Teoria de Linguagens 2 o semestre de 2014 Professor: Newton José Vieira Primeira Lista de Exercícios Entrega: até 16:40h de 23/10.

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1 Pós-Grdução em Ciênci d Computção DCC/ICEx/UFMG Teori de Lingugens 2 o semestre de 2014 Professor: Newton José Vieir Primeir List de Exercícios Entreg: té 16:40h de 23/10. Oservções: O uso do softwre JFLAP, sugerido n págin d disciplin, pode ser conveniente pr solução de lguns exercícios. Referêncis são reltivs livros menciondos no Plno de Curso. 1. Sejm A = {00,11}, B = {01,10} e C = {λ,1}. Clcule: ) AA; ) AC; c) CCC; d) ABC; e) A(B C). 2. Sejm Σ = {0,1}, A = Σ {0} e B = {1}Σ. Descrev, em português, s lingugens seguir. Não é necessário dizer ques plvrs são de0s e1s. Por exemplo, A é o conjunto ds plvrs que terminm com 0. ) A B; ) A B; c) A B; d) AB. 3. Sejm A = {} e B = {}. Qunts plvrs de n símolos, pr cd n 0, há em: () A B? () AB? (c) A B? 4. Descrev mis formlmente s seguintes lingugens sore o lfeto {0, 1}: ) o conjunto ds plvrs com, no mínimo, um 0; ) o conjunto ds plvrs com, no máximo, um 0; c) o conjunto ds plvrs de tmnho ímpr; d) o conjunto ds plvrs com um prefixo de um ou mis 0s seguido (imeditmente) de um sufixo de zero ou mis 1s; e) o conjunto dos plíndromos que não tenhm símolos consecutivos idênticos; f) o conjunto ds plvrs de tmnho pr cuj primeir metde é idêntic à segund. Procure ser em preciso e conciso. 5. Descrev, em português, s seguintes lingugens sore o lfeto {0, 1}: ) {0,1} {1}{0,1}; 1

2 ) {0}{0,1} {0,1} {1}; c) {0,1} {01}{11}; d) {01,1}. e) {1,λ}({0}{0} {1}) {0}. 6. Expresse s lingugens seguir utilizndo s operções sore conjuntos finitos de plvrs de {0,1}. Considere o lfeto como sendo {0,1}. ) o conjunto ds plvrs que têm de símolos; ) o conjunto ds plvrs que começm e terminm com o mesmo símolo; c) o conjunto ds plvrs que contêm pelo menos um 0 e um 1; d) o conjunto ds plvrs que começm com 0 e contêm 00; e) o conjunto ds plvrs que não têm 00 como prefixo, ms têm 00 como sufixo; f) o conjunto ds plvrs que começm com 00 ou 11 e terminm com 01 ou 10; g) {01 n 0 n é ímpr}; h) o conjunto ds plvrs de {0} {1} de tmnho pr. 7. Sej lingugem X, de lfeto {, }, definid ssim: ) λ X; ) se x X então x X e xx X; c) x X somente se pode ser otido como especificdo em () e (). Sejm n (x) e n (x) o numero de s e de s, respectivmente, n plvr x. Prove, por indução, que n (x) n (x). 8. Constru grmátics pr s seguintes lingugens: ) {0}{0,1} {11}; ) {λ,0}{11} {λ,0}; c) {w {,} o número de s em w é pr}; d) {w {,} w = w R }; e) {w {,} w = w R e w não contém símolos consecutivos idênticos}. 9. Dig que lingugens são gerds pels grmátics: () G 1 = ({A},{0,1},R 1,A), sendo R 1 constituído de: A 0A A0 1 () G 2 = ({B},{0,1},R 2,B), sendo R 2 constituído de: B 0B00 1 (c) G 3 = ({S,A,B},{0,1},R 3,S), sendo R 3 constituído de: 10. Sejm os PDs: S AA B A 0A A0 1 B 0B00 1 2

3 ) determinr se um número nturl n, pr 1 n 200, é um número primo; ) dd um equção do segundo gru de coeficientes, e c, determinr se sus rízes são ms reis, se cd um dos coeficientes é um número nturl entre 10 e 20 (exclusive); c) dd um equção do segundo gru de coeficientes, e c, determinr se sus rízes são ms reis, se seus coeficientes podem ser números reis quisquer; d) dd um fórmul d lógic de predicdos, determinr se el é válid; e) ddos dois conjuntos finitos, determinr se eles são disjuntos; f) determinr se um árvore A tem ltur menor ou igul n; g) determinr se um plvr w é plíndromo, se w {0,1}. Dizer quntos prâmetros e qunts instâncis tem cd um. 11. Dentre os PDs seguir, quis são decidíveis? ) Determinr se existe vid extrterrestre. ) Ddo um número nturl n, determinr se existe um pr de números primos gêmeos mior que n. (m e n são primos gêmeos sse são mos primos e m n = 2. Atulmente não se se se o conjunto dos primos gêmeos é finito ou não.) c) Ddo um conjunto finito de números nturis, determinr se ele contém lgum número primo. d) Ddo um progrm em C (sem entrd) que tenh no máximo 1GB, determinr se ele pr. e) dd um equção do segundo gru de coeficientes, e c, determinr se sus rízes são ms reis, se cd um dos coeficientes é um número nturl entre 10 e 20 (exclusive); f) dd um equção do segundo gru de coeficientes, e c, determinr se sus rízes são ms reis, se seus coeficientes podem ser números reis quisquer; g) Ddos dois conjuntos finitos, determinr se eles são disjuntos. 12. Diz-se que um PD P é redutível um PD Q, se existe um lgoritmo R que, receendo x como entrd, produz um resultdo y tl que respost P pr entrd x é idêntic ou complementr ( respost complementr sim é não, e não é sim) à respost Q pr entrd y, qulquer que sej entrd x. Diz-se, com isso, que o lgoritmo R pode ser usdo pr reduzir o prolem P o prolem Q. Sej D um PD decidível e I um PD indecidível. O que se pode dizer de um PD X, com relção à su decidiilidde, se: ) D é redutível X? ) X é redutível D? c) I é redutível X? d) X é redutível I? 13. Constru um digrm de estdos pr um máquin que, dd um sequênci de moeds de 25 e 50 centvos e de 1 rel, forneç um lt de refrigernte qundo sequênci totlizr 1 rel ou mis. 3

4 14. Fç um digrm de estdos, similr àquele do quer-ceç leão-rpos-repolho pr o prolem dos missionários e cniis: Três missionários e três cniis devem trvessr um rio. Pr isso, dispõem de um cno que pode trnsportr no máximo dus pessos de cd vez. Durnte trvessi, se o número de cniis for mior que o de missionários em qulquer um ds mrgens, os cniis comem os missionários. Determinr um plno pr trvessi em que nenhum missionário sej devordo. 15. Fç um digrm de estdos pr um máquin que determine se um sequênci ternári (com dígitos 0, 1 e 2) é divisível por Projete um digrm de estdos pr modelr o prolem: Existem dus jrrs, um com cpcidde de 4l e outr de 3l, ms sem nenhum mrcção de medid. Há um torneir que fornece águ à vontde. Como se deve gir pr colocr 2 litros de águ em um ds jrrs, começndo com ms vzis? Não é necessário desenhr o digrm de estdos todo. Bst dizer como ele pode ser construído. Além disso, presente um solução pr o prolem mostrndo sequênci de trnsições respectiv. Dic: considere como conjunto dos estdos (conteúdos possíveis ds jrrs): {(j 1,j 2 ) N,0 j 1 3 e 0 j 2 4}. 17. Constru AFDs pr s seguintes lingugens: ) {λ,0} 2 ; ) {w {0,1} cd 0 de w é imeditmente seguido de, no mínimo, dois 1s}; c) {w {0,1} os primeiros qutro símolos de w contêm, no mínimo, dois 1s}; d) {w {0,1} w não contém 000 nem 111}; e) {w {0,1} os últimos três símolos de w não são 000}; f) {w {0,1,2} w tem número pr de 0s, pr de 1s e pr de 2s}. 18. Minimize o AFD ({1,2,3,4,5,6},{0,1},δ,1,{2,6}) em que δ é dd por:. δ Utilizndo técnic do Teorem 4 (produto de AFDs), determine AFDs que reconheçm () união e () interseção ds lingugens: {w {0,1} w mod 3 = 0} e {w {0,1} cd 0 de w é imeditmente seguido de, no mínimo, dois 1s}. 20. Sim ou não? Por que? () Existe lgoritmo que determin se L(M 1 ) L(M 2 ) pr quisquer AFDs M 1 e M 2. 4

5 () Se um AFD M reconhece lgum plvr de tmnho igul o número de estdos, k, de M, então L(M) > k (c) Se X Y Z e existem AFDs que reconhecem X e Z, então existe AFD que reconhece Y. (d) Se X Y Z e não existem AFDs que reconhecem X nem Z, então não existe AFD que reconhece Y. 21. Constru utômtos finitos não determinísticos (AFNs) pr cd um ds seguintes lingugens, procurndo utilizr o menor número de estdos possível: () {} {} +. O AFN deve ter pens um estdo finl e não pode ter trnsição λ. (Linz (1997), ex. 8, pág. 64.) () {w {,,c} o último símolo de w tenh ocorrido ntes}. (Hopcroft et l. (2001), ex (), pág. 67.) (c) {w {,,c} o último símolo de w não tenh ocorrido ntes}. (Hopcroft et l. (2001), ex (), pág. 67.) (d) {x1y {0,1} x mod 3 = 1 e η(y)mod 3 = 1}, sendo η(y) o número representdo por y n se Otenh AFDs equivlentes os AFNs dos dois primeiros itens d questão nterior, usndo o método visto no curso (suset construction). 23. Prove que os seguintes conjuntos não são lingugens regulres utilizndo o lem do omemento: () {0 n y y {0,1} e y < n}; () {xx x {0,1} }. 24. Sej L um lingugem regulr sore o lfeto {,,c}. Mostre que cd um ds lingugens seguintes é regulr: ) {w L w contém pelo menos um }; ) {w w L ou w contém pelo menos um (ou mos)}; c) {w ou w L ou w contém pelo menos um }; d) {w L w não contém s}. 25. Sejm L 1 e L 2 dus lingugens. Mostre que sim ou que não: () se L 1 e L 2 não são regulres, L 1 L 2 não é regulr. () se L 1 e L 2 não são regulres, L 1 L 2 não é regulr. (c) se L 1 não é regulr, L 1 não é regulr. (d) se L 1 é regulr e L 2 não é regulr, L 1 L 2 não é regulr. (e) se L 1 é regulr, L 2 não é regulr e L 1 L 2 é regulr, L 1 L 2 não é regulr. (f) se L 1 é regulr, L 2 não é regulr e L 1 L 2 não é regulr, L 1 L 2 não é regulr. (Mrtin (1991), ex. 8.6, pág. 153.) 26. Constru AFDs que reconheçm s lingugens denotds pels expressões regulres(ers): () (+). 5

6 () ((+) cc). 27. Sej o AFD: 0 1, 3 2 () Otenh um ER que denote lingugem reconhecid. () Descrev lingugem em português. 28. Sej o AFD: Otenh um ER que denote lingugem reconhecid. 29. Otenh ERs pr s seguintes lingugens, prtir de um AF pr s mesms, usndo o método visto em ul: () {w {0,1} w não contém 001}. () {w {0,1} η(w) mod 3 0}. 30. Um ER está n form norml disjuntiv se el está n form r 1 +r 2 + +r n pr lgum n 1, sendo que nenhum ds suers r i contém ocorrênci de +. Mostre que tod ER é equivlente um outr n form norml disjuntiv. (Lewis & Ppdimitriou (1998), pro ) 1 Atenção! Serviço de utilidde púlic: não compre nem consulte versão trduzid deste livro, pois el é de péssim qulidde! 6