INE5317 Linguagens Formais e Compiladores AULA 6: Propriedades das Linguagens Regulares

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1 INE5317 Linguagens Formais e Compiladores AULA 6: Propriedades das Linguagens Regulares baseado em material produzido pelo prof Paulo B auth Menezes e pelo prof Olinto Jos é Varela Furtado Ricardo Azambuja Silveira INE-CTC-UFSC silveira@inf.ufsc.br URL:

2 Propriedades das LR LR podem ser representadas por formalismos pouca complexidade grande eficiência fácil implementação Entretanto, por ser uma classe relativamente simples é restrita e limitada fácil definir linguagens não-regulares 06/30/06 Ricardo Silveira 2

3 Questões de interesse como determinar se uma linguagem é regular? é fechada para operações de união, concatenação e intersecção? como verificar se uma LR é infinita, finita ou vazia? é possível analisar duas LR e concluir se são iguais ou diferentes? 06/30/06 Ricardo Silveira 3

4 Análise de cada propriedade desenvolvida para um dos formalismos estudados para os demais: é suficiente traduzilos 06/30/06 Ricardo Silveira 4

5 Autômatos finitos X complexidade de algoritmos Autômatos finitos pertencem à classe de algoritmos mais eficientes em termos de tempo de processamento supondo que toda a entrada necessita ser lida Qq autômato finito que solucione um problema é igualmente eficiente a menos de eventual redundância de estados não influi no tempo de processamento Redundância de estados pode ser facilmente eliminada Autômato Finito (Determinístico) Mínimo 06/30/06 Ricardo Silveira 5

6 Bombeamento para as LR Lema do Bombeamento útil no estudo das propriedades das LR Idéia básica se uma linguagem é regular, então é aceita por um AFD com n estados se o autômato reconhece w de comprimento maior ou igual a n assume algum estado q mais de uma vez existe um ciclo na função programa que passa por q 06/30/06 Ricardo Silveira 6

7 Bombeamento para as LR w pode ser dividida em três subpalavras w = uvz tal que uv n, v 1 v é a parte de w reconhecida pelo ciclo, que pode ser executado (bombeado) zero ou mais vezes Portanto para qualquer i 0, uvi z, é aceita pelo autômato 06/30/06 Ricardo Silveira 7

8 Lema do bombeamento para as LR Se L é LR, então: existe uma constante n tal que, para qualquer palavra w de L onde w n, w pode ser definida como w = uvz uv n, v 1 sendo que, para todo i 0, uv i z é palavra de L Prova (direta): Se L é uma LR, então existe um AFD M = (Σ, Q, δ, q0, F) tal que ACEITA(M) = L 06/30/06 Ricardo Silveira 8

9 Prova 06/30/06 Ricardo Silveira 9

10 Prova 06/30/06 Ricardo Silveira 10

11 Exemplo de bombeamento 06/30/06 Ricardo Silveira 11

12 Investigar se uma linguagem é regular ou não Mostrar que é LR representar usando um dos formalismos regulares Mostrar que não é LR Utilizar o Lema do Bombeamento 06/30/06 Ricardo Silveira 12

13 Exemplo: Prove que L não é Regular L = { w w possui o mesmo número de símbolos a e b } Por absurdo. Suponha que L é regular existe AFD M com n estados que aceita L Seja w = a n b n sendo w = 2n n. Logo w = uvz tq uv n v 1 para todo i 0, u vi z é palavra de L Absurdo!!! Como uv n uv é composta exclusivamente por símbolos a uv 2 z não pertence a L (número de a será maior que o de b) 06/30/06 Ricardo Silveira 13

14 Operações fechadas sobre LR Operações sobre LR podem ser usadas para álgebra de LR construir novas linguagens a partir de linguagens conhecidas provar propriedades construir algoritmos Classe de Linguagens Regulares é fechada para união concatenação complemento intersecção 06/30/06 Ricardo Silveira 14

15 Prova União e concatenação Decorrem das difinições das expressões regulares Se r e s são expressões regulares, rs e r+s também são Complemento Suponha L, LR sobre Σ*. Então existe AFD M = (Σ, Q, δ, q0, F) tal que ACEITA(M) = L Idéia: inverter condições ACEITA/REJEITA de M para reconhecer ~L como fazer? e se δ for não-total (rejeitar por indefinição)? 06/30/06 Ricardo Silveira 15

16 complemento 06/30/06 Ricardo Silveira 16

17 Intersecção Suponha L1 e L2 LR Propriedade de DeMorgan para conjuntos L1 L2 = ~(~L1 ~L2) Como a Classe das LR é fechada para complemento e união então também é fechada para a intersecção 06/30/06 Ricardo Silveira 17

18 Exemplo de complemento 06/30/06 Ricardo Silveira 18

19 Linguagem vazia, finita ou infinita Teorema: Linguagem Regular Vazia, Finita ou Infinita Se L é LR aceita por um autômato finito M = (Σ, Q, δ, q0, F) com n estados, então L é Vazia sse M não aceita qualquer palavra w tal que w < n Finita sse M não aceita qualquer palavra w tal que n w < 2n Infinita sse M aceita palavra w tal que n w < 2n 06/30/06 Ricardo Silveira 19

20 Exemplo LR infinita 06/30/06 Ricardo Silveira 20

21 Igualdade de LR Teorema mostra que existe um algoritmo para verificar se dois autômatos finitos são equivalentes reconhecem a mesma linguagem Importante conseqüência existe um algoritmo que permite verificar se duas implementações são equivalentes 06/30/06 Ricardo Silveira 21

22 Igualdade das LR Teorema: Igualdade de Linguagens Regulares Se M1 e M2 são AF, então existe um algoritmo para determinar se ACEITA(M1) = ACEITA(M2) Prova: (direta) Suponha M1 e M2 AF tais que ACEITA(M1) = L1 e ACEITA(M2) = L2 Portanto, é possível construir um AF M3 tal que ACEITA(M3) = L3 L3 = (L1 ~L2) (~L1 L2) Claramente, L1 = L2 sse L3 é vazia existe um algoritmo para verificar se uma LR é vazia 06/30/06 Ricardo Silveira 22

23 Minimização de AFD Complexidade de algoritmos autômatos finitos pertencem à classe de algoritmos mais eficientes em termos de tempo de processamento supondo que toda a fita de entrada necessita ser lida Tempo de processamento não depende do autômato considerado qualquer AFD que reconheça a linguagem terá a mesma eficiência Otimização possível minimização do número de estados 06/30/06 Ricardo Silveira 23

24 Minimização de AFD Definição: Um A.F.D. é mínimo se: Não possui estados inacessíveis; Não possui estados mortos; Não possui estados equivalentes. Um estado q K é inacessível (ou inalcançável) quando não existe w1 tal que a partir de qo, q seja alcançado; ou seja, não existe w 1 δ (qo, w 1 ) = q, onde w1 é uma sentença ou parte dela. Um estado q K é morto se ele F w 1 δ (q, w1) = p, onde p F w 1 é uma sentença ou parte dela, ou seja, q é morto se ele não é final e a partir dele nenhum estado final pode ser alcançado 06/30/06 Ricardo Silveira 24

25 Minimização de AFD Estados Equivalentes: Um conjunto de estados q1, q2,..., qj são equivalentes entre sí, se eles pertencem a uma mesma classe de equivalência. Classes de Equivalência (CE): Um conjunto de estados q1, q2,..., qj está em uma mesma CE se δ(q1, a), δ(q2, a),..., δ(qj, a), para cada a Σ, resultam respectivamente nos estados qi, qi+1,..., qn, e estes pertencem a uma mesma CE. 06/30/06 Ricardo Silveira 25

26 Algoritmo para Construção das Classes de Equivalência 1.Crie, se necessário, um estado para representar as indefinições; 2.Divida K em duas CE, uma contendo F e outra contendo K-F; 3.Divida as CE existentes, formando novas CE (de acordo com a definição lei de formação das CE), até que nenhuma nova CE seja formada. 06/30/06 Ricardo Silveira 26

27 Algoritmo para construção do A.F. Mínimo Entrada: Um A.F.D. M = (K, Σ, δ, qo, F); Saída: Um A.F.D. Mínimo M = (K, Σ, δ, qo, F ) M M; Método: 1.Elimine os estados Inacessíveis; 2.Elimine os estados Mortos; 3.Construa todas as possíveis Classes de equivalência de M. 4.Construa M, como segue: a)k - é o conjunto de CE obtidas; b)qo - é a CE que contem qo; c)f - é o conjunto das CE que contenham pelo menos um elemento F; ou seja : {[q] p F em [q], onde [q] é uma CE}; d) δ - δ ([p], a) = [q] δ(p1, a) = q1 é uma transição de M p1 e q1 são elementos de [p] e [q] respectivamente. 06/30/06 Ricardo Silveira 27

28 Exemplo 06/30/06 Ricardo Silveira 28

29 Exemplo Classes de equivalência 06/30/06 Ricardo Silveira 29

30 Exemplo 06/30/06 Ricardo Silveira 30

31 Minimização de AFD AFD Mínimo ou Autômato Finito Mínimo AFD equivalente, com o menor número de estados possível Autômato finito mínimo é único diferenciando-se, eventualmente, na identificação dos estados 06/30/06 Ricardo Silveira 31

32 Algoritmo de minimizaçãp unifica os estados equivalentes Estados equivalentes processamento de uma entrada qualquer a partir de estados equivalentes resulta na mesma condição de aceita/ Definição formal: M = (Σ, Q, δ, q 0, F) AFD qualquer q e p de Q são Estados Equivalentes sse, para qualquer w Σ* δ(q, w) e δ(p, w) resultam simultaneamente em estados finais, ou não-finais 06/30/06 Ricardo Silveira 32

33 AFD mínimo Seja L uma linguagem regular, O Autômato Finito Mínimo é um AFD Mm = (Σ, Qm, δm, q0m, Fm) tal que ACEITA(Mm) = L para qualquer AFD M = (Σ, Q, δ, q0, F) tal que ACEITA(M) = L #Q #Qm 06/30/06 Ricardo Silveira 33

34 Pré-requisitos Deve ser determinístico Todos os estados devem ser alcançáveis a partir do estado inicial A função programa deve ser total Caso não satisfaça algum dos pré-requisitos gerar um autômato determinístico equivalente eliminar estados inacessíveis (e transições): exercício Transformar a função programa em total introduzir um estado não-final d incluir transições não-previstas, tendo d como estado destino incluir um ciclo em d para todos os símbolos do alfabeto 06/30/06 Ricardo Silveira 34

35 Algoritmo de minimização identifica os estados equivalentes por exclusão tabela de estados marca estados não-equivalentes entradas não-marcadas: estados equivalentes 06/30/06 Ricardo Silveira 35

36 Algoritmo de minimização 06/30/06 Ricardo Silveira 36

37 Algoritmo de minimização 06/30/06 Ricardo Silveira 37

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39 Exemplo de minimização 06/30/06 Ricardo Silveira 39

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