A. (Autómatos finitos determinísticos e não determinísticos AFD e AFND)

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1 DEP. INFORMÁTICA - UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR Teoria da Computação Eng. Informática 1º Semestre Exame 1ª chamada - Resolução 2h + 30min 31/Jan/2011 Pergunta A.1 A.2 A.3 B.1 B.2 B.3a B.3b C.1 C.2 D.1 D.2 D.3 D.4 E F Total Cotação 1,75 0,75 2,00 1,00 1,75 1,00 0,75 1,00 1,00 1,25 1,25 1,25 1,25 2,00 2,00 20,00 IMPORTANTE Não se exigia que na resolução deste teste por parte dos alunos, as justificações apresentadas fossem tão pormenorizadas. Apenas aproveitei este momento para explicar o melhor possível a resolução dos problemas propostos. A. (Autómatos finitos determinísticos e não determinísticos AFD e AFND) 1. Desenhe um AFD sobre o alfabeto Σ = { 0, 1 } que aceite a linguagem em que todas as palavras são da forma w 1 011w 2 (010) n, com n 0 e w 1, w 2 Σ*. Começar por construir o AFD para a palavra de comprimento mínimo: 011 (com w 1 = w 2 = λ e n = 0) Acrescentar a possibilidade de aparecer pela 1ª vez a subsequência 010 (n = 1). Se não aparecer 010 então tudo o que está depois de 011 pertence a w 2. No entanto, logo que apareça uma subsequência 010, para que a palavra seja aceite pelo AFD tudo o aparecer depois desta 1ª subsequência terá que daquele tipo, isto é várias subsequências de 010. O estado q9 é um estado de ERRO, pois depois de surgir várias subsequências do tipo 010 surgiu algo diferente. Desta forma, o AFD final é : 1

2 Interpretação do autómato: 1) o ramo [q0, q1, q2, q3] garante a sub-cadeia w 1 (011) 2) o ramo [q3, q4, q5, q6] garante a sub-cadeia w 2 (010) 1 (n = 1) 3) o ramo [q7, q8, q9] garante a subcadeia (010) k, k > 1 4) o estado q5 é de ERRO depois de surgir apela primeira vez 010, só podem aparecer sequências deste tipo 2. Indique, usando uma expressão semelhante à anterior, qual a linguagem reconhecida pelo AFND sobre Σ = { 0, 1 } que se segue. Justifique. Analizando o AFND verifica-se que aceita dois tipos de palavras, cada um correspondente a uma linguagem: L = L1 L2 (L1 = (q0, q1, q4, [q1, q4] k, k 0); L2 = (q0, q2, q3, q4, [q1, q4] k, k 0). Usando o ramo q0 q1 q4, o tipo de palavras aceites é: 0w 1 0. Usando o ramo q1 q4, o tipo de palavras aceites é: 1w 2 0. Logo, L1 = { w {0,1}* : w = 0w 1 0 (1w 2 0) k, k 0, w 1, w 2 {0,1}*} (q1 q4 pode-se repetir). Usando o ramo q0 q2 q3 q4, o tipo de palavras aceites é: 1 n 1 0 m 0 = 1 n+1 0 m+1, n 0 e m 0. Mas como q1 q4 pode-se repetir, Portanto, L2 = { w {0,1}* : w = 1 n 0 m (1w 1 0) k, n 1, m 1, k 0, w 1 {0,1}*}. L = L1 L2 = { w {0,1}* : w = (0w n 0 m ) (1w 2 0) k, n 1, m 1, k 0, w 1, w 2 {0,1}*} 3. Converta o AFND anterior num AFD e desenhe este último. Tabela de conversão do AFND para um AFD: q0q2 é o estado inicial do AFD δ(q0, λ) = q2 estados 0 1 (A) q0q2 q1 q2q3 (B) q1 q1q4 q1 (C) q2q3 q3q4 q2q3 (D) q1q4 q1q4 q1 (E) q3q4 q3q4 q1 2

3 B. (Expressões regulares e autómatos finitos) 1. Indique, justificando, uma expressão regular para a linguagem L do alfabeto Σ = { 0, 1 } à qual pertencem as palavras formadas por várias sequências de 0's e de 1's consecutivos, em que cada uma destas sequências têm exactamente dois elementos. Por ex: L; L. Pretendem-se as palavras que só têm a's isolados ou aos pares. A expressão regular é a seguinte: (1100)*(11 + λ) + (0011)*(00 + λ) (1100)*(11 + λ) Para as sequências que começam por 11 e terminam em 00 [(1100)*λ] ou em 11 [(1100)*11]. Também abrange a sequência 11 apenas. (0011)* (00 + λ) Para as sequências que começam por 00 e terminam em 11 [(0011)*λ] ou em 00 [(0011)*00]. Também abrange a sequência 00 apenas. 2. Usando o método de eliminação de estados (esquema em baixo), r = r1* r2 (r4 + r3 r1* r2)* determine a expressão regular associada à linguagem reconhecida pelo seguinte AFND: Analisando diretamente o AFND, facilmente se verifica que uma expressão regular associada à linguagem reconhecida por ele é a seguinte: 0*1(0+1)*10*0 (1* + 10*1(0+1)*10*0)* No entanto, vai-se usar o método de eliminação de estados para chegar a uma expressão idêntica. Desta forma, vai-se eliminar os estados q1 e q2, um de cada vez. Optou-se por eliminar primeiro q1 e depois q3 (podia-se também eliminar q3 e só depois q1). Eliminação do estado q1: q0 q1 q0 : q0 q1 q3 : 1(0+1)*1 q3 q1 q0 : q3 q1 q3 : O estado q2 não é envolvido na eliminação de q1, porque não existe nenhuma ligação direta entre q1 e q2. Ou seja, q1 e q2 não são estados adjacentes entre si. O pseudo-autómato resultante após a remoção do estado q1 é o seguinte: 3

4 Eliminação do estado q3 (usando o pseudo-autómato resultante da remoção de q1): q0 q3 q0 : q0 q3 q2 : 1(0+1)*10*0 q2 q3 q0 : q2 q3 q2 : O pseudo-autómato resultante após a remoção do estado q3 é o seguinte: Segundo a expressão apresentada em cima, temos: r1 = 0; r2 = 1(0+1)*10*0; r3 = 1; r4 = 1 Logo, temos que a expressão regular associada à linguagem reconhecida pelo AFND, é a seguinte: r = r1* r2 (r4 + r3 r1* r2)* = 0*(1(0+1)*10*0) (1 + 10*(1(0+1)*10*0))* = = 0*(1(0+1)*10*0)1* + 0*(1(0+1)*10*0) (10*(1(0+1)*10*0))* 3. Determinar a gramática regular que gere a linguagem associada à seguinte expressão regular: 1 0 ( 1 0 ) * * 1 ( 0 * + 1 * ) 1 Para tal, a) Desenhe um AFND associado à expressão regular. b) Construa a gramática a partir deste autómato). a) Um AFND associado à expressão regular é o seguinte: b) A gramática G = (V, T, S, P) é construída da seguinte forma: V = { S, A, B, C, D, E, F, G, H }, em que S está associado a q0, A a q1, B a q2, C a q3, D a q4, E a q5, F a q6, G a q7 e H a q8. T = { 0, 1 } P é o conjunto de produções, as quais são construídas da seguinte forma: S A 1A δ(q0,1) = q1 S 0B 0C δ(q1,0) = q3 B 0B B 1D C D δ(q2,1) = q4 1G δ(q3,1) = q7 C 1E F δ(q4,λ) = q6 D H δ(q0,0) = q2 δ(q2,0) = q2 δ(q3,1) = q5 δ(q4,λ) = q8 E λ q5 é estado final do AFND construído em a) F 0F δ(q6,0) = q6 F 1E G 0C H δ(q7,0) = q3 1H δ(q8,1) = q8 H 1E δ(q6,1) = q5 δ(q8,1) = q5 4

5 C. (Linguagens e gramáticas independentes de contexto LIC e GIC) 1. Determine a LIC gerada por G = ({S, X}, {0, 1}, {S 0S; S 1X; X 11X00; X 1}, S). Justifique. Como na derivação de uma palavra, temos sempre que começar por S, e depois passar para X, vamos primeiro determinar os tipos de palavras derivadas a partir de X, e só depois as derivadas a partir de S. Derivação de palavras a partir de X : X 1 (P4) 1 = (11) 0 1(00) 0 X 11X00 (P3) (P4) = (11) 1 1(00) X0000 (P3) (P4) = (11) 2 1(00) Logo, a partir de X derivam-se palavras do tipo : (11) n 1(00) n (n 0) Derivação de palavras a partir de S: Como a produção S 1X (P2) terá sempre que ser usada, vai-se detarminar o tipo de palavras que se derivam a partir desta produção: S 1X (P2)... 1(11) n 1(00) n (n 0) (derivação de X) = (11) n 11(00) n (n 0) = (11) n+1 (00) n (n 0) Logo, a partir de S (P2) derivam-se palavras do tipo: (11) n+1 (00) n (n 0) Derivação a partir de S (P1): S 0S... 0 m S (m 1) aplicando P1 m vezes 0 m (11) n+1 (00) n (m 1, n 0) (P2) aplicando P2 e depois n vezes P3 e 1 vez P4 Logo, a partir de S (P1) derivam-se palavras do tipo: 0 m (11) n+1 (00) n (m 1, n 0) Logo, a partir de S derivam-se palavras de L(G) = { w {0,1}* : w = 0 m (11) n+1 (00) n, m 0, n 0 } 2. Determine a GIC associada à linguagem L = { 1 n 0 m 1 m+2 0 n, com n 0 e m 1 }. Justifique. Pode-se considerar que 1 n 0 m 1 m+2 0 n = 1 n 0 m m 0 n, n 0 e m 1. A ideia é derivar primeiro os n símbolos exteriores: S 1S0. Depois o S do lado direito dá lugae a X que deriva os m símbolos: X 0X0. Por fim, terminar por derivar 1 2 usando Y (pois m 1): Y 11 Um grupo de produções possível é: S 1S0 (para derivar 1n S 0n) S 0X1 (para começar a derivar 0m X 1m e como m 1 garantir pelo menos uma vez é 0?1) X 0X1 (para continuar a derivar 0m X 1m) X 11 (para terminar a derivação com 11) Portanto, G = (V, T, S, P), em que V = { S, X }, T = { a, b }, S = { S } e P = { S 1S0; S 0X1; X 0X1; X 11 } D. (Simplificação de gramáticas livres de contexto) 1. Elimine as λ-produções da gramática G = ( { S, A, B, C, D }, { 0, 1 }, { S 0 B 1 D ; A 0; A λ; B A; B 1 C ; C 0 A ; D A B }, S ). 1º passo: Determinar as variáveis anuláveis (X λ) V N = { A } (A λ) V N = { A } { B } (B A e A V N ) V N = { A, B } { D } (D AB e A, B V N ) V N = { A, B, D } { } = { A, B, D } (as variáveis que derivam a palavra nula, λ) 2º passo: Remover todas as λ-produções e actualizar o conjunto de produções de G (todas as produções que têm A, B e/ou D na parte direita): S 0B1D (B, D V N ) S 01D (fazer B λ em S 0B1D) S 0B1 (fazer D λ em S 0B1D) S 01 (fazer B λ e D λ em S 0B1D) B A (A V N ) (B λ, fazer de A λ em B A não se adiciona) C 0A (A V N ) C 0 (fazer A λ em C 0A) D AB (A, B V N ) 5

6 D A (fazer B λ em D AB) D B (fazer A λ em D AB) (D λ, fazer de A λ e B λ em B A não se adiciona) Portanto, a gramática equivalente sem λ-produções equivalente a G, tem as seguintes produções : S 0B1D 01D 0B1 01 A 0 B A 1C C 0A 0 D AB A B 6

7 2. Elimine as produções inúteis da gramática G = ( { S, A, B, C, D, E }, { 0, 1 }, { S 0B1D; A 0; B A; B 1C; C 0A; D AB; E 1C }, S ). 1º passo: Determinar as variáveis úteis (X w, w {0,1}*) V 1 = V 1 = { A } (A 0) V 1 = { A } { B, C } (B A e C 0A, pois A V 1 ) V 1 = { A, B, C } { D, E } (D AB e E 1C, pois A, B, C V 1 ) V 1 = { A, B, C, D, E } { S } (S 0B1D, pois B, D V 1 ) V 1 = { S, A, B, C, D, E }, pois não há mais símbolos não terminais a acrescentar 2º passo: Determinar o conjunto VA de variáveis alcançáveis a partir de S (símbolo inicial da gramática). Para tal, constrói-se a árvore de derivação apenas com variáveis, da seguinte forma: Logo, VA = { S, A, B, C, D }, o que significa que E é não alcançável. Interceptando os 2 conjuntos, V 1 e VA, obtém-se as variáveis úteis V 1 VA = { S, A, B, C, D } 3º passo: Remover todas as produções com E (E 1C) da gramática G, obtendo-se uma gramática equivalente a G sem produções inúteis. A nova gramática é tem as seguintes produções: S 0B1D A 0 B A 1C C 0A D AB 3. Elimine as produções unitárias da gramática G = ( { S, A, B, C, D, E }, { 0, 1 }, { S 0 B 1 D ; A 0; A C; A 0 D 1 ; B A; B 1 C ; C 0 A ; C 1; D A B ; E 1 C }, S ). 1º passo: Determinar todos os pares unidade (X Y então (X, Y) é um par unidade) A C então (A, C) é um par unidade B A então (B, A) é um par unidade B A e A C então (B, C) também é um par unidade Pares unidade: (A, C), (B, A) e (B, C). 2º passo: Remover todas as produções unitárias (A C e B A) e actualizar o conjunto de produções de G, da seguinte forma: para cada par unidade (X, Y), criam-se produções cujas partes esquerdas têm X e as partes direitas são as partes direitas das produções que têm Y à esquerda. Neste caso, criam-se as seguintes produções: Como (A, C) é par unidade, criam-se as produções A 0A (C 0A) e A 1 (C 1) Como (B, A) é par unidade, criam-se as produções B 0 (A 0) e B 0D1 (A 0D1) Como (B, C) é par unidade, criam-se as produções B 0A (C 0A) e B 1 (C 1) Assim, a nova gramática que é equivalente a G tem as seguintes produções: S 0B1D A 0 0D1 0A 1 B 1C 0 0D1 0A 1 C 0A 1 D AB E 1C 7

8 4. Reduza à Forma Normal de Chomsky a gramática G = ( { S, A, B, C, D, E }, { 0, 1 }, { S 0 B 1 D ; A 0; A 0 D 1 ; B 1 C ; C 0 A ; C 1; D A B ; E 1 C }, S ). Uma gramática está na Forma Normal de Chomsky (FNC) se contiver apenas produções de 2 tipos: 1) X AB X, A, B são variáveis (símbolos não terminais) da gramática 2) X a X é variável e a é símbolo terminal Transformar cada uma das produções de G na respectiva FNC: S 0B1D S XBYD S XZ (1) X 0 Z BK (2) Y 1 K YD (3) X 0 (4) Y 1 (5) A 0 (está na FNC) A 0 (6) A 0D1 A XDY A XW (7) X 0 (já existe) W DY (8) Y 1 (já existe) B 1C B YC B YC (9) Y 1 (já existe) C 0A C XA C XA (10) X 0 (já existe) C 1 (está na FNC) C 1 (11) Y 1 (já existe) D AB (está na FNC) D AB (12) E 1C E YC E YC (13) Y 1 (já existe) A gramática G na sua FNC contém as 13 produções determinadas em cima. E. (Autómatos de Pilha Não Determinísticos APND) Construa um APND que aceite a linguagem L = { w {a, b, c}* : w = a n b m c k, com n + k = m }. Indique o critério de aceitação. Autómato desenhado cujo critério de aceitação é pilha vazia. Estratégia para manipulação da pilha: - inserir na pilha (push) um a por cada a lido da sequência de a's (an) - remover da pilha (pop) um a por cada b lido da sequência de b's (bm) - após remover da pilha n a's pelos n b's lidos, inserir na pilha (push) um b por cada b lido do resto da sequência de b's (bm) - remover da pilha (pop) um b por cada c lido da sequência de c's (ck), até a pilha ficar vazia: se chegou-se ao fim da cadeia, a palavra é aceite; caso contrário, a cadeia é não aceite. Um APND possível é o seguinte: Autómato desenhado cujo critério de aceitação é estado final. Estratégia para manipulação da pilha: - inserir na pilha (push) um a por cada a lido da sequência de a's (an) - remover da pilha (pop) um a por cada b lido da sequência de b's (bm) - após remover da pilha n a's pelos n b's lidos, inserir na pilha (push) um b por cada b lido do resto da sequência de b's (bm) - remover da pilha (pop) um b por cada c lido da sequência de c's (ck), até a pilha ficar vazia: se chegou-se ao fim da cadeia, a palavra é aceite e obriga-se o autómato a transitar para o estado final q3 lendo a palavra vazia (λ); caso contrário, a cadeia é não aceite. 8

9 Um APND possível é o seguinte: F. (Máquinas de Turing MT) Construa uma MT que reconheça as palavras da seguinte linguagem: L = { w {a, b, c}* : w = a n b m c k, com n = m + k }. Estratégia para manipulação da MT: - começar por emparelhar cada a da sequência de a's (an) com cada b da sequência de b's (bm); - depois emparelhar cada a do resto da sequência de a's (an) com cada c da sequência de c's (ck). Uma MT possível é a seguinte: Interpretação da MT: Em q0 espera ler da fita um a. Ao ler um a, marca esta posição da fita com *, avança na fita (R) e transita para q1. Em q1 espera ler um b para emparelhar com o a lido antes. Ao ler um b então marca esta posição com *, recua na fita e transita para q2. Em q2 vai recuando até encontar o início da fita, o que acontece quando ler na fita o símbolo. Quando isto acontecer, avança na fita e transita para o estado q0 para que possa recomeçar o processo de emparelhamento de a's com b's ou c's. No entanto, em q1 pode não ter lido nenhum b (todos os b's estão emparelhados com a's). Neste caso, procura ler um c para emparelhar com o a já lido. Quando encontrar um c, marca na fita esta posição com um *, recua na fita e transita para q3. Em q3 vai recuando até encontar o início da fita, o que acontece quando ler na fita o símbolo. Quando isto acontecer, avança na fita e transita para o estado q0 para que possa recomeçar o processo de emparelhamento de a's com b's ou c's. O processo terminar quando não for possível emparelhar o último a lido da fita (a MT fica no estado q1 n > m + k), ou estando a MT no estado q0 leu um b ou c (significa que não há mais a's para emparehar, mas existem b's ou c's por emparelhar n < m + k) neste caso a cadeia é não aceite; ou ainda, estando em q0 leu da fita o símbolo que significa que todos os símbolos estão emparelhados (n = m + k), transitando a MT para o estado aceitante q4 neste caso a cadeia é aceite. 9