Propriedades das Linguagens Regulares

Transcrição

1 Cpítulo 4 Proprieddes ds Lingugens Regulres Estmos no momento de colocr seguinte questão: quão gerl são s lingugens regulres? Seri tod lingugem forml regulr? Tlvez qulquer conjunto que possmos especificr sej ceito por lgum utômto finito, emor complexo. Como veremos ess conjectur é fls. Pr entender ess respost, devemos nos profundr n nturez ds lingugens regulres e ver que proprieddes fmíli como um todo tem. A primeir questão que levntremos é o que contece qundo opermos com lingugens regulres. As operções que considerremos são operções tis como conctenção, união, etc. É lingugem resultnte ind regulr? Nos referiremos isso como um questão de fecho. Proprieddes de fecho, emor, principlmente, de interesse teórico, permiti-nos-á discriminr muits lingugens regulres que encontrremos. A segund questão que levntremos trt de noss hilidde pr decidir sore certs proprieddes. Por exemplo, podemos fzer um lgoritmo que decid se um lingugem regulr ritrári é finit ou não? Como veremos, tis questões são fcilmente respondids pr clsse ds lingugens regulres, ms não pr outrs clsses de lingugens. Finlmente, consideremos importnte questão: como podemos dizer se um dd lingugem é regulr ou não? Se lingugem é de fto regulr, podemos sempre mostrr isso exiindo um fd que reconhece, ou um expressão regulr que denot ou um grmátic regulr que ger. Ms se não for o cso, precisrímos de outr ordgem, pois o fto de não termos conseguido encontrr um fd que reconheç lingugem não signific necessrimente que tl utômto não exist. Um mneir de mostrr que um lingugem não é regulr é estudr s proprieddes geris ds lingugens regulres. 4.1 Proprieddes de Fecho de Lingugens Regulres Considere seguinte questão: dds dus lingugens regulres ritráris L 1 e L 2, é su intersecção tmém regulr? Em exemplos específicos respost pode ser óvi, ms qui pretendemos tcr o prolem em gerl. Formulremos questões nálogs pr s demis operções. 83

2 4.1. Proprieddes de Fecho de Lingugens Regulres Teorem Se L 1 e L 2 são lingugens regulres, então L 1 L 2, L 1 L 2, L 1, L 1, L 1 L 2 e L 1 L 2 tmém são. Dizemos com isso que fmíli ds lingugens regulres é fechd so união, conctenção, fecho estrel, complemento e intersecção. Demonstrção: Se L 1 e L 2 são lingugens regulres, então existem expressões regulres r 1 e r 2 tis que L(r 1 ) = L 1 e L(r 2 ) = L 2. União e fecho estrel: D definição 3.2.1, temos L 1 L 2 = L(r 1 ) L(r 2 ) = L(r 1 + r 2 ) L 1 L 2 = L(r 1 )L(r 2 ) = L(r 1 r 2 ) L 1 = (L(r 1 )) = L(r 1) Portnto, o fecho so união, conctenção e fecho-estrel é imedito. Complemento: Sej M = Q,Σ, δ, q 0, F um fd que ceit L 1. Então, trivilmente, o fd M = Q,Σ, δ, q 0, Q F, ceit L 1. Oserve que n definição de um fd, ssumimos que δ er um função totl, ou sej δ (q 0, w) está definid pr todo w Σ. Conseqüentemente, ou δ (q 0, w) é um estdo finl, e nesse cso w L 1, ou não (δ (q 0, w) Q F) e nesse cso w L 1. Intersecção: Sejm M 1 = Q,Σ 1, δ 1, q 0, F 1 e M 2 = P, Σ 2, δ 2, p 0, F 2 fd s que reconhecem L 1 e L 2, ou sej L 1 = L(M 1 ) e L 2 = L(M 2 ). Vmos construir prtir de M 1 e M 2 o utômto M = Q,Σ 1 Σ 2, δ, (q 0, p 0 ), F, cujo conjunto de estdos, Q = Q P, consiste de pres (q i, p j ), e cuj função de trnsição δ é tl que M está no estdo (q i, p j ), se M 1 está no estdo q i e M 2 está no estdo p j. Isto é conseguido tomndo δ((q i, p j ), ) = (δ 1 (q i, ), δ 2 (q j, )). F é definido como o conjunto de todos os (q i, p j ) tl que q i F 1 e p j F 2, isto é, F = F 1 F 2. É fácil ver que w L 1 L 2 se, e somente se, w L( M). Assim, L( M) = L(M 1 ) L(M 2 ). Conseqüentemente, L 1 L 2 é regulr. 84 Introdução à Teori d Computção: Lingugens Formis, utômtos e Computilidde

3 Cpítulo 4. Proprieddes ds Lingugens Regulres Diferenç: A fmíli ds lingugens regulres é fechd com respeito à diferenç, se qundo L 1 e L 2 são lingugens regulres, então L 1 L 2 tmém é regulr. Ms L 1 L 2 = L 1 L 2. Como já mostrmos qui que s lingugens regulres são fechds sore intersecção e complemento, podemos concluir que L 1 L 2 é um lingugem regulr. Exemplo Sejm M 1 e M 2 os fd s descritos ns figurs 4.1 e 4.2, respectivmente. A intersecção ds lingugens L(M 1 ) com L(M 2 ), é reconhecid pelo utômto do exercício 2.2.6, o qul, se sustituirmos PP por (q 0, q 0 ), PI por (q 0, q 1 ), IP por (q 1, q 0 ) e II por (q 1, q 1 ), é extmente o mesmo utômto que o construído usndo o mecnismo descrito no teorem nterior, pr intersecção. q 0 q 1 Figur 4.1: fd M 1 q 0 q 1 Figur 4.2: fd M 2 Exemplo Sejm s lingugens L 1 = {wu / w, u {, } } e L 2 = {wu / w, u {, } }. Os utômtos ilustrdos n figur 4.3.A e 4.3.B, reconhecem s lingugem L 1 e L 2, respectivmente. Note que L 1 = L(( + ) ( + ) ) e L 2 = L(( + ) ( + ) ). A intersecção dests lingugens, isto é L 1 L 2, é reconhecid pelo utômto ilustrdo n figur 4.4. é chmd um homo- Definição Sejm Σ 1 e Σ 2 lfetos. Um função h : Σ 1 Σ 2 morfismo. Introdução à Teori d Computção: Lingugens Formis, utômtos e Computilidde 85

4 4.1. Proprieddes de Fecho de Lingugens Regulres, q q q (A), p p p p (B) Figur 4.3: fd s que reconhecem s lingugens L 1 = L(( + ) ( + ) ) e L 2 = L(( + ) ( + ) ). Em outrs plvrs, um homomorfismo é um sustituição no qul um simples símolo é trocdo por um cdei. É possível estender função h pr um função ĥ cujo domínio sejm cdeis em Σ 1 em vez de símolos de modo óvio. Definição Sejm Σ 1 e Σ 2 lfetos e h : Σ 1 Σ 2 um homomorfismo. Um homomorfismo estendido de h, denotdo por ĥ é função ĥ : Σ 1 Σ 2 definid por: 1. ĥ(λ) = λ 2. ĥ() = h() pr cd Σ 1 3. ĥ(w) = ĥ(w)h() pr cd w Σ 1 e Σ 1. Assim, se w = n, então ĥ(w) = h( 1)h( 2 )...h( n ). Note que trivilmente ĥ(wv) = ŵ v. Se L é um lingugem, sore Σ 1, su imgem homomorf é definid como h(l) = {ĥ(w) / w L}. Note que ĥ(wv) = ŵ v. Portnto, trivilmente, temos que h(l 1L 2 ) = h(l 1 )h(l 2 ). Por simplicidde notcionl e em vist de que ĥ é um extensão óvi de h, de qui em dinte usremos o mesmo nome de função (h) pr mos o homomorfismo e su extensão. 86 Introdução à Teori d Computção: Lingugens Formis, utômtos e Computilidde

5 Cpítulo 4. Proprieddes ds Lingugens Regulres q p q p q p q p q p , q p 2 3 q P 0 1 q p q p q p Figur 4.4: fd que reconhece L(( + ) ( + ) ) L(( + ) ( + ) ). Exemplo Sejm Σ 1 = {, } e Σ 2 = {,, c}. Defin h por h() = e h() = c. Então h() = h()h()h() = c. A imgem homomorf de L = {, } é lingugem h(l) = {, c}. Exemplo Tome Σ 1 = {, } e Σ 2 = {, c, d}. Defin h : Σ 1 Σ 2 por h() = dcc h() = dc Se L é lingugem regulr denotd por r = ( + )(), então r 1 = (h()h() + h() )(h()h()) = (dccdc + (dc) )(dccdcc), denot lingugem regulr h(l). Teorem Sej h : Σ 1 Σ 2 um homomorfismo. Se L é um lingugem regulr, sore o lfeto Σ 1, então su imgem homomorf é um lingugem regulr sore o lfeto Σ 2. A fmíli ds lingugens regulres é, portnto, fechd so homomorfismos ritrários. Demonstrção: Sej L um lingugem regulr, sore Σ 1, denotd por lgum expressão regulr r, isto é L(r) = L. Sej h(r) expressão otid o sustituir em r, cd símolo Σ 1 por h() Σ 2, de modo similr o exemplo Note que no cso prticulr ds expressões regulres primitivs λ e, h(λ) = λ e h( ) =. Pode ser mostrdo diretmente pelndo à definição de um expressão regulr que o resultdo (h(r)) é um expressão regulr. É fácil ver que expressão regulr h(r) denot h(l(r)). Tudo que precismos fzer é mostrr que pr todo w L(r), o correspondente h(w) está em L(h(r)) e, inversmente, que pr todo v L(h(r)) Introdução à Teori d Computção: Lingugens Formis, utômtos e Computilidde 87

6 4.2. Questões Elementres sore Lingugens Regulres existe w L tl que v = h(w). Noutrs plvrs, devemos mostrr que L(h(r)) = h(l(r)). Deixmos os detlhes como exercício. A importânci do homomorfismo, é que pode server pr simplificr demonstrções. Por exemplo, se semos que lingugem L = {10 n 1 k 0 / n, k 1}, então vi o homomorfismo h(0) = e h(1) =, seremos que lingugem L, = {() n () k n, m são pres miores ou iguis {2} tmém é um lingugem regulr, não precismos construir um utômto finito que reconheç el, ou um grmátic regulr que gere ou um expressão regulr que denote ess lingugem. As lingugens regulres tmém são fechds sore reversões, prefixos e sufixos, como mostr o seguinte teorem. Teorem Se L é um lingugem regulr, então L R, L P e L S tmém são regulres. Demonstrção: Se L é regulr, então existe um grmátic liner à direit que ger L. Logo, o procedimento descrito no teorem terímos um grmátic liner à esquerd que ger L R e portnto L R é um lingugem regulr. Se L é regulr, então existe um fd, M, que reconhece L. Constru um novo fd prtir de M dndo o sttus de estdo finl cd estdo que estej em lgum cminho do estdo inicil lgum estdo finl de M. Clrmente, L(M) = L P. Por outro ldo, como trivilmente L S = ((L R ) P ) R, e lingugens regulres são fechds sore prefixos e reversões, então L S é tmém um lingugem regulr. 4.2 Questões Elementres sore Lingugens Regulres Podemos discutir gor o seguinte prolem fundmentl: dd um lingugem ritrári L e um cdei w, podemos determinr lgoritmicmente se w pertence L ou não? Est questão é conhecid como questão de pertinênci e o método de respondê-l é o lgoritmo de pertinênci. A questão d existênci e nturez desse lgoritmo será de muito interesse no que seguirá. É um prolem em gerl difícil. Pr s lingugens regulres, no entnto, ele é fácil. O que queremos dizer por ddo um lingugem...? Em muitos rgumentos é importnte que ess frse sej clr. Usmos váris mneirs de descrever s lingugens regulres: descrição verl informl, notção de conjunto, utômtos finitos, expressões regulres e grmátics regulres. Somente s três últims são suficientemente em definids pr usr em provs de teorems. Portnto, dizemos que um lingugem regulr é dd num representção pdrão se, e somente se, el é descrit por um utômto finito, um expressão regulr ou um grmátic regulr. Teorem Ddo um representção pdrão de um lingugem regulr ritrári L, sore Σ, e um cdei w Σ, existe um lgoritmo pr determinr se w L ou não. Demonstrção: Primeiro representmos lingugem por lgum utômto finito (se representção pdrão d lingugem é outr, então podemos, usndo os lgoritmo deste cpítulo, sempre trnsformr este num utômto finito equivlente). Depois simulmos o comportmento 88 Introdução à Teori d Computção: Lingugens Formis, utômtos e Computilidde

7 Cpítulo 4. Proprieddes ds Lingugens Regulres do utômto pr entrd w. Se o finlizr simulção o utômto pár num estdo finl, então o lgoritmo ceit cdei senão o lgoritmo rejeit cdei. Existem diversos simuldores de utômtos finitos disponíveis n internet, por exemplo o SAGEMoLic desenvolvido pelo grupo de Teori d Computção d Universidde de Brsili e disponível em: yl/tcgroup/sagemolic/. Outrs questões importntes são: 1. L é um lingugem vzi ou não vzi? 2. L é um lingugem finit ou infinit? 3. São L 1 e L 2 mesm lingugem? 4. L 1 é um suconjunto de L 2? Teorem Existe um lgoritmo pr determinr se um dd lingugem regulr, n representção pdrão, é vzi, finit ou infinit. Demonstrção: A respost é imedit prtir d representção d lingugem como grfo de trnsição de um fd. Se existe um cminho do vértice inicil qulquer vértice finl, então lingugem é não-vzi. Pr determinr se lingugem é infinit ou não, chmos todos os vértices que são se de lgum ciclo. Se lguns desses estão sore um cminho de um vértice inicil um finl, lingugem é infinit. Cso contrário, el é finit. Algoritmos pr encontrr cminhos e ciclos são em conhecidos em teori dos grfos. Outr form de verificr se um lingugem é infinit, é verificr se n representção pdrão de expressões regulres, el contém o fecho estrel plicdo um expressão contendo pelo menos um símolo de Σ. A questão d iguldde de dus lingugens é tmém um prolem prático importnte. Freqüentemente, existem váris definições de um lingugem de progrmção e, precismos ser, pesr de sus diferençs prente, se els especificm mesm lingugem. Esse, em gerl, é um prolem difícil. Mesmo pr lingugens regulres o rgumento não é óvio. Não é possível rgumentr n comprção plvr plvr, pois ele só funcion pr lingugens finits. Não é tmém fácil pelr pr expressões regulres, grmátics regulres ou fd s, pois existem, por exemplo, infinits expressões regulres pr denotr mesm lingugem. Um solução elegnte us propriedde de fecho. Teorem Dds s lingugens regulres L 1 e L 2, n representção pdrão, existe um lgoritmo pr determinr se L 1 = L 2 ou não. Introdução à Teori d Computção: Lingugens Formis, utômtos e Computilidde 89

8 4.3. Identificndo Lingugens Não Regulres Demonstrção: Usndo L 1 e L 2 podemos construir lingugem L 3 = (L 1 L 2 ) (L 1 L 2 ). L 3 é regulr, pois L 1 e L 2 são e pelo teorem 4.1.1, união, intersecção e diferenç de dus lingugens regulres são regulres. Portnto, podemos chr um fd, M, que reconheç L 3. Oserve que se L 1 = L 2, então L 3 = (L 1 L 2 ) (L 1 L 2 ) = (L 1 L 1 ) (L 1 L 1 ) = L 1 L 1 = Se L 1 L 2, então ou existe um elemento w L 1 tl que w L 2 ou existe um elemento w L 2 tl que w L 1. Em mos os csos w L 1 L 2 e w L 1 L 2. Logo, L 3 = (L 1 L 2 ) (L 1 L 2 ). Assim, L 1 = L 2 se, e somente se, L 3 =. Logo, podemos usr o lgoritmo do teorem pr determinr se L 3 é vzi ou não e ssim concluir se L 1 = L 2 ou L 1 L Identificndo Lingugens Não Regulres As lingugens regulres podem ser infinits. No entnto, o fto dels poderem ser ssocidos com utômtos que tem memóri finit, impõe lguns limites n estrutur ds lingugens regulres. Noss intuição diz que um lingugem é regulr somente se, em processndo qulquer cdei, informção ser rmzend em qulquer estágio é estritmente limitd. Isso é verdde, ms teremos de mostrr precismente Usndo o Princípio d Cs de Pomos O termo princípio d cs de pomos é usdo pelos mtemáticos pr se referir à seguinte simples oservção: Se colocmos n ojetos (pomos) em m cixs (cs de pomos), e se n > m, então no mínimo um cix deve conter mis de um ítem. Nest metáfor, cs dos pomos correspondem os estdos de um fd e os n pomos um cdei de tmnho n. Exemplo A lingugem L = { n n / n 0} é regulr? A respost é não. Mostrremos usndo um prov por contrdição. Suponh que L é regulr. Então, existe um fd M = Q, {, }, δ, q 0, F que reconhece. Agor, olhemos pr δ (q o, i ), com i = 1, 2, 3,.... Como existe um número ilimitdo de i s, ms somente um número limitdo de estdos em M, o princípio d cs de pomos nos diz que pr n > Q deve existir lgum estdo, digmos q, tl que δ (q 0, n ) = q e δ (q 0, m ) = q, pr lgum m n. 90 Introdução à Teori d Computção: Lingugens Formis, utômtos e Computilidde

9 Cpítulo 4. Proprieddes ds Lingugens Regulres Ms, como M ceit n n, devemos ter Disso podemos concluir que δ (q 0, n n ) = q f F δ (δ (q 0, n ), n ) = q f F δ (q, n ) = q f F. δ (q 0, m n ) = δ (δ (q 0, m ), n ) = δ (q, n ) = q f F. Isto contrdiz suposição originl de que M ceit m n somente se m = n (e neste cso m n). Logo, L não pode ser regulr. Neste rgumento, o princípio d cs de pomos é um mneir de estelecer precismente o que queremos dizer qundo dizemos que um utômto finito tem memóri limitd. Pr reconhecer todos n n, um utômto teri de distinguir todos os prefixos de n. Ms como existe somente um número finito de estdos internos pr fzer isso, qundo n for mior que quntidde de estdos existirim lguns prefixos de n pr os quis ess distinção não poderi ser feit. Pr usr esse tipo de rgumento num vriedde de situções é conveniente codificá-lo como um teorem gerl. Existem váris mneirs de fzer isso, que fremos é tlvez mis fmos Lem do Bomemento pr Lingugens Regulres O resultdo que segue, conhecido como lem do omemento pr lingugens regulres, us o princípio d cs de pomos num outr form. A prov é sed n oservção de que num grfo de trnsição com n vértices, qulquer cminho de comprimento n ou mis longo deve repetir lgum vértice, isto é, contém um ciclo. O lem do omemento só precisrá nlisr lingugens infinits, pois trivilmente tod lingugem finit necessrimente é regulr. Teorem (Lem do omemento) Sej L um lingugem infinit. Se L é regulr então, existe um inteiro positivo m tl que todo w L, com w m, pode ser decomposto como w = xyz, com xy m e y 1 tl que está tmém em L, pr todo i = 0, 1, 2,.... w i = xy i z, (4.1) Demonstrção: Se L é regulr, existe um fd que reconhece. Sej M um desses fd s, com estdos rotuldos por q 0, q 1,...,q n. Agor tome um cdei w L tl que w = k m = n+1. Como L é infinit isso pode sempre ser considerdo. Sej q 0, q i, q j,...,q f o conjunto de estdos do utômto qundo ele reconhece w. Como ess cdei tem no mínimo n + 1 entrds, então pelo menos um estdo deve ser repetido, e tl repetição deve começr não pós o m-ésimo movimento. Portnto, seqüênci deve ter seguinte form Introdução à Teori d Computção: Lingugens Formis, utômtos e Computilidde 91

10 4.3. Identificndo Lingugens Não Regulres q 0, q i, q j,...,q r,...,q r,...,q f, indicndo que devem existir sucdeis x, y, e z de w tl que δ (q 0, x) = q r, δ (q r, y) = q r, δ (q r, z) = q f, com xy n + 1 = m e y 1. Donde segue imeditmente que δ (q 0, xz) = q f, ssim como δ (q 0, xy 2 z) = q f, δ (q 0, xy 3 z) = q f, e ssim por dinte, completndo prov do teorem. Ou sej, se L for regulr e infinit, então tod plvr suficientemente long em L pode ser querd em três prtes, de tl modo que um número ritrário de repetições d prte do meio ger necessrimente um outr plvr em L. Dizemos que cdei do meio é omed. ms isto não signific que em qulquer decomposição xyz d cdei w, y poss ser omed ritrrimente, ou sej perfeitmente podem existir decomposições de w tis que o omemento d prte do meio gere um cdei não pertencente à lingugem. Por exemplo lingugem L = { n / n é pr} é infinit e regulr e portnto stisfz o lem do omemento. Pr ver isto st escolher m = 2, pois qulquer cdei w = 2k pr lgum k 1 pode ser decompost em x = λ, y = e z = 2(k 1), o omer y i-vezes, teremos cdei xy i z = () i 2(k 1) = 2i 2(k 1) = 2(i+(k 1)) que é d form 2k e portnto fz prte d lingugem L. Oserve que se tivéssemos decomposto w em x = λ, y = e z = 2k 1, o omer y dus vezes (i = 2), terímos cdei xy 2 z = 2 2k 1 = 2+2k 1 = 2k+1 que não é de comprimento pr. Enuncimos o lem do omemento somente pr lingugens infinits. Lingugens finits, emor sempre regulres, não podem ser omeds pois o omemento utomticmente cri um conjunto infinito de cdeis. Assim, o teorem não vle pr lingugens finits, pois ele se tornri vácuo (poderi ser escolhido um m mior do que o mior comprimento ds cdeis n lingugem, de modo que nenhum cdei pode ser omed). Exemplo Sej lingugem L = {w {, } / N (w) e N (w) são pres}. Est lingugem é regulr (vej exemplo 2.5). Logo, pelo lem do omemento deve existir um inteiro positivo m tl que todo w L, com w m, pode ser decomposto como w = xyz, com xy m e y 1 stisfzendo equção Introdução à Teori d Computção: Lingugens Formis, utômtos e Computilidde

11 Cpítulo 4. Proprieddes ds Lingugens Regulres Sej m = 3 e um cdei ritrári w = n L (Portnto N (w) = 2p e N (w) = 2q pr lgum p, q N) tl que w = n m = 3. Clrmente, como so temos dois símolos no lfeto ou 2 = 1 ou 2 = 3. Supondo que 2 = 1 = então podemos decompor w em x = λ, y = 1 2 e z = 3... n, omendo y k vezes, nos teremos que N (xy k z) = N (x) + N (y k ) + N (z) = 0 + N (() k ) + (N (w) 2) = 2k + 2p 2 = 2(k + p 1) Portnto, N (xy k z) é pr. por outro ldo, como não modificmos quntidde de s, temos que N (xy k z) = N (w) = 2q. Assim, xy k z L. Se 2 = 1 = procedemos de form similr. Já se 2 = 3 = ou se 2 = 3 = então podemos decompor w em x = 1, y = 2 3 e z = 4... n e proceder de form nálog o cso nterior. Portnto L é um lingugem regulr. Porém o lem do omemento, ssim como o rgumento do princípio d cs de pomos do exemplo 4.3.1, é mis usdo pr se mostrr que certs lingugens não são regulres. A demonstrção é sempre por contrdição. Exemplo Usremos o lem do omemento pr mostrr que L = { n n / n 0} não é um lingugem regulr. Suponhmos que L é regulr, portnto o lem do omemento deveri vler. Não semos o vlor de m, ms qulquer que sej ele podemos escolher n > m. Logo, sucdei y deve consistir inteirmente de s. Suponh que y = k com k 1. Então, cdei otid usndo-se i = 0, n equção 4.1, é n k n. Como n k n, então, clrmente, n k n não está em L. Isso contrdiz o lem do omemento e, portnto, hipótese é fls, isto é, L não é regulr. Exemplo Sej lingugem L Pl do exemplo Vmos demonstrr usndo o lem do omemento, que est lingugem não é regulr. Suponhmos que é regulr, portnto o lem do omemento deveri vler. Como não conhecemos o vlor de m, usemos um m genérico. Agor escolh cdei m m. Clrmente, m m é um plíndromo, independente do vlor de m. Pelo lem do omemento, podemos decompor ess cdei em três prtes (x, y e z) stisfzendo s condições do lem do omemento e omer sucdei y tnts vezes qunto desejrmos, que ind otemos um cdei em L Pl. Pr refutr este resultdo devemos mostrr que qulquer que sej est decomposição de m m (stisfzendo s condições do lem) podemos gerr, o omer sucdei y, um cdei que não pertence à lingugem. Fremos ests decomposições genericmente. Como xy m e y 1 então x = i com i m, y = j com 1 j m, i + j m Introdução à Teori d Computção: Lingugens Formis, utômtos e Computilidde 93

12 4.3. Identificndo Lingugens Não Regulres e z = m (i+j) m. Pelo lem do omemento, tods s cdeis d form xy k z, com k N tmém pertencem L Pl. Porém pr k = 2, temos que xy 2 z = i j j m (i+j) m = i j m (i+j) j m = m j m = m+j m e portnto xy 2 z n 2n n+j ) pr todo n N. Ou sej xy 2 z não é um plíndromo o que contrdiz o lem do omemento. Logo hipótese que L Pl é um lingugem regulr é fls. Estes exemplos sugerem que é possível reescrever o lem do omemento n su form contr-positiv pr demonstrr diretmente qundo um lingugem não é regulr. Corolário Sej L um lingugem infinit. Se pr qulquer inteiro positivo m existe um cdei w L tl que w m e pr tod possível decomposição de w em três cdeis x, y e z (w = xyz) com xy m e y 1, temos que cdei xy i z L pr lgum inteiro não negtivo i, então L não é regulr. Exemplo Demonstremos usndo o corolário cim que lingugem não é regulr. L = {uu / u {, } } Sej m um inteiro positivo qulquer e w = m m. Então, w = uu pr u = m e portnto w L e w = 2m + 2 > m. Suponh que w = xyz com xy m e y 1. Clrmente, y está n primeir metde e está so composto de s. No menor dos csos y =. Logo se omermos y, digmos em três vezes, quntidde de s d primeir metde umentrá pelo menos em dois, e portnto o único que fzi prte d primeir metde pssrá pr segund metde, resultndo ssim num cdei cuj metde esquerd é necessrimente diferente d metde direit e portnto não pertencerá à lingugem. Formlmente, se x = p e y = q (com q 1 e p + q m) então w = p q m (p+q) m. Bomendo dus vezes y teremos cdei xy 3 z = p 2q m (p+q) m = m (p+q)+p+q+q m = m+q m Como q 1 então m + q > m e portnto xy 3 z = m+q m L. Logo, L não é um lingugem regulr. Lmentvelmente, o lem do omemento estelece pens um condição necessári pr um lingugem infinit ser regulr. Ms isto não é suficiente pr provrmos que um lingugem qulquer sej regulr ou não. Anlogmente, o corolário 4.3.6, d um condição suficiente, ms não necessári, pr provrmos que um lingugem não é regulr, ou sej existem lingugens que stisfzem s condições desse corolário ms que não são regulres. 94 Introdução à Teori d Computção: Lingugens Formis, utômtos e Computilidde

13 Cpítulo 4. Proprieddes ds Lingugens Regulres Exemplo Sej lingugem L = {uu R v / u, v {, } + } Mostrremos que est lingugem emor clrmente não sej regulr, não pode ser provd pelo lem do omemento. Sej m = 4 e w = 1... n L tl que n 4. Por definição d lingugem, existe um número 1 k n 2 1 tl que pr cd 1 j k, j = 2k j+1, ou sej fzendo u = 1... k e v = 2k+1...n temos que u 1, v 1 e w = uu R v. Se k = 1 então é suficiente escolher x = 1 2, y = 3 e z = 4... n, pois neste cso x = uu R e portnto trivilmente xy i z L. Se k 2 então considere x = λ, y = 1 e z = 2... n. Note que se k é um plíndromo de tmnho pr, então k 1 tmém é um plíndromo de tmnho pr. Logo, pr i = 0, xy i z = z = 2... n = u u R v, onde u = 2... k e v = 2k+1... n e por tnto está em L. Se i = 1 então trivilmente xy i z = xyz = w L. Se i 2 então xy i z = 1 1 i n. Assim tomndo u = 1 e v = i n temos que u 1, v 1 e w = uu R v. Portnto xy i z L. Dest form seri impossível plicr o corolário pr provrmos que ess lingugem não é regulr. Existem forms segurs de provrmos que lingugens não regulres são de fto não regulres. Por exemplo [LV95] present um técnic eficiente com provs simples, ms que estão seds n complexidde de Kolmogorov que não foi considerd neste texto. Introdução à Teori d Computção: Lingugens Formis, utômtos e Computilidde 95

14 4.4. Exercícios 4.4 Exercícios 1. Prove que tod lingugem finit é regulr. 2. Aplique construção usd n prov do teorem pr oter o fd que reconhece intersecção ds lingugens ceits pelos fd s d figur ,1 0 0,1 0 q 0 q 1 q 1 0 q 0 q Figur 4.5: fd do exercício Quis ds seguintes igulddes são verddeirs pr tods s lingugens regulres e todos os homomorfismos? Justifique. () h(l 1 L 2 ) = h(l 1 ) h(l 2 ) () h(l 1 L 2 ) = h(l 1 ) h(l 2 ) (c) h(l n ) = h(l) n (d) h(l ) = h(l) (e) h(l R ) = h(l) R (f) h(l) = h(l) (g) h(l 1 L 2 ) = h(l 1 ) h(l 2 ) 4. N prov do teorem 4.1.8, mostre que h(r) é um expressão regulr. Então, mostre que h(r) denot h(l). 5. Mostre que fmíli ds lingugens regulres é fechd sore união finit e intersecção finit, isto é, se L 1, L 2,...,L n são lingugens regulres então n i=1 L i e n i=1 L i tmém são. 96 Introdução à Teori d Computção: Lingugens Formis, utômtos e Computilidde

15 Cpítulo 4. Proprieddes ds Lingugens Regulres 6. Sejm L 1 e L 2 dus lingugens sore os lfetos Σ 1 e Σ 2, respectivmente. O NEM de L 1 e L 2 é definido por NEM(L 1, L 2 ) = {w (Σ 1 Σ 2 ) / w L 1 e w L 2 }. Mostre que fmíli ds lingugens regulres é fechd sore NEM. 7. Mostre que s lingugens regulres são fechds sore união disjunt, onde união disjunt de dois conjuntos (lingugens) L 1 e L 2 é definid por L 1 L 2 = {w0/ w L 1 } {w1/ w L 2 } 8. Sej Σ = {, } e. : Σ Σ operção definid recursivmente seguir: λ = ŵ = ŵ ŵ = ŵ Sej L um lingugem regulr sore Σ. Mostre que L = {ŵ/ w Σ } tmém é regulr. 9. Sej Σ = {, } e. : Σ Σ operção definid seguir: L = {w / w L} {w / w L} Mostre que clsse ds lingugens regulres é fechd sore est operção. 10. Sej L um lingugem sore um lfeto Σ. Conforme visto no cpítulo 1, lingugem de sufixos de L, denotd por L S, é definid como L S = {w Σ / vw L pr lgum v Σ }. Demonstre que clsse ds lingugens regulres é fechd sore sufixos. 11. Sej L um lingugem sore um lfeto Σ. Defin () L = {w/w L e w 100} () L T = {w Σ / w L pr lgum v Σ }. Oserve que clrmente, L T L S. Demonstre que clsse ds lingugens regulres é fechd sore estes operdores. 12. Sejm L 1 e L 2 dus lingugens, defin o operdor por L 1 L 2 = {w L 1 / w L 2 } {w L 2 / w L 1 } Mostre que s lingugens regulres são fechds sore operção entre lingugens. Introdução à Teori d Computção: Lingugens Formis, utômtos e Computilidde 97

16 4.4. Exercícios c c c c c Tel 4.1: Tel multiplictiv não ssocitiv nem comuttiv. 13. Sejm L 1 e L 2 lingugens sore lfetos Σ 1 e Σ 2, respectivmente. Defin o operdor 2 por L 1 2 L 2 = {uv/ u L 1 L 2 e v (Σ 1 Σ 2 ) } Mostre que s lingugens regulres são fechds sore operção 2 entre lingugens. 14. Sej Σ = { 0,..., n }. Defin o complemento n de w Σ, denotdo por w c, como sendo λ c = λ e (w i ) C = w c n i Por exemplo se Σ = {,, c, d} e considerndo 0 =, 1 =, 2 = c e 3 = d, então cd c = ddc. Se L é um lingugem regulr sore um lfeto Σ = { 0,..., n }, demonstre que lingugem tmém é regulr. L c = {w c / w L}, 15. Mostre que existe um lgoritmo pr determinr se L 1 L 2, pr qulquer lingugem regulr L 1 e L Mostre que existe um lgoritmo pr determinr se intersecção e união de dus lingugens regulres é finit, vzi ou infinit. 17. Sej tel 4.1. A primeir colun represent os rótulos de cd fil n tel enqunto primeir fil represent os rótulos de cd colun n tel. Pr cd x, y Σ = {,, c} denote por T(x, y) o conteúdo d tel pr posição (x, y). Sej seguinte função A : Σ + Σ definid por A() =, pr cd Σ e A(w) = T(A(w), ), pr cd w Σ + e Σ. Demonstre que seguinte lingugem é regulr: L = {w Σ + /A(w) = A(w R )} 18. Sej Σ = {0, 1}. Mostre que é possível plicr o lem do omemento pr s seguintes lingugens regulres. 98 Introdução à Teori d Computção: Lingugens Formis, utômtos e Computilidde

17 Cpítulo 4. Proprieddes ds Lingugens Regulres () L = {w Σ / 0110 é um prefixo de w} () L = {w Σ / 0110 é um sufixo de w} (c) L = {w Σ / w = u111v pr lgum u, v Σ } (d) L = {w Σ / u, v Σ tl que w = u111v} 19. Mostre que s lingugens sore Σ = {, }, definids seguir, não são regulres. () L = {w Σ / N (w) = N (w)} () L = {w Σ / N (w) N (w)} (c) L = {w Σ / u = v pr lgum prefixo u λ e sufixo v de w}. (d) L = { m n / m > n} (e) L = { m n / m n} (f) L = { n n+1 / n 1} (g) L = { m n / 1 m n 2m} (h) L = { m+1 n+1 / 2 n m 3n} onde N (w) é o número de s que figurm em w 20. Sej Σ = {, } e. : Σ Σ operção definid recursivmente seguir: λ = λ ŵ = ŵ ŵ = ŵ Mostre usndo o lem do omemento que s lingugens () L = {wŵ/ w Σ } () L = {w Σ / w = ŵ R } não são lingugens regulres. 21. Sej Σ = {, } e. : Σ Σ operção definid recursivmente seguir: λ = λ ŵ = ŵ ŵ = ŵ Mostre usndo o lem do omemento que lingugem L = {wŵ/ w Σ } não é regulr. 22. Sej L um lingugem sore um lfeto Σ qulquer. Defin P(L), recursivmente por P(λ) = λ P(w) = P(w) pr cd Σ e w Σ. Mostre usndo o lem do omemento que lingugem L = {P(w)/ w Σ } não é regulr. Introdução à Teori d Computção: Lingugens Formis, utômtos e Computilidde 99