O conceito de integral e suas propriedades básicas

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1 17 O conceito de integrl e sus proprieddes básics Sumário 17.1 Introdução Integrl denid de f : [, b] R Soms de Riemnn A integrl denid f(x) dx Exercícios Proprieddes ds integris denids Interpretção geométric d integrl Exercícios

2 Unidde 17 Introdução Enqunto Álgebr e Geometri estiverm seprds, seus progressos form lentos e sus plicções limitds. No entnto, qundo ests dus ciêncis form unids, derm um outr renovd vitlidde e seguirm rpidmente rumo à perfeição. Lgrnge 17.1 Introdução Ao longo ds uniddes que restm lidremos com dus questões que, prentemente, não estão nem um pouco relcionds. Questão A: Sob que condições podemos rmr que um dd função f : I R, denid em um intervlo berto I d ret, é função derivd de lgum função F : I R? Ou sej, existe F : I R tl que F (x) = f(x), x I? Questão B: Como estender noção clássic de áre de gurs plns tringulrizáveis pr gurs mis geris? poderão ser incluíds no processo? Quis gurs não tringulrizáveis N primeir questão buscmos um função enqunto que n segund espermos obter números ns resposts. A continuidde, como veremos, é condição suciente pr respondermos positivmente mbs s questões. Veremos tmbém que há um forte conexão entre els, um resultdo devers importnte, como seu nome indic: o Teorem Fundmentl do Cálculo, que será objeto de estudo d próxim unidde. Exemplos clássicos de gurs não tringulrizáveis às quis tribuímos áre são círculos e, mis gerlmente, setores de curvs cônics, como prábol. Arquimedes deu primeir prov rigoros de que áre do círculo é igul à áre do triângulo cuj bse é igul su circunferênci e cuj ltur é igul seu rio. Além disso, mostrou que < π <

3 O conceito de integrl e sus proprieddes básics Unidde 17 Ele tmbém clculou áres de setores prbólicos. Seus rgumentos envolvem proximções d região em questão por regiões tringulrizáveis, o método de exustão e sus demonstrções usm redução o bsurdo. É importnte notr que Arquimedes não dispunh de notção dequd nem de um sistem de numerção posicionl como o que usmos. Um bordgem mis gerl, como que fremos, tornou-se viável devido à introdução d noção de coordends, resultdo dos trblhos de Descrtes e Fermt. Pr ilustrr teori de integrl denid que presentremos, vmos começr com um exemplo. Vmos clculr áre d região compreendid pelo eixo Ox, pel ret denid pel equção x = 1 e pelo trecho d prábol determind pel equção y = x 2. Exemplo 1 y = x 2 1 Aqui está estrtégi: vmos subdividir o intervlo [0, 1] em subintervlos, pr noss conveniênci, todos de comprimentos iguis, e considerr os retângulos com bses nesses intervlos. Cd um desses retângulos terá ltur igul o máximo vlor d função restrit o subintervlo bse. Vej gur pr o cso dest subdivisão ser de cinco subintervlos, com os correspondentes retângulos. 3

4 Unidde 17 Introdução 1 A união desses retângulos é um região à qul podemos tribuir áre: som ds áres dos retângulos. Agor, tomndo divisões com mis e mis subintervlos, obteremos um sequênci de números reis. Se ess sequênci convergir, teremos um excelente cndidto à áre d região originl. Note que isso é muito rzoável, um vez que cd nov subdivisão do intervlo [0, 1], diferenç entre região originl e união de retângulos é menor. 1 Vmos os números. A divisão do intervlo [0, 1] será em n subintervlos, delimitdos pelos pontos 0 < 1 n < 2 n < < i n < < n 1 < 1. n [ ] i 1 Assim, o subintervlo n, i será bse do i-ésimo retângulo. A áre n deste retângulo é A(i) = 1 n ( i n) 2, o produto do comprimento do intervlo 4

5 O conceito de integrl e sus proprieddes básics Unidde 17 pel su ltur, o vlor d função f(x) = x 2 clculd no extremo superior do intervlo, o ponto i n. Portnto, áre d união dos n retângulos é n n i 2 S(n) = A(i) = = 1 n i 2 = n 3 n 3 n(n + 1)(2n + 1) 6n 3. Tomndo o limite, temos lim S(n) = d região originl. Vmos gor o cso gerl. 1, um excelente cndidto à áre Integrl denid de f : [, b] R Prtições do intervlo [, b] Sej [, b] um intervlo fechdo e limitdo d ret. Chmmos um prtição P de [, b] um conjunto nito de pontos {x 0, x 1,..., x n 1, x n }, ordendo d seguinte form: = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b. Note que um tl prtição divide o intervlo [, b] em n subintervlos [x i 1, x i ]. Cd um destes subintervlos tem comprimento x i = x i x i 1 e som destes comprimentos é igul b, o comprimento do intervlo originl: n x i = (x 1 x 0 ) + (x 2 x 1 ) + + (x n x n 1 ) = x n x 0 = b. Vej um exemplo gráco pr n = 5. [ ] = x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 b = x 5 [, b] = [x 0, x 1 ] [x 1, x 2 ] [x 2, x 3 ] [x 3, x 4 ] [x 4, x 5 ]. Note que s prtições usds no exemplo introdutório erm homogênes. Isto é, todos os subintervlos de mesmo tmnho, um-enésimo do comprimento do intervlo originl. Chmmos norm d prtição P o comprimento do seu subintervlo mis longo: P = mx{ x i ; i = 1, 2,..., n }. 5

6 Unidde 17 Soms de Riemnn 17.3 Soms de Riemnn Sej f : [, b] R um função denid no intervlo fechdo e limitdo [, b] e sej P um prtição de [, b]. Pr cd i = 1, 2,..., n, escolhemos um ponto c i [x i 1, x i ]. Denimos Som de Riemnn de f, reltiv à prtição P e à escolh dos pontos c i por S(f, P) := n f(c i ) x i. Observe que n notção S(f, P) indicmos dependênci deste número em relção à prtição P, ms ele tmbém depende d escolh dos pontos c i. No exemplo introdutório, S(n) corresponde à Som de Riemnn d função f(x) = x 2, denid no intervlo [0, 1], com prtição homogêne de n subintervlos e s escolhs c i = i n : S(n) = n ( ) 2 i 1 n n = n(n + 1)(2n + 1) 6n 3. Note que, se f é um função positiv, S(f, P) é áre d região formd pel união dos retângulos de bse [x i 1, x i ] e de ltur f(c i ), como mostr gur seguir. x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 6

7 O conceito de integrl e sus proprieddes básics Unidde 17 No entnto, em gerl, s Soms de Riemnn de um função qulquer, que ssume vlores positivos e negtivos, corresponde um som de números positivos ou negtivos, dependendo dos vlores f(c i ). Assim, os retângulos que se encontrrem bixo do eixo Ox, contribuirão com prcels negtivs. Vej gur seguir. c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 Neste exemplo gráco, Som de Riemnn é S(f, P) = 5 f(c i ) x i = A 1 A 2 A 3 + A 4 + A 5, onde A i represent áre do retângulo de bse [x i 1, x i ] e ltur f(c i ) A integrl denid f(x) dx Gostrímos de dizer que integrl denid d função f : [, b] R é o limite ds sus Soms de Riemnn qundo s norms ds prtições tendem à zero: f(x) dx = lim S(f, P). P 0 Pr fzer isso, nos deprmos com um diculdde técnic. Tl limite é de nturez diferente dos limites com os quis temos liddo té gor: o limite de 7

8 Unidde 17 A integrl definid f(x) dx sequênci e o limite de função, o qul foi denido em termos do nterior. No cso do limite de um sequênci, queremos nlisr o comportmento de um conjunto enumerável (e ordendo) de pontos. Qundo lidmos com s prtições, mis s escolhs dos pontos c i 's, temos um conjunto enorme de números, sobre o qul queremos tomr o limite. Mesmo se nos restringíssemos às prtições homogênes, ind terímos que lidr com s escolhs dos c i 's. No exemplo introdutório escolhemos os extremos superiores dos subintervlos: c i = x i. A escolh poderi ser outr, como x i 1, os extremos inferiores, ou x i + x i 1, 2 os pontos médios dos subintervlos. Em cd um dos csos terímos outr sequênci, porém o mesmo limite! Pr superr esss diculddes e continur no escopo de um livro de Cálculo, lidremos pens com funções contínus. Pr isso, estbeleceremos, inicilmente, s rmções seguir. () Lidremos, por conveniênci, pens com funções contínus positivs. Isto é, ssumiremos por gor que f : [, b] R é contínu e f(x) 0, pr todo x [, b]. (b) Se f : [, b] R for contínu e positiv, dd um prtição P de [, b], o conjunto ds Soms de Riemnn de f, reltivs P, vrindo sobre s escolhs dos pontos c i 's, será limitdo por dus Soms de Riemnn especiis, um mínim e outr máxim. (c) Se f : [, b] R for contínu e positiv e Q for prtição de [, b] obtid d prtição P pel dição de um ponto extr, então Som de Riemnn mínim de Q será mior ou igul à Som de Riemnn mínim de P e Som de Riemnn máxim de Q será menor ou igul à Som de Riemnn máxim de P. (d) Se f : [, b] R for contínu e positiv e P 0, então Som de Riemnn mínim de P convergirá pr Som de Riemnn máxim de P. Este número será chmdo integrl denid de f em [, b] e denotdo f(x) dx. Vmos inicir com rmção (b). Dd um prtição P de [, b], como f : [, b] R é um função contínu, su restrição f i : [x i 1, x i ] R 8

9 O conceito de integrl e sus proprieddes básics Unidde 17 cd um dos subintervlos d prtição tmbém é contínu. O Teorem dos Vlores Extremos grnte existênci de pontos e i e d i em [x i 1, x i ] tis que f(e i ) f(x) f(d i ), x [x i 1, x i ]. Portnto, se denotrmos por S (f, P) Som de Riemnn correspondente à escolh dos e i 's mínimos e por S + (f, P) Som de Riemnn correspondente à escolh dos d i 's máximos, temos S (f, P) < S(f, P) < S + (f, P), onde S(f, P) é um Som de Riemnn ssocid um escolh genéric de c i 's. Observe gur seguir, n qul os retângulos máximos, com ldo superior em preto, somm áre mior do que áre correspondente os retângulos de ldos superiores vermelhos, que por su vez somm áre mior do que áre correspondente os retângulos mínimos, cujos ldos superiores são zuis. c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 Vmos gor lidr com rmção (c). Mostrremos que, se Q é obtid de P pel dição de um ponto, então S + (f, Q) S + (f, P). Suponhmos que Q foi obtid de P pel dição do ponto t: = x 0 < x 1 < x 2 < < x i 1 < t < x i < < x n = b. 9

10 Unidde 17 A integrl definid f(x) dx Então, S + (f, Q) é obtid de S + (f, P) substituindo prcel f(d i ) x i por dus prcels, digmos f(η 1 ) (t x i 1 ) e f(η 2 ) (x i t), ns quis f(η 1 ) é o vlor máximo de f em [x i 1, t] e f(η 2 ) é o vlor máximo de f em [t, x i ]. Ms f(d i ) é o vlor máximo de f em [x i 1, x i ] = [x i 1, t] [t, x i ]. Portnto, f(η 1 ) f(d i ), f(η 2 ) f(d i ), f(η 1 )(t x i 1 ) + f(η 2 )(x i t) f(d i )(t x i 1 ) + f(d i )(x i t) = f(d i ) x i e podemos concluir que S + (f, Q) S + (f, P). A situção S (f, P) S (f, Q) é nálog. Queremos gor considerr rmção (c), onde lidremos com um processo de convergênci. Dd um prtição P de [, b], construímos um nov prtição P 1 crescentndo P todos os pontos médios de seus subintervlos. Est nov prtição é tl que P 1 = 1 2 iterds vezes, temos P. Além disso, usndo o item (c) S (f, P) S (f, P 1 ) S + (f, P 1 ) S + (f, P). Repetindo o processo, obtemos um nov prtição P 2 de P 1 e ssim sucessivmente. Dess form, obtemos um sequênci de prtições P n, tis que P n = 1 2 n P, lém de dus sequêncis de números, um crescente: ( S (f, P n ) ), um decrescente: ( S + (f, P n ) ). Como esss dus sequêncis de números são limitds, inferiormente por m (b ) e superiormente por M (b ), onde m e M são, respectivmente, o mínimo e o máximo vlores de f em [, b], mbs convergem. Chmmos seus limites de I e I +, respectivmente. Vmos presentr um rgumento que grnte que I = I +. Observe diferenç entre s soms S + (f, P n ) e S (f, P n ): S + (f, P n ) S (f, P n ) = n (f(d i ) f(e i )) x i, onde f(d i ) e f(e i ) são, respectivmente, os vlores máximo e mínimo de f no intervlo [x i 1, x i ]. Sejm M n = mx{f(d i ) f(e i ), i = 1,..., n} e m n = min{f(d i ) f(e i ), i = 1,..., n}. Então, m n (b ) S + (f, P n ) S (f, P n ) M n (b ). 10

11 O conceito de integrl e sus proprieddes básics Unidde 17 Tomndo o limite com n +, o comprimento dos intervlos [x i 1, x i ] converge pr zero e continuidde de f implic que s diferençs f(d i ) f(e i ) tendem zero. Portnto, lim m n = lim M n = 0. Assim, diferenç n + n + S + (f, P n ) S (f, P n ) converge pr zero e I + = I = I. Rest um ponto ser esclrecido. Como grntir que, prtindo de possíveis diferentes prtições, digmos P e Q, chegremos, por esse processo, o mesmo limite I? Um mneir de grntir isso seri usr prtição obtid d união dels, P Q e mostrr que esse limite é igul o limite obtido prtir de P e o limite obtido prtir de Q. Pr função f : [, b] R contínu e positiv, denimos Definição 2 f(x) dx = I. limite. Observe que podemos usr qulquer fmíli de prtições pr chegr este Sej f : [, b] R função constnte f(x) = k, pr todo x [, b]. Então, se P é um prtição de [, b] e c i é um escolh qulquer de pontos c i [x i 1, x i ], Som de Riemnn de f ssocid é Exemplo 3 A integrl d função constnte S(f, P) = n f(c i ) x i = n k x i = k n x i = k (b ). Portnto, k dx = lim P 0 n f(c i ) x i = lim k (b ) = k (b ). P 0 Precismos gor lidr com o item (), pr podermos estender denição pr funções contínus quisquer. Pr isso, estbelecemos proposição seguir: Dd um função f : [, b] R contínu, existem dus funções f + : [, b] R e f : [, b] R, mbs contínus, tis que f(x) = f + (x) + f (x), f + (x) 0 e f (x) 0, pr todo x [, b]. Proposição 4 11

12 Unidde 17 A integrl definid f(x) dx Demonstrção Bst escrever f + (x) = f(x), se f(x) 0 e f + (x) = 0, se f(x) < 0, ssim como f (x) = f(x), se f(x) 0 e f (x) = 0, se f(x) > 0. Fic como exercício pr o leitor demonstrção de que esss dus funções são contínus. Vej n gur um exemplo de f com sus respectivs f + e f. No cso de f : [, b] R ser um função tl que f(x) 0, pr todos os elementos x [, b], tommos g = f e denimos No cso gerl, denimos f(x) dx := g(x) dx. f(x) dx = f + (x) dx + f (x) dx. Completmos ess seção com lgums extensões d denição de integrl. Definição 5 Sej f : [, b] R um função contínu. É conveniente convencionr s seguintes rmções: 12

13 O conceito de integrl e sus proprieddes básics Unidde Sej c um ponto de [, b]. Então c c f(x) dx = b f(x) dx = f(x) dx. No cso do item (1) podemos interpretr que {c} é únic prtição do intervlo [c, c] e, portnto, x 1 = 0. No cso do item (2), tommos x i no lugr de x i no cálculo ds Soms de Riemnn, um vez que integrção está sendo feit no sentido inverso, de b pr. 13

14 Unidde 17 Exercícios 17.5 Exercícios 1. Clcule 1 0 x dx, áre do triângulo retângulo de bse [0, 1] determindo pelo eixo Ox e pels rets y = x e x = 1 usndo prtições homogênes. 2. Clcule áre d região compreendid pelo eixo Ox, pel ret denid pel equção x = 1 e pelo trecho d prábol determind pel equção y = x 2, como no exemplo introdutório, usndo os pontos extremos inferiores dos subintervlos. 3. Mostre que, dd f : [, b] R, s correspondentes funções f + e f, denids por f + (x) = f(x), se f(x) 0 e f + (x) = 0, se f(x) < 0, ssim como f (x) = f(x), se f(x) 0 e f (x) = 0, se f(x) > 0, são obtids diretmente ds fórmuls f + (x) = 1 2 (f(x) + f(x) ) e f (x) = 1 (f(x) f(x) ). 2 Conclu que, se f for contínu, então f + e f são contínus. 4. Use prtições homogênes pr mostr que o processo ilustrdo no exemplo introdutório, plicdo função f : [, b] R, denid por f(x) = x + 1, n qul 0, result n áre A = b2 2 + b, do respectivo 2 trpézio. 5. Sejm f, g : [, ] R, funções tis que f(x) = f( x) e g(x) = g( x), pr todo x [, ], f um função pr e g um função ímpr. Mostre que f(x) dx = 2 0 f(x) dx e g(x) dx = Mostre que, se f : [, b] R é um função contínu, positiv e m e M são, respectivmente, seus vlores mínimo e máximo em [, b], então m (b ) f(x) dx M (b ). 14

15 O conceito de integrl e sus proprieddes básics Unidde Mostre que, se f, g : [, b] R são funções contínus tis que f(x) g(x) 0, pr todo x [, b], então f(x) dx g(x) dx. 8. Mostre que, se f : [, b] R é um função contínu, positiv e existe c [, b] tl que f(c) > 0, então f(x) dx > 0. 15

16 Unidde 17 Proprieddes ds integris definids 17.6 Proprieddes ds integris denids Inicimos com lgums proprieddes que completm denição e enftizm interpretção geométric d integrl denid. Proposição 6 Propriedde 1 Sej f : I R um função contínu denid em intervlo I. Se, b c I, então f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. e Demonstrção Consideremos inicilmente possibilidde < c < b. Neste cso, [, c] [c, b] = [, b] I e s restrições de f cd intervlo menciondo é um função contínu. A propriedde segue do fto de que, se P é um prtição de [, c] e Q é um prtição de [c, b], então P Q será um prtição de [, b]. O resultdo então seguirá d propriedde do limite sobre s prtições. Vej um representção grác dest situção. c b Nos csos de c coincidir com ou com b ou se um ds situções, c < < b ou < b < c ocorrer, bst lembrr que c f(x) dx. c f(x) dx = 0 e que c c f(x) dx = 16

17 O conceito de integrl e sus proprieddes básics Unidde 17 Então (i) Sejm f, g : [, b] R funções contínus, k R e um constnte. (f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx; Proposição 7 Propriedde 2 (ii) (kf)(x) dx = k f(x) dx. Ests dus proprieddes decorrem imeditmente ds respectivs proprieddes do limite ds Soms de Riemnn. 17

18 Unidde 17 Interpretção geométric d integrl 17.7 Interpretção geométric d integrl Resumimos os ftos que relcionm integrl denid e áres de regiões. () Se f : [, b] R é um função contínu tl que f(x) 0, pr todo x [, b], então o limite f(x) dx é áre d região determind pelo gráco de f, pelo eixo Ox e pels rets verticis x = e x = b. (b) Em gerl, se f : [, b] R é um função contínu, então é som ds áres orientds ds regiões determinds pelo eixo Ox e pelo f(x) dx gráco de f, entre s rets verticis x = e x = b. Isto é, s regiões que cm bixo do eixo Ox contribuem com os vlores negtivos de sus áres enqunto que s regiões que cm cim do eixo contribuem com os vlores positivos de sus áres. Vej um exemplo gráco. R 1 R 2 R 3 R 5 R 6 b R 4 f(x) dx = A(R 1 ) A(R 2 ) + A(R 3 ) A(R 4 ) + A(R 5 ) A(R 6 ). 18

19 O conceito de integrl e sus proprieddes básics Unidde Exercícios 1. Clcule 2. Clcule x dx usndo prtições homogênes. (x 2 + x + sen x) dx. 3. Sej A R um conjunto tl que, se x A, então x A. Dd um função f : A R, denimos dus funções f p, f i : A R por f p (x) = 1(f(x) + f( x)) 2 e f i(x) = 1 (f(x) f( x)), pr todo 2 x A. Mostre que se A é um intervlo e f é contínu, então f p e f i são contínus e f(x) dx = 2 f p (x) dx. 19