Linguagens Livres de Contexto

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1 Universidade Católica de Pelotas Centro Politécnico Bacharelado em Ciência da Computação Linguagens Formais e Autômatos TEXTO 4 Linguagens Livres de Contexto Prof. Luiz A M Palazzo Maio de 2011 Linguagens Livres de Contexto A classe das LLCs ou Linguagens do Tipo 2, contém propriamente a classe das LRs e é de fundamental importância para o estudo da informática, pois: a) Compreende um universo mais amplo que as LR, permitindo tratar questões como: Parenteses Balanceados, Construções Bloco-Estruturadas Outras estruturas próprias de linguagens como C, Pascal, etc. b) Os algoritmos que as implementam são simples e possuem uma boa eficiência. c) Aplicações: analisadores sintáticos, tradutores de linguagens e processadores de texto etc. O estudo das LLC é desenvolvido a partir de um formalismo axiomático ou gerador (gramática) e um formalismo operacional ou reconhecedor (autômato) como segue: a) Gramáticas Livres de Contexto: São gramáticas onde as regras de produção são definidas de forma mais livre do que nas gramáticas regulares, b) Autômato com Pilha: Possui a estrutura basica de um AFD ao qual é associado uma memória auxiliar na forma de pilha e a facilidade de não-determinismo. Gramáticas Livres de Contexto As LLCs são desenvolvidas a partir das GLCs. Definição: Gramática Livre de Contexto (GLC): Uma GLC G é uma gramática G = (V, T, P, S), com a restrição de que qualquer regras de produção em P é da forma A, onde A é uma variável de V e é palavra de (V T )*. Portanto uma GLC é uma gramática onde o lado esquerdo das produções possui exatamente uma variável. Definição: Linguagens Livres de Contexto (LLC) ou do Tipo 2 Uma linguagem é uma LLC (ou do Tipo 2 na Classificação de Chomsky), se for gerada por uma GLC. A expressão "livre de contexto" significa que para tais linguagens, cuja produção é da forma A, em uma derivação a variável A deriva sem depender (livre) de qualquer análise dos símbolos que antecedem ou seguem A (contexto). Assim claramente toda LR é também LLC. Universo de Todas as Linguagens LLC LR

2 Exemplo: Linguagem Livre de Contexto A linguagem L = {a n b n n 0} é gerada pela seguinte GLC: G = ({S}, {a, b}, P, S), onde P = {S asb }. Por exemplo, a palavra aabb pode ser gerada pela seguinte seqüência de derivações: S asb aasbb aa bb aabb Esta linguagem é um exemplo clássico e de fundamental importância no estudo das LLC, pois permite estabelecer analogia entre a n b n e as linguagens bloco-estruturadas do tipo BEGIN n END n, ou com expressões com parênteses balanceados na forma ( n ) n. Exemplo: Linguagem Livre de Contexto A linguagem gerada pela GLC abaixo é composta por expressões aritméticas contendo colchetes balanceados, dois operandos e um operador: G = ({E}, {+, *, [, ], x}, P, E), onde P = {E E+E E*E [E] x}. Por exemplo, a expressão [x+x]*x pode ser gerada pela seguinte seqüência de derivações: E E*E [E]*E [E+E]*E [x+e]*e [x+x]*e [x+x]*x Árvore de Derivação Definição: Árvore de Derivação Para uma determinada GLC, a representação da derivação de palavras na forma de árvore, denominada Árvore de Derivação é como se segue: a) A raiz é o símbolo inicial da GLC; b) Os vértices interiores obrigatoriamente são variáveis. Se A é um vértice interior e X1, X2,..., Xn são os filhos de A, então A X1X2...Xn é uma produção da gramática e os vértices X1, X2,..., Xn estão ordenados da esquerda para a direita. c) Um vértice folha é um símbolo terminal ou um símbolo vazio. Neste caso o vazio é o único filho de seu pai (A ).

3 Exemplo: Árvores de Derivação a) G = ({S}, {a, b}, P, S), onde P = {S asb }. b) G = ({E}, {+, *, [, ], x}, P, E), onde P = {E E+E E*E [E] x}. c) Árvore de Derivação x Derivações Uma única árvore de derivação pode representar derivações distintas de uma mesma palavra ou expressão. Na árvore representada na figura, a palavra x+ x * x pode por exemplo ser gerada pelas seguintes derivações: 1. E E+ E x+ E x+ E * E x+ x * E x+ x * x 2. E E+ E E+ E * E E+ E * x E+ x * x x+ x * x 3. E E+ E E+ E * E x+ E * E x+ x * E x+ x * x 4. Etc.

4 Ambiguidade Uma GLC é dita uma gramática ambígua se existe uma palavra que possui duas ou mais árvores de derivação. Ex: x+x*x. Linguagem Inerentemente Ambígua Uma LLC é uma linguagem inerentemente ambígua se qualquer GLC que a define é ambígua. Ex: L = {w w = a n b n c m d m ou w = a n b m c m d n, n >= 1, m >= 1} é inerentemente ambígua. Simplificação de GLCs Exclusão de variáveis ou terminais não usados para formar palavras de terminais, Exclusão de produções vazias, da forma A (se a palavra vazia pertence à linguagem, é incluída uma produção vazia específica para tal fim). Exclusão de produções da forma A B, que simplesmente substituem uma variável por outra, não adicionando qualquer informação de geração de palavra. Algoritmos (pag. 100 a 105) Sequência recomendada (1) Exclusão de produções vazias, (2) Exclusão de produções da forma A B, e (3) Exclusão de símbolos inúteis. Formas Normais Estabelecem restrições rígidas para a definição das produções sem reduzir o poder de geração das GLCs. São usadas no desenvolvimento de algoritmos (com destaque para reconhecedores de linguagens e prova de teoremas. Forma Normal de Chomsky: Todas as produções são do tipo A BC ou A a. Forma Normal de Greibach: Todas as produções são da forma A a, onde é uma palavra de variáveis. Algoritmos de produção e conversão de FNs: pg. 106 a 111. Exercício Desenvolver as GLCs capazes de produzir as seguintes linguagens: a) L1 = {} b) L2 = {&} c) L3 = {a, b}* d) L4 = {w w e' palíndromo em {a, b}* } e) L5 = {wwr w é palavra em {a, b}* } f) L6 = {aibjck i=j ou j=k e i,j,k>=0 } g) L7 = {w w é palavra de {x,y,(,)}* com parenteses balanceados } h) L8 = {w w é expressão regular }

5 Autômato com Pilha Assim como as LR, as LLC podem ser associadas a um mecanismo reconmhecedor do tipo autômato. Neste caso autômatos com pilha. O autômato com pilha é análogo ao autômato finito incluindo uma pilha como memória auxiliar e a facilidade do não-determinismo A pilha é independente da fita de entrada e possui capacidade de empilhamento infinita. A pilha é uma estrutura LIFO, conforme ilustrado na figura abaixo. A base de uma pilha é fixa e determina o seu início. O topo da pilha é variável e determina a posição do último símbolo gravado. O não-determinismo é importante e necessário para as LLC. Aumenta o poder computacional dos autômatos com pilha. O autômato com pilha reconhece qualquer LLC, com um único estado (ou três estados, dependendo da definição). Isto significa que a pilha é suficiente como memória auxiliar, não sendo necessário empregar estados para memorizar as entradas. Assim a estrutura de estados do AP pode ser excluída sem comprometer o seu poder computacional.

6 Definição Informal do Autômato com Pilha Há duas definições universalmente aceitas do AP: O valor inicial da pilha é vazio e o autômato para, aceitando a entrada, quando atinge um estado final. A pilha contém inicialmente um símbolo especial, denominado "símbolo inicial da pilha". Não existem estados finais e o autômato pára, aceitando a entrada, quando a pilha estiver vazia. As duas definições são equivalentes. No presente estudo adota-se a primeira definição. Um AP ou um APN compõe-se basicamente de quatro partes: a) Fita ou Fita de Entrada: análoga à fita dos AF b) Pilha: Memória auxiliar que pode ser usada livremente para leitura ou gravação. c) Unidade de Controle: Reflete o estado corrente do autômato. Possui uma cabeça de fita e uma cabeça de pilha. d) Programa ou Função de Transição: Comanda a leitura da fita, leitura e gravação da pilha e define o estado do autômato. A Pilha: A pilha é dividida em células capazes de armazenar um único símbolo do alfabeto auxiliar (alfabeto da pilha, pode ser igual ao alfabeto de entrada). A leitura e a gravação ocorrem sempre no topo. Não possui tamanho fixo nem máximo. O tamanho corrente é igual ao tamanho da palavra armazenada. A Unidade de Controle: Possui um número fixo e definido de estados. Compreende as seguintes unidades: a) Cabeça da Fita: Unidade de leitura que acessa uma célula da fita de entrada de cada vez. Movimenta-se exclusivamente para a direita. É possível testar se a entrada foi completamente lida ou não. b) Cabeça da Pilha: Unidade de leitura e gravação que se move para cima ao gravar e para baixo ao ler um símbolo. Acessa uma célula da pilha de cada vez, estando sempre posicionada no topo. A leitura exlui o símbolo lido. É possível testar se a pilha está vazia. Em uma mesma operação de gravação é possível armazenar uma palavra composta por mais de um símbolo. Neste caso o símbolo do topo é mais à esquerda da palavra gravada. O Programa: Ou função de transição é uma função parcial que dependendo do estado corrente, símbolo lido da fita e símbolo lido da pilha, determina qual o próximo estado e que palavra deve ser gravada na pilha. Possui a facilidade do movimento vazio, podendo mudar de estado sem ler da fita.

7 Definição Formal de Autômato com Pilha: Um autômato com pilha não-determinístico (APN), ou simplesmente autômato com pilha (AP) é uma sêxtupla: M = (, Q,, q0, F, V), onde: - Alfabeto de símbolos de entrada Q - Conjunto de estados possíveis do autômato, o qual é finito. - Função programa ou de transição: : Q x ( {,?}) x (V {,?}) 2 QxV * q0 - Estado inicial do autômato F - Conjunto de estados finais, tais que F etá contido em Q V - Alfabeto auxiliar ou alfabeto da pilha. Características da Função Programa: A função pode não ser total, ou seja, indefinida para alguns argumentos do conjunto de partida. A omissão do parâmetro de leitura, representada por? representa o teste de pilha vazia ou toda a palavra de entrada lida. O símbolo na leitura indica a facilidade de movimento vazio da fita ou da pilha.(o autômato não lê nem move a cabeça. O símbolo se move. na gravação indica que nenhuma palavra é gravada na pilha. A cabeça também não Por exemplo: (p,?, ) = {(q, )} indica que no estado p, se a entrada foi completamente lida, não lê da pilha, assume o estado q e não grava na pilha. O processamento de um AP para uma palavra de entrada w consiste na sucessiva aplicação da função programa para cada símbolo de w (da esquerda para a direita) até ocorrer uma condição de parada. Entretanto, é possível que um AP nunca atinja uma condição de parada. Neste caso fica processando indefinidamente (ciclo ou loop infinito).

8 Um exemplo de ciclo infinito é um programa que empilha e desempilha um mesmo símbolo indefinidamente sem ler da fita de entrada. Um AP pode parar, aceitando ou rejeitando a entrada, ou ficar em loop infinito da seguinte maneira: a) Um dos caminhos alternativos assume um estado final: O autômato pára e a palavra é aceita. b) Todos os caminhos alternativos rejeitam a entrada: O autômato pára e a palavra é rejeitada. c) Pelo menos um caminho alternativo está em loop infinito e os demais rejeitam a entrada, ou também estão em loop infinito: O autômato está em loop infinito. ACEITA(M) ou L(M): conjunto de todas as palavras de * aceitas por M. REJEITA(M): conjunto de todas as palavras de * rejeitadas por M. LOOP(M): conjunto de todas as palavras de * para as quais M entra em loop infinito EXEMPLO 1: AP M1 = ({a,b}, {q0, q1, qf }, 1, q0, {qf}, {B}), onde 1 é dada por: 1(q0, a, ) = {(q0, B)} 1(q0, b, B) = {(q1, )} 1(q0,?,?) = {(qf, )} 1(q1, b, B) = {(q1, )} 1(q1,?,?) = {(qf, )} reconhece a linguagem L1 = {a n b n n>=0} Este autômato é determinístico. No estado q0, para cada símbolo a lido da fita é armazenado um símbolo B na pilha. No estado q1 é realizado um batimento, verificando se para cada símbolo b da fita existe um correspondente B na pilha. O algoritmo somente aceita se ao terminar de ler a palavra da fita a pilha estiver vazia.