 1, A 2 }, {0, 1}, P, S) G = ({A, B, S, A 1, A 2 }, {0, 1}, P, S) S BA 1 00 BB BA AB λ A 00 BB BA AB (c) G = ({A, B, S, A 1, A 2 }, {0, 1}, P, S) S BA 1 00 BB BA AB λ A BA 2 00 BB BA AB A 2 AB A segunda iteração produz uma regra idêntica a outra que já existia. Não há necessidade de fazer isso. Poderíamos ter substituído BAB novamente por BA 1 e economizado na criação de mais uma regra. 5. Eliminação de regras com dois símbolos que contenham símbolo terminal. Iteração 1: S 00. (a) G = ({A, B, S, A 1, A 2, A 3 }, {0, 1}, P, S)

13 Aula 8: Gramáticas Livres de Contexto 13 G = ({A, B, S, A 1, A 2, A 3 }, {0, 1}, P, S) S BA 1 BB BA AB λ A BA 2 00 BB BA AB A 2 AB (c) G = ({A, B, S, A 1, A 2, A 3 }, {0, 1}, P, S) S BA 1 A 3 0 BB BA AB λ A BA 2 00 BB BA AB A 2 AB A 3 0 Iteração 2: S A 3 0. (a) G = ({A, B, S, A 1, A 2, A 3, A 4 }, {0, 1}, P, S) G = ({A, B, S, A 1, A 2, A 3, A 4 }, {0, 1}, P, S) S BA 1 BB BA AB λ A BA 2 00 BB BA AB A 2 AB A 3 0

14 14 Aula 8: Gramáticas Livres de Contexto (c) G = ({A, B, S, A 1, A 2, A 3, A 4 }, {0, 1}, P, S) S BA 1 A 3 A 4 BB BA AB λ A BA 2 00 BB BA AB A 2 AB A 3 0 A 4 0 Novamente, uma regra desnecessária foi criada. Se continuarmos as iterações novamente criaremos regras desnecessárias. Um algoritmo mais esperto pode identificar tais casos e evitar a criação das regras. Usando esse algoritmo mais esperto para as regras A 00 e, poderíamos acabar, por exemplo, com a gramática abaixo. G = ({A, B, S, A 1, A 2, A 3, A 4 }, {0, 1}, P, S) S BA 1 A 3 A 4 BB BA AB λ A BA 2 A 4 A 4 BB BA AB A 2 AB A 3 0 A 4 0 B A 4 A 4 A gramática está na Forma Normal de Chomsky. As gramáticas livres de contexto geram linguagens livres de contexto enquanto PDA s reconhecem as mesmas linguagens. Definição reconhece L. Uma linguagem L é livre de contexto se existe uma existe um PDA que