DCC-UFRJ Linguagens Formais Primeira Prova 2008/1

Transcrição

1 DCC-UFRJ Lingugens Formis Primeir Prov 28/. Constru um utômto finito determinístico que ceite lingugem L = {w ( ) w contém pelos menos dois zeros e no máximo um }. 2. Use o lgoritmo de substituição pr determinr o complementr d lingugem ceit pelo utômto finito cujo grfo é I q b b q 2 q 3 b 3. e w é um plvr no lfbeto Σ e Σ Σ é um lfbeto (possivelmente) menor que Σ, denotremos por w Σ projeção de w em Σ, que é plvr obtid prtir de w omitindo todos os símbolos que não pertencem Σ, isto é, removendo de w todos os símbolos que pertencem Σ \ Σ. Por exemplo, bcbcbc {,b} = bbb. Considere lingugem definid por L = {wx w, x ( b c) e w {,b} = (x {,b} ) R }; isto é, restrição de w {, b} é igul o reflexo d restrição de x {, b}. Use o lem do bombemento pr provr que L não é ceit por nenhum utômto finito determinístico.. Um grfo possível é Resolução I q q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 q 7,

2 2. O utômto que ceit lingugem complementr do utômto ddo é obtido trocndo os estdos finis com os não finis, de modo que s equções são: L = L 2 bl ɛ L 2 = L 3 bl 2 ɛ L 3 = L bl 2 ubstituindo últim equção n segund: L 2 = (L bl 2 ) bl 2 ɛ; que é igul L 2 = (b b)l 2 2 L ɛ. Aplicndo o Lem de Arden L 2 = (b b) ( 2 L ɛ) = (b b) 2 L (b b). ubstituindo n primeir equção L = ((b b) 2 L (b b) ) bl ɛ, o que nos dá L = ((b b) 2 b)l (b b) ɛ. Aplicndo o Lem de Arden outr vez L = ((b b) 2 b) ((b b) ɛ); que é expressão regulr d lingugem ceit pelo utômto ddo. 3. uponh que L é ceit por um utômto finito determinístico com n estdos. Considere s plvrs w = n b e x = b n em ( b c). Como w {,b} = (x {,b} ) R, temos que plvr wx = n bb n L e tem comprimento 2n + 2 n. Portnto, pelo lem do bombemento podemos decompor wx n form wx = uyz; onde () y ɛ; (2) uy n; (3) uy k z L pr todo k.

3 Por (2), u = s, y = t e z = n s t b 2 n, e por () t >. Bombendo uy k z = s ( t ) k n s t b 2 n = n+t(k ) b 2 n, que deve estr em L pr todo k. Ms, pr que isto conteç é necessário que sej possível escrever n+t(k ) b 2 n como um conctenção w x pr qul w {,b} = ( x {,b} ) R. Como w e x não contêm c, podemos ignorr s projeções e considerr w e x como elementos de ( b) pens. Como ests dus plvrs devem ser reflexo um d outr, mbs têm que ter b; ms isto só é possível se w = n+t(k ) b e x = b n que não são reflexo um d outr tod vez que k. Temos, ssim, um contrdição, que mostr que L não é ceit por nenhum utômto finito determinístico.

4 egund Prov 28/. Constru psso--psso um utômto finito não determinístico que ceite lingugem denotd pel expressão regulr (( ) ( ) ). 2. ej L um lingugem regulr e considere lingugem min(l ) = {x L : nenhum prefixo próprio de x está em L }. Mostre que min(l ) é um lingugem regulr. Lembrete: um plvr x é prefixo próprio de outr plvr w se w puder ser escrit n form w = xy pr lgum plvr y ɛ. 3. e w é um plvr no lfbeto Σ e Σ Σ é um lfbeto (possivelmente) menor que Σ, denotremos por w Σ projeção de w em Σ, que é plvr obtid prtir de w omitindo todos os símbolos que não pertencem Σ, isto é, removendo de w todos os símbolos que pertencem Σ \ Σ. Por exemplo, bcbcbc {,b} = bbb. Considere lingugem definid por L = {wx : w, x ( b c) e w {,b} = (x {,b} ) R }; isto é, restrição de w {, b} é igul o reflexo d restrição de x {, b}. () Descrev um grmátic livre de contexto que gere lingugem L. (b) Descrev um árvore de derivção nest grmátic pr ccbcbc L. Resolução. O utômto finl sem os estdos redundntes é: I

5 2. ej M = (Σ, Q, q, F, δ) um utômto finito determinístico que ceit L. Construiremos um utômto finito não determinístico que ceit min(l ). Contudo, se um prefixo próprio de w está em L então computção em M que começ em q e tem como entrd w pss por um estdo em F e continu dinte. Pr que um tl plvr nào sej ceit bst crir um estdo morto m e desvir tods s trnsições prtir de qulquer estdo finl, por qulquer símbolo, diretmente pr m. Mis precismente: Alfbeto: Σ; Estdos: Q {m}; Estdo inicil: q ; Estdos finis: F ; Trnsição: (q, σ) = { δ(q, σ) se q Q \ F ; m se q F {m}; 3(). Um grmátic possível é dd por Terminis: {, b, c}; Vriáveis: {}; ímbolo inicil: Regrs: {, bb, c, c, ɛ};

6 3(b). A árvore referente à grmátic cim é seguinte: c c b c b c ɛ

7 Terceir Prov 28/. ej L = { i b j : i j 2i}. () Descrev um lingugem livre de contexto que gere L e que não sej mbígu. (b) Prove que grmátic que você obteve em () de fto não é mbígu. 2. Prove, usndo o lem do bombemento, que lingugem L 2 = { i b j c i : i j 2i} não é livre de contexto. 3. Descrev um utômto de pilh não determinístico que ceite L. Resolução (). Um grmátic livre de contexto e não mbígu pr est lingugem é dd por: Terminis: {, b}; Vriáveis: {}; ímbolo inicil: Regrs: { b 2, X, X b, X ɛ}; Note que s regrs grntem que não é possível por mis bs que o dobro de s. (b). ej i b j com i j 2i um plvr de L. Vmos mostrr que est plvr tem um únic derivção mis à esquerd n grmátic definid cim; isto bst pr grntir que grmátic é não mbígu. Há dois csos considerr. No primeiro cso, i = j. Como regr b 2 sempre põe mis bs que s e como nenhum outr regr põe mis s que bs, não podemos usr b 2. Assim, únic possibilidde pr derivção mis à esquerd é X i i Xb i i b i, onde plicmos i vezes regr X Xb. No segundo cso, temos i < j 2i. Neste cso teremos que usr regr b 2, já que est é únic mneir de pôr mis bs que s. Pr tornr derivção mis clr, escreveremos j = i + d, onde < d i, de modo que i b j = i b i+d = i d d b 2d b i d.

8 Isto signific que derivção terá que ser d form como desejdo. d d b 2d X i d d i d Xb i d b 2d i b i+d, 2. uponhmos, por contrdição, que L 2 = { i b j c i : i j 2i} não é gerd por um grmátic livre de contexto com mplitude α e β vriáveis e sej n = β. Considere plvr w = n b 2n c n. Como w = 4n > n, o lem do bombemento nos grnte que existe um decomposição w = uvxyz, tl que () vy ɛ; (2) vxy n; (3) uv k xy k z L 2 pr todo k. Temos, dois csos nlisr. Cso : vxy contém. Por (2), isto signific que vxy não pode cs. Neste cso, o bombermos, podemos umentr indefinitmente quntidde de s ou bs. Contudo, quntidde de s tem que ser igul de cs, e de bs não pode ulttrpssr o dobro d quntidde de cs. Como quntidde de cs não está sendo lterd, obtemos um contrdição. Cso : vxy não contém. Neste cso, o bombermos, podemos umentr indefinitmente quntidde de bs ou cs. Contudo, quntidde de cs tem que ser igul de s, e de bs não pode ulttrpssr o dobro d quntidde de s. Como quntidde de s não está sendo lterd, obtemos um contrdição. Portnto, L 2 não pode ser gerd por nenhum grmátic livre de contexto, como devímos mostrr. 3. Um possível utômto finito determinístico pr L é ddo por: Alfbeto de entrd: {, b}; Alfbeto d pilh: {b, c};

9 Estdos: {q, q 2, q 3 }; Estdo inicil: q ; Estdos: {q 2, q 3 }; Função de trnsição: dd pel tbel. Estdo Entrd Topo d Pilh Trnsição Comentário q ɛ (q 2, b) A cd empilh um b (q 2, b 2 ) ou dois, à escolh do APND q b b (q 2, ɛ) Desempilh b csdo n entrd q 2 b b (q 2, ɛ) Desempilh b csdo n entrd q ɛ ɛ (q 3, ɛ) ceit ɛ Tbel. Tbel de trnsição do utômto de pilh Note que se o utômto errr e empilhr mis bs do que devi, então sobrrão bs n pilh; se empilhr menos bs do que devi, sobrrão bs n entrd. Portnto, pens se o utômto empilhr extmente quntidde corret de bs é que plvr será ceit.