FACIN-PPGCC. Teoria da Computabilidade Parte II - Autômatos de Pilha e Máquinas de Turing. Sumário. Ney Laert Vilar Calazans. 12.

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1 FACIN-PPGCC Teori d Computbilidde Prte II - Autômtos de Pilh e Máquins de Turing Ney Lert Vilr Clzns clzns@inf.pucrs.br 2 Sumário 12. GRAMÁTICAS LIVRES DO CONTEXTO 14. AUTÔMATOS DE PILHA 19. MÁQUINAS DE TURING 20. MÁQUINAS DE POST 21. TEOREMA DE MINSKY 23. LINGUAGENS DE MÁQUINAS DE TURING 24. A HIERARQUIA DE CHOMSKY 25. COMPUTADORES Últim tulizção 25/11/ Grmátics Mis um método pr definir lingugens Exemplo: 1. Um sentenç é um sujeito seguido de um predicdo. 2. Um sujeito pode ser um expressão nominl. 3. Um expressão nominl pode ser um djetivo seguido por um expressão nominl. 4. Um expressão nominl pode ser um rtigo seguido por um expressão nominl. 5. Um expressão nominl pode ser um nome. 6. Um predicdo pode ser um verbo seguido por um expressão nominl. 7. Um nome pode ser pple ber ct dog. 8. Um verbo pode ser ets follows gets hugs. 9. Um djetivo pode ser itchy jumpy. 10. Um rtigo pode ser n the. Frses válids n lingugem: The itchy ber hugs the jumpy dog. Itchy the pple ets jumpy jumpy jumpy ber Grmátics N sintxe dd: Plvrs grifds/em itálico símbolos Grifds - símbolos não-terminis Em itálico símbolos terminis Grmátic pr expressões ritmétics: 1. START (AE) 2. AE (AE + AE) 3. AE (AE - AE) 4. AE (AE * AE) 5. AE (AE / AE) 6. AE (AE ** AE) 7. AE (AE) 8. AE - (AE) 9. AE ANY-NUMBER Grmátic gerdor de números: 1. ANY-NUMBER FIRST-DIGIT 2. FIRST-DIGIT FIRST-DIGIT OTHER-DIGIT 3. FIRST-DIGIT OTHER-DIGIT Cd regr cim é um PRODUÇÃO. O conjunto de regrs pr gerr um plvr é um DERIVAÇÃO ou GERAÇÃO. 1

2 5 12. Grmátics Livres do Contexto Definição (Context Free Grmmr - CFG) Um grmátic livre do contexto possui 3 itens: 1) Um lfbeto Σ de letrs terminis, do qul se formm cdeis de crcteres que serão plvrs d lingugem ssocid à CFG. 2) Um conjunto de símbolos Γ não-terminis, um dos quis é denomindo símbolo inicil (S). 3) Um conjunto finito de produções com form Símbolo não-terminl cdei finit de terminis e nãoterminis (Pelo menos um ds produções possui o nãoterminl S do ldo esquerdo.) Definição (Context Free Lnguge - CFL) A lingugem gerd por um CFG é o conjunto de tods s cdeis de terminis que podem ser produzids prtir de S usndo produções Grmátics Notção de Luksiewicz (ou notção polones) Usd em expressões ritmétics Evit prênteses É produzid prtir de Árvores de Derivção Ex: S S+S S * S number 3 + S * 4 5 * Grmátics 8 Sumário Definição (Ambigüidde) Um CFG é dit mbígu se pr pelo menos um plvr d lingugem existem dus possíveis árvores de derivção d plvr, correspondentes diferentes árvores sintátics. Problems: 1/2/3/5/10/11/16/ GRAMÁTICAS LIVRES DO CONTEXTO 14. AUTÔMATOS DE PILHA 19. MÁQUINAS DE TURING 20. MÁQUINAS DE POST 21. TEOREMA DE MINSKY 23. LINGUAGENS DE MÁQUINAS DE TURING 24. A HIERARQUIA DE CHOMSKY 25. COMPUTADORES 2

3 9 14. Autômtos de Pilh Cp 13 mostr que CFGs são mis podeross que ERs/FAs/TGs, pois: Todo ER/FA/TG pode ser descrito por um CFG Váris lingugens não-regulres podem ser descrits por CFGs, tis como { n b n }, PALINDROME, EQUAL- EQUAL, etc. Desej-se então máquins reconhecedors / ceitdors de CFLs Prte-se de FAs e crescent-se estruturs pr definir novos tipos de máquins Pr começr, nov representção de FAs Autômtos de Pilh Representção d entrd do FAs --> Fit de entrd possui início não possui fim pós ler letr d Fit, letr é elimind b... Símbolos delimitdores início, ceitção e não-ceitção strt ccept reject Símbolo consumidor de crcteres d fit de entrd Autômtos de Pilh Autômtos de Pilh Exemplo: 1. Aceit (+b)* b START READ REJECT b READ b - + b ACCEPT Acrescentndo um pilh FAs com est nov representção (equivlente à nterior) Nd mis é que um utômto finito com um pilh uxilir (o que fz com que o todo não sej mis um FA!) A pilh é infinit, possui um topo e pode conter letrs do lfbeto ou dus novs operções são definids, PUSH e POP, e crescentds à operção READ Nov máquin - Autômto de Pilh b POP PUSH 3

4 Autômtos de Pilh Autômtos de Pilh Exemplo: 1. Aceit n b n Autômtos de Pilh são mis poderosos que FAs, por quê? Motivo principl é cpcidde de memóri ilimitd Autômtos de pilh representdos pel sigl PDA (do inglês PushDown Automton) PDAs determinísticos - cd cdei de entrd percorre o mesmo cminho no PDA, sempre PDAs não-determinísticos - existem escolhs em tempo de execução Autômtos de Pilh Autômto de Pilh PDAs não-determinísticos são mis poderosos que PDAs determinísticos!! Isto não conteci com FAs e FAS não-determinísticos, que têm o mesmo poder de reconhecer lingugens Lingugens ceits por PDAs não-determinísticos Lingugens ceits por PDAs determinísticos Lingugens ceits por FA, NFA ou TG Definição de Autômto de Pilh - Um utômto de pilh é um conjunto de 8 elementos: 1. Um lfbeto Σ de possíveis letrs de entrd; 2. Um fit de entrd (infinit em um direção). A cdei ser reconhecid está colocd prtir do início d fit e o resto dest está inicilmente vzio; 3. Um lfbeto Γ de crcteres de pilh; 4. Um pilh infinit em um direção inicilmente vzi; 5. Um símbolo de prtid, START; 4

5 Autômto de Pilh Autômtos de Pilh Definição de Autômto de Pilh (cont): Problems: 1/2/4/5/6/8 6. Dois símbolos finis, ACCEPT e REJECT. 7. Um número finito de estdos PUSH x onde x Γ; 8. Um número finito de estdos READ que lêem d fit e trocm de estdo bsedo no vlor lido, vnçndo n fit, e um número finito de estdos POP, que retirm um crctere do topo d pilh e trocm de estdo bsedo no vlor retirdo d pilh. 19 Sumário Máquins de Turing 12. GRAMÁTICAS LIVRES DO CONTEXTO 14. AUTÔMATOS DE PILHA 19. MÁQUINAS DE TURING Qudro gerl de resultdos de Teori d Computbilidde 20. MÁQUINAS DE POST 21. TEOREMA DE MINSKY 23. LINGUAGENS DE MÁQUINAS DE TURING 24. A HIERARQUIA DE CHOMSKY 25. COMPUTADORES Lingugem definid por Expressão regulr Aceitdor Correspondente Nãodeterminismo= determinsimo? Lingugem fechd sob FA, TG Sim união, produto, Kleene str, intersecção, complemento CFG PDA Não união, produto, Kleene str Grmátic tipo 0 Máquin de Turing, máquin de Post, 2PDA, npda Sim união, produto, Kleene str, intersecção O que pode ser decidido equivlênci, vziitude, finitude, pertencimento vziitude, finitude, pertencimento Não muito Exemplo de plicção editores de texto, circuitos seqüenciis lingugens de progrmção, compildores computdores 5

6 Máquins de Turing Máquins de Turing Definição de Máquin de Turing - Um Máquin de Turing é um conjunto de 6 elementos: 1. Um lfbeto Σ de possíveis letrs de entrd, que não contém o símbolo (brnco); 2. Um fit dividid em céluls numerds, cd um contendo um letr de Σ ou um brnco; 3. Um cbeçote de leitur d fit, que pode ler um posição dest, escrever num posição dest ou se reposicionr extmente um posição à direit ou à esquerd; 4. Um lfbeto Γ de possíveis crcteres d fit, que pode incluir Σ; Definição de Máquin de Turing (cont): 5. Um conjunto finito de estdos, incluindo extmente um estdo inicil e um conjunto de estdos de prd (possivelmente vzio); 6. Um progrm, formdo por um conjunto de regrs que diz, com bse no estdo tul e n letr que cbou de ser lid pelo cbeçote de leitur, como mudr de estdo e o que imprimir n fit. Formdo por um seqüênci de tripls (letr, letr, direção), onde primeir letr é o crcter lido d fit, segund letr é o crcter escrever n fit e direção move o cbeçote à esquerd ou à direit Máquins de Turing Máquins de Turing Tod TM é determinístic Não existe necessidde de um TM ser complet (de um estdo ter trnsições ssocids cd possível crcter lido d fit). Um trnsição não especificd quebr (crshes) TM Tentr ir à esquerd d primeir posição d fit quebr máquin Um TM ceit um cdei se o processmento dest lev um estdo de prd (HALT) Exemplo de TM (ceit (+b)b(+b)*): (,, R) (b, b, R) START HALT 4 (,, R) (b, b, R) (,, R) (b, b, R) b... START HALT 4 Trço de execução: b b b b b 6

7 Máquins de Turing Máquins de Turing Outros ssuntos do Cpítulo Prov de que tod lingugem regulr possui um TM que ceit (Teorem 46) Subprogrms em um TM(e.g. INSERT e DELETE) Problems: 1/2/3/4/6/8 27 Sumário Máquins de Post 12. GRAMÁTICAS LIVRES DO CONTEXTO 14. AUTÔMATOS DE PILHA 19. MÁQUINAS DE TURING 20. MÁQUINAS DE POST 21. TEOREMA DE MINSKY 23. LINGUAGENS DE MÁQUINAS DE TURING 24. A HIERARQUIA DE CHOMSKY 25. COMPUTADORES Definição de Máquin de Post - Um Máquin de Post é um conjunto de 5 elementos: 1. Um lfbeto Σ de possíveis letrs de entrd, mis o símbolo especil #; 2. Um fil liner (STORE ou QUEUE) que inicilmente contém cdei de entrd. Letrs são removids à esquerd e inserids à direit d fil. O lfbeto de crcteres d fil é Γ que pode ser o mesmo de Σ ou ter mis crcteres; 3. Estdos de leitur (READ), que consomem crcteres d fil, e tomm decisão bsedo neste. Us-se o mesmo símbolo gráfico de PDAs pr representr tis estdos; 7

8 Máquins de Post Máquins de Post Definição de Máquin de Post (cont): 4. Estdos de dição de crcteres (ADD) à fil, representdos por retângulos; 5. Símbolos START (único) e um conjunto de símbolos ACCEPT e REJECT. Notr que não existe fit de entrd, fil únic é usd pr entrd e síd; Notr similitude com PDAs; PMs têm poder equivlente TMs (Teorem 49)! Exercícios do Cpítulo: Nenhum (ilustrção é objetivo) Exemplo: 1. Aceit n b n n START ADD # READ # ACCEPT READ ADD b READ b ADD b # READ ADD 31 Sumário 12. GRAMÁTICAS LIVRES DO CONTEXTO 14. AUTÔMATOS DE PILHA 19. MÁQUINAS DE TURING 20. MÁQUINAS DE POST 21. TEOREMA DE MINSKY 23. LINGUAGENS DE MÁQUINAS DE TURING 24. A HIERARQUIA DE CHOMSKY 25. COMPUTADORES Teorem de Minsky Um pilh crescentou poder significtivo FAs; TMs não são FAs, TG ou PDAs mis lgums estruturs; O que contece qundo se crescent um pilh mis, ou dus, ou setent? Definição de 2PDA É um máquin similr um PDA, com dus diferençs: Possui dus pilhs com operções modificds de cordo (dois tipos de PUSH, PUSH 1 e PUSH 2 dois tipos de POP, POP 1 e POP 2 ); É determinístic. 8

9 Teorem de Minsky Teorem de Minsky Exemplo: 1. 2PDA que ceit n b n n, um lingugem que não pode ser ceit por nenhum PDA! Mrvin Minsky provou, em 1961 o Teorem 50 Teorem 50: 2PDA=TM, ou sej, qulquer lingugem ceit por um 2PDA pode ser ceit por lgum TM e vice e vers. Prov: Primeir prte - Se L pode ser ceit por lgum 2PDA, é possível construir um TM que ceit L. Segund prte - Se L pode ser ceit por lgum TM, é possível construir um 2PDA que ceit L. Teorem 51: npda=tm, ou sej, qulquer lingugem ceit por um npda pode ser ceit por lgum TM e vice e vers. (n >= 2) 35 Sumário 12. GRAMÁTICAS LIVRES DO CONTEXTO 14. AUTÔMATOS DE PILHA 19. MÁQUINAS DE TURING 20. MÁQUINAS DE POST 21. TEOREMA DE MINSKY 23. LINGUAGENS DE MÁQUINAS DE TURING 24. A HIERARQUIA DE CHOMSKY 25. COMPUTADORES 36 CAP 22 define um série de vrições de TM e prov que tods são igulmente podeross, com exceção d últim: Move-in stte mchine TM- onde movimentção L/R é crcterístic do estdo, e não d trnsição; Sty-option TM - onde não necessrimente se move o cbeçote de leitur cd trnsição; k-trck TM - onde existem k fits o invés de um; Two-wy infinite TM - onde fit é infinit pr mbos os ldos; Non-deterministic TM; Red-only TM - onde não se pode escrever nd n fit - ceit pens lingugens regulres!! 9

10 37 Lingugens ceits por FAs/TGs regulres Lingugens ceits por PDAs livres do contexto Lingugens ceits por TMs recursivmente enumeráveis 38 Definição: Lingugens Recursivmente Enumeráveis (lingugens r.e.) Um lingugem L sobre um lfbeto Σ é dit recursivmente enumerável se existe um TM que ceit tod plvr em L e, ou rejeit (quebr), ou entr em lço infinito pr tod plvr n lingugem L, o complemento de L. Definição: Lingugens Recursivs Um lingugem L sobre um lfbeto Σ é dit recursiv se existe um TM que ceit tod plvr em L e rejeit (quebr pr) tod plvr n lingugem L, o complemento de L. 39 Teorem 60 Se lingugem L é recursiv então seu complemento, L, é um lingugem recursiv. Em outrs plvrs, o conjunto de lingugens recursivs é fechdo sob operção de complemento. Prov no livro, usndo PMs e não TMs. Como o conjunto de lingugens r.e. contém o conjunto ds lingugens recursivs: Teorem 61 Se lingugem L é recursivmente enumerável e seu complemento L é um lingugem recursivmente enumerável, então L é recursiv. 40 Teorem 62 Se T1 e T2 são TMs, então existe um TM T3 tl que ccept(t3) = ccept(t1) + ccept(t2). Em plvrs, o Teorem 62 mostr que união de dus lingugens r.e. é recursivmente enumerável, ou sej, o conjunto de lingugens r.e. é fechdo sob operção de união. Teorem 63 A intersecção de dus lingugens r.e. tmbém é recursivmente enumerável. 10

11 41 Pergunts ind por responder sobre TMs: 1. O produto de dus TMs é um TM? 2. O fechmento Kleene de um TM é um TM? 3. O complemento de um TM é um TM? 4. Existem lingugens for do conjunto r.e.? 5. É possível decidir pr TMs 5.1. vziitude? 5.2. finitude? 5.3. pertencimento? Inici-se com questão 4 Introdução de um codificção pr representr TMs 42 A lingugem ALAN (definição): ALAN = {tods s plvrs n lingugem de codificção de plvrs (CWL) que não são ceits pels TMs que els representm, ou que não representm qulquer TM} ALAN não é r.e. prov por contrdição Conclusão: nem tods lingugens são r.e. (Teorem 64) 43 Outros resultdos Teorem 67 - O complemento de um lingugem r.e. pode não ser r.e. Teorem 68 - Existem lingugens r.e. que não são recursivs Teorem 69 - Não existe nenhum TM que pode ceitr qulquer cdei w e qulquer TM T codificd e sempre decidir corretmente se T pár com w. Em outrs plvrs, o problem d prd não pode ser decidido por um TM. Teorem 70 - Não existe nenhum TM que poss decidir, pr tod TM T, limentd n primeir sob form codificd, se T ceit plvr vzi Λ. 44 Outros resultdos (cont.) Teorem 71 - Não existe nenhum TM que, qundo limentd com plvr de código rbitrári de um TM rbitrári, poss sempre decidir se TM codificd ceit pelo menos um plvr. Em outrs plvrs, questão de vziitude de lingugens r.e. não pode ser decidid por TMs. Teorem 72 - Não existe um TM que poss decidir, pr qulquer TM T codificd limentd n primeir, se lingugem de T é finit ou infinit. Problems: 1/2/3/4 11

12 45 Sumário Hierrqui de Chomsky 12. GRAMÁTICAS LIVRES DO CONTEXTO 14. AUTÔMATOS DE PILHA 19. MÁQUINAS DE TURING 20. MÁQUINAS DE POST 21. TEOREMA DE MINSKY 23. LINGUAGENS DE MÁQUINAS DE TURING 24. A HIERARQUIA DE CHOMSKY 25. COMPUTADORES Lingugem definid por Expressão regulr Qudro gerl de resultdos de Teori d Computbilidde (repetido do Cp 19) Aceitdor Correspondente Nãodeterminismo= determinsimo? Lingugem fechd sob FA, TG Sim união, produto, Kleene str, intersecção, complemento CFG PDA Não união, produto, Kleene str Grmátic tipo 0 Máquin de Turing, máquin de Post, 2PDA, npda Sim união, produto, Kleene str, intersecção O que pode ser decidido equivlênci, vziitude, finitude, pertencimento vziitude, finitude, pertencimento Não muito Exemplo de plicção editores de texto, circuitos seqüenciis lingugens de progrmção, compildores Computdores Flt: Justifictiv pr últim linh Def. de conjuntos recursivmente enumeráveis s/ TMs Hierrqui de Chomsky Hierrqui de Chomsky Definição: Um Grmátic de Estrutur Frsl (Phrse-Structure Grmmr - PSG) é um conjunto de 3 elementos: 1. Um lfbeto finito Σ de letrs terminis; 2. Um lfbeto finito de símbolos denomindos nãoterminis, que inclui o símbolo inicil S; 3. Um list finit de produções d form Cdei1 --> Cdei2, onde Cdei1 pode ser qulquer cdei de terminis e não-terminis que contém no mínimo 1 nãoterminl e Cdei2 pode ser qulquer cdei de terminis e não-terminis. Derivção (em PSGs) - série de cdeis intermediáris que começm com S, modificds pel plicção de produções, chegndo um cdei com pens símbolos terminis, onde o processo de gerção pár. Lingugem Gerd (por um PSG) - conjunto de tods s cdeis de terminis que podem ser derivds de S. 12

13 Hierrqui de Chomsky Exemplo de PSG: Σ = {,b}, não-terminis={s, X} Produções Prod1 S XS Λ Prod2 X X Prod3 X b Exemplo de derivção: S => XXXXXX (Aplicndo 7 vezes Prod1 6 Esq/1 Dir) => XXXXX (Aplicndo 5 vezes Prod2 4 Esq/ 1 Dir) => bxxxx (Aplicndo 1 vez Prod3) => bxxx (Aplicndo 2 vezes Prod2 1 Esq/ 1 Dir) => bbxx (Aplicndo 1 vez Prod3) => bbx (Aplicndo 2 vezes Prod2 1 Esq/ 1 Dir) => bbb (Aplicndo 1 vez Prod3) Hierrqui de Chomsky Teorem 73 Pelo menos um lingugem que não pode ser gerd por um CFG pode ser gerd por um grmátic de estrutur frsl. Prov por método construtivo ({ n b n n }): Prod1 Prod2 Prod3 Prod4 Prod5 Prod6 S => SBA S => ba AB => BA bb => bb ba => b A => Lingugens de estrutur frsl são um clsse mis mpl que lingugens livres do contexto! Hierrqui de Chomsky Teorem 74 Se um PSG ger um lingugem L, existe um outr PSG que ger L que possui o mesmo lfbeto de terminis e n qul s produções são d form cdei de não-terminis cdei de terminis e nãoterminis Definição - Um PSG é dit do tipo 0 se cd produção possui form cdei de não-terminis cdei de terminis e não-terminis 52 Tipo Hierrqui de Chomsky A Hierrqui de Chomsky pr grmátics Nome ds lingugens gerds Estrutur frsl = recursivmente enumerável 1 Sensível o contexto 2 Livre do contexto 3 Regulr Restrições sobre s produções X Y X = qulquer string de não-terminis Y = qulquer string X = qulquer string de não-terminis Y = qulquer string, desde que mis longo que X X = 1 não-terminl Y = qulquer string X = 1 não-terminl Y = tn ou Y = t, onde t é terminl e N é não-terminl Aceitdor TM TMs com fits finits PDA FA/TG Lingugens não incluíds: CFLs determinístics e lingugens recursivs 13

14 Hierrqui de Chomsky Hierrqui de Chomsky Lingugens Recursivmente Enumeráveis Lingugens Recursivs Mthison ALAN Outros resultdos: Teorems Problems: 1/2/3/4/5/12/13 CSLs CFLs CFLs Determinístics Lingugens Regulres { n b n n } { n b n n } { n b n } L 55 Sumário 12. GRAMÁTICAS LIVRES DO CONTEXTO 14. AUTÔMATOS DE PILHA 19. MÁQUINAS DE TURING 20. MÁQUINAS DE POST 21. TEOREMA DE MINSKY 23. LINGUAGENS DE MÁQUINAS DE TURING 24. A HIERARQUIA DE CHOMSKY 25. COMPUTADORES Computdores Codificção unári Usndo s pr representr números seprdos por b s Exemplo de somdor unário Codificção binári incrementdor decrementdor somdor de dois números 14

15 Computdores Computdores Definição: Se um TM tem propriedde de que, pr tod plvr que est ceit pós prr TM deix um cdei de s e b s n su fit prtir d célul 1 dest, denomin-se est TM um computdor. A cdei de entrd é chmd de entrd d TM e é identificd como um seqüênci de números inteiros nãonegtivos. A cdei que rest n fit pós o processmento é síd d TM e é tmbém identificd como um seqüênci de inteiros não-negtivos. Definição: Se um TM tom um seqüênci de inteiros não-negtivos como entrd e deix pens um número como síd, diz-se que o computdor giu como um função mtemátic. Qulquer operção que é definid sobre um seqüênci de K números (K >= 1), e que pode ser executd por um TM é dit ser Turing-computável ou computável Computdores Computdores Exemplos de funções computáveis: Adição e subtrção (Teorem 82) MAX (x,y) (Teorem 83) Identidde e Sucessor (Teorem 84) Seletor de I-ésimo elemento (Teorem 85) Multiplicção (Teorem 86) Tese de Church (Alonzo Church 1936) Acredit-se que não existm funções que possm ser definids por seres humnos, cujs computções possm ser descrits por lgum lgoritmo mtemático bem definido, e que pessos possm ser ensinds plicr que não possm ser computds por um TM. Não é teorem Há rzões pr creditr que est tese é válid Foi definid ntes de existirem TMs Enuncido originl um pouco diferente 15

16 Computdores TMs como gerdores de lingugens Tod lingugem gerável por um TM é ceitável por lgum TM e vice-vers (Teorems 87, 88 e 89) Problems: 1/2/3/4 16