TEORIA DAS LINGUAGENS 3. GRAMÁTICAS INDEPENDENTES DE CONTEXTO

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1 LICENCIATURA EM CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO TEORIA DAS LINGUAGENS 3. GRAMÁTICAS INDEPENDENTES DE CONTEXTO José Carlos Costa Dep. Matemática e Aplicações Universidade do Minho Braga, Portugal 31 de Maio de 2010 José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

2 3. Gramáticas Independentes de Contexto Introdução 3. Gramáticas Independentes de Contexto Neste capítulo introduziremos a noção de gramática. Uma gramática é um modelo matemático que permite descrever uma linguagem identificando um mecanismo gerador dos seus elementos. A noção de gramática é semelhante à definição indutiva de um conjunto. Noam Chomsky introduziu na década de 1950 quatro tipos de gramáticas, que dão origem a uma hierarquia de quatro tipos de classes de linguagens. O nível mais baixo da hierarquia é formado pelas linguagens regulares e o seguinte pelas linguagens independentes de contexto (ou livres de contexto). Depois vem o das linguagens dependentes de contexto (ou sensíveis ao contexto) e finalmente as linguagens recursivamente enumeráveis. José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

3 3. Gramáticas Independentes de Contexto Introdução Estudaremos, em particular, as gramáticas regulares e as gramáticas independentes de contexto, que geram as duas primeiras classes de linguagens da hierarquia de Chomsky. Vimos no capítulo anterior que as linguagens regulares podem também ser obtidas através dos autómatos finitos (que são mecanismos reconhecedores dos elementos da linguagem). No próximo capítulo veremos que as linguagens independentes de contexto podem também ser descritas por autómatos de pilha (ou autómatos empilhadores). Os modelos de máquina que reconhecem os níveis superiores da hierarquia de Chomsky, que não estudaremos, são os autómatos lineares limitados e as máquinas de Turing. José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

4 3. Gramáticas Independentes de Contexto Definição de Gramática DEFINIÇÃO Uma gramática é um quádruplo G = (V, A, S, P) onde (i) V é um alfabeto, dito não terminal, cujos elementos são chamados variáveis (ou símbolos não terminais); (ii) A é um alfabeto, dito terminal, cujos elementos são chamados letras (ou símbolos terminais), tal que V A = ; (iii) S é um elemento de V, chamado o símbolo inicial; (iv) P é um subconjunto finito de ( (V A) V (V A) ) (V A). Os elementos (α, β) de P são chamados produções (ou regras gramaticais) e representam-se por α β. José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

5 3. Gramáticas Independentes de Contexto Definição de Gramática EXEMPLO O quádruplo G = ( {S}, {a, b}, S, {(S, ɛ), (S, asb)} ) é uma gramática com uma única variável S, duas letras a e b, e duas produções S ɛ e S asb (que poderiam ser representadas simplesmente por S ɛ asb). As produções de uma gramática permitem transformar palavras de (V A) noutras palavras de (V A). Por exemplo, na gramática acima, a palavra asbaa {S, a, b} pode ser transformada em: aasbbaa pela produção S asb; abaa pela produção S ɛ. Na mesma gramática, partindo do símbolo inicial S poderíamos obter sucessivamente: asb, usando a produção S asb; aasbb, usando novamente a produção S asb; aaɛbb, utilizando S ɛ. Diz-se então que a gramática G gera a palavra aabb de {a, b}. José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

6 3. Gramáticas Independentes de Contexto Definição de Gramática A cada gramática G = (V, A, S, P) associaremos uma linguagem L(G) sobre o alfabeto A, dita a linguagem gerada por G. Por exemplo, a linguagem gerada pela gramática do exemplo anterior é {a n b n : n N 0 }. Para podermos definir rigorosamente a linguagem gerada por uma gramática, precisamos de formalizar a noção de derivação. José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

7 3. Gramáticas Independentes de Contexto Derivações DEFINIÇÃO Sejam G = (V, A, S, P) uma gramática e σ 1, σ 2 (V A). Diz-se que: σ 2 deriva directamente de σ 1, e escreve-se σ 1 σ 2, se G σ 1 = γαδ, σ 2 = γβδ e α β é uma produção de G. σ 2 deriva em k N passos de σ 1, e escreve-se σ 1 k G σ 1 = σ 0 G σ 1 G σ 2 σ k 1 G σ k = σ 2 para alguns σ 0, σ 1,..., σ k (V A). σ 2 deriva de σ 1, e escreve-se σ 1 G σ 2, se σ 1 = σ 2 ou σ 1 k G σ 2 para algum k N. σ 2, se À sequência de passos elementares que permite deduzir σ 1 G σ 2 chama-se uma derivação de σ 2 a partir de σ 1. Quando não há dúvida sobre qual a gramática G que se está a k considerar, simplifica-se a notação de, e omitindo a letra G. G G G José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

8 3. Gramáticas Independentes de Contexto Derivações EXEMPLO Seja G 1 = ( {S, B, C}, {a, b}, S, P ) a gramática com produções S as bb B bb ac C ac bc ɛ. Em G 1 tem-se a seguinte derivação S as aas aabb aabac aababc aabab. Podemos então escrever, por exemplo, S aabb, S 3 aabb, as 4 aababc, aas aabac, S aabab. Questão: Em G 1 tem-se S abaabb? e S aaabb? José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

9 3. Gramáticas Independentes de Contexto Linguagem gerada por uma gramática DEFINIÇÃO Sejam G = (V, A, S, P) uma gramática e α (V A). Denota-se D(α) = {β (V A) : α β} G L(α) = {u A : α u} G = D(α) A. A linguagem gerada pela gramática G é L(G) = {u A : S u} G = L(S). DEFINIÇÃO Duas gramáticas G e G dizem-se equivalentes se L(G) = L(G ) José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

10 3. Gramáticas Independentes de Contexto Linguagem gerada por uma gramática EXEMPLO Consideremos a gramática G 1 = ( {S, B, C}, {a, b}, S, P ) do exemplo anterior, de produções S as bb B bb ac C ac bc ɛ, e determinemos a linguagem gerada por G 1. Tem-se L(G 1 ) = L(S) e L(S) = al(s) bl(b) L(B) = bl(b) al(c) L(C) = {a, b}l(c) {ɛ} Estas igualdades podem ser vistas como um sistema de equações lineares à direita nas incógnitas L(S), L(B) e L(C). Resolvendo o sistema obtém-se L(S) = a bb a(a + b) L(B) = b a(a + b) L(C) = (a + b). Conclui-se assim que L(G 1 ) = a bb a(a + b) = (a + b) ba(a + b). José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

11 3. Gramáticas Independentes de Contexto Linguagem gerada por uma gramática EXEMPLO Seja G 2 = ( {S, A, B}, {a, b}, S, P ) a gramática com produções S AB A aab ɛ B bba ɛ. Em G 2 pode-se realizar, por exemplo, a seguinte derivação S AB aabb aaabbb aaɛbbb aabbbba aabbbɛa donde a 2 b 3 a L(G 2 ). Pelo contrário, abab, ab 2 a 2 L(G 2 ). Tem-se L(G 2 ) = L(S) = L(AB) = L(A)L(B) L(A) = al(a)b {ɛ} = a ( al(a)b {ɛ} ) b {ɛ} = a 2 L(A)b 2 {ab, ɛ} = a k+1 L(A)b k+1 {a k b k,..., ab, ɛ} para todo o k N = {a m b m : m N 0 } L(B) = = {b n a n : n N 0 } Conclui-se assim que L(G 2 ) = {a m b m : m N 0 }{b n a n : n N 0 } = {a m b m+n a n : m, n N 0 }. José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

12 3. Gramáticas Independentes de Contexto Linguagem gerada por uma gramática EXERCÍCIO Considere a gramática G = ( {S, B}, {a, b}, S, P ) com produções S as bs bab B ab bb ɛ. a) Mostre que ab 2 a 2 ba L(G), construindo uma derivação de ab 2 a 2 ba. b) Determine a linguagem L(G) gerada por G. c) A gramática G é equivalente à gramática G 1 do exemplo da página 10? José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

13 3. Gramáticas Independentes de Contexto Classificação de gramáticas DEFINIÇÃO Uma gramática G = (V, A, S, P) diz-se: 1 dependente de contexto se cada produção é da forma αxβ ασβ, onde X V e α, β, σ (V A) com σ ɛ, ou S ɛ, se S não ocorre no membro direito de outra produção. 2 independente de contexto se cada produção é da forma X α, onde X V e α (V A). 3 regular se é linear à direita, ou seja, se cada produção é da forma X uy, onde X, Y V e u A, ou X u, onde X V e u A ; ou linear à esquerda, isto é, se cada produção é da forma X Yu, onde X, Y V e u A, ou X u, onde X V e u A. José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

14 3. Gramáticas Independentes de Contexto Classificação de gramáticas Hierarquia de Chomsky Gerador Linguagem Reconhecedor Tipo 0 Gramática Recursivamente Máquina (irrestrita) enumerável de Turing Tipo 1 GDC Dependente de contexto Autómato linear limitado Tipo 2 GIC Independente de contexto Autómato de pilha Tipo 3 GR Regular Autómato finito José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

15 3. Gramáticas Independentes de Contexto Classificação de gramáticas EXEMPLO 1 A gramática G 1 = ( {S, B, C}, {a, b}, S, P ) com produções S as bb, B bb ac, C ac bc ɛ, é uma gramática linear à direita e portanto regular, que gera a linguagem regular (a + b) ba(a + b). 2 A gramática G 2 = ( {S, A, B}, {a, b}, S, P ) com produções S AB, A aab ɛ, bba ɛ, é uma GIC, que gera a linguagem independente de contexto {a m b m+n a n : m, n N 0 }. Note-se que esta linguagem não é regular. José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

16 3. Gramáticas Independentes de Contexto Classificação de gramáticas EXEMPLO (CONTINUAÇÃO) 3 A gramática G 3 = ( {S, B, C}, {a, b, c}, S, P ) com produções S asbc abc CB BC ab ab bb bb bc bc cc cc gera {a n b n c n : n N}. Prova-se (usando um Lema de Iteração para linguagens independentes de contexto, análogo ao Lema de Iteração para linguagens regulares) que esta linguagem não é independente de contexto. A gramática G 3 não é uma GDC. EXERCÍCIO a) Construa uma derivação da palavra a 2 b 2 c 2 de L(G 3 ). b) Prove que a gramática G 3 é equivalente a uma GDC. Conclua que {a n b n c n : n N} é uma linguagem dependente de contexto. José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

17 3. Gramáticas Independentes de Contexto Gramáticas regulares vs Linguagens regulares O próximo objectivo é provar o teorema seguinte, que afirma que as gramáticas regulares geram precisamente as linguagens regulares. TEOREMA Uma linguagem é regular se e só se é gerada por uma gramática regular. Para provar este teorema precisamos de alguns resultados auxiliares. DEFINIÇÃO Uma gramática G = (V, A, S, P) diz-se hiper-regular se é hiper-linear à direita, ou seja, se cada produção é da forma X ay, onde X, Y V e a A, ou X ɛ, onde X V ; ou hiper-linear à esquerda, isto é, se cada produção é da forma X Ya, onde X, Y V e a A, ou X ɛ, onde X V. José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

18 3. Gramáticas Independentes de Contexto Gramáticas regulares vs Linguagens regulares Como é evidente, toda a gramática hiper-linear à direita é uma gramática linear à direita. Reciprocamente, tem-se o seguinte lema. LEMA Toda a gramática linear à direita admite uma gramática hiper-linear à direita equivalente. Demonstração: Seja G = (V, A, S, P) uma gramática linear à direita. Definiremos uma gramática hiper-linear à direita G = (V, A, S, P ) tal que L(G) = L(G ). Cada produção de G é da forma X u ou X uy, onde X, Y V e u A. 1 Cada produção X a 1 a 2 a n é substituída pelas produções X a 1 A 1 A 1 a 2 A 2. A n 1 a n A n A n ε onde A 1, A 2,..., A n são novas variáveis. José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

19 3. Gramáticas Independentes de Contexto Gramáticas regulares vs Linguagens regulares 2 Cada produção X a 1 a 2 a n Y é substituída pelas produções X a 1 B 1, B 1 a 2 B 2,..., B n 2 a n 1 B n 1, B n 1 a n Y onde B 1, B 2,..., B n 1 são novas variáveis. 3 Elimina-se cada produção X Y em que a variável Y não ocorre no membro esquerdo de nenhuma produção de G. 4 Se X Y e Y α 1 α n são produções de G, então consideram-se produções X α 1 α n e a cada uma destas aplica-se o processo descrito nos pontos anteriores. Assim, define-se a gramática G = (V, A, S, P ) em que: V é igual à união de V com o conjunto das novas variáveis introduzidas; P é o conjunto de produções que foram obtidas a partir de P pelas substituições descritas acima. José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

20 3. Gramáticas Independentes de Contexto Gramáticas regulares vs Linguagens regulares PROPOSIÇÃO Toda a linguagem regular é gerada por uma gramática linear à direita. Demonstração: Se L A é regular, então existe um autómato determinista A = (Q, A, δ, i, F) que reconhece L. Considere-se a gramática linear à direita G A = (Q, A, i, P) com produções Tem-se sse sse p aq (se q δ(p, a)), q ε (se q F). u = a 1 a n L existem q 1,..., q n 1 Q, q n F e um caminho em A a i 1 a 2 a q1 q2 q n n 1 qn existem q 1,..., q n 1 Q, q n F e uma derivação em G A i GA a 1 q 1 GA a 1 a 2 q 2 GA GA a 1 a 2 a n q n GA a 1 a 2 a n ε sse u L(G A ). Portanto L = L(G A ). José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

21 3. Gramáticas Independentes de Contexto Gramáticas regulares vs Linguagens regulares EXEMPLO O seguinte autómato determinista A a b reconhece a linguagem regular L = a b(ab). Então a gramática linear à direita G A = ({B 1, B 2, B 3 }, {a, b}, B 1, P) com produções a b gera a linguagem L. B 1 ab 1 bb 2 B 2 ab 3 ɛ B 3 bb 2 EXERCÍCIO Determine uma gramática linear à direita G tal que L(G) = a(a + b) c(a + b). José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

22 3. Gramáticas Independentes de Contexto Gramáticas regulares vs Linguagens regulares PROPOSIÇÃO Cada gramática linear à direita gera uma linguagem regular. Demonstração: Seja G = (V, A, S, P) uma gramática linear à direita. Pelo último lema podemos supôr que G é hiper-linear à direita. Então o autómato finito A G = (V, A, δ, S, F) onde F = {X V : X ε P} e, para cada par (X, a) V A, δ(x, a) = {Y : X ay P}, reconhece L(G). De facto, L(G) = {u A S G u} = {u A n N 0 a 1,..., a n A A 1,..., A n V, S G a 1 A 1 G G a 1 a n A n G a 1 a n = u} = {u A δ (S, u) F} = L(A G ). Deduz-se assim que L(G) é uma linguagem regular. José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

23 3. Gramáticas Independentes de Contexto Gramáticas regulares vs Linguagens regulares Como consequência das proposições anteriores, obtém-se o seguinte resultado. PROPOSIÇÃO Uma linguagem é regular se e só se é gerada por uma gramática linear à direita. Dualmente, pode-se provar a proposição seguinte. PROPOSIÇÃO Uma linguagem é regular se e só se é gerada por uma gramática linear à esquerda. Concluiu-se desta forma a demonstração do próximo teorema, já antes enunciado. TEOREMA Uma linguagem é regular se e só se é gerada por uma gramática regular. José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

24 3. Gramáticas Independentes de Contexto GIC: árvores de derivação Seja G = (V, A, S, P) uma gramática independente de contexto. A cada derivação de uma palavra de L(G) corresponde uma árvore de derivação formada do seguinte modo: a raiz tem como etiqueta o símbolo inicial S da gramática. a cada nodo etiquetado por uma variável B corresponde uma produção de G. Se a produção for B X 1 X 2 X n (com X i V A {ɛ}), os filhos do nodo são etiquetados, da esquerda para a direita, por X 1, X 2,..., X n : B X 1 X 2 X n um nodo etiquetado em A {ɛ} é sempre uma folha da árvore, e não tem filhos. José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

25 3. Gramáticas Independentes de Contexto GIC: árvores de derivação EXEMPLO Seja G = ({S, B, C}, {a, b, c}, S, P) em que P é constituído por: S BC B abb ɛ C bcc ɛ S G BC G abbc G aabbbc B S C G aaɛbbc G aabbbcc G aabbbɛc a B b b C c a B b ɛ ɛ José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

26 3. Gramáticas Independentes de Contexto GIC: árvores de derivação EXEMPLO Seja G a = ({S, B, C, X}, {a, b}, S, P) em que P é constituído por: S ax X B C B bb ɛ C ac b S ax Ga ab Ga abb Ga abɛ Ga a S X B S Ga ax Ga ac Ga ab a S X C b B ɛ b José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

27 3. Gramáticas Independentes de Contexto GIC: árvores de derivação EXERCÍCIO Considere a gramática G 2 = ( {S, A, B}, {a, b}, S, P ) da página 11, com produções S AB A aab ɛ B bba ɛ. a) Construa uma derivação da palavra ab 4 a 3. b) Desenhe a árvore de derivação correspondente à derivação anterior. José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

28 3. Gramáticas Independentes de Contexto Gramáticas ambíguas DEFINIÇÃO Derivações a que corresponde a mesma árvore consideram-se essencialmente iguais. Uma GIC G = (V, A, S, P) diz-se ambígua se existe pelo menos uma palavra u A que admite duas árvores de derivação distintas. Uma linguagem independente de contexto L diz-se ambígua se todas as GICs que geram L são ambíguas. José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

29 3. Gramáticas Independentes de Contexto Gramáticas ambíguas EXEMPLO A gramática G a = ({S, B, C, X}, {a, b}, S, P) do exemplo anterior, de produções S ax X B C B bb ɛ C ac b, é ambígua. A linguagem gerada por G a é L(G a ) = L(S) = al(x) = a ( L(B) L(C) ) = a(b a b). QUESTÃO Será que a(b a b) é uma linguagem ambígua? José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

30 3. Gramáticas Independentes de Contexto Gramáticas ambíguas EXEMPLO Consideremos a gramática G na = ({S, B, C, X}, {a, b}, S, P na ) de produções: S ax X B acb B bb ɛ C ac ɛ Verifica-se que G na não é ambígua, e L(G na ) = L(S) = al(x) = a ( L(B) al(c)b ) = a(b aa b) = a(b b a + b) = a(b a b) Conclui-se assim que a linguagem a(b a b) não é ambígua. José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31

31 3. Gramáticas Independentes de Contexto Gramáticas ambíguas EXEMPLO A linguagem {a m b m c n d n m 1, n 1} {a m b n c n d m m 1, n 1} é ambígua. EXERCÍCIO Diga, justificando, se a gramática G 2 = ( {S, A, B}, {a, b}, S, P ) das páginas 11 e 27, com produções é ou não ambígua. S AB A aab ɛ B bba ɛ José Carlos Costa (DMA) Teoria das Linguagens 31 de Maio de / 31