INE Fundamentos de Matemática Discreta para a Computação

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1 INE Fundmentos de Mtemátic Discret pr Computção 6) Relções de Ordenmento 6.1) Conjuntos Prcilmente Ordendos (Posets( Posets) 6.2) Extremos de Posets 6.3) Reticuldos 6.4) Álgers Boolens Finits 6.5) Funções Boolens

2 Reticuldos ( (lttices) Definição: : Um poset (L, ) ) é chmdo de reticuldo se todo pr de elementos {,} possui tnto um menor cot superior (LUB) como um mior cot inferior (GLB). Reticuldos possuem muits proprieddes especiis. São usdos em muits plicções diferentes tis como modelos de fluxo de informção. Eles tmém têm um ppel importnte em álger oolen. Oservção: : denot-se LUB({,}) por (operção de junção ão) ) e denot-se GLB({,}) por (operção de encontro).

3 Reticuldos ( (lttices) Exemplo: : Determine se os posets representdos por cd um dos digrms de Hsse ixo são reticuldos. f (A) (B) (C) f h e d e e f g c d c c d Os posets (A) e (C) são reticuldos, pois cd pr de elementos tem tnto um LUB como um GLB. Já o poset (B) não é um reticuldo, pois os elementos e c não possuem menor cot superior note que d, e, f são cots superiores, ms nenhum destes 3 elementos precede os outros 2 com respeito o ordenmento deste poset.

4 Reticuldos ( (lttices) Exemplo: : Determine se (P(S), ) é um reticuldo, onde S é um conjunto. Sejm A e B dois suconjuntos de S. Então: LUB (junção) de A e B é su união A B A B e GLB (encontro) de A e B é su intersecção A BA logo, (P(S), ) é um reticuldo. Exemplo: : Considere o poset (Z +, ), onde se e somente se. Então (Z +, )) é um reticuldo em que s operções de junção e encontro de e são, respectivmente: = mmc(,) e = mdc(,)

5 Reticuldos ( (lttices) Exemplo: : Determine se os posets ({1,2,3,4,5}, ) e ({1,2,4,8,16}, ) são reticuldos. Solução: Um vez que 2 e 3 não possuem cots superiores em ({1,2,3,4,5}, ), eles certmente não têm um menor cot superior e o primeiro poset não é um reticuldo. Cd 2 elementos do segundo poset possuem tnto um menor cot superior como um mior cot inferior. LUB de 2 elementos neste poset: : mior deles GLB de 2 elementos neste poset: : menor deles logo, o 2 o poset é um reticuldo. 5

6 Reticuldos ( (lttices) Teorem: : Se (L( 1, 1 ) e (L 2, 2 ) são reticuldos, então (L, 3 ) é um reticuldo, onde L=L 1 L 2 e ordem prcil 3 é ordem prcil produto definid por (,) 3 (,, ), se 1 em L 1 e 2 em L 2. Exemplo: : Sejm L 1 e L 2 os reticuldos representdos pelos digrms de Hsse ixo: I 1 I 2 O 1 O 2

7 Reticuldos ( (lttices) Exemplo (cont.): : Então L = L 1 L 2 é o reticuldo: (I 1,I 2 ) (I 1,) (O 1,I 2 ) (I 1,) (O 1,) (I 1,O 2 ) (O 1,) (O 1,O 2 )

8 Su-reticuldos ( (sulttices) Definição: : Sej (L, ) ) um reticuldo. Um suconjunto S de L, S L, é chmdo de um su-reticuldo de L se S S e S S sempre que S S e S. Exemplo: : Os reticuldos (D( n, ), de todos os divisores de n com relção de divisiilidde, são su-reticuldos do reticuldo (Z +, )

9 Su-reticuldos ( (sulttices) Exemplo: : Considere o reticuldo L mostrdo n fig. (). I I () () (c) (d) I e c f e f e f c O O O O suconjunto prcilmente ordendo () não é um su-reticuldo de L pois S e S. O suconjunto prcilmente ordendo (c) não é um su-reticuldo de L pois =c S entretnto, S c é um reticuldo por si mesmo. O suconjunto prcilmente ordendo (d) é um su-reticuldo de L.

10 Isomorfismo entre reticuldos Definição: Se f:l 1 L 2 é um isomorfismo do poset (L 1, 1 ) pr o poset (L 2, 2 ), então L 1 é um reticuldo se e somente se L 2 for um reticuldo (plicção de teorem visto). De fto, se e são elementos de L 1, então f( )=f() )=f() f() f() e f( ) )=f() =f() f( f() L 1 e L 2 são reticuldos isomórficos. 10

11 Proprieddes de reticuldos Relemrndo os significdos de e : 1. e ( é um cot superior de e de ); 2. se c c e c, então c c ( é menor cot superior de e de ); Anlogmente: 1. e ( é um cot inferior de e de ); 2. se c e c, c então c c ( é mior cot inferior de e de ).

12 Proprieddes de reticuldos Teorem: : Sej L um reticuldo. Então, pr todo e em L: ) = ) = c) = = Prov (): ( )) suponh que =. Como é o LUB({,}), tem-se que = ; ( ) como, temos que é um cot superior de {,} e, pel definição de LUB, temos que.. Ms como tmém m é um cot superior de {,}, temos que e portnto =.

13 Proprieddes de reticuldos Teorem: : Sej L um reticuldo. Então, pr todo e em L: ) = ) = c) = = Prov (): ( )) suponh que =. Como é o GLB({,}), tem-se que = ; ( ) como, temos que é um cot inferior de {,} e, pel definição de GLB, temos que. Ms como tmém m é um cot inferior de {,}, temos que e portnto =.

14 Proprieddes de reticuldos Teorem: : Sej L um reticuldo. Então, pr todo e em L: ) = ) = c) = = Prov (c): De () temos que = portnto: =, ms por () =, = =

15 Proprieddes de reticuldos Teorem: : Sej L um reticuldo. Então: ) = ) = ) = ) = ) ( c) = ( ) c ) ( c) = ( ) c ) ( ) = ) ( ) = Idempotênci Comuttividde Associtividde Asorção 15

16 Proprieddes de reticuldos Teorem: : Sej L um reticuldo. Então pr todo,,c L: 1. Se, então ) c c ) c c 2. c e c c 3. c e c c 4. Se e c d, então ) c d ) c d

17 Tipos especiis de reticuldos Definição: : Um reticuldo L é dito limitdo se L tem um mior elemento I e um menor elemento O. Exemplos: Z +, so ordem prcil de divisiilidde, tem um menor elemento ms não tem um mior elemento não limitdo. Z,, so ordem prcil menor ou igul não tem nem mior nem menor elemento não limitdo. O reticuldo (2 S, ), de todos os suconjuntos de um conjunto finito S, é limitdo: I=S e O={ }

18 Tipos especiis de reticuldos Not: : Se L é um reticuldo limitdo, então, L: ) O I ) O = c) O = O d) I = I e) I = Teorem: : Sej L={ 1, 2, 3,..., n } um reticuldo finito. Então L é limitdo. Prov: O mior elemento de L é n O menor elemento de L é n

19 Tipos especiis de reticuldos Definição: : Um reticuldo é chmdo distriutivo se, pr quisquer elementos,,c L, vlem s seguintes regrs: ) ( ( c) = ( ) ) ( c) ) ( ( c) = ( ) ) ( c) Not: : As leis distriutivs vlem qundo quisquer 2 dos elementos,, ou c são iguis, ou qundo qulquer 1 dos elementos é O ou I. Est oservção reduz o número n de csos que devem ser verificdos n determinção d distriutividde de um reticuldo. Entretnto, verificção d distriutividde é gerlmente trlhos.

20 Reticuldos distriutivos Exemplo: : O reticuldo mostrdo ixo é distriutivo: lei de distriutividde vle pr todos os trios ordendos escolhidos entre os elementos,,c,d,e,f. I c d e f O 20

21 Reticuldos distriutivos Exemplo: : Mostre que os reticuldos mostrdos ixo não são distriutivos: I I c c O O () ()

22 Reticuldos distriutivos Exemplo (cont.): : Mostre que os reticuldos não são distriutivos: Reticuldo (): Temos: enqunto: Reticuldo (): Oserve que: enqunto: ( c) = I = ( ) ) ( c) = O = ( c) = I = ( ) ) ( c) = O O = O Teorem: : Um reticuldo L é não-distriutivo se e somente se contiver um su-reticuldo que sej isomórfico um dos 2 reticuldos do exemplo nterior.

23 Tipos especiis de reticuldos Definição: : Sej L um reticuldo limitdo com mior elemento I e menor elemento O,, e sej L. Um elemento L é chmdo de um complemento de se: = I e = O. Oserve que O = I e I = O. Exemplo: : O reticuldo (2 S, ) é tl que todo elemento tem um complemento, pois se A 2A S, então o seu complementr tem s proprieddes: A A = S (=I) e A A = { } (=O) ele tmém é distriutivo, pois s operções de união e intersecção stisfzem às leis de distriutividde pr reticuldos.

24 Reticuldos ( (lttices) Exercício: : Determine se o digrm de Hsse ixo represent um reticuldo. g h f d c e

25 Reticuldos ( (lttices) Exercício: : Determine se o poset A={2,3,6,12,24,36,72}, so relção de divisiilidde ( ), represent um reticuldo. Exercício: : Determine se o reticuldo ixo é distriutivo e tmém se os seus elementos possuem complementos. d f c e 25