Capítulo 3. Autómatos e respectivas linguagens

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1 Cpítulo 3. Neste estudo, os utómtos serão considerdos principlmente como dispositivos de ceitção d lingugem, e respectiv estrutur intern será discutid pens n medid em que se relcione com lingugem ceite. Nest perspectiv, s grmátics gerdors e os utómtos corresponderão os dois spectos do uso de um lingugem. proximção básic neste estudo vi ser de considerr um grmátic gerdor ser usd como dispositivo sintético d fonte, enqunto que o utómto funcion como dispositivo nlítico, reconhecedor ou receptor. Irá ind verificr-se que existe um hierrqui de utómtos correspondente à hierrqui de Chomsky de lingugens. 1. utómtos finitos Os reconhecedores de expressões regulres são modeldos prtir de entiddes mtemátics designds por utómtos finitos ( finite utomt ). Os utómtos finitos são tmbém designdos por digrms de trnsição de estdos ( stte trnsition digrms ST ). Os utómtos finitos podem ser de dois tipos : determinísticos (F) e não determinísticos (FN). mbos permitem reconhecer expressões regulres, ms têm crcterístics diferentes. Vntgens dos F Reconhecimento mis rápido. Vntgens dos FN Ocupm menor espço de memóri (menos estdos) 1.1. efinições efinição : Um utómto finito determinístico (F) é todo o quíntuplo ordendo = (Q, T, M, q 0, H) onde Q é um conjunto finito de estdos; T é um lfbeto finito de símbolos de entrd ou vocbulário de entrd (que rotulm mudnçs de estdo) e em que T; M : Q T Q é um plicção (prcil), chmd função de trnsição ou função de mudnç de estdo;

2 26 utómtos finitos q 0 Q diz-se o estdo inicil; H Q constitui o conjunto dos estdos ceitntes (ou finis). Um trnsição < q, s > q M deve ler-se o utómto trnsit do estdo q pr o estdo q trvés do reconhecimento do símbolo s. efinição : Um utómto finito é não determinístico (FN) se M for um relção (e não um função), chmd relção de trnsição. Neste cso, o mesmo símbolo pode estr ssocido trnsições prtir do mesmo estdo com destino estdos distintos : est situção é vulgr em trnsições (trnsições pelo símbolo ). Vi-se dmitir que os símbolos de entrd se presentm num fit de entrd (input), dividid em qudrdos, cd um dos quis contendo um único símbolo. Pr cd movimento d fit (vnço de um qudrdo) é trnsmitid um informção o dispositivo de controlo dos estdos do utómto por intermédio de um cbeç de leitur. fit de entrd direcção do movimento cbeç de leitur dispositivo de controlo dos estdos do utómto Inicilmente, o utómto finito encontr-se no estdo q 0 e cbeç de leitur vi vrrer o primeiro símbolo d plvr introduzid. O utómto efecturá um sequênci de movimentos correspondentes à leitur d plvr P T*. Se, o ler o último símbolo de P o utómto entrr num estdo de conjunto H, plvr P será ceite pelo utómto. Cso contrário, plvr P vi ser rejeitd pelo utómto. ssim, dd um plvr P é possível determinr se P é ceite ou rejeitd pelo utómto finito num processo contendo P pssos Representção de um utómto finito Os utómtos finitos podem ser representdos de dus forms : grficmente ou por tbels de trnsições de estdos. representção gráfic de utómtos é feit por um grfo etiquetdo. Neste grfo, cd estdo é representdo por um círculo, normlmente designdo por nó. Um trnsição < q, s > q é representd por um set do nó q pr o nó q. set tribui um orientção n ligção entre os nós do grfo. cd set é diciondo um etiquet, com o símbolo s. Os estdos finis são representdos por círculos duplos e o estdo inicil é pontdo por um set etiquetd por Strt. Ns tbels de trnsições de estdos, s coluns são formds por estdos e s linhs são formds pelos símbolos do vocbulário de entrd, incluindo o. Um trnsição < q, s > q é inserid n tbel colocndo o estdo q n intersecção d linh s com colun q. Se o utómto não ceitr o símbolo s no estdo q, intersecção d linh s com colun q fic em brnco. Os estdos finis são identificdos ns coluns que referencim pens esse estdo. O estdo inicil, normlmente designdo por 0, é colocdo n primeir colun. Exemplo : Considere-se o lfbeto V = { letr, digito } e expressão regulr letr (letr + digito)* + digito + que descreve o conjunto de identificdores e de número inteiros. Conjunto de estdos : Q = { 0,, B, C, }; Estdo inicil : q 0 = 0; Estdos finis : H = { C, }.

3 utómtos finitos 27 Representção gráfic (grfo etiquetdo) : 0 letr C letr, digito digito B digito Representção em tbel de trnsição de estdos : 0 B C, B 1.3. Reconhecimento de um plvr letr C C digito C efinição : Um utómto finito = (Q, T, M, q 0, H) reconhece um plvr 1 2 n em que i T, se existir um sequênci de símbolos s 1 s 2 s m com s i T e um sequênci de estdos q 0 q 1 q k, não necessrimente distintos, tis que símbolos e estdos devem obedecer às seguintes condições: q 0 é o estdo inicil; pr quisquer dois estdos consecutivos d sequênci dd, q i e q i+1, verific-se { < q i, s i > q i+1 } M em que s i é o símbolo que se encontr n mesm posição reltiv o estdo q i ; o último estdo d sequênci pertence H (q n H); s plvrs 1 2 n e s 1 s 2 s m são equivlentes. lingugem L(), definid prtir do utómto, é o conjunto de tods s plvrs de T* reconhecids pelo utómto. efinição : iz-se que ocorre um erro de reconhecimento de um plvr, qundo é detectdo um ds situções seguintes : o utómto encontr-se num estdo q i, ind não processou o sufixo d plvr de entrd j k n e não existe nenhum estdo q j Q tl que { < q i, j > q j } M; o último estdo do lgoritmo de reconhecimento não pertence o conjunto H. Exemplo : Sej = (Q, T, M, q 0, H) um utómto finito determinístico, com Q = { q 0, q 1, q 2, q 3 }, T = {, b }, H = { q 0 }, onde M é descrit pelo qudro seguinte : M b q 0 q 2 q 1 q 1 q 3 q 0 q 2 q 0 q 3 q 3 q 1 q 2 Considere-se plvr bbbb. o ler est plvr o utómto ocuprá sucessivmente os estdos q 1, q 0, q 2, q 3, q 1, q 0 e, um vez que q 0 é um estdo ceitnte, plvr é ceite pelo utómto.

4 28 utómtos finitos efinição : do um utómto finito = (Q, T, M, q 0, H) e s plvrs X, Y em QT*, diz-se que o utómto reduz X em Y num só psso e escreve-se X Y se n descrição de M precer q p e existir um plvr P T* tl que X = q P Y = p P efinição : Um utómto finito reduz um plvr X QT* um plvr Y QT* e escreve-se se e só se X = Y ou X Y existir Z QT*, tl que X Z e Z Y efinição : ssocido cd utómto finito = (Q, T, M, q 0, H) o conjunto L() = { P T* : q 0 P p, pr lgum p H } diz-se lingugem ceite ou reconhecid pelo utómto finito. NOTS : (i) plvr vzi, Λ, pertence L() se e só se q 0 H (ii) Cd psso em M, q p, pode ser considerdo como um produção de comprimento decrescente. ssim, pode-se pensr que s reduções correspondem às inversões ds derivções dum grmátic liner à esquerd. Teorem : Pr cd grmátic regulr, G, existe um utómto finito,, tl que L() = L(G). Teorem : Pr todo o utómto finito não determinístico,, existe um grmátic regulr, G, tl que L(G) = L(). Exemplo : Considere-se grmátic regulr à direit G = ( { S, Z }, T, P, S ) com T = {, b,, z, 0, 1,, 9 } e contendo s produções S Z S b Z S z Z Z Z Z Z b Z Z z Z Z 0 Z Z 1 Z Z 9 Z Est grmátic ger lingugem ds cdeis inicids por um letr e seguid por zeros ou mis letrs ou dígitos. O utómto finito = ( { S, Z }, T, M, S, { Z } ), com plicção M definid pelo seguinte qudro, ceit mesm lingugem. M b z S Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Teorem : (de Kleene) clsse L 3 ds lingugens regulres coincide com clsse ds lingugens ceites por utómtos finitos (não determinísticos). Teorem : Pr cd utómto finito não determinístico = (Q, T, M, q 0, H) é possível determinr ' um utómto finito determinístico = (Q, T, M, q 0, H ) tl que L() = L( ).

5 utómtos finitos Construção de um FN prtir de um expressão regulr O lgoritmo que permite construir um FN prtir de um expressão regulr foi identificdo por Thompson. lgoritmo : Construção de um FN prtir de um expressão regulr Entrd : Um expressão regulr Resultdo : Um FN 1. Identificr os símbolos do lfbeto usdos n expressão regulr. Pr cd símbolo s, construir o seguinte FN : s ( {i, f}, s, {< i, s > f }, i, { f } ) i f 2. O FN d expressão regulr (r) é idêntico o FN d expressão r. 3. dos dois FN pr expressões regulres r e s, respectivmente, (r) = ( Q(r), T(r), M(r), q 0 (r), H(r) ) e (s) = ( Q(s), T(s), M(s), q 0 (s), H(s) ) Pr expressão regulr r + s é construído o seguinte FN : i (r) (s) f ( Q(r) Q(s) { i, f }, T(r) T(s), M(r) M(s) {< i, > q 0 (r), < i, > q 0 (s), < f(r), > f, < f(s), > f }, i, { f } ) n qul f(r) H(r) e f(s) H(s) Pr expressão regulr r s é construído o seguinte FN : I(r) (r) (s) H(s) ( Q(r) Q(s), T(r) T(s), M(r) M(s), I(r), H(s) ) no qul os estdos H(r) coincidem com os estdos q 0 (s) Pr expressão regulr r* é construído o seguinte FN : i (r) f ( { i, f } Q(r), T(r), M(r) {< i, > q 0 (r), < i, > f, < f(r), > q 0 (s), < f(r), > f }, i, { f } ) n qul f(r) H(r) Conversão de um FN num F Por rzões prátics, os FN não são usdos como modelos de reconhecedores de lingugens regulres, já que, hvendo váris trnsições pr o mesmo símbolo de entrd, o reconhecedor não sbe pr onde ir. Um solução consiste em seguir por um dos estdos e, em cso de flh, efectur um retrocesso ( bcktrck ) : o reconhecedor volt o estdo de bifurcção e remove os símbolos ceites desde bifurcção. No entnto, este processo torn o reconhecimento muito complexo e demordo.

6 30 utómtos finitos Sendo mis prático modelr o reconhecedor de lingugens regulres por F s, vi-se estão descrever o lgoritmo de conversão de FN s em F s. idei gerl de conversão de um FN num F consiste no grupmento de vários estdos do FN em subconjuntos. ddo subconjunto é feit correspondênci um estdo do F. Por isso, o lgoritmo é designdo por construtor de subconjuntos. Funções uxilires O lgoritmo de conversão de um FN num F utiliz 3 funções uxilires : fecho é um função que identific o conjunto de estdos do utómto que podem ser tingidos, prtir de um estdo q?, com um trnsição nul (); fecho é um função que identific o conjunto de estdos do utómto que podem ser tingidos, prtir de um estdo Q?, com um trnsição nul (); move é um função que identific o conjunto de estdos do utómto pr os quis existe um trnsição com o símbolo de entrd i?, prtindo de qulquer dos estdos indicdos no conjunto prâmetro de estdos. função fecho é clculd segundo o seguinte lgoritmo : lgoritmo : Cálculo d função fecho Entrd : Um conjunto de estdos de prtid Resultdo : O conjunto de estdos pr onde há um trnsição prtir do conjunto de estdos de prtid. 1. Colocr num pilh todos os estdos prâmetros d função. 2. Enqunto pilh não estiver vzi ) Tirr um estdo d pilh, S i b) Pr cd estdo S j fecho (S i ) (i) Juntr o resultdo o estdo S j, se ind não estiver; (ii) Inserir o estdo S j n pilh. lgoritmo de conversão de um FN num F N descrição deste lgoritmo, os elementos do FN têm um expoente N e os elementos do F têm um expoente N e mbos os utómtos presentm o mesmo vocbulário de entrd. lgoritmo : Identificção de um F que reconhece mesm lingugem de um FN Entrd : Um FN N Resultdo : Um F N 1. q0 fecho (q 0 ). Q q 0 e ctlogr o estdo q 0 como não mrcdo. 2. Enqunto existirem estdos de Q não mrcdos ) Seleccionr um estdo não mrcdo, q f Q, e mrcá-lo. b) Pr todos os símbolos do vocbulário i T : (i) U fecho (move(q,i)). (ii) Q Q { U} e M M { < q,i > U}. Q f f (iii) Se U então ctlogr U como não mrcdo. (iv) U é estdo finl se, pelo menos, um dos estdos correspondentes de N for um estdo finl.

7 utómto de pilh Conversão de um expressão regulr num grmátic regulr O método de conversão de grmátics regulres em expressões regulres nem sempre termin com sucesso, um vez que s grmátics regulres são mis potentes, ou sej, descrevem mior número de lingugens que s expressões regulres. Com bse nos F é possível formulr um lgoritmo de conversão de qulquer expressão regulr num grmátic regulr que ger mesm lingugem. Entrd : O modelo do F, = (Q, T, M, q 0, H), do reconhecedor d expressão regulr. Síd : Um grmátic regulr G = (Σ, T, P, S). 1. O conjunto T de G é igul o vocbulário de F, T. 2. O conjunto Σ é igul o conjunto de estdos do F, Q. O símbolo inicil d grmátic, S, é o estdo inicil de F, q Pr cd { <, x > B } M, crir um regr sintáctic (produção) x B. 4. Pr todos os estdos terminis H i H, gerr s regrs sintáctics (produção) H i. Exemplo : Sej expressão regulr ( + b)* (b + b), cujo modelo do F do reconhecedor é o seguinte : B b b E b C Seguindo os dois primeiros pssos do lgoritmo, tem-se : Σ = {, B, C,, E }, T = {, b }, S = s produções d grmátic regulr P são dds pelo seguinte conjunto de produções : B b C B B b C b C E b C E E b B 2. utómto de pilh b No cpítulo nterior verificou-se que o reconhecimento de lingugens regulres pode ser modeldo por utómtos finitos (determinísticos e não determinísticos). Nestes utómtos, trnsição pr um estdo só depende do estdo de prtid e do símbolo presente n entrd, e não d históri pssd. No entnto, o reconhecimento de lingugens não regulres pode ser modeldo por um versão mis potente do utómto finito, o utómto de pilh. Nestes utómtos, pr lém do dispositivo de controlo dos estdos finitos, prece um pilh (potencilmente infinit), onde novos ddos são inseridos.

8 32 utómto de pilh 2.1. efinição efinição : Um utómto de pilh P ( P Pushdown utomton ), é um septuplo onde, Z Q T M z 0 Z q 0 Q H Q = (Z, Q, T, M, z 0, q 0, H) é um lfbeto finito de símbolos d pilh é um conjunto finito de estdos internos é um lfbeto finito de símbolos de entrd é um plicção de Z Q (T { } ) em (Z* Q), chmd função de trnsição diz-se o símbolo inicil d pilh diz-se o estdo inicil é o conjunto dos estdos ceitntes ou finis Um trnsição < z, q, s > < z, q > M deve ler-se o utómto trnsit do estdo q com o símbolo z no topo d pilh pr o estdo q com substituição do topo d pilh pelo símbolo z, trvés do reconhecimento do símbolo s. e notr que se z e z =, o utómto de pilh execut retird do símbolo existente no topo d pilh ( pop ). Se z = z, o conteúdo d pilh não é lterdo. Se z = zz e z, o utómto insere os símbolos z n pilh ( push ). O símbolo s tmbém pode ser, o que corresponde à lterção d pilh ou à pssgem pr um novo estdo, independentemente do símbolo de entrd. efinição : configurção de um utómto de pilh é um plvr d form Wq onde W Z* é o conteúdo d pilh no momento ctul q Q é o estdo ctul descrito pelo dispositivo de controlo dos estdos de 2.2. Reconhecimento de um plvr O reconhecimento de um plvr pelo utómto de pilh é feito de form semelhnte o reconhecimento pelos utómtos finitos. efinição : Um utómto de pilh = (Z, Q, T, M, z 0, q 0, H) reconhece um plvr n em que i T, se existir um sequênci de símbolos s 1 s 2... s m em que s i T e um sequênci de estdos q 0 q 1... q k não são necessrimente distintos. Os símbolos e estdos devem obedecer às seguintes condições : q 0 é o estdo inicil; pilh prte com o símbolo z 0 ; pr quisquer dois estdos consecutivos d sequênci, q i e q i+1, existe um símbolo d pilh z i e um sequênci de símbolos d pilh z i+1 tl que : { < q i, z i, s i > < q i+1, z i+1 > } M, em que s i é o símbolo que se encontr n mesm posição reltiv do estdo q i o símbolo d pilh z i é substituído pel sequênci de símbolos d pilh z i+1 o último estdo d sequênci, q n, é membro de H s plvrs n e s 1 s 2... s m são equivlentes. efinição : lingugem L(), definid prtir do utómto de pilh, é o conjunto de tods s plvrs reconhecids pelo utómto. Formlmente tem-se : L() = { P T* : z0 q0 P Wp, W Z*, p H } N definição de L(), o utómto pode terminr contendo quisquer símbolos n pilh.