Fundamentos da Teoria da Computação
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- Evelyn Ramalho Álvaro
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1 Fundamentos da Teoria da Computação Primeira Lista de Exercícios - Aula sobre dúvidas da lista Sérgio Mariano Dias 1 1 UFMG/ICEx/DCC Entrega da 1 a lista: 31/03/2009 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
2 Exercício n o 1 - Faça definições recursivas das seguintes linguagens, considerando a concatenação como a operação básica no passo recursivo: a) A = {00} {1} ; λ A Se x A então 00x A e x1 A Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
3 Exercício n o 1 - Faça definições recursivas das seguintes linguagens, considerando a concatenação como a operação básica no passo recursivo: b) B = {0 2n 1 n n N}; λ B Se x B então 00x1 B Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
4 Exercício n o 1 - Faça definições recursivas das seguintes linguagens, considerando a concatenação como a operação básica no passo recursivo: c) C = {w {0,1} w é palíndromo}; λ,0,1 C Se x C então 0x0 C e 1x1 C Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
5 Exercício n o 1 - Faça definições recursivas das seguintes linguagens, considerando a concatenação como a operação básica no passo recursivo: d)d = {w {0,1} w contém 01}. 01 D Se x D então 0x D, 1x D, x0 D e x1 D Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
6 Exercício n o 2 - Perguntinhas: a) Que palavras tem cada uma das linguagens a seguir? /0 - nenhuma /0 - somente λ /0 + - nenhuma {λ} - somente λ {λ} + - somente λ {0} - somente 0 {0} - {0 n n 0} {0} + - {0 n n 1} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
7 Exercício n o 2 - Perguntinhas: b) Em que situações L é infinita? L é infinita se, e somente, se L 0 e L {λ} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
8 Exercício n o 2 - Perguntinhas: c) Seja Σ = {a,b}. Explique que palavras pertencem a cada uma das linguagens: Σ n para cada n 0; que valor tem Σ n? = {w w = n}; n = n. (Σ {λ}) n para cada n 0; que valor tem (Σ {λ}) n? ( {λ}) n = {w 0 w n}; ( {λ}) n = n k=0( k ); Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
9 Exercício n o 2 - Perguntinhas: d) Sejam Σ = {a,b}, A = {a}σ e B = Σ + {b}. Descreva AA, A B e A B. AA = {ay y {a,b} e y contém a} A B = {axb x {a,b} } A B = {w {a,b} w começa e termina com a} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
10 Exercício n o 3 - Descreva as linguagens a seguir, todas sobre o alfabeto {0, 1}, usando apenas conjuntos finitos, operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa. a) O conjunto das palavras de 4 símbolos sem 00 e sem 11. {0101, 1010} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
11 Exercício n o 3 - Descreva as linguagens a seguir, todas sobre o alfabeto {0, 1}, usando apenas conjuntos finitos, operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa. b) O conjunto das palavras que começam com 0 e terminam com 1. {0}{0,1} {1} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
12 Exercício n o 3 - Descreva as linguagens a seguir, todas sobre o alfabeto {0, 1}, usando apenas conjuntos finitos, operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa. c) O subconjunto das palavras de {0} {1} com número par de 0s e ímpar de 1s. {00} {1}{11} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
13 Exercício n o 3 - Descreva as linguagens a seguir, todas sobre o alfabeto {0, 1}, usando apenas conjuntos finitos, operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa. d) O conjunto das palavras com dois a dez símbolos. {0,1}{0,1}{λ,0,1} 8 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
14 Exercício n o 3 - Descreva as linguagens a seguir, todas sobre o alfabeto {0, 1}, usando apenas conjuntos finitos, operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa. e) O conjunto das palavras que contêm 00 ou 11 ou ambas. ({1} {00} {0} {11}){0,1} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
15 Exercício n o 3 - Descreva as linguagens a seguir, todas sobre o alfabeto {0, 1}, usando apenas conjuntos finitos, operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa. f) O conjunto das palavras que contêm 00, mas não 11. {0,1} {00}{0,1} - {0,1} {11}{0,1} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
16 Exercício n o 3 - Descreva as linguagens a seguir, todas sobre o alfabeto {0, 1}, usando apenas conjuntos finitos, operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa. g) O conjunto das palavras que não contêm 00. {0,1} - {0,1} {00}{0,1} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
17 Exercício n o 3 - Descreva as linguagens a seguir, todas sobre o alfabeto {0, 1}, usando apenas conjuntos finitos, operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa. h) O conjunto das palavras em que todo 0 é seguido de pelo menos dois 1s consecutivos. {011,1} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
18 Exercício n o 3 - Descreva as linguagens a seguir, todas sobre o alfabeto {0, 1}, usando apenas conjuntos finitos, operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa. i) O conjunto das palavras em que todo 0 é seguido de pelo menos dois símbolos. {1} {1} {0}{0,1} {11} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
19 Exercício n o 4 - Identifique as linguagens que são geradas pelas gramáticas a seguir: a) G 1 = ({P,X},{a,b},R 1,P). R 1 : P ax bp λ X ap {w {a,b} w tem um número par de a s} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
20 Exercício n o 4 - Identifique as linguagens que são geradas pelas gramáticas a seguir: b) G 2 = ({P},{0,1},R 2,P). R 2 : P 0P1 1P0 λ {x x x {0,1} } ( x é o complemento de x) Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
21 Exercício n o 4 - Identifique as linguagens que são geradas pelas gramáticas a seguir: c) G 3 = ({A,X},{0,1},R 3,A). R 3 : A XA X X 0X1 λ n 0{a k b k k 1} n XA XXA XXX X0X1X X00X11X X0011X... Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
22 Exercício n o 4 - Identifique as linguagens que são geradas pelas gramáticas a seguir: d) G 4 = ({X,A,#},{a,b},R 4,X). R 4 : X aax # Aa aa Ab ba A# b#a # λ {a n b n a n n 0} aax aa# ab#a aba Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
23 Exercício n o 5 - Obtenha gramáticas para as seguintes linguagens: a) {0,1}. P op 1P λ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
24 Exercício n o 5 - Obtenha gramáticas para as seguintes linguagens: b) {0} {1} {0}. P ZUZ Z 0Z λ U 1U λ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
25 Exercício n o 5 - Obtenha gramáticas para as seguintes linguagens: c) {0}{11} {0,λ}. P 0DF D 11D λ F 0 λ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
26 Exercício n o 5 - Obtenha gramáticas para as seguintes linguagens: d) {0}{0,1} {0,1} {1}. Começa com 1 e termina com 0 ou é λ P 1A λ A 1A 0B B 1A 0B λ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
27 Exercício n o 5 - Obtenha gramáticas para as seguintes linguagens: e) {w {a,b,c} o número de a s em w é par}. P λ ai bp cp I ap bi ci Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
28 Exercício n o 5 - Obtenha gramáticas para as seguintes linguagens: f) {a m b m+n+1 c n m,n 0}. P AbC A aab λ C bcc λ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
29 Exercício n o 6 - Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. a) O conjunto das palavras de 4 símbolos sem 00 e sem 11. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
30 Exercício n o 6 - Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. b) O conjunto das palavras que começam com 0 e terminam com 1. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
31 Exercício n o 6 - Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. c) O subconjunto das palavras de {0} {1} com número par de 0s e ímpar de 1s. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
32 Exercício n o 6 - Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. d) O conjunto das palavras com dois a dez símbolos. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
33 Exercício n o 6 - Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. e) O conjunto das palavras que contêm 00 ou 11 ou ambas. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
34 Exercício n o 6 - Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. f) O conjunto das palavras que contêm 00, mas não 11. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
35 Exercício n o 6 - Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. g) O conjunto das palavras que não contêm 00. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
36 Exercício n o 6 - Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. h) O conjunto das palavras em que todo 0 é seguido de pelo menos dois 1s consecutivos. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
37 Exercício n o 6 - Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. i) O conjunto das palavras em que todo 0 é seguido de pelo menos dois símbolos. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
38 Exercício n o 7 -Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. a) {w {0,1} w 2 e o penúltimo símbolo de w é 1}. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
39 Exercício n o 7 -Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. b) {w {0,1} o último símbolo de w é igual ao primeiro}. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
40 Exercício n o 7 -Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. c) {w {0,1} os três últimos símbolos de w não são 000}. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
41 Exercício n o 7 -Construa autômatos finitos determinísticos (AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3. Apresente apenas os diagramas de estados. d) {w {0,1} em w o símbolo da posição 2i é diferente daquele na posição 2i + 2 para cada i 1}. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
42 Exercício n o 8 - Faça AFDs que reconheçam: X = {w {0,1} w é par}. e Y = {w {0,1} w não contém 00}. Bastam apenas os diagramas de estados. Em seguida, obtenha o produto dos dois AFDs e explicite que estados finais ele deve ter para reconhecer: Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
43 Exercício n o 8 - Faça AFDs que reconheçam: X = {w {0,1} w é par}. e Y = {w {0,1} w não contém 00}. Bastam apenas os diagramas de estados. Em seguida, obtenha o produto dos dois AFDs e explicite que estados finais ele deve ter para reconhecer: a) X Y. Final em X e final em Y. b) X Y. final em X ou final em Y. c) X Y. X Ȳ - Final em X e não é final em Y. Estado inicial é o estado inicial de X e o estado inicial de Y - {SS} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
44 Exercício n o 9 -Sejam as linguagens L 1 = {0 n 1 n 0 n n N} e L 2 = {0 n 0 n 0 n n N}. Mostre que existe AFD que reconhece L 2 e que não existe AFD que reconhece L 1. L1 - É preciso ter memória para reconhecer a linguagem. L2 - Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
45 Exercício n o 10 - Explique: a) Para um estado e e uma palavra x, se ˆδ(e,x) = e, então ˆδ(e,x n ) = e para todo n 0. ˆδ(e,x) = e - processa x e para em e. ˆδ(e,x n ) = e - processa x n vezes e para em e. Todas as transições são deterministicas. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
46 Exercício n o 10 - Explique: b) Se um AFD M reconhece uma palavra de tamanho maior ou igual ao número de estados de M, então L(M) é infinita. A palavra é maior ou igual ao número de estados, logo M precisa possuir um loop. Pode se passar pelo loop infinitas vezes. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
47 Exercício n o 10 - Explique: c) Seja um AFD M. Se X L(M), então pode ser que exista ou não M tal que L(M ) = X. Dica: considere M como sendo um AFD que reconheça {0,1}. Reconhece: {λ} Não reconhece: {0 n 1 n n 1 e n N} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
48 Obrigado pela atenção e boa prova. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1 a lista: 31/03/ / 48
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