Autómatos de Pilha. Cada transição é caracterizada pelo estado, símbolo que está ser lido e o elemento no topo da pilha. dados de entrada.

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1 Autómatos de Pilha Um autómato de pilha (não determinístico) (AP) é um autómato finito não determinístico com transições ɛ, acrescido de uma memória infinita a pilha mas em que o modo de acesso à informação é restrito às operações duma pilha: pop() e push(). dados de entrada a1 a2 a3 an S controlo finito A B C Z pilha Cada transição é caracterizada pelo estado, símbolo que está ser lido e o elemento no topo da pilha. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 1

2 Em cada transição: o estado é alterado o elemento no topo da pilha é substituído por uma sequência, eventualmente vazia, de elementos. Isto é: O topo da pilha X é substituído pela sequência X 1... X k corresponde a retirar X e colocar sucessivamente X k,..., X 1, passando o topo a ser X 1. se não for uma transição-ɛ, avança um símbolo nos dados. A informação na pilha só pode ser acedida retirando os elementos do topo da pilha. Inicialmente, a pilha contém um único símbolo inicial. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 2

3 Formalmente, um autómato de pilha P é um tuplo onde (S, Σ, Γ, δ, s 0, Z 0, F ) S é o conjunto de estados (sendo S finito) Σ é o alfabeto de entrada Γ é o alfabeto da pilha s 0 S é o estado inicial Z 0 Γ o símbolo inicial na pilha F o conjunto de estados finais δ (função de transição) é uma função de S (Σ {ɛ}) Γ no conjunto dos subconjuntos finitos de S Γ Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 3

4 Aceitação dum AP (I) Aceitação por estados finais x Σ é aceite pelo autómato de pilha P por estados finais se e só x leva o autómato do estado s 0 a algum dos estados finais, sendo totalmente processada. A linguagem aceite pelo autómato de pilha P por estados finais é o conjunto das palavras aceites por estados finais. Aceitação por pilha vazia Diz-se que a pilha está vazia quando não tem qualquer símbolo de Γ. x Σ é aceite pelo autómato de pilha P por pilha vazia se e só x leva o autómato do estado s 0 a pilha vazia, sendo totalmente processada. A linguagem aceite pelo autómato de pilha P por pilha vazia é o conjunto das palavras aceites por pilha vazia. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 4

5 Exemplo Seja o autómato de pilha P = ({s 0, s 1, s 2 }, {0, 1}, {Z, O}, δ, s 0, Z, {s 2 }) onde δ(s 0, ɛ, Z) = {(s 2, Z)} δ(s 0, 0, Z) = {(s 0, OZ)} δ(s 0, 0, O) = {(s 0, OO)} δ(s 0, 1, O) = {(s 1, ɛ)} δ(s 1, 1, O) = {(s 1, ɛ)} δ(s 1, ɛ, Z) = {(s 2, Z)} e δ(s, α, X) = para os restantes ternos (s, α, X) S (Σ {ɛ}) Γ. O processamento da palavra 0011 é ɛ O O O O Z Z Z Z Z Z s 0 s 0 s 0 s 1 s 1 s 2 A linguagem aceite pelo autómato por estados finais é {0 n 1 n n N} Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 5

6 Mas a linguagem aceite pelo autómato por pilha vazia é (porque Z nunca é retirado). Se compararmos com o autómato finito que reconhece {0 n 1 m n, m N} = L(0 1 ), 0 1 vemos que o que falta é simular a contagem de quantos 0 s tinham sido lidos: que neste caso se faz com a pilha. 1 Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 6

7 Diagrama de transições dum AP Podemos generalizar o diagrama de transições usado para AFs, definindo um diagrama de transições para um AP: os nós são os estados do AP o estado inicial é indicado por uma seta e os estados finais por dois círculos Um arco de s para s é etiquetado por a, X/α se δ(s, a, X) contém (s, α) Para o autómato do exemplo 14.1 vem: 0,Z/OZ 0,O/OO s0 1,O / ɛ 1,O / ɛ s1 ɛ,z/z s2 ɛ,z/z Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 7

8 Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 8

9 Autómato de pilha para a linguagem dos parentesis bem casados ({s 0 }, {(, )}, {Z, A}, δ, s 0, Z, ) δ(s 0, ɛ, Z) = {(s 0, ɛ)} δ(s 0, (, Z) = {(s 0, AZ)} δ(s 0, (, A) = {(s 0, AA)} δ(s 0, ), A) = {(s 0, ɛ)} ɛ,z/ɛ (,Z/AZ (,A/AA ),A/ɛ s0 A linguagem dos parêntesis bem casados sobre {(, )} é aceite pelo autómato por pilha vazia. Segue o processamento da palavra (())(). Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 9

10 Configurações Uma configuração do autómato de pilha (ou descrição instantânea) é um triplo (s, x, γ) S Σ Γ onde: s é o estado corrente x é a porção da palavra de entrada que falta ler γ contéudo da pilha: sendo o topo da pilha, o primeiro símbolo de γ Nota que no caso de um AF apenas o estado era necessário para o descrever em cada momento. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 10

11 Por exemplo, (s 0, )(), AZ) é uma configuração do autómato anterior, ao processar (())(): ( ( ) ) ( ) S0 A Z Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 11

12 Mudança de configuração Dado P = (S, Σ, Γ, δ, s 0, Z 0, F ) e x Σ, a configuração inicial é (s 0, x, Z 0 ). A relação 1 P mudança de configuração num passo é uma relação binária no conjunto das configurações, descreve um passo de computação e é definida por: (s, ax, Xγ) 1 A (q, x, βγ) se e só se (q, β) δ(s, a, X) em que s S, a Σ {ɛ}, X Γ, x Σ e β, γ Γ Definimos n P e P, sendo C, D, E configurações: C 0 P C C n+1 P D def C P D def E C n P E e E 1 A D n 0 C n P D P é o fecho reflexivo e transitivo de 1 P Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 12

13 Por exemplo as mudanças de configuração do AP do exemplo 14.1 com dados 0011 é: (s 0, 0011, Z) (s 0, 011, OZ) (s 0, 11, OOZ) (s 1, 1, OOZ) (s 1, ɛ, Z) (s 2, ɛ, Z) Nota que como um autómato de pilha pode ser não determinístico, em cada configuração poderá haver várias alternativas de movimento. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 13

14 Aceitação dum AP (II) Formalmente, dado um autómato de pilha P = (S, Σ, Γ, δ, s 0, Z 0, F ) a linguagem aceite por estados finais é L(P ) = {x f F γ Γ e a linguagem aceite por pilha vazia é (s 0, x, Z 0 ) P (f, ɛ, γ)} N(P ) = {x s S (s 0, x, Z 0 ) P (s, ɛ, ɛ)} Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 14

15 Exemplo (Exemplo 14.1) Sendo P = ({s 0, s 1, s 2 }, {0, 1}, {Z, O}, δ, s 0, Z, {s 2 }) δ(s 0, ɛ, Z) = {(s 2, Z)} δ(s 0, 0, Z) = {(s 0, OZ)} δ(s 0, 0, O) = {(s 0, OO)} δ(s 0, 1, O) = {(s 1, ɛ)} δ(s 1, 1, O) = {(s 1, ɛ)} δ(s 1, ɛ, Z) = {(s 2, Z)} Mostrar que L(P ) = {0 n 1 n n N} Dem. ( ) Se x = ɛ então (s 0, ɛ, Z) (s 2 ɛ, Z). Se x = 0 n 1 n, para algum n > 0, então (s 0, 0 n 1 n, Z) (s 0, 1 n, O n Z) (s 1, ɛ, Z) (s 2, ɛ, Z) ( ) Para entrar no estado final s 2 é necessário que Z esteja no topo da pilha e estar no estado s 1 ou s 0. Mas estando em s 0 isso só pode acontecer se não for lido nenhum símbolo, i.e, x = ɛ. Caso contrário, será necessário passar por s 1. Vamos ver que: Se (s 0, x, α) (s 1, ɛ, α) então x = 0 n 1 n para algum n. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 15

16 E então em particular para α = Z temos que : (s 0, x, Z) (s 1, ɛ, Z) (s 2, ɛ, Z) então x = 0 n 1 n para algum n > 0. Por indução em x. Base. x = ɛ então a conclusão verifica-se para n = 0 embora (s 0, x, α) (s 1, ɛ, α) não se verifique. Indução. Seja x = a 1 a 2... a n, n > 0.Então a 1 = 1 então (s 0, a 1 a 2... a n, α) (s 1, a 2... a n, α ) e α = Oα.Mas então se (s 0, x, α) (s 1, ɛ, β), então β < α. a 1 = 0 então (s 0, a 1 a 2... a n, α) (s 0, a 2... a n, Oα). Para que (s 0, x, α) (s 1, ɛ, α) então o último passo tem de ser: (s 1, a n, Oα) (s 1, ɛ, α) e a n = 1.E se (s 0, a 2... a n, Oα) (s 1, a n, Oα) então também (s 0, a 2... a n 1, Oα) (s 1, ɛ, Oα).Então por hipótese de indução, a 2... a n 1 = 0 m 1 m para algum m 0. E então x = a 1 0 m 1 m a n = 0 m+1 1 m+1. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 16

17 Aceitação por pilha vazia ou estados finais Proposição A classe de linguagens aceites por autómatos de pilha por estados finais é a classe de linguagens aceites por autómatos de pilha por pilha vazia. Isto é, 1. Se L = L(P F ) para algum AP P F = (S, Σ, Γ, δ F, s 0, Z 0, F ) então existe um AP P N tal que L = N(P N ) 2. Se L = N(P N ) para algum AP P N = (S, Σ, Γ, δ N, s 0, Z 0, ) então existe um AP P F tal que L = L(P F ) Exemplo Podemos modificar o autómato do exemplo 14.1 para um que aceita por pilha vazia a mesma linguagem:em vez de δ(s 1, ɛ, Z) = {(s 2, Z)}, ter δ(s 1, ɛ, Z) = {(s 2, ɛ)}. Para o novo autómato temos L(P ) = N(P ) = {0 n 1 n n 0} Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 17

18 Dem. (Prop. 14.1) (1) A ideia é completar o autómato de pilha de modo a que sempre que chegar a um estado final possa esvaziar a pilha sem consumir nenhum símbolo. e, Z/e s0 e, Z0 /Z0 Z0 s0 PF q e, Z/e e, Z/e P N = (S {s 0, q}, Σ, Γ {Z 0}, δ N, s 0, Z 0, ) onde Z 0 é um novo símbolo, s 0, q novos estados e δ N é definido por: δ N (s 0, ɛ, Z 0) = {(s 0, Z 0 Z 0)} δ N (s, a, Z) = δ F (s, a, Z), para todo s S, a Σ, Z Γ δ N (s, ɛ, Z) = δ F (s, ɛ, Z), para todo s S \ F, Z Γ Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 18

19 δ N (f, ɛ, Z) = δ F (f, ɛ, Z) {(q, ɛ)}, para todo f F, Z Γ δ N (f, ɛ, Z 0) = {(q, ɛ)}, para todo f F δ N (s, ɛ, Z 0) =, para todo s S \ F δ N (q, ɛ, Z) = {(q, ɛ)}, para todo Z Γ {Z 0} Falta ver que N(P N ) = L(P F ). ( ) Se (s 0, x, Z 0 ) P F (f, ɛ, αz 0). Então (f, ɛ, α), f F e α Γ. Então também (s 0, x, Z 0 Z 0) P N (s 0, x, Z 0) PN (s 0, x, Z 0 Z 0) P N (f, ɛ, αz 0) (q, ɛ, ɛ) ( )P N só esvazia a pilha no estado q porque Z 0 não é um símbolo de P F.Mas P N só entra em q se P F entrar nalgum estado final. Então para algum f F, (s 0, x, Z 0) PN (s 0, x, Z 0 Z 0) P N (f, ɛ, αz 0) (q, ɛ, ɛ) mas então, usando as mesmas transições (s 0, x, Z 0 ) P F (f, ɛ, α) e portanto x L(P F ) Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 19

20 (2) A ideia é acrescentar transições para que o autómato passe a um estado final sempre que a pilha estiver vazia. e, Z0/e e, Z0/e PN e, Z0 /Z0 Z0 s0 s0 f e, Z0/e e, Z0/e P F = (S {f, s 0}, Σ, Γ {Z 0}, δ F, s 0,, Z 0, {f}) onde Z 0 é um novo símbolo, f, s 0 novos estados, e δ F (s 0, ɛ, Z 0 ) = {(s 0, Z 0 Z 0)} δ F (s 0, a, Z 0 ) = para todo a Σ Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 20

21 δ F (s, a, Z) = δ N (s, a, Z) para todo s S, a Σ e Z Γ δ F (s, ɛ, Z 0) = {(f, Z 0)}, para todo s S δ F (s, a, Z 0) = para todo s S {f} e a Σ Quando a pilha de P N estiver vazia P F terá Z 0, e P F passa a estado final. Falta ver que N(P N ) = L(P F ) Exercício Termina a demonstração anterior. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 21

22 Leituras [HMU00] (Cap ) [Tom99] (Pág 66-72) Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 22

23 Referências [HMU00] John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, and Jeffrey D. Ullman. Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. Addison Wesley, 2nd edition, [Tom99] Ana Paula Tomás. Apontamentos de modelos de computação. Technical report, Departamento de Ciência de Computadores, FCUP, Departamento de Ciência de Computadores da FCUP MC Aula 14 23