Aula 5 Plano de Argand-Gauss

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1 Ojetivos Plno de Argnd-Guss Aul 5 Plno de Argnd-Guss MÓDULO - AULA 5 Autores: Celso Cost e Roerto Gerldo Tvres Arnut 1) presentr geometricmente os números complexos ) Interpretr geometricmente som, o produto e o quociente de dois números complexos Introdução N ulnterior, inntroduimos representção geométric dos números complexos A cd número = + i, R, e R, ssocimos o ponto (, ) deumplno Pr estelecer est correspondênci este plno é dotdo de um sistem de coordends No eixo ds cisss são representdos os números reis e no eixo ds coordends os números complexos puros Denominmos este plno por Plno Complexo N Figur 51, sendo = + i um número complexo, temos que éoeixorel, é o eixo imginário e =(, ) é imgem geométric ou fixo do complexo = + i =(,) Figur 51 :Aformlgéric, = + i e form crtesin =(, ) Exemplo 51 Considere os pontos ssinldos no gráfico d Figur 5 números complexos representdos por esses pontos Determine os C - - D B 1-1 Figur 5 E 4 A x OpontoA represent o número complexo 4+i, B onúmero complexo i, C onúmero complexo +i, D onúmero complexo i e E onúmero complexo (rel) 55 CEDERJ

2 Módulo de um número complexo Definição 51 Omódulo de um número complexo = + i eonúmero positivo + Denotmos o módulopelosímolo Em relção àrepresentção geométric no plno complexo, o módulo = + represent distânci do número téopontoorigemdoplno Vej Figur 5 O Figur 5 Podemos oter o módulocomodistâncidonúmero à origem O, plicndo o Teorem de Pitágors o triângulo O Temos que + = o que implic ser = + Exemplo 5 Determinr o módulo dos complexos: () =+ i Solução: = () = 5i + ( ) =4 Solução: = 0 +( 5) =5 (c) = 8 Solução: = ( 8) +0 =8 Oservção: No plno equção (x ) +(y ) = r represent um circunferênci de centro C =(, ) erior Em prticulr, equção x + y = r represent um circunferênci de centro n origem e rio r CEDERJ 56

3 MÓDULO - AULA 5 Exemplo 5 Encontre o lugr geométrico dos pontos no plno de Guss tis que: () =4 () i = (c) +i 1 Solução: = + i Então () + =4 + =4 Qundo e vrim como números reis equção nterior represent no plno um circunferênci de centro n origem e rio 4 Vej Figur 54 (4,0) (0,-4) Figur 54 () + i i = +( 1)i = Então +( 1) = +( 1) = Estequção, no plno represent um circunferênci de centro C =(0, 1) e rio Vej Figur 55 C o Figur 55 (c) + i +i 1 +( +1)i 1 ( ) +( +1) 1 No plno represent o interior de um círculo de centro C =(, 1) e rio 1 Vej Figur 56-1 Figur CEDERJ

4 Proprieddes do Módulo Sejm C, 1 C e C (1) O módulo de qulquer número complexo é positivo ou nulo Isto é, 0prtodo C () O módulo do produto é o produto dos módulos 1 = 1 () O módulo do quociente éoquocientedosmódulos 1 = 1, 0 (4) O módulo de um número complexo é igul o módulo do seu conjugdo = (5) O módulo de um potênci épotênci do módulo n = n Tods s demonstrções ds proprieddes enuncids do módulo são imedits A título de exemplo, vmos provr propriedde () As demis vmos deixr como tividde Considere 1 = i e = + ientão 1 = i + 1 i + 1 i =( 1 1 )+( )i Temos que 1 = e = + logo Tmém temos que 1 = 1 = ( 1 1 ) +( ) (51) = = De (51) e (5) concluímos que 1 = 1 (5) CEDERJ 58

5 MÓDULO - AULA 5 Not: De um modo gerl se 1,, n são números complexos vle 1 n = 1 n (5) Aprovdesteftoé feit usndo propriedde de () De fto 1 n = 1 ( n ) Logo 1 n = 1 n Este processo fornece no próximo psso 1 n = 1 n Prosseguindo encontrmos fórmul (5) Atividde 51: Constru um prov ds proprieddes (), (), (4) e (5) pr os módulos de números complexos Vmos usr s proprieddes do módulo, nos exemplos ixo Exemplo 54 Determine o módulo do número complexo +i 5 i Solução: Usndo propriedde () temos: +i 5 i = +i i = = = = Exemplo 55 Determine o módulo do número complexo (1 + i) 10 Solução: Usndo propriedde (5) temos: (1 + i) 10 = 1+i 10 =( 1+9) 10 = =10 5 Exemplo 56 Determine o módulo do número complexo (1 + i)4 (1 i) ( + i) 5 Solução: Usndo propriedde (), () e (5) temos: (1 + i) 4 (1 i) ( + i) 5 = 1+i 4 1 i = ( ) 4 ( ) +i 5 ( = 5) = = CEDERJ

6 Argumento de um número complexo Definição 5 Sej o ponto do plno complexo, que represent o número complexo = + i, 0 VejFigur 57 Ao ângulo θ, 0 θ < π, que o sentido positivo do eixo rel form com semi-ret de origem O eque contém P denomin-se rgumento principl de (notção: Arg()) O Figur 57 Qundo representmos sore o plno complexo o ciclo trigonométrico (um círculo orientdo de rio 1 centrdo n origem) podemos dr um sentido mplo o rgumento de um número complexo Vej Figur 58, onde = + i éumnúmero complexo com = () > 0e = () < 0 y P (1,0) Figur 58 OpontoP é otido pel interseção do segmento O com o ciclo trigonométrico O ângulo θ cim é definido como o rgumento principl do número complexo Nfigur π <θ<π Então Arg() =θ é o rgumento principl de Ms, ssocido o ponto P do ciclo trigonométrico temos um infinidde de ângulos São s determinções dos ângulos ssocidos o ponto P eentão o número complexo Tods ests determinções definem o rgumento de Usmosnotção rg() Então rg() =θ +kπ, k Z CEDERJ 60

7 MÓDULO - AULA 5 Note sutile n notção: Arg() é o rgumento principl de e represent um ângulo de medid 0 θ<πenqunto que o rg() é notção pr todos os ângulos côngruos Arg() Exemplo 57 ) Os números reis positivos tem rgumento principl θ =0 NFigur 59 está representdo o rgumento principl de = =0 Figur 59 ) Os números reis negtivos tem rgumento principl θ = π NFigur 510 está representdo o rgumento principl de = 4 Figur 510 c) Os números imginários puros positivos tem rgumento principl θ = π VejFigur 511 / Figur CEDERJ

8 d) Os números imginários puros negtivos tem rgumento principl θ = π VejFigur 51 ( )/ Figur 51 Ns figurs ixo (figur 14), representmos números complexos nos vários qudrntes 1 o qudrnte o qudrnte o qudrnte 4 o qudrnte Figur 51 CEDERJ 6 Qulquer que sej posição do número complexo = + i, 0, podemos escrever = + sen θ = cos θ =

9 MÓDULO - AULA 5 Ousej,prtodocomplexo = + i, 0vle = (cos θ + i sen θ), θ = Arg() Ou de modo gerl, usndo rg() =θ +mπ, m Z, escrevemos, de modo equivlente, que Exemplo 58 = [cos(θ +mπ)+sen(θ +mπ)], m Z =1+i = 1 +1 = Temos que sen θ = 1, cos θ = 1 Isto implic θ = π 4 Logo = ( cos π 4 + i sen π ) 4 Exemplo 59 =1 i = 1 +( ) = Temos que sen θ = e cos θ = 1 o que implic θ pertencer o 4o qudrnte e θ = 5π =π π Logo, 1 i ( = cos 5π + i sen 5π ) Exemplo 510 = 4 4i = ( 4 ) +( 4) = (48)(16) = 8 Temos que sen θ = 4 8 = 1 4 e cosθ = = o que implic θ pertencer o 8 terceiro qudrnte e θ = 7π 6 = π + π ( 6 Então, 4 4i =8 cos 7π 6 + i sen 7π ) 6 Exemplo 511 = 1+i = ( 1) +1 = Temos que sen θ = 1 ecosθ = 1 o que implic θ pertencer o segundo qudrnte e θ = π 4 = π π 4 Logo, 1+i = ( cos π 4 + i sen π ) 4 6 CEDERJ

10 Exercícios Propostos 1 Expresse n form trigonométric (cos θ + i sen θ), o número complexo ( i) 4i 11 + i 1+i presente n form trigonométric os números complexos tis que =5i Determine o menor número nturl n de modo que ( i) n sej um número imginário (complexo) puro ( 4 Clcule o módulo de + i ) 1 5 Otenh form trigonométric dos números + i e i 6 Encontre todos os números complexos tis que ( + i) R CEDERJ 64