Aula 9: Máquinas de Turing

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1 Teoria da Computação Aula 9: Máquinas de Turing DAINF-UTFPR Prof. Ricardo Dutra da Silva Uma máquina de Turing é uma máquina de estados finitos que pode mover o cabeçote em qualquer direção, ler e manipular as entradas de forma ilimitada. Desta forma ela representa um modelo com características de um computador moderno. Podemos ver a máquina de Turing como uma fita infinita e um controlador (cabeçote) que está em uma determinada posição da fita e registrando um dos finitos estados possíveis.... B B B B B... p A string de entrada é escrita na fita e o restante das posições contêm o símbolo B. O cabeçote está inicialmente na posição mais à esquerda que contém um símbolo da string de entrada. O movimento da máquina de Turing consiste em: ir para o próximo estado; escrever um símbolo na posição atual da fita; mover o cabeçote para a esquerda ou para a direita. Definição 9.1. Uma máquina de Turing é uma 7-tupla M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, B, F ), onde Q é um conjunto finito de estados; Σ conjunto finito de símbolos de entrada. Γ conjunto completo de símbolos, Σ é um subconjunto. δ é uma função parcial δ : Q Γ Q Γ {L, R}, chamada de função de transição. q 0 Q é o estado inicial; B é um símbolo que representa um branco (está em Γ mas não em Σ). F Q é o subconjunto de estados finais. 1

2 2 Aula 9: Máquinas de Turing A função de transição δ(q i, a) = (q j, b, d) indica que quando a máquina está no estado q i lendo um símbolo a, ela deve mudar para o estado q j, escrever o símbolo b no lugar do símbolo a e, posteriormente, mover o cabeçote na direção d. Se d = L o cabeçote é movido para a esquerda, se d = R o cabeçote é movido para a direita. Como em um PDA, definiremos computações usando configurações instantâneas. Definição 9.2. A configuração instantânea de uma máquina de Turing será representada por BuqvB, sendo que a string de entrada é dada por w = uv; q representa o estado atual da máquina que está com o cabeçote sobre o primeiro símbolo de v; antes do B à esquerda e após o B à direita temos apenas outros B s. Definição 9.3. A notação Buq i vb Buq j vb indica que a configuração Buq j vb é obtida de Buq i vb a partir de apenas uma transição. A notação Buq i vb Buq j vb indica que a configuração Buq j vb é obtida de Buq i vb a partir de zero ou mais transições. No diagrama de estados de uma máquina de Turing, uma transição δ(q i, a) = (q j, b, d), com d {L, R} é representada por uma aresta entre os vértices q i e q j com rótulo a/b d. Exemplo 9.1 Considere a máquina de Turing M = ({q 0, q 1, q 2, q 3, q 4 }, {0, 1}, {0, 1, X, Y, B}, δ, q 0, B, {q 4 }) com a função de transição δ definida abaixo. δ 0 1 X Y B q 0 (q 1, X, R) (q 3, Y, R) q 1 (q 1, 0, R) (q 2, Y, L) (q 1, Y, R) q 2 (q 2, 0, L) (q 0, X, R) (q 2, Y, L) q 3 (q 3, Y, R) (q 4, B, R) q 4 O diagrama de estados de M é mostrado a seguir.

3 Aula 9: Máquinas de Turing 3 0/0 R, 0/0 L, Y/Y L 0/X R 1/Y L start q 0 q 1 q 2 X/X R q 3 q 4 Dada a string A computação da máquina será Bq B BXq 1 011B BX0q 1 11B BXq 2 0Y 1B Bq 2 X0Y 1B BXq 0 0Y 1B BXXq 1 Y 1B BXXY q 1 1B BXXq 2 Y Y B BXq 2 XY Y B BXXq 0 Y Y B BXXY q 3 Y B BXXY Y q 3 B BXXY Y Bq 4 B Dada a string A computação da máquina será Bq B BXq 1 010B BX0q 1 10B BXq 2 0Y 0B Bq 2 X0Y 0B BXq 0 0Y 0B BXXq 1 Y 0B BXXY q 1 0B BXXY 0q 1 B Definição 9.4. Seja M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, B, F ) uma máquina de Turing. Uma string u é aceita por estado final se a computação de u por M termina em um estado final. A linguagem de M, L(M), é o conjunto de strings aceitas por M. Exemplo 9.2 A máquina de Turing do Exemplo 9.1 aceita a linguagem {0 n 1 n n 1}. Exemplo 9.3 A máquina de Turing que computa max(m n, 0), dado que as strings de entrada são representadas por 0 m 10 n, é dada por M = ({q 0,..., q 6 }, {0, 1}, {0, 1, B}, δ, q 0, B, ) com função de transição

4 4 Aula 9: Máquinas de Turing δ 0 1 B q 0 (q 1, B, R) (q 5, B, R) q 1 (q 1, 0, R) (q 2, 1, R) q 2 (q 3, 1, L) (q 2, 1, R) (q 4, B, L) q 3 (q 3, 0, L) (q 3, 1, L) (q 0, B, R) q 4 (q 4, 0, L) (q 4, B, L) (q 6, 0, R) q 5 (q 5, B, R) (q 5, B, R) (q 6, B, R) O diagrama de estados para a máquina é dado por q 6 0/0 R 1/1 R 0/B R 1/1 R 0/1 L start q 0 q 1 q 2 q 3 1/1 L 0/0 L 1/B R B/B L q 5 q 6 q 4 B/0 R 1/B R 0/B R 1/B L 0/0 L A MT do Exemplo 9.3 não contém nenhum estado final. Ela não foi projetada pra aceitar uma linguagem mas sim para computar um função. Podemos definir um segundo critério para aceite em uma MT: quando ela aceita por parada. Definição 9.5. Seja M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, B, F ) uma máquina de Turing. Uma string u é aceita por parada se a computação de u por M para. Teorema 9.1. As seguintes declarações são equivalentes: 1. A linguagem L é aceita por uma máquina de Turing que aceita por estado final. 2. A linguagem L é aceita por uma máquina de Turing que aceita por parada. Demonstração. Seja M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, B, ) uma máquina de Turing que aceita L por parada. A máquina de Turing M = (Q {q f }, Σ, Γ, δ, q 0, B, {q f }) aceita por estado final. Para isso, q f é um novo estado. Se δ(q i, a) é definida, então δ (q i, a) = δ(q i, a), senão δ (q i, a) = (q f, a, R). O estado final q f não tem transições e portanto irá parar. Por outro lado, seja M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, B, F ) uma máquina de Turing que aceita L por estado final, podemos definir a máquina M = (Q {q f }, Σ, Γ, δ, q 0, B, ) que aceita L por

5 Aula 9: Máquinas de Turing 5 parada da seguinte forma: 1. se δ(q i, a) é definida, então δ (q i, a) = δ(q i, a). 2. Para cada estado Q F, se δ(q i, a) não é definida, então δ (q i, a) = (q f, a, R). 3. Para cada a Γ, δ (q f, a) = (q f, a, R). Definição 9.6. Uma linguagem que é aceita por uma máquina de Turing é chamada de linguagem recursivamente enumerável. Uma máquina de Turing pode não parar para uma determinada entrada já que podemos mover a máquina para frente e para trás na string de entrada. Definição 9.7. Uma linguagem que é aceita por uma máquina de Turing que sempre para, para todas as entradas, é chamada recursiva. Existem extensões de Máquinas de Turing, tais como MT com múltiplas fitas, MT com uma fita infinita em apenas uma direção, MT em que a entrada esteja em uma fita read only e as demais fitas sejam read-write, MT com diversas fitas de entrada read only, etc. Máquinas de Turing também são equivalentes a outros modelos computacionais, em especial computadores ( RAM machines ). Máquinas de Turing e computadores aceitam exatamente as mesmas linguagens, as linguagens recursivamente enumeráveis. É possível provar que esse modelos são semelhantes à máquina de Turing que introduzimos, elas têm o mesmo poder computacional, ou seja, decidem exatamente as mesmas linguagens. Definição 9.8. Uma máquina de Turing Não-Determinística (NTM) é uma máquina de Turing exceto pelo fato de que a função de transição δ(q, a) pode levar a um conjunto finito de triplas {(q 1, a 1, d 1 ), (q 2, a 2, d 2 ),..., (q n, a n, d n )}. A função δ é uma função parcial δ : Q Γ P(Q Γ {L, R})