Última atualização 03/09/2009

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1 FACIN-PPGCC 2 1. PANO DE FUNDO Sumário 2. LINGUAGENS Teori d Computilidde Prte I - Teori de Autômtos 3. DEFINIÇÕES RECURSIVAS 4. EXPRESSÕES REGULARES 5. AUTÔMATOS FINITOS Ney Lert Vilr Clzns & Avelino Zorzo 6. GRAFOS DE TRANSIÇÃO 7. TEOREMA DE KLEENE 8. AUTÔMATOS FINITOS COM SAÍDAS {clzns, zorzo}@ }@inf.pucrs.r 9. LINGUAGENS REGULARES 10. LINGUAGENS NÃO-REGULARES Últim tulizção 03/09/ DECIDIBILIDADE 3 1. Pno de Fundo 4 1. Pno de Fundo A teori por trás de computdores Modelos mtemáticos pr descrever: prtes do computdor tipos de computdores máquins similres (e.g. sistems emrcdos) Modelos mtemáticos: Astrem Simplificm Codificm Assim, permitem rcionlizr e descorir sore o que se model ntes não er clro! Mtemático? Modelos, por rciocínio dedutivo conclusões Noção de prov - fundmentl Conclusões em Teori d Computilidde O que pode ou não pode ser feito! Computdores - não menciondos Us-se modelos mtemáticos - Máquins! (Coleção de) Entrds de um máquin Lingugem 1

2 5 1. Pno de Fundo 6 1. Pno de Fundo Fundmentos d Teori d Computilidde Lógic mtemátic Teori de conjuntos, Georg Cntor e conjuntos infinitos Hilert e seus prolems - 23 áres Um dos 23 prolems - teori de conjuntos Todo resultdo comprovável é verddeiro ou Todo resultdo verddeiro é comprovável? Hilert desejv - método gerl de prov! Hilert revisitdo no século XXI: conjunto de progrms de computdor pr resolver (quisquer) prolems mtemáticos Necessidde de Hilert Codificr lingugem universl n qul expressr lgoritmos procedimentos Sinônimos progrms Kurt Gödel: Não existe lgoritmo pr prover provs pr tods s sserções verddeirs em mtemátic! Conseqüênci: 1 - Que sserções têm provs? (Computilidde) 2 - Como se pode gerr ests provs? (Algoritmo) 7 1. Pno de Fundo 8 1. Pno de Fundo Resultdos (Church, Kleene, Post, Mrkov, von Neumnn e Turing): Blocos construtivos (poucos e simples) de modelo universl pr lgoritmos Máquin lgorítmic universl Turing mostrou: Certs questões sore máquin máquin não é cpz de responder! Conseqüêncis: Fim d espernç de Hilert (definitivmente) Modelo de Turing pode ser construído! Em prlelo: Invenção d válvul eletrônic Segund Guerr Mundil Vsts soms em dinheiro Prolem prático - querr o código d Enigm (Turing) Começo Um teorem sore teorems Hoje A invenção mis usd desde rod! 2

3 9 1. Pno de Fundo Pno de Fundo Além d lógic mtemátic Linguístic forml O que é lingugem? Como s pessos s entendem? Como s crinçs s prendem? Chomsky - modelos mtemáticos pr descrição de lingugens Pensmento e prendizdo - Psicologi e Neurologi McCulloch nd Pitts - modelo de rede neurl similr Turing Áres fundmentis de teori d computilidde Teori de Autômtos - ênfse qui Teori de Lingugens Formis Teori de Máquins de Turing - ênfse qui 11 Sumário Lingugens 1. PANO DE FUNDO 2. LINGUAGENS 3. DEFINIÇÕES RECURSIVAS 4. EXPRESSÕES REGULARES 5. AUTÔMATOS FINITOS 6. GRAFOS DE TRANSIÇÃO 7. TEOREMA DE KLEENE 8. AUTÔMATOS FINITOS COM SAÍDAS 9. LINGUAGENS REGULARES 10. LINGUAGENS NÃO-REGULARES 11. DECIDIBILIDADE Elementos definitórios de lingugens formis Alfeto - conjunto finito de símolos Plvr - seqüênci finit de elementos do lfeto Regrs pr formção de plvrs Sentenç - seqüênci finit de plvrs Regrs pr formção de sentençs Lingugem - conjunto de sentençs (ou de plvrs) Lingugens Formis onde form interess, mis que o significdo sintxe interess, não semântic Eu comi três terç-feirs sentenç corret! conceitos de plvr vzi (Λ) e lingugem vzi (Ø) 3

4 13 2. Lingugens Lingugens Lingugens Formis Conjunto de plvrs lingugem sore o lfeto de letrs (conjunto finito) Conjunto de sentençs lingugem sore o lfeto de plvrs (conjunto infinito) eu comi um mçã eu comi dus mçãs eu comi três mçãs etc. ssocindo grmátic definição finit de lingugem infinit Definindo Lingugens (Formis) Regrs de verificção Regrs construtivs Exemplo lfeto Σ = {x} Lingugem L1 = {x, xx, xxx, xxxx, } ou Lingugem L1 = {x n pr n=1, 2, 3, } segund form conceito de conctenção outro conceito comprimento de plvr, length(w) length(xxxx) = 4 length (Λ) = 0. Se length(w)=0, então w= Λ Lingugens Lingugens Exemplo: lingugem Inteiros (p. 11) Função reverse reverse(xxx) = xxx reverse(145) = 541 Exemplo: lingugem PALINDROME Σ = {, } PALINDROME = {Λ, e tods s plvrs sore Σ tl que reverse(x)=x} Fechmento de Kleene Ddo um lfeto Σ, lingugem n qul qulquer plvr (ou cdei) sore símolos do lfeto pertence est. Simologi: Σ* Fechmento de Kleene ou Kleene str um operção Ordem lexicográfic Σ* = {Λ } Kleene str de conjunto de plvrs S - conjunto de plvrs S* - conjunto de tods s cdeis finits formds pel conctenção de plvrs de S ATENÇÃO - não confundir ENGLISH-WORDS* com ENGLISH-SENTENCES Exemplos - S={ } e T={ }. S*, T*? Ftorção de plvrs e ftorção únic 4

5 17 2. Lingugens Lingugens Prov por lgoritmo construtivo Exemplo: S={xx xxx}. S* contém tods s cdeis de x exceto cdei x em si. Provr! x 2 e x 3 trivilmente existem em S* conctenndo sucessivos x 2 pode-se formr tods s cdeis de comprimento pr conctenndo sucessivos x 2 x 3 pode-se formr tods s cdeis de comprimento ímpr Método de prov mis importnte qui! Se Σ=Ø, então Σ*={Λ} Se S={Λ}, então S*={Λ}, porque ΛΛ=Λ Exceto nos dois csos cim, Kleene str é sempre conjunto infinito! Exemplo: S={ } e T={ } S*=T*, porquê? Pr excluir plvr vzi do fechmento, tem-se: se Σ={x}, então Σ + ={x xx xxx } fechmento positivo Exemplo: S={w1 w2 w3} S + ={w1 w2 w3 w1w1 w1w2 w1w3 w2w1 w2w2...} Se w1=, w2=, w3=λ, então S + ={ Λ } Lingugens Fechmento Kleene de um fechmento Kleene: S** ou (S*)* Teorem Pr qulquer conjunto S de cdeis, S*=S** Prov 1) Plvr em S**: formd por ftores de S* 2) Ftor de S*: formdo por ftores de S 3) Plvr em S** é formd por ftores de S 4) plvr de S** é plvr de S*: S** S* (Prte 1) 5) S S*, pois se pode escolher como plvr qulquer ftor de S. 6) S* S** por rciocínio nálogo (Prte 2) 7) juntndo s dus relções, tem-se S*=S** Prolems: 3/7/11/17/19 Q.E.D PANO DE FUNDO 2. LINGUAGENS 3. DEFINIÇÕES RECURSIVAS 4. EXPRESSÕES REGULARES 5. AUTÔMATOS FINITOS 6. GRAFOS DE TRANSIÇÃO 7. TEOREMA DE KLEENE 8. AUTÔMATOS FINITOS COM SAÍDAS 9. LINGUAGENS REGULARES 10. LINGUAGENS NÃO-REGULARES 11. DECIDIBILIDADE Sumário 5

6 21 3. Definições Recursivs Método pr definir conjuntos Formdo por três pssos: 1) Especificr lguns dos ojetos ásicos 2) Fornecer regrs pr construir mis ojetos prtir dos ásicos 3) Estelecer que nenhum ojeto, exceto os ssim formdos fzem prte do conjunto Exemplo - conjunto dos pres - Definição 1 R1) 2 é elemento de PARES R2) Se x é pr, x+2 é elemento de PARES R3) Todos e pens queles elementos otidos pel plicção de R1 e R2 são elementos de PARES Definições Recursivs Exemplo - conjunto dos pres - Definição 2 R1) 2 é elemento de PARES R2) Se x e y são elementos de PARES, x+y é elemento de PARES Exemplo - conjunto dos inteiros positivos (N* N*) R1) 1 é elemento de INTEIROS R2) Se x é elemento de INTEIROS, x+1 é elemento de INTEIROS Exemplo - conjunto dos inteiros (Z) R1) 1 é elemento de INTEIROS R2) Se x e y são elementos de INTEIROS, x+y e x-y são elementos de INTEIROS Definições Recursivs Exemplo - conjunto dos polinômios R1) qulquer número rel é elemento de POLINÔMIO R2) A vriável x é elemento de POLINÔMIO R3) Se p e q são elementos de POLINÔMIO, p+q, p-q, (p) e pq são elementos de POLINÔMIO Mis exemplos - (p. 25) x + x* x odd INTEIROS S* Definições Recursivs Exemplo importnte - expressões ritmétics Σ={ * / ( )} R1) Qulquer número (positivo/negtivo/zero) é elemento de EA R2) Se x é elemento de EA, tmém o são: (x) -x, se x não começ com sinl R3) Se x e y são elementos de EA, tmém o são: x + y, ddo que o primeiro símolo em y é diferente de + e - x - y, ddo que o primeiro símolo em y é diferente de + e - x * y x / y x**y 6

7 25 3. Definições Recursivs Teorems 2/3/4 (EA) Fórmuls em formds (WFFs) Σ={ ( ) c y z} R1) qulquer letr ltin é WFF R2) Se p é WFF, tmém o são (p) e p R3) Se p e q são WFFs, tmém o é p q Prolems: 5/7/13/15/16/ PANO DE FUNDO 2. LINGUAGENS 3. DEFINIÇÕES RECURSIVAS 4. EXPRESSÕES REGULARES 5. AUTÔMATOS FINITOS 6. GRAFOS DE TRANSIÇÃO 7. TEOREMA DE KLEENE 8. AUTÔMATOS FINITOS COM SAÍDAS 9. LINGUAGENS REGULARES 10. LINGUAGENS NÃO-REGULARES 11. DECIDIBILIDADE Sumário Expressões Regulres Novo método pr definir lingugens Mis preciso que uso de elipses (...) Bsedo no conceito de fechmento Kleene Exemplo: L4 = {Λ x xx xxx...} O mesmo pode ser dito: ddo S={x}, L4=S* Outr form L4={x}* Notção reduzid x* - seqüênci de 0 ou mis letrs x x* = Λ ou x ou xx ou xxx ou L4 = lnguge(x*) Outro exemplo: L= {...} L= lnguge(*) Expressões Regulres Outros Exemplos: L1 = {x xx xxx...} L1= lnguge(x + ) Lnguge(**) = {Λ...} Notr que ** ()* L2={x odd } = lnguge(x(xx)*) = lnguge ((xx)*x) Ms L2 lnguge(x*xx*) Nov notção: + x + y - um ds cdeis x ou y Exemplo Σ={ c}, T={ c c c c...} T=lnguge(( + c)*) 7

8 29 4. Expressões Regulres Pr lingugens finits: L = { } L= lnguge(( + ) 3 ) A expressão ( + )* represent tods s possíveis cdeis do lfeto { }, incluindo cdei vzi Expressões Regulres Definição de Expressão Regulr (forml) Símolos de expressões regulres: letrs do lfeto Σ, símolo d plvr vzi Λ, (, ), + e *; R1) Tod letr de Σ pode ser um expressão regulr se escrit em negrito; Λ é um expressão regulr; R2) Se r1 e r2 são expressões regulres, tmém o são: (r1) r1r2 r1 + r2 r1* R3) Nd mis é expressão regulr Expressões Regulres Expressões Regulres Detlhes derivdos + - descrtdo, pois equivlente : * se r1= +, r1* é (+)*, e não +* lingugem vzi não incluíd, formlmente, no conjunto de expressões regulres, ms ceit-se: pr tod expressão regulr r, r + φ = r e φr = φ Exemplos (+)* (+)* conjunto de tods s plvrs com pelo menos 1 donde, (+)* = (+)* (+)* + * ms: * = * + *, * = * + * + *, * = * + (+)* (+)* (+)* = * * (+)* conjunto de tods s plvrs com pelo menos 2 s Mis exemplos * * * conjunto de tods s plvrs com extmente 2 s (+)* (+)* (+)* + (+)* (+)* (+)* conjunto de tods s plvrs com pelo menos 1 e pelo menos 1 igul : (+)* (+)* (+)* + * * (Prov n p. 39) (+)* (+)* (+)* + (+)* (+)* (+)* + * + * = (+)* Um sserção pouco óvi!! Nem tod ER pode ser fcilmente express em plvrs, e.g.: (Λ + *) (* + *)* (* + *) * Não existe lgoritmo pr chr o significdo de um ER! 8

9 33 4. Expressões Regulres Mostrndo diferenç entre ER e álger ( + )* = ( + )* + ( + )* ( + )* = ( + )* + * ( + )* = ( + )* ( + )* ( + )* = ( + )* + ( + )* + Λ ( + )* = ( + )* ( + )* + ** Símolo * denot (em gerl) lingugem infinit Se L é finit, ER em gerl não possui * L = { } L = lnguge ( + + ) Mis exemplos Se V = {Λ...}, V = * + * ou V = (Λ + ) * similr à distriutividde lgéric. CUIDADO!! ()* **!! Expressões Regulres Definição (multiplicção de conjuntos de plvrs) Se S e T são conjuntos de plvrs, define-se o conjunto produto ST como sendo ST = {tods s cominções de um plvr de S conctend com um plvr de T, nest ordem} Exemplo: S = { } e T = { } ST = { } Expressões Regulres Expressões Regulres Definição (lingugem ssocid um ER) Tod ER define um lingugem - regrs de otenção: R1) lingugem ssocid com ER que é letr simples é quel letr e lingugem ssocid Λ é {Λ} R2) se r1 é ER ssocid à lingugem L1 e r2 é ER ssocid com lingugem L2, então: (i) ER (r1) (r2), é ssocid o produto de lingugens L1L2 (ii) ER r1 + r2 é ssocid à união de L1 e L2 (iii) lingugem ssocid à ER (r1)* é L1* Questões erts: qundo ERs diferentes representm mesm lingugem? Algoritmo construtivo do Cpítulo 11 tod ER lingugem. Tod lingugem um ER? Não. Discute-se no Cpítulo 10 Teorem 5 (ERs e lingugens finits) Se L é lingugem finit, L pode ser definid por um ER. Prov: st trnsformr cd plvr em um ER. Dificulddes pr entender um ER (1) (+)* (+) (+)* conjunto de plvrs com lgum letr dord (Λ+)()* (Λ+) conjunto de plvrs sem nenhum letr dord (+)* (+) (+)* + (Λ+)()* (Λ+) = (+)*!! 9

10 37 4. Expressões Regulres Dificulddes pr entender um ER (2) E = (+)* (+)* (+Λ) (+)* (+)* lingugem ssocid --> contém pelo menos 2 s plicndo distriutividde E = (+)* (+)* (+)* (+)* + (+)* (+)* Λ (+)* (+)* primeir prte --> qulquer plvr com pelo menos 3 s segund prte --> qulquer plvr com pelo menos 2 s ou sej, E= (+)* (+)* (+)* Outrs dificulddes (+*)* = (+)*, ms (+*)* (+)* (**)* = (+)* Expressões Regulres Em resumo, não existe (ou não se conhece) um conjunto de regrs lgérics pr reduzir um ER outr equivlente Expressões Regulres Mis um exemplo complicdo o que produz *(*)* (Λ + )?? A lingugem de tods s plvrs sem 2 s consecutivos!! A lingugem EVEN-EVEN E = [ + + ( + )( + )* ( + )]* A lingugem que contém tods s plvrs com número pr de s e de s A ser usd com freqüênci! Prolems - 5/7/14/17/ PANO DE FUNDO 2. LINGUAGENS 3. DEFINIÇÕES RECURSIVAS 4. EXPRESSÕES REGULARES 5. AUTÔMATOS FINITOS 6. GRAFOS DE TRANSIÇÃO 7. TEOREMA DE KLEENE 8. AUTÔMATOS FINITOS COM SAÍDAS 9. LINGUAGENS REGULARES 10. LINGUAGENS NÃO-REGULARES 11. DECIDIBILIDADE Sumário 10

11 41 5. Autômtos Finitos Autômtos Finitos Mis um método pr definir lingugens! Por quê finito? Porque o número de estdos é finito! Por quê utômto? Porque trnsição entre estdos é governd unicmente pel sus entrds (como utômto, não tem vontde própri!) Em inglês se us o termo em grego: um utomton vários utomt Definição de Autômto Finito - um utômto finito é um tripl ssim definid: 1. Um conjunto finito de estdos; um estdo é o estdo inicil e um suconjunto dos estdos (possivelmente vzio) representm estdos finis; 2. Um lfeto Σ de possíveis letrs de entrd; 3. Um conjunto finito de trnsições, que design qul o estdo pr onde ir prtir d recepção de um letr de entrd, estndo o utômto em um ddo estdo Autômtos Finitos Autômtos Finitos Definição descreve o que é utômto, não como ele funcion. Funcionmento: prtir do estdo inicil, dd um seqüênci de letrs de entrd, o utômto trnsicion entre estdos, um pr cd letr processd n seqüênci dd. Exemplo de utômto finito (FA) 1. S={x, y, z}; 2. Σ={,}; 3. Trnsições: de x, com entrd, vá pr y de x, com entrd, vá pr z de y, com entrd, vá pr x de y, com entrd, vá pr z de z, com qulquer entrd, permneç em z. Estdo inicil Estdos finis Dd um seqüênci de letrs (um plvr) utômto ceit plvr se, prtindo do estdo inicil, o processmento de tod seqüênci deix o utômto em lgum estdo finl. Conjunto de plvrs ceits definem lingugem ceit pelo utômto Autômto ceit ou rejeit plvrs Autômtos podem ser vistos como reconhecedores de lingugens Exercício - definir um ER pr lingugem ceit pr o utômto exemplo! (+)* (+)* 11

12 45 5. Autômtos Finitos Autômtos Finitos Formtos de presentção de utômtos tels de trnsição - pr o exemplo, tem-se: x (Inicil) y z y x z z (Finl) z z digrms de trnsição - pr o exemplo, tem-se: x- y z+ Testr funcionmento pr s plvrs: - - Exemplos 1. Aceit (+)(+)* = (+) + 2. Aceit (+)* +/-, 3. Não ceit nd (nem Λ), porquê? - - +,, Autômtos Finitos Autômtos Finitos FAs e s lingugens definids por eles Qundo se define lingugens com ER Fácil gerr plvrs ceits pel lingugem Difícil vlir se dd plvr é ceit Oposto ocorre com FAs Fácil vlir se plvr pertence à lingugem Menos fácil definir suconjunto de plvrs ceits Assim questões importntes sore máquins (ER/FA): Dd um lingugem, pode-se construir um máquin? Dd um máquin, pode-se deduzir su lingugem? Exemplos Lingugem sore Σ={,} que ceit plvrs com número de letrs pr Lingugem dd por (+)* x- y z+,, Ou, 1-+ 2, x- y z+, t+,, 12

13 49 5. Autômtos Finitos Exemplo: Construir lingugem sore Σ={,} que ceit plvrs com triplos s ou triplos s Autômtos Finitos Exemplo: Que lingugem é ceit pelo FA? - +, , A lingugem (+)*(+) (+)* Autômtos Finitos Autômtos Finitos Mis exemplos (págins 64-71): (+)(+)(+)* + lingugem que ceit qulquer cdei de s e s onde o número de s é múltiplo de 3 (com e sem Λ) lingugem {Λ} (+)* lingugem de tods s plvrs que não terminm com lingugem de tods s plvrs que possuem número ímpr de s Mis exemplos (págins 68/69/70/71): lingugem de tods s plvrs que possuem dois s consecutivos lingugem de tods s plvrs onde primeir letr é diferente d últim EVEN-EVEN FA pr detectr sucdei ct em um texto em inglês, composto de letrs e espços Prolems: 2/3/4/6/7/16/17/19 13

14 53 Sumário Grfos de Trnsição 1. PANO DE FUNDO 2. LINGUAGENS Mis um método pr definir lingugens! 3. DEFINIÇÕES RECURSIVAS 4. EXPRESSÕES REGULARES 5. AUTÔMATOS FINITOS 6. GRAFOS DE TRANSIÇÃO Muito precido com FAs, ms mis flexível 7. TEOREMA DE KLEENE 8. AUTÔMATOS FINITOS COM SAÍDAS 9. LINGUAGENS REGULARES 10. LINGUAGENS NÃO-REGULARES Mis propenso confusões de interpretção 11. DECIDIBILIDADE Grfos de Trnsição Grfos de Trnsição Relxndo s restrições sore FAs: 1. Múltipls letrs por trnsição 2. Trnsições implícits - + Tudo mis, -,, Eqüivle :,, + Definição de ceitção de um plvr por um grfo de trnsição Em um grfo de trnsição, qundo um plvr que não foi completmente processd lcnç um estdo que el não pode deixr porque não existe rest de síd que poss ser seguid, diz-se que máquin (ou entrd) quer (em inglês, crshes ) nquele estdo. Execução então termin e entrd é rejeitd.,

15 57 6. Grfos de Trnsição Grfos de Trnsição Prolems com grfos de trnsição (TG) o TG ixo ceit ou não cdei?,, - +, Quntos cminhos distintos de ceitção de existem no TG ixo? - + Definição de Grfo de Trnsição (TG) Um grfo de trnsição é um tripl ssim definid: 1. Um conjunto finito de estdos; pelo menos um estdo é o estdo inicil (-) e um suconjunto dos estdos (possivelmente vzio) representm estdos finis (+); 2. Um lfeto Σ de possíveis letrs de entrd, prtir do qul se formm seqüêncis ( cdeis ); 3. Um conjunto finito de trnsições (rótulos de rests do grfo), que design qul o estdo pr onde ir prtir d recepção de um suseqüênci de letrs (inclusive seqüênci vzi Λ), estndo o utômto em um ddo estdo Grfos de Trnsição Grfos de Trnsição IMPORTANTE - o conceito de ceitção de plvrs mud de FA pr TG: Em FAs tod plvr é ceit ou rejeitd de form determinístic (todos os cminhos são explicitmente definidos, tod trnsição depende de processr extmente um letr do lfeto) Em TGs um plvr é ceit se existe pelo menos um mneir de processr tod plvr de form chegr em lgum estdo finl. Se mesm plvr levr quers (crshes) ou estdos não finis, estes cminhos são ignordos (ddo que primeir condição sej tendid). Exemplos (págins 80-85): TGs com trnsições ssocids à Λ TGs com vários estdos iniciis (simuldos ou não) exemplos de TGs com L={}, L={Λ} (+)* (+)* + (+)* TG que ceit plvrs terminds por pelo menos 3 s consecutivos e que tem s sempre os pres TG pr EVEN-EVEN TG que ceit de infinits mneirs Sempre há como eliminr rests Λ (Chp 7) 15

16 61 6. Grfos de Trnsição Definição - Grfo de Trnsição Generlizdo (GTG) Um grfo de trnsição é um tripl ssim definid: 1. Um conjunto finito de estdos; pelo menos um estdo é estdo inicil (-) e um suconjunto dos estdos (possivelmente vzio) são estdos finis (+); 2. Um lfeto Σ de possíveis letrs de entrd; 3. Um conjunto finito de rests conect lguns pres de estdos, cd um dests sendo rotuldo com um expressão regulr. - * (+)* (+Λ) * Grfos de Trnsição Não-determinismo seguinte construção é possível (se não fosse, seri fcilmente reproduzível de outrs forms menos clrs): o cminho pr ceitr um cdei em um TG NÃO depende pens ds entrds, máquin propici lgums determinções por si!! Grfos de Trnsição 64 Sumário Prolems: 1/2/3/6/8/15/19 1. PANO DE FUNDO 2. LINGUAGENS 3. DEFINIÇÕES RECURSIVAS 4. EXPRESSÕES REGULARES 5. AUTÔMATOS FINITOS 6. GRAFOS DE TRANSIÇÃO 7. TEOREMA DE KLEENE 8. AUTÔMATOS FINITOS COM SAÍDAS 9. LINGUAGENS REGULARES 10. LINGUAGENS NÃO-REGULARES 11. DECIDIBILIDADE 16

17 65 7. Teorem de Kleene Teorem 6 (Teorem de Kleene ) Qulquer lingugem que pode ser definid por: um expressão regulr, ou um utômto finito, ou um grfo de trnsição pode ser definid por qulquer dos três métodos. Resultdo mis fundmentl e mis importnte d teori de utômtos finitos Lógic d prov - rzovelmente complex pr provr equivlênci de três sserções ZAPS=ZEPS=ZIPS, prov-se que: ZAPS ZEPS ZIPS ZAPS Teorem de Kleene Estrutur d Prov: Prte 1 - Tod lingugem que pode ser definid por um utômto finito tmém pode ser definid por um grfo de trnsição. Prte 2 - Tod lingugem que pode ser definid por um grfo de trnsição tmém pode ser definid por um expressão regulr. Prte 3 - Tod lingugem que pode ser definid por um expressão regulr tmém pode ser definid por um utômto finito Teorem de Kleene Teorem de Kleene Prov d Prte 1 (Tod lingugem que pode ser definid por um utômto finito tmém pode ser definid por um grfo de trnsição) Prte mis fácil (decorre ds definições de FA e TG) Todo FA é um TG. Logo, tod L definid por um FA já está utomticmente definid por um TG. Prov d Prte 2 (Tod lingugem que pode ser definid por um grfo de trnsição tmém pode ser definid por um expressão regulr) Algoritmo construtivo pr pr trnsformr um TG em um expressão regulr Pr ser válido como prov todo lgoritmo deve: vler pr qulquer TG terminr em tempo finito (executr em número finito de pssos) Primeiros pssos do lgoritmo (Prte 2). Sem lterr lingugem ceit: Trnsformr TG pr ter pens 1 estdo inicil Fzer estdo inicil não ter nenhum rest entrndo nele Trnsformr TG pr ter pens 1 estdo finl Fzer estdo finl não ter nenhum rest sindo dele 17

18 69 7. Teorem de Kleene Teorem de Kleene Torn-se: Λ Λ Λ Torn-se: 9 Λ Λ 12 + Segundo psso do lgoritmo (Prte 2). Iter com terceiro psso. Sem lterr lingugem ceit: Eliminr rests prlels, ou sej, s que têm mesm origem e mesmo destino... x x... r1 r2 r3 r1 r1+r2+r r1+r r Teorem de Kleene Teorem de Kleene Terceiro psso do lgoritmo (Prte 2). Iter com segundo psso. Sem lterr lingugem ceit: Eliminr todos os vértices diferentes de e +... r1 1 2 r r1r Terceiro psso (continução) r r1 2 r r2 r r1 2 r r2... r1r2*r r1r2*r r1r2*r r1r2*r

19 73 7. Teorem de Kleene Algoritmo construtivo (prov d Prte 2): Psso 1 Crir um único estdo inentrável, e um único + insível Psso 2 Um um, elimine estdos diferentes de e + no TG, lterndo o mesmo pr mnter lingugem intct, segundo s regrs nteriores Psso 3 Qundo dois estdos são unidos por mis de um rest n mesm direção, unifique-s, somndo seus rótulos Psso 4 Qundo tudo que sorr for e + e um rest os unindo, expressão regulr sore est rest ger mesm lingugem que o TG de prtid Teorem de Kleene Prov d Prte 3 (Tod lingugem que pode ser definid por um expressão regulr tmém pode ser definid por um utômto finito) A mis complicd Série de lgoritmos construtivos pr converter ERs em FAs Um lgoritmo pr cd elemento definitório de ERs: letrs e plvr vzi (Regr 1) lterntiv (+) (Regr 2) conctenção (Regr 3) fechmento Kleene (*) (Regr 4) Cd Regr - prov correspondente Teorem de Kleene Regr 1 Existe um FA que ceit qulquer letr do lfeto e existe um FA que ceit somente plvr vzi (Λ). Prov: 1) se x está em Σ, então o FA ixo ceit pens plvr x. Qquer letr Qquer letr exceto x 2) um FA que ceit pens Λ prece ixo. -/+ x - + Qquer letr Qquer letr... Qquer letr Teorem de Kleene Regr 2 Se existe FA1 que ceit L1=L(r1) e FA2 que ceit L2=L(r2), existe FA3 que ceit L3=L(r1+r2), onde r1 e r2 são ERs. Prov (lgoritmo construtivo no livro) Como construir FA3 de FA1 e FA2? Exemplos Gui pr solução estdos de FA3 registrm onde se encontrm FA1 e FA2 cd letr processd Se FA1 tem n estdos e FA2 tem m estdos FA3 terá no máximo n.m estdos Cd estdo de FA3 corresponde um pr de estdos, um de FA1 e um de FA2. 19

20 77 7. Teorem de Kleene Regr 3 - Se existe FA1 que ceit L1=L(r1) e FA2 que ceit L2=L(r2), existe FA3 que ceit L3=L(r1r2), onde r1 e r2 são ERs. Prov Algoritmo Construtivo 1 Crir um estdo z pr cd estdo x não-finl de FA1, lcnçdo ntes de lcnçr qulquer estdo finl de FA1. 2 Pr cd estdo finl de FA1, estelecer um estdo z que express s opções de continur em FA1 ou ir pr FA2. 3 Após lcnçr um estdo slt-pr-fa2 qulquer estdo lcnçdo possui possiiliddes x e y como n máquin união, com opção dicionl de que tod vez que se lcnç um estdo finl de FA1 pode-se de novo exercitr opção de ir pr y1 (primeiro estdo de FA2) 4 Os estdos finis são os estdos z que contêm lgum estdo finl de FA Teorem de Kleene Regr 4 - Se existe FA1 que ceit L1=L(r1), existe FA2 que ceit L2=L(r1*), onde r1 é ER. Prov Ddo um FA1 com estdos x1,x2,... 1) Crir um estdo pr cd suconjunto de xizes. Eliminr suconjuntos que contenhm um estdo finl e não contenhm o estdo inicil. 2) Pr todos os estdos não-vzios, desenhr um rest e um rest pr tod coleção de estdos lcnçável no FA originl prtir dos xizes componentes do estdo de prtid, vi um únic rest ou, respectivmente Teorem de Kleene Prov Continução 3) Nomer o estdo vzio com -/+ e o conectr quisquer estdos que o estdo de prtid estej conectdo por rests ou, mesmo o próprio estdo inicil. 4) Colocr sinis + em todo estdo contendo um componente x que é estdo finl no FA Teorem de Kleene Definição de Autômto Finito Nãodeterminístico: É um TG com um único estdo inicil e com propriedde que cd um dos rótulos de sus rests é um únic letr do lfeto. Teorem 7 Pr todo NFA, existe um FA que ceit mesm lingugem. NFAs e o Teorem de Kleene NFAs e o Teorem 7 fornecem outro meio de relizr prov do Teorem de Kleene Prolems: 1/2/4/5/6/14 20

21 81 1. PANO DE FUNDO 2. LINGUAGENS 3. DEFINIÇÕES RECURSIVAS 4. EXPRESSÕES REGULARES 5. AUTÔMATOS FINITOS 6. GRAFOS DE TRANSIÇÃO 7. TEOREMA DE KLEENE 8. AUTÔMATOS FINITOS COM SAÍDAS 9. LINGUAGENS REGULARES 10. LINGUAGENS NÃO-REGULARES 11. DECIDIBILIDADE Sumário Autômtos Finitos com Síd Em usc de um modelo (mtemático) de um computdor cdei de Entrd progrm(s) e ddos Ler letrs de um FA executr instruções, escrever n memóri extern, etc. Prte do etc. são s síds! Síd pode ser vist como prte do estdo Ou não! Únic tref que máquins relizm té gor é reconhecer um lingugem Se gerção de síds for explicitd, isto mud! Autômtos Finitos com Síd Autômtos Finitos com Síd Definição de Máquins de Moore (1956) É um quíntupl formd por: 1. Um conjunto finito de estdos q0, q1, q2,..., onde q0 é o estdo inicil; 2. Um lfeto Σ de possíveis letrs de entrd; 3. Um lfeto Γ de crcteres de síd; 4. Um tel de trnsição, que design pr cd pr (estdo, letr de entrd) qul o estdo pr onde ir seguir; 5. Um tel de síd, que design pr cd estdo qul o crctere de síd ser impresso. Definição de Máquins de Mely (1955) É um quádrupl formd por: 1. Um conjunto finito de estdos q0, q1, q2,..., onde q0 é o estdo inicil; 2. Um lfeto Σ de possíveis letrs de entrd; 3. Um lfeto Γ de crcteres de síd; 4. Um representção pictóric, n form de um grfo onde vértices representm estdos e rests representm trnsições entre estdos. Arests são dotds de rótulos x/y, representndo letr de entrd que produz trnsição (x) e letr de síd gerd pel trnsição (y). 21

22 85 8. Autômtos Finitos com Síd Lemrndo Máquins de Moore/Mely não ceitm/rejeitm cdeis (ção não definid) Síd pode funcionr pr identificr tl reconhecimento Por exemplo, um máquin pode escrever 1 pr indicr reconhecimento de plvr de um lingugem e escrever 0 cso contrário Autômtos Finitos com Síd Moore = Mely Definição de equivlênci dd um máquin de Mely Me e um máquin de Moore Mo, que imprime o crctere x no estdo inicil, diz-se que Me e Mo são equivlentes se pr qulquer cdei de entrd cdei de síd de Mo é extmente x conctendo com cdei de síd de Me. Teorem 8 Se Mo é um máquin de Moore, então existe um máquin de Mely Me que é equivlente Mo. Teorem 9 Pr tod máquin de Mely Me, existe um máquin de Moore Mo equivlente Me Autômtos Finitos com Síd Prov do Teorem 8 (lgoritmo construtivo) Prov do Teorem 9 (lgoritmo construtivo) /0 /1 c /0 q4 /1 /1 q4/t /t c/t q1_4/0 /t /1 q2_4/1 q4 /1 / Autômtos Finitos com Síd Conceito de trnsdutores Autômtos com síds são ditos trnsdutores clr conexão com circuitos eletrônicos Em trnsdutores, o número totl de estdos limit quntidde de históri pssd sore qul o circuito se sei pr gerr s sus síds. Estdos vinculdos vlores rmzendos em its de memóri de um registrdor de estdo e. g. um microprocessdor com 3000 its em seu registrdor de estdos pode lemrr-se (no máximo) do que conteceu há ciclos de relógio trás! Prolems: 1/2/3/4/6 /1 22

23 89 Sumário Lingugens Regulres 1. PANO DE FUNDO 2. LINGUAGENS 3. DEFINIÇÕES RECURSIVAS 4. EXPRESSÕES REGULARES 5. AUTÔMATOS FINITOS 6. GRAFOS DE TRANSIÇÃO 7. TEOREMA DE KLEENE 8. AUTÔMATOS FINITOS COM SAÍDAS 9. LINGUAGENS REGULARES 10. LINGUAGENS NÃO-REGULARES Definição de Lingugem Regulr: tod lingugem que pode ser definid por um expressão regulr. Teorem 10 Se L1 e L2 são lingugens regulres, então L1+L2, L1L2 e L1* são lingugens regulres. Prov Bsed n prov do teorem de Kleene, um vez que L1 e L2, sendo regulres, têm expressões regulres que lhes germ. 11. DECIDIBILIDADE Lingugens Regulres Definição de Complemento de Lingugem Regulr: Se L é um lingugem regulr sore o lfeto Σ, define-se seu complemento, L como sendo lingugem de tods s cdeis de letrs de Σ que não são plvrs de L. Teorem 11 Se L é um lingugem regulr, então L tmém é um lingugem regulr. Prov Se L é regulr, se-se que existe um FA que ceit. Construir FA, onde únic diferenç é que o(s) estdo(s) finl(is) de FA não são finis em FA e vicevers. Este FA ceit L. Logo, L é regulr Lingugens Regulres Teorem 12 Se L1 e L2 são lingugens regulres, então L1 L2 tmém é lingugem regulr. Prov Usndo-se Lei de de Morgn, que vle pr quisquer conjuntos, tem-se: L1 L2 = (L1 + L2 ) Como L1 e L2 são regulres, e seus complementos tmém, interseção de L1 e L2 é um lingugem regulr. Prolems: 1/2/3/4/18 23

24 93 1. PANO DE FUNDO Sumário Lingugens Não-Regulres Prolems: 1/2/5/15/16(ii) 2. LINGUAGENS 3. DEFINIÇÕES RECURSIVAS 4. EXPRESSÕES REGULARES 5. AUTÔMATOS FINITOS 6. GRAFOS DE TRANSIÇÃO 7. TEOREMA DE KLEENE 8. AUTÔMATOS FINITOS COM SAÍDAS 9. LINGUAGENS REGULARES 10. LINGUAGENS NÃO-REGULARES 11. DECIDIBILIDADE PANO DE FUNDO Sumário Decidiilidde Prolems: 1/2/3/4/5/9/10/11/12/13 2. LINGUAGENS 3. DEFINIÇÕES RECURSIVAS 4. EXPRESSÕES REGULARES 5. AUTÔMATOS FINITOS 6. GRAFOS DE TRANSIÇÃO 7. TEOREMA DE KLEENE 8. AUTÔMATOS FINITOS COM SAÍDAS 9. LINGUAGENS REGULARES 10. LINGUAGENS NÃO-REGULARES 11. DECIDIBILIDADE 24