UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR

Transcrição

1 UNIVERIDADE DA EIRA INTERIOR Teoria da Computação Eng. Informática 2º emestre Frequência 2 (7 valores) Resolução 30/maio/2017 A. Expressões regulares e autómatos finitos 1. [1.25] Usando o método de eliminação de estados (esquema em baixo), r = r1* r2 (r4 + r3 r1* r2)* determine a expressão regular associada à linguagem sobre o alfabeto = { A, } reconhecida pelo seguinte AFND: A determinação da expressão regular associada à linguagem reconhecida pelo AFND desenhado, consiste em aplicar o método de eliminação de estados, de forma a determinar-se o grafo generalizado que está associado àquela expressão. Assim, vai-se eliminar os estados q1, q2 e q3, um de cada vez, de forma a ficarem apenas o q0 e q4, por serem os estados inicial e final, respetivamente. Optou-se por eliminar primeiro q1, depois q2 e por fim o q3 (podia-se também usar outra ordem de eliminação dos estados). Eliminação do estado q1 (envolve os estados q0 e q4): q0 q1 q0 : (A+)*. = q4 q1 q0 :. (A+)*. = q0 q1 q4 : (A+)*. A q4 q1 q4 :. (A+)*. A Os estados q2 e q3 não são envolvidos na eliminação de q1, porque não existem ligações diretas entre q1 e q2 e entre q1 e q3. Ou seja, q1 e q2 e q1 e q3 não são estados adjacentes entre si. O grafo generalizado resultante após a remoção do estado q1 é o seguinte:

2 De seguida, parte-se do grafo generalizado resultante da remoção de q1 para se eliminar o estado q2. Eliminação do estado q2 (envolve os estados q0 e q3): q0 q2 q0 : A. *. = q0 q2 q3 : A. *. A q3 q2 q0 :. *. = q3 q2 q3 :. *. A = O grafo generalizado resultante após a remoção do estado q2 é o seguinte: Por fim, parte-se do grafo generalizado resultante da remoção de q1 e q2 para se eliminar o estado q3. Eliminação do estado q3 (envolve os estados q0 e q4): q0 q3 q0 : A. *. A. A*. = q0 q3 q4 : A. *. A. A*. q4 q3 q0 : A. A*. = q4 q3 q4 : A. A*. O grafo generalizado resultante após a remoção do estado q3 é o seguinte: egundo a expressão apresentada em cima (enunciado), temos então que: r1 = l r2 = (A+)*. A + A. *. A. A*. r3 = (Vazio) r4 =. (A+)*. A + A. A*. Logo, temos que a expressão regular associada à linguagem reconhecida pelo AFND, é a seguinte: r = r1* r2 (r4 + r3 r1* r2)* = = *. ((A+)*.A + A.*.A.A*.). ((.(A+)*.A + A.A*.) + (.l*.((a+)*.a + A.*.A.A*.)))* = ((A+)*. A + A. *. A. A*. ). ((. (A+)*. A + A. A*. ) + )* = ((A+)*. A + A. *. A. A*. ). (. (A+)*. A + A. A*. )*

3 2. [0,75] Determine um AFND aceitador da linguagem gerada pela gramática G = (V, T,, P), em que V = {, A,, C }, T = { a, b, c, d } e P = { aa ; A ab b ; cc b ; C b dd l }. Aplicando o método de construção de um AFND a partir de uma gramática linear à direita (regular), otém-se o autómato M = ( Q,, d,, { F } ), em que Q = {, A,, C, X, Y, F }, = { a, b, c, d } e a função de transição d é a que consta na seguinte tabela de transições: Gramática (Produções) AFND (Função de transição) aa d (, a) = A d (, l) = A ab A b cc b C b C dd C l d (A, a) = X d (X, b) = d (A, b) = d (, c) = C d (, b) = F d (C, b) = d (C, d) = Y d (Y, d) = F d (C, l) = F O desenho do autómato M é o seguinte:

4 . (implificação de gramáticas livres de contexto) 1. [1.0] Elimine as produções-l da gramática G = (V, T,, P), com V = {, A,, C, D }, T = { a, b } e P = { Ab; A a; A l; AC; bac; C l; C DC; D a }. 1º passo: Determinar as variáveis anuláveis (X l) V N = { A, C } (A l e C l) V N = { A, C } { } ( AC e A, C V N ) V N = { A,, C } { } = { A,, C } (as variáveis que derivam a palavra nula, l) 2º passo: Remover todas as produções-l e actualizar o conjunto de produções de G (todas as produções que têm A, e/ou C na parte direita): C D Ab (A, V N ) b (considerando A l em Ab) Ab (considerando l em Ab) b (considerando A l e l em Ab) AC (A, C V N ) A (considerando C l em AC) C (considerando A l em AC) ( l, considerando A l e l em AC, bac (A, C V N ) ba (considerando C l em bac) bc (considerando A l em bac) b (considerando A l e C l em bac) DC (C V N ) C D (considerando C l em C DC) a ( V N ) D a (considerando l em D a) não se adiciona) Portanto, uma gramática em produções-l equivalente a G, tem as seguintes produções : Ab b Ab b A a AC A C bac ba bc b C DC D D a a

5 2. [1.0] Reduza à Forma Normal de Chomsky a gramática G = (V, T,, P), com V = {, A,, C, D }, T = { a, b } e P = { ba; A a; A b; baa; C baa; D A; D aa }. Uma gramática está na Forma Normal de Chomsky (FNC) se contiver apenas produções de 2 tipos: 1) X A 2) X a X, A, são variáveis (símbolos não terminais) da gramática X é variável e a é símbolo terminal Transformar cada uma das produções de G na respectiva FNC: A A C D D ba YA YZ (1) Y b Z A (2) Y b (3) a A a (4) b A Y A Y (5) Y b (já existe) baa A YAX YW (6) X Y a W AX (7) b (já existe) X a (8) baa C YXA C YT (9) Y b (já existe) T XA (10) X a (já existe) A D A (11) aa XX D AK (12) X a (já existe) K X (13) A gramática G na sua FNC contém as seguintes 13 produções (determinadas em cima): YZ A a Y YW C YT D A AW X a Y b Z YZ W AX T XA K X

6 C. (Autómatos de Pilha Determinísticos APD) 1. [1.25] Construa um Autómato de Pilha Determinístico sobre o alfabeto = { 0, 1, 2 } que aceite a linguagem L = { w0w R : w { 1, 2 }* }, usando aceitação por pilha vazia. Estratégia para manipulação da pilha: - inserir na pilha (push), e até encontrar o símbolo 0, a) um 1 por cada símbolo 1 lido e b) um 2 por cada símbolo 2 lido, - remover da pilha (pop) a) por cada símbolo 1 lido e com um 1 no topo da pilha e b) por cada símbolo 2 lido e com um 2 no topo da pilha. - se após a leitura de todos os símbolos da cadeia a pilha ficar vazia (apenas com o símbolo #), então a cadeia é aceite pelo autómato; caso contrário, não é aceite. Um APD possível é o seguinte: Interpretação do autómato: 1. Colocar na pilha o símbolo inicial da pilha (#). 2. No estado q0 (inicial): Inserir na piha um 0 (push) com a leitura do símbolo vazio (l), para que o autómato não aceite a cadeia vazia (l); a cadeia vazia não pertence à linguagem, portanto, a pilha não pode ficar vazia com a leitura da cadeia vazia. Este 0 é depois removido após a leitura de todos os símbolos da cadeia a reconhecer, no estado q2, caso esta não seja a cadeia vazia. Passar o controlo do autómato para o estado q1 com a leitura do símbolo vazio (l) (sem ler qualquer símbolo do alfabeto) e colocar na pilha um No estado q1: Permanecer neste estado com a leitura dos símbolos do alfabeto 1 e 2 e inserir na pilha, um 1 (por cada símbolo lido 1 lido) e um 2 (por cada símbolo 2 lido). Passar o controlo do autómato para o estado q2 com a leitura do símbolo 0 e remover o elemento do topo da pilha (se este for um 0 ) ou mantendo o topo da pllha (se este for o 1 ou o 2 ). 4. No estado q2: Permanecer neste estado e remover o topo da pilha (pop) com a leitura dos símbolos do alfabeto nas seguinte condições: 1 (se o topo da pilha tem um 1 ) e 2 (se o topo da pilha tem o 2 ). e não houver mais símbolos para ler e o topo da pilha contém o 0, então remove-se o topo da pilha com a leitura do símbolo vazio do alfabeto (l), para que a pilha fique vazia, o que significa que a cadeia é aceite pelo autómato.

7 Considerando que L, então um APD possível é o seguinte: 2. [1.75] Construa um Autómato de Pilha Determinístico sobre o alfabeto = { a, b } que aceite a linguagem L = { a m (aba) n : m 2 e m > n }, usando aceitação por estados finais. Estratégia para manipulação da pilha: - inserir na pilha (push) um a por cada a lido da primeira sequência de a's, am - remover da pilha (pop) um a por cada sequência aba lida da segunda sequência de a's, (aba)n Um APD possível é o seguinte: Interpretação do autómato: 1. Colocar na pilha o seu inicial da pilha (#). 2. No estado q0 (estado inicial): e é lido o símbolo a (primeiro a da subcadeia a m com m 2) e no topo da pilha está um #, então inserir na pilha um a (push) e passar o controlo do autómato para o estado q1. 3. No estado q1: e for é o símbolo a (segundo a da subcadeia a m com m 2) e no topo da pilha está um a, então inserir na pilha um a (push) e passar o controlo do autómato para o estado q2. 4. No estado q2 (estado final): É estado final para reconhecer a cadeia de comprimento mínimo (m = 2 e n = 0): aa e é lido o símbolo a (que tanto pode ser mais um símbolo a da subcadeia a m com m 2, como o primeiro da subcadeia aba) e no topo da pilha está um a, então inserir na pilha um a (push) e passar o controlo do autómato para o estado q3. 5. No estado q3 (estado final): É estado final para reconhecer a cadeia a m (m > 2 e n = 0): a...a e é lido o símbolo a (que pode ser mais um símbolo a da subcadeia a m com m 2 ou então o primeiro da subcadeia aba) e no topo da pilha está um a, então inserir na piha um a (push) e manter o controlo do autómato no estado q3.

8 e é lido o símbolo b (o que significa que o último símbolo a inserido já deve fazer parte da subcadeia aba, o que significa que não deveria ser inserido; desta forma, compensa-se com a remoção do elemento do topo da pilha) e no topo da pilha está um a, então remover o elemento do topo da pilha (pop) e passar o controlo do autómato para o estado q4. 5. No estado q4: e é lido o símbolo a (o que significa que foi reconhecido mais uma subcadeia aba) e no topo da pilha está um a, então remover o elemento do topo da pilha (pop) e passar o controlo do autómato para o estado q5. 6. equência de estados q5 q6 q7 q5 : empre que esta sequência de estados é completada, isto significa que mais uma subcadeia aba é reconhecida pelo autómato. No estado q5: e é lido o símbolo a (primeiro símbolo da subcadeia aba) e no topo da pilha está um a, então passar o controlo do autómato para o estado q6, sem realizar qualquer operação sobre a pilha. No estado q6: e é lido o símbolo b (segundo símbolo da subcadeia aba) e no topo da pilha está um a, então passar o controlo do autómato para o estado q7, sem realizar qualquer operação sobre a pilha. No estado q7: e é lido o símbolo a (o que significa que foi reconhecido mais uma subcadeia aba) e no topo da pilha está um a, então remover o elemento do topo da pilha (pop) e passar o controlo do autómato para o estado q5. 7. equência de estados q5 q8: Esta sequência de estados apenas é realizada se todos os símbolos da cadeia forem lidos. No estado q5: e é lido o símbolo vazio do alfabeto (l) e no topo da pilha está um a, então passar para o estado q8, sem realizar qualquer operação sobre a pilha. e esta transição se efetuar, então a palavra é reconhecida, pois m > n. 8. Não reconhecimento da cadeia de entrada: e m = n, então o autómato pára no estado q5 e não faz a transição para o estado q8 com a leitura do símbolo vazio do alfabeto (l), pois a pilha fica vazia (esta transição só se realiza se no topo da pilha está um a ). e m < n, então o autómato pára no estado q7, pois ele só passa para o estado q5 se for lido o símbolo a e no topo da pilha estiver um a, o que não acontece, pois ela ficou vazia (apenas com # ) ao reconhecer a subcadeia aba anterior.