Autômatos Finitos Não Determinís5cos (AFN)

Transcrição

1 Linguagens Formais e Autômatos Autômatos Finitos Não Determinís5cos (AFN) Andrei Rimsa Álvares Material extraído do livro e slides do Prof. Newton Vieira (hdp://dcc.ufmg.br/~nvieira)

2 Sumário Introdução Autômatos Finitos Não Determinís<cos (AFN) Equivalência entre AFD's e AFN's AFN estendido

3 INTRODUÇÃO Linguagens Formais e Autômatos

4 Introdução Considere o AFD para a linguagem L = {0,1} * {00} E para a linguagem L = {0,1} * {000}

5 Introdução Considere o AFD para a linguagem L = {0,1} * {000} Deveria ser mais fácil, não?

6 Introdução Em ambos os exemplos a maior parte da lógica foi para evitar que a palavra não terminasse com 00 ou 000 Mas parece tão fácil reconhecer que uma palavra termina com 00 ou 000 Uma definição mais natural seria 0, 1 O que tem de diferente aqui? 0 0 L = {0,1} * {00}

7 AUTÔMATO FINITO NÃO DETERMINÍSTICO (AFN) Linguagens Formais e Autômatos

8 AFN Em um autômato finito determinís<co (AFD), cada par (estado, símbolo) é uma transição para um único estado Se esta restrição for eliminada, se para algum par (estado, símbolo) houver transições para dois ou mais estados, então tem-se um autômato finito não determinís5co (AFN) 0, 1 0 e 1 e 2

9 AFN O não determinismo se verifica pela indecisão associada ao estado e 1, que possui duas transições sob o símbolo 0 0, 1 0 e 1 e 2 Para a palavra 1010 têm-se as seguintes computações possíveis, dependendo do caminho tomado Quando um AFN reconhece uma palavra?

10 AFN Com relação ao reconhecimento para AFN Uma palavra é reconhecida se, e somente se, existe uma computação que a consome e termina em estado final Em todo ponto de indecisão, a máquina adivinha qual escolha (se houver alguma) leva a uma computação que resulta em sucesso no reconhecimento

11 AFN Um AFN é uma quíntupla (E, Σ,δ, I, F), em que E é um conjunto finito não vazio de estados Σ é um alfabeto δ : E Σ Ρ(E) é a função de transição (função total) I E é um conjunto não vazio de estados iniciais F E é um conjunto de estados finais Exemplo de AFN 0, 1 e 1 0 e 2 ({e 1,e 2 },{0,1},δ,{e 1 },{e 2 }) δ 0 1 e 1 {e 1, e 2 } {e 1 } e 2 Ø Ø

12 Função de Transição Estendida A função de transição estendida para um AFN M = (E, Σ,δ, I, F), δ : Ρ(E) Σ * P(E) é definida recursivamente como segue a) b) c) δ^ Exemplo (φ, w) = φ, w Σ * δ^(a, λ) = A, A E δ^ (A, ay) = δ^( δ(e, a), y), A E, a Σ, y Σ * e A δ 0 1 e 1 {e 1, e 2 } {e 1 } e 2 Ø Ø

13 Linguagem Reconhecida por AFN A linguagem reconhecida por um AFN é dada por M = (E, Σ,δ, I, F) L(M ) = {w Σ * δ^(i, w) F φ} AFN's possuem maior poder computacional que AFD's?

14 AFN x AFD AFN e AFD para a linguagem L = {0,1} * {1010}

15 AFN x AFD AFN e AFD para a linguagem L = {0,1} * {1}{0,1}{0,1}

16 EQUIVALÊNCIA ENTRE AFN'S e AFD'S Linguagens Formais e Autômatos

17 Equivalência Entre AFN's e AFD's Teorema: para qualquer AFN existe um AFD equivalente A ideia é que um estado será um conjunto, significando todos os estados do AFN a<ngidos por todas as computações possíveis para a mesma palavra Seja um AFN M = (E, Σ,δ, I, F), o AFD equivalente é dado por M ' = (Ρ(E), Σ,δ ', I, F '), onde δ '(φ, a) = φ, a Σ * δ '(X, a) = δ(e, a), a Σ, X E e X F ' = {X E X F }

18 Equivalência Entre AFN's e AFD's Obtenha o diagrama de estados do AFD equivalente ao AFN dado a seguir

19 Equivalência Entre AFN's e AFD's Obtenha o diagrama de estados do AFD equivalente ao AFN dado a seguir Solução

20 AFN ESTENDIDO Linguagens Formais e Autômatos

21 AFN Estendido Um AFN estendido é uma quíntupla (E, Σ,δ, I, F), em que E, Σ, I, F são como em AFN's δ é uma função parcial E D P(E), em que D é algum subconjunto finito de Σ * Exemplo: AFNE para {w {0} * w é par } {w {1} * w é ímpar }

22 Uma transição da forma AFN Estendido pode ser subs<tuída por n transições

23 AFN λ Um autômato finito não determinís<co com transições λ (AFN λ) é uma quíntupla M = (E, Σ,δ, I, F), onde E, Σ, I, F são como em AFN's é uma função total E (Σ {λ}) P(E) δ A função fecho λ para M, f λ: P(E) P(E) é definida recursivamente como a) X f λ(x) b) se e f λ(x), então δ(e, λ) f λ(x)

24 AFN λ A função de transição estendida para um AFN λ M = (E, Σ,δ, I, F), δ : Ρ(E) Σ * P(E) é definida recursivamente como segue a) δ^ (φ, w) = φ, w Σ * b) c) δ^(a, λ) = f λ(a), A E δ^ (A, ay) = δ^( δ(e, a), y), A E, a Σ, y Σ * e f λ(a) A linguagem reconhecida por um AFN λ é dada por L(M ) = {w Σ * δ^(i, w) F φ}

25 Exemplo de AFN λ AFN λ

26 Equivalência entre AFN λ e AFN Seja um AFN λ M = (E, Σ,δ, I, F), o AFN equivalente é dado por M ' = (E, Σ,δ ', I ', F), onde I ' = f λ(i) δ '(e, a) = f λ(δ(e, a)), e E, a Σ Exemplo

27 Outro exemplo Equivalência entre AFN λ e AFN

28 Relação Entre Autômatos Finitos O diagrama abaixo ilustra a relação entre autômatos finitos

29 ISSO É TUDO PESSOAL! Linguagens Formais e Autômatos