UFCG IQuanta DSC. Cheyenne R. G. Isidro Bernardo Lula Júnior

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1 Um Algoritmo para Transformar Autômatos Finitos Não- Determinísticos em Autômatos Finitos Quânticos Preservando o Número de Estados e a Linguagem Reconhecida Cheyenne R. G. Isidro cha@dsc.ufcg.edu.br Bernardo Lula Júnior lula@dsc.ufcg.edu.br UFCG IQuanta DSC

2 Roteiro Motivação Situação e Problema abordado Autômatos Finitos Notação Vetorial Autômato Finito Quântico Algoritmo de Transformação Circuito Quântico para AFQ ancilla Conclusão Bibliografia 09/10/2006 WECIQ

3 Motivação Estudar a Teoria da Computação Clássica no contexto quântico Iniciar com conceitos simples Mostrar vantagens ao utilizar modelo quântico Buscar solução quântica para problemas não resolvidos satisfatoriamente no contexto clássico 09/10/2006 WECIQ

4 Situação Implementar soluções construídas a partir de um AF 1. Construir um AFN que resolve o problema Descrição de aplicações Tratamento formal (prova de teoremas) 2. Transformar o AFN em um AFD equivalente 3. Implementar o AFD 09/10/2006 WECIQ

5 Problema Transformação pode levar à uma explosão do número de estados (no pior caso) AFN n estados AFD 2 n estados 09/10/2006 WECIQ

6 Contexto quântico Com as futuras máquina quânticas, queremos evitar esse problema Transformar AFN em AFQ diretamente sem aumento exponencial no número de estados Solução Algoritmo de transformação AFN para AFQ que preserva a linguagem reconhecida e o número de estados do autômato original 09/10/2006 WECIQ

7 Autômatos Finitos - conceito Autômatos Finitos são elementos essenciais tanto na teoria como na prática computacional. Um Autômato Finito (AF) é uma 5-tupla A = (Q, Σ, δ, q init, Q ac ), onde: Q é um conjunto finito de estados; Σ é um alfabeto de entrada; δ : Q x Σ Q é uma função de transição; q init Q é o estado inicial; Q ac Q é um conjunto de estados de aceitação. 09/10/2006 WECIQ

8 Autômatos Finitos - computação Inicia em q init, A lê símbolo por símbolo da palavra w = w 1 w 2...w n No i-ésimo passo, estando A no estado q, A lê o símbolo w i e atualiza seu estado para δ(q, w i ) = q A aceita w se o autômato pára em um estado de aceitação. A reconhece a linguagem formada pelas palavras aceitas. A classe de linguagens reconhecidas por AFs é a classe das linguagens regulares. 09/10/2006 WECIQ

9 Autômatos Finitos - tipos Autômato Finito Determinístico (AFD) δ(q i, a) = q j Autômato Finito Não-Determinístico (AFN) δ : Q x Σ 2 Q δ(q i, a) = { q j1,...,q jk } Um AFN aceita a palavra w se há um caminho de aceitação dentre os caminhos possíveis. 09/10/2006 WECIQ

10 Autômatos Finitos - equivalência AFD e AFN reconhecem a mesma classe de linguagens. Problema ao transformar um AFN em um AFD equivalente já mostrado 09/10/2006 WECIQ

11 Notação Vetorial Seja um AF A (AFD ou AFN) com n estados. δ é descrita por matrizes de transição M a, de dimensão n x n, uma para cada a Σ. (M a ) ij = 1, sse existe a transição δ(q i, a) = q j (M a ) ij = 0, caso contrário q init é um vetor coluna de dimensão n onde: (q init ) i = 1, se q i = q init (q init ) i = 0, se q i q init 09/10/2006 WECIQ

12 Notação Vetorial Q ac é o vetor coluna onde: (Q ac ) i = 1, se q i Q ac (Q ac ) i = 0, se q i Q ac A quantidade de caminhos de aceitação para uma palavra w é dada por: f(w) = q init T. M w1. M w M wn. Q ac Uma palavra w é aceita se f(w) > 0 09/10/2006 WECIQ

13 09/10/2006 WECIQ Notação Vetorial - exemplo Exemplo: Autômato A Notação matricial de A = = = = e M ,M 1 0 Q, 0 1 q 1 0 ac init Computando a palavra w = 01, temos: [ ] Q M M q (01) f ac 1 0 T init = = = δ(q 2, 0) = {q 2 } δ(q 2, 1) = {q 2 } q init = {q 1 } Q ac = {q 2 } δ(q 1, 0) = {q 1, q 2 } δ(q 1, 1) = {q 2 } Q = {q 1,q 2 } Σ = {0, 1}

14 Autômato Finito Quântico AFQ é uma 5 tupla B = (Q, Σ, δ, q init, Q ac ), onde: Q é um conjunto finito de estados; Σ é um alfabeto de entrada; δ : Q x Σ x Q C é uma função de transição; q init Q é o estado inicial; Q ac Q é um conjunto de estados de aceitação. 09/10/2006 WECIQ

15 Autômato Finito Quântico Os estados do AFQ podem estar em superposição! Superposição é representada por q = α q i Q i q i onde α i é a amplitude do estado q i e α 1 i Q 2 i = A função de transição é definida por δ : Q x Σ x Q C O valor de δ(q 1, a, q 2 ) é a amplitude de q 2 na superposição de estados que B assume ao ler o símbolo a, estando em q 1. 09/10/2006 WECIQ

16 Autômato Finito Quântico Para a Σ, U a é a matriz complexa, de dimensão Q x Q, definida por: U a ( q ) = δ ( q,a,q' ) i q' Q O operador deve ser unitário, logo, deve satisfazer: q,q i j Q,a : q i q' * 1 se qi = qj δ (q i,a,q) δ (q j,a,q) = Q 0 caso contrário Para cada símbolo lido da palavra, B aplica a transformação unitária correspondente U wi 09/10/2006 WECIQ

17 AFQ modelo MO-AFQ MO-AFQ Modelo de Moore e Crutchfield define uma única medição no final da computação da palavra Palavra é aceita se fq (w) = Qac Uw qinit > /10/2006 WECIQ

18 AFQ modelo MM-AFQ MM-AFQ Modelo de Kondacs e Watrous define múltiplas medições, uma a cada leitura de símbolo da palavra Introduz um sexto elemento na tupla, o conjunto de estados de rejeição Q rej. Q ac e Q rej são conjuntos de estados de parada Autômato aceita a palavra, se pára em um dos estados do conjunto Q ac com probabilidade > 0 09/10/2006 WECIQ

19 AFQ MO-AFQ e MM-AFQ Modelos não reconhecem a classe das linguagens regulares Limitação quanto à unitariedade das matrizes. MM-AFQ são mais poderosos que MO-AFQ MM-AFQ reconhece todas as linguagem que o MO-AFQ reconhece. Mas o inverso não ocorre. 09/10/2006 WECIQ

20 AFQ modelo AFQ ancilla AFQ ancilla Modelo de Paschen utiliza qubits auxiliares para tornar as transformações unitárias. AFQ ancilla B é uma 6-tupla B = (Q, Σ, Ω, δ, q init, Q ac ), onde: Q, Σ, q init e Q ac são semelhantes ao modelo MO-QFA; Ω é um alfabeto auxiliar; δ é estendida para δ:q x Σ x Q x Ω C[0,1] com a seguinte restrição: q,q i j Q,a : y * Ω 1 se qi = δ (qi,a,q,y). δ (q j,a,q,y) = *,q Q 0 caso contrário 09/10/2006 WECIQ q j

21 AFQ modelo AFQ ancilla Toda linguagem regular pode ser reconhecida por um AFQ ancilla Paschen prova partindo de um AFD mínimo e construindo um AFQ equivalente. Queremos transformar diretamente um AFN em um AFQ equivalente, preservando o número de estados e a linguagem reconhecida! 09/10/2006 WECIQ

22 Algoritmo Seja A = (Q, Σ, δ, q init, Q ac ) um AFN qualquer. Definimos um AFQ ancilla B = (Q, Σ, Ω, δ, q init, Q ac ), como segue: 1. Q' = { q : q Q} 2. Ω = {0,1} 3. Para cada entrada δ (q i,a) = {q,..., q } j1 j k da função δ definir: 1 δ '(q i, a, qj, 0) =, para todo d, 1 d k, e d k δ '(q i, a, q s, 0) = 0, para todo q s Q {q,...,q j 1 j k } 09/10/2006 WECIQ

23 Algoritmo q ' init = q init Q' = span { q : q } ac Q ac 6. Para cada a, definir a matriz U a como segue: k U q 0 = q δ ' ( q,a, q,0) q a ( ) i i d= 1 As outras entradas são preenchidas com vetores ortonormais arbitrários de forma que a U seja unitária. i j d j d 09/10/2006 WECIQ

24 Exemplo AFN A Q = {q 0,q 1 } Σ = {0, 1} q init = {q 0 } Q ac = {q 1 } δ(q 0, 0) = {q 0,q 1 } δ(q 0, 1) = {q 1 } δ(q 1, 0) = {q 1 } δ(q 1, 1) = {q 1 } AFQ B equivalente Q' = { 0, 1 } Σ = { 0, 1 } q init = { 0 } Q ac = { 1 } U 0 ( 0 0 ) = 0 1/ 2( ) U 0 ( 0 1 ) = 0 1/ 2( 0 1 ) U 0 ( 1 0 ) = 1 0 U 0 ( 1 1 ) = 1 1 / 2 1 / U 0 =[1 ] 1 / 2 1 / U U 1 ( 0 0 ) = 0 1 U 1 ( 0 1 ) = 0 0 U 1 ( 1 0 ) = 1 1 U 1 ( 1 1 ) = =[0 0] /10/2006 WECIQ

25 Circuito Quântico para AFQ ancilla Para w = n e Σ = {0,1} 09/10/2006 WECIQ

26 Circuito Quântico para AFQ ancilla Usa n qubits para Para w = n e representar Σ = {0,1} w 09/10/2006 WECIQ

27 Circuito Quântico para AFQ ancilla Usa n qubits para Para w = n e representar Σ = {0,1} w Usa 2k qubits para as entradas das portas Us 09/10/2006 WECIQ

28 Circuito Quântico para AFQ ancilla Usa n qubits para Para w = n e representar Σ = {0,1} w Usa 2k qubits para as entradas das portas Us Usa k qubits extras no estado 0 para cada símbolo da entrada w 09/10/2006 WECIQ

29 Circuito Quântico para AFQ ancilla Usa n qubits para Para w = n e representar Σ = {0,1} w O número de qubits necessários é h = (k+1). n + 2k Ou seja, O(n) Usa 2k qubits para as entradas das portas Us Usa k qubits extras no estado 0 para cada símbolo da entrada w 09/10/2006 WECIQ

30 Circuito Quântico para AFQ ancilla Para w = n e Σ = {0,1} 09/10/2006 WECIQ

31 Circuito Quântico para AFQ ancilla Para w = n e Σ = {0,1} Usa 2 portas X para cada símbolo da entrada 09/10/2006 WECIQ

32 Circuito Quântico para AFQ ancilla Para w = n e Σ = {0,1} Usa 2 portas X para cada símbolo da entrada Usa 2 portas U para cada símbolo da entrada 09/10/2006 WECIQ

33 Circuito Quântico para AFQ ancilla Para w = n e Σ = {0,1} Usa 2 portas X para cada símbolo da entrada Usa 2 portas U para cada símbolo da entrada Usa 2 portas SWAP para cada n - 1 símbolos da entrada 09/10/2006 WECIQ

34 Circuito Quântico para AFQ ancilla Para w = n e Σ = {0,1} Usa 2 portas X para cada símbolo da entrada Usa 2 portas U para cada símbolo da entrada Usa 2 portas SWAP para cada n - 1 símbolos da entrada O número de portas necessárias é p = (2.X + 2.U). n + 2.SWAP.(n - 1) Que também é O(n) 09/10/2006 WECIQ

35 Conclusão Introduzimos didaticamente a computação quântica a partir de referências da teoria da computação clássica. Mostramos uma das vantagens no uso de Autômatos Quânticos Um AFN pode ser implementado diretamente em hardware quântico sem levar a uma explosão de estados, como acontecia no caso clássico. O modelo de AFQ com qubits auxiliares preserva a linguagem reconhecida e pode ser implementado com custo em escala polinomial ao tamanho da entrada. 09/10/2006 WECIQ

36 Bibliografia Ambainis, A. and Freivalds, R. (1998) 1-Way Quantum Finite Automata: Strengths, Weaknesses and Generalizations, FOCS 1998 Proceedings of the 39 Annual Symposium on Foundations of Computer Science: Kondacs, A and Watrous, J. (1997) On the Power of Quantum Finite State Automata, FOCS 1997: Moore, C and Crutchfield, J. P. (2000) Quantum automata and quantum grammars, In: Theor. Comput. Sci 237(1-2): /10/2006 WECIQ

37 Bibliografia Nielsen, M. A. and Chuang, I. L. (2000) Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press Paschen, K. (2000) Quantum finite automata using ancilla qubits, University of Karlsruhe, Technical report Hopcroft, J. E., Motwani, R. and Ullman, J. D. (2001) Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. Addison-Wesley Publishing Company 09/10/2006 WECIQ