Teorema 1. Seja A um anel comutativo. Então A é um domínio de integridade se e somente se A é isomorfo a um subanel de um corpo.

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1 1. Domínios Um domínio de integridde (ou simplesmente domínio) é um nel comuttivo unitário A tl que se, b A e b = 0 então = 0 ou b = 0. Por exemplo Z e Z[X] são domínios e mis em gerl se A é um domínio A[X] é um domínio tmbém: isso segue pel formul gru(p (X)Q(X)) = gru(p (X)) + gru(q(x)) que vle em A[X] se A é um domínio, como já visto (isso foi feito no cso A corpo ms únic cois usd foi lei de cncelmento). Observe tmbém que formul cim vle tmbém qundo um entre P (X) e Q(X) é nulo porque gru(0) =. Teorem 1. Sej A um nel comuttivo. Então A é um domínio de integridde se e somente se A é isomorfo um subnel de um corpo. Demonstrção. Sej A um subnel de um corpo K e sejm, b A tis que b = 0. Mostrremos que = 0 ou b = 0, em outrs plvrs, mostrremos que se 0 então b = 0. Se 0 então existe 1 K (pois K é um corpo) logo multiplicndo os dois ldos de b = 0 por 1 obtemos b = b 1 = 0 1 = 0. Agor vmos mostrr outr implicção, isto é, que se A é um domínio de integridde então A é um subnel de um corpo. Sej R := {(, b) :, b A, b 0}. Vmos definir um relção em R d form seguinte: (, b) (c, d) d = bc. Se trt de um relção de equivlênci: (1) Propriedde reflexiv. Se (, b) R então (, b) (, b) pois b = b (A é comuttivo). (2) Propriedde simétric. Se (, b) (c, d) então (c, d) (, b). De fto, (, b) (c, d) signific d = bc, que implic d = cb (A sendo comuttivo) logo (c, d) (, b). (3) Propriedde trnsitiv. Suponh (, b) (c, d) (e, f), e vmos mostrr que (, b) (e, f), isto é, que f = be. Temos d = bc e cf = de. Multiplicndo os dois ldos de d = bc por e temos de = bce e usndo cf = de obtemos cf = bce, isto é, cf cbe = 0 (A é comuttivo). Isolndo c temos c(f be) = 0 (propriedde distributiv) logo se c 0 então f = be, o que queremos (pois A é um domínio de integridde). Agor suponh c = 0. Precismos mostrr que se d = 0 e de = 0 então f = be. Como d 0 e A é um domínio de integridde, d = 0 e de = 0 implicm = e = 0 logo f = be vle. As clsses de equivlênci de são (qui (, b) R) O conjunto quociênte é [(, b)] := {(x, y) R : (x, y) (, b)}. K := R/ = {[(, b)] 1 : (, b) R}.

2 2 Queremos dr K estrutur de corpo contendo um copi do nel A. A primeir cois pr fzer é usr um notção menos complicd pr clsse de equivlênci [(, b)], vmos por b := [(, b)]. Com ess notção, lembrndo que o que contece em Q é b + c d + bc c c =, := d bd b d bd é nturl pegr esss igulddes como definição de som e produto em K, em outrs plvrs (mis formis) [(, b)] + [(c, d)] := [(d + bc, bd)], [(, b)] [(c, d)] := [(c, bd)]. Agor precismos verificr que + e fzem de K um corpo. No que segue lembrese que por definição de clsse de equivlênci, [(, b)] = [(c, d)] se e somente se (, b) (c, d), isto é, b = c d se e somente se d = bc. (1) + é bem definid. Se b = x y (isto é, y = bx) e c d = z w (isto é, cw = dz) precismos mostrr que b + c d = x y + z d+bc w, isto é, bd = xw+yz yw, isto é, (d + bc)yw = bd(xw + yz), que segue ds proprieddes comuttiv do produto e distributiv e do fto que y = bx e cw = dz. (2) é bem definid. Se Se b = x y (isto é, y = bx) e c d = z w (isto é, cw = dz) precismos mostrr que b c d = x y z c w, isto é, bd = xz yw, em outrs plvrs cyw = bdxz, o que segue d propriedde comuttiv do produto e do fto que y = bx e cw = dz. (3) (K, +) é um grupo belino com elemento neutro 0 1 e o inverso de b é b (em outrs plvrs, b é por definição b ). A operção + é ssocitiv pois ( b + c d ) + e f = d + bc bd + e f = (d + bc)f + bde bdf b + ( c d + e f ) = cf + de df + (cf + de)b + = b df bdf são iguis pois (d + bc)f + bde = df + (cf + de) pels proprieddes comuttiv e distributiv de A. (4) (K, ) é um monoide comuttivo com elemento neutro 1 1. A operção é ssocitiv pois b ( c d e f ) = b ce df = ce bdf = c bd e f = ( b c d ) e f. É comuttiv pois b c d = c bd = c db = c d b, sendo A comuttivo. (5) A propriedde distributiv, isto é, o fto que b ( c d + e f ) = b c d + b e f (podemos verificr só ess pois é comuttivo). De fto, temos b ( c d + e f ) = cf + de (cf + de) = b df bdf

3 2. CORPOS 3 b c d + b e f = c bd + e cbf + bde = bf bdbf são iguis pois (cf + de)(bdbf) = bdf(cbf + bde) (definição de iguldde entre frções). (6) Todo elemento diferente de zero tem inverso multiplictivo. De fto, se b K e b 0 = 0 1, isto signific que 1 b 0, isto é, 0, logo b K. Temos b b = b b = 1 1 sendo b = b. Isso mostr que K é um corpo. Sej à := { 1 : A}, que é um subnel de K. A função ϕ : A à definid por ϕ() = /1 é um isomorfismo de neis. O corpo K construido n prov cim é dito corpo de frções de A e indicdo com F rc(a). Por exemplo F rc(z) = Q. Um outro exemplo é ddo pelos polinômios: F rc(z[x]) = Q(X), onde Q(X) é o nel (n verdde, corpo) ds frções P (X) Q(X) onde P (X), Q(X) são polinômios de Q[X] e Q(X) 0. Observe que se A é um domínio então F rc(a) é o menor corpo contendo A no sentido seguinte: se F é um corpo que contem A como subnel e K = F rc(a) então existe um único homomorfismo injetivo de neis f : K F tl que f() = pr todo A (onde estmos identificndo A com su imgem {/1 : A} em K). Se trt de f(/b) = b 1. Por exemplo se A é um corpo então A = F rc(a). 2. Corpos Se A e B são neis com A B (A subnel de B) e b B podemos considerr v b : A[X] B, v b ( X n X n ) := b n b n, em outrs plvrs v b (P (X)) := P (b). Se trt de um homomorfismo de neis (homomorfismo de substituição), pois é clro que v b (1) = 1 e v b (P (X) + Q(X)) = P (b) + Q(b) = v b (P (X)) + v b (Q(X)) e v b (P (X)Q(X)) = P (b)q(b) = v b (P (X))v b (Q(X)). A imgem de v b é indicd com A[b]: Im(v b ) = A[b]. Se A[b] é um domínio, o corpo de frções de A[b] é indicdo com A(b). A[b] = {P (b) : P (X) A[X]}, { } P (b) A(b) = : P (X), Q(X) A[X], Q(b) 0. Q(b) Observe que A[b] não é um nel de polinômios: se trt do subnel de B seguinte: A[b] := { b n b n : n N, 0, 1,..., n A} B. Vimos que se K é um corpo então o idel I = (P (X)) de K[X] é mximl se e somente se P (X) é irredutível, e neste cso K[X]/I é um corpo. Por exemplo R[X]/(X 2 + 1) é um corpo. Considere o homomorfismo de substituição v i : R[X] C, v i (P (X)) = P (i). É sobrejetivo porque todo elemento de C tem form i + b com, b R logo i + b = v i (X + b). O núcleo ker(v i ) é um idel de R[X], mostrremos gor que

4 4 ker(v i ) = (X 2 + 1), o idel principl gerdo por X A inclusão (X 2 + 1) ker(v i ) é clr porque se L(X) = (X 2 + 1)Q(X) (X 2 + 1) então v i (L(X)) = (i 2 + 1)Q(i) = 0Q(i) = 0 logo L(X) ker(v i ). Pr mostrr inclusão ker(v i ) (X 2 + 1) considere L(X) ker(v i ), ou sej L(i) = 0. Efetundo divisão com resto de L(X) por X obtemos L(X) = (X 2 + 1)Q(X) + X + b onde, b R e 0 = v i (L(X)) = L(i) = (i 2 + 1)Q(i) + i + b = i + b logo = b = 0 e R(X) = X + b = 0. Segue que L(X) = (X 2 + 1)Q(X) (X 2 + 1). Pelo teorem de isomorfismo obtemos que C = R[X]/ ker(v i ) = R[X]/(X 2 + 1). Lem 1. Sej K um corpo, e sej G um subgrupo multiplictivo de K. Se G é finito então G é cíclico. Demonstrção. Qundo mostrmos que se p é primo U(Z/pZ) é cíclico o rgumento foi o seguinte: se G é um grupo belino finito tl que equção x d = 1 tem no máximo d soluções em G pr todo divisor d de G então G é cíclico. Isso vle pr o grupo G = K porque o polinômio X d 1, que tem gru d, tem no máximo d soluções. Se p é um primo defin F p = Z/pZ. Por exemplo F 7 é um grupo cíclico. Observe que F 7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} logo F 7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. As potêncis de 2 são 2 1 = 2, 2 2 = 4, 2 3 = 1, logo 2 tem ordem 3: o(2) = 3. Em prticulr 2 não é um gerdor de F 7: 2 = F 7. As potêncis de 3 são 3 1 = 3, 3 2 = 2, 3 3 = 2 3 = 6, 3 4 = 6 3 = 4, 3 5 = 4 3 = 5, 3 6 = 5 3 = 1. Logo F 7 = 3, em outrs plvrs o grupo cíclico F 7 é gerdo por 3. Em gerl F p é um grupo multiplictivo cíclico de ordem p 1. Considere K = F 3 [X]/I onde I é o idel principl (X 2 + 1). Sbemos que X é irredutível em F 3 [X] porque X é um polinômio de gru 2 sem rizes em F 3 : = 1 0, = 2 0, = 2 0. Logo K := F 3 [X]/(X 2 + 1) é um corpo. Queremos entender melhor os elementos de K e s operções de som e produto em K. Um elemento generico de K é um clsse P (X) + (X 2 + 1). Fzendo divisão com resto de P (X) por X 2 +1 obtemos P (X) = (X 2 +1)Q(X)+ R(X) com R(X) de gru menor que 2, ssim R(X) = X + b com, b F 3. Observe que P (X) + (X 2 + 1) = (X 2 + 1)Q(X) + R(X) + I = R(X) + I, logo n verdde os elementos de K têm form X + b + I (o que cbmos de mostrr é que existem representntes de gru menor que 2). Observe que os representntes de gru menor que 2 dão clsses dois dois distints pois X + b + I = cx + d + I se e somente se = c e b = d (se X + b cx d I então X divide ( c)x + (b d) logo ( c)x + (b d) = 0). Em prticulr podemos contr os elementos de K: temos 3 possibiliddes pr e 3 possibiliddes pr b (pois, b F 3 ) logo K = 3 2 = 9. K é um corpo com 9 elementos. Em prticulr existem corpos com 9 elementos (K é um exemplo).

5 2. CORPOS 5 Agor queremos entender s operções em K. Sej α := X = X + I K. Usr α simplific muito notção pois X + b + I = α + b. Logo K = {0, 1, 2, α, α + 1, α + 2, 2α, 2α + 1, 2α + 2}. A som de dois elementos de K se fz d form usul lembrndo que 3 = 0, ssim por exemplo (2α + 1) + (2α + 2) = 4α + 3 = α. Entender multiplicção é mis interessnte. Observe que α é riz do polinômio Y K[Y ], de fto α 2 +1 = (X +I) 2 +(1+I) = X 2 +1+I = I (zero). Em outrs plvrs α 2 = 1. Isso nos permite de multiplicr elementos de K, por exemplo (2α + 1)(α +2)(α +1) = (2α 2 + 5α + 2)(α + 1) = (2α)(α +1) = 2α 2 +2α = 2α +1. Agor podemos responder um outr pergunt interessnte. Sbemos que K é um corpo com 9 elementos, em prticulr K = K {0} = {1, 2, α, α + 1, α + 2, 2α, 2α + 1, 2α + 2} é um grupo multiplictivo finito. Sbemos que isso implic que K é cíclico (é um subgrupo de K ). Vmos gor encontrr um gerdor de K. Pr fzer isso clculmos s potêncis dos elementos de K. Como K = 8, um gerdor de K é extmente um elemento de K de ordem 8. As potêncis de 2 são 2 1 = 2 e 2 2 = 1, logo o(2) = 2 (2 tem ordem 2) e 2 não é um gerdor de K : 2 K. As potêncis de α são α 1 = α, α 2 = 1, α 3 = α, α 4 = 1, logo o(α) = 4 (α tem ordem 4) e α não é um gerdor de K : α K. As potêncis de α + 1 são (α + 1) 1 = α + 1, (α + 1) 2 = α 2 + 2α + 1 = 2α, (α + 1) 3 = 2α(α + 1) = 2α 2 + 2α = 2α + 1, (α + 1) 4 = (α + 1)(2α + 1) = 2α = 2. Isso implic que o(α + 1) > 4. Por outro ldo o(α +1) divide K = 8 (pelo teorem de Lgrnge) logo o(α +1) = 8. Isso mostr que α + 1 é um gerdor de K : α + 1 = K. Exercícios (1) Sejm I, J ideis de um nel comuttivo unitário A. Suponh I +J = A. Mostre que I J é um idel de A e que A/I J = A/I A/J. (Isomorfismo de neis, obvimente). (2) Sejm A, B corpos (com 1 0) e sej f : A B um homomorfismo de neis. Mostre que f é injetivo. (3) Sej A um domínio de integridde finito. Mostre que A é um corpo. [Dic: ddo A diferente de zero considere função A A dd pel multiplicção por. Mostre que é injetiv e deduz que é sobrejetiv.] (4) Sej A um domínio. Mostre que se A tem pens um número finito de ideis então A é um corpo. (5) Sej A um domínio de integridde e sejm, b A. Mostre que () = (b) se e somente se existe um elemento inversível u A tl que b = u. (6) Conte os ideis de Z/12Z. (7) Conte os ideis de R[X]/(X 2 1) e de R[X]/(X 2 2X + 1). (8) Se A e B são domínios A B é um domínio?

6 6 (9) Sej K := F 2 [X]/(X 3 + X + 1). Mostre que K é um corpo finito, clcule K e encontre um gerdor do grupo multiplictivo cíclico K. Sej I = (X 3 + X + 1). Escrev o inverso de α = X = X + I e de α + 1 como polinômio (com coeficientes em F 2 ) vlido em α. (10) Sej K := F 5 [X]/(X 2 + 2). Mostre que K é um corpo finito, clcule K e encontre um gerdor do grupo multiplictivo cíclico K. (11) Sej K um corpo finito. Mostre que existe P (X) K[X] de gru mior que zero tl que P () 0 pr todo K. (12) Mostre que existem infinitos primos congruentes 1 módulo 6. [Dic: X 2 X + 1.]

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