II Números reais: inteiros, racionais e irracionais 26

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1 UFF/GMA - Mtemáti Bási - Prte II - Números reis Nots de ul - Mrlene Sumário II Números reis: inteiros, rionis e irrionis 26 2 Operções, ioms e proprieddes dos reis As operções Som e Produto e os Aioms Algérios Definição ds operções sutrção e divisão e d potêni nturl Proprieddes lgéris Proprieddes lgéris ásis Outrs proprieddes lgéris importntes Leis de nelmento Lei do nulmento do produto Iguldde de frções Produtos notáveis Implições e equivlênis em epressões e em equções O que é um epressão? o que é um equção? o que é um solução de equção? O que são epressões equivlentes? O que são equções equivlentes? Simplifir epressões é o mesmo que simplifir equções? Aioms e proprieddes de ordem Aioms de ordem Proprieddes de ordem Podemos tror < por e > por? Implições e equivlênis em inequções O que é um desiguldde? O que é um inequção? O que é um solução de inequção? Como representr s soluções de um inequção? Podemos simplifir inequções etmente d mesm form que simplifimos equções? 4

2 26 Prte II Números reis: inteiros, rionis e irrionis Introdução Historimente os onjuntos numérios, que são os nturis, os inteiros, os rionis, os irrionis, os reis e os ompleos surgirm n mesm ordem em que são estuddos ns esols de Ensino Básio, Fundmentl e Médio. A neessidde de estudo de um novo tipo de onjunto numério sempre esteve de lgum form vinuld à neessidde de mplir s proprieddes dos números pr que pudessem resolver novos prolems. Ess é ordem nturl de estudo e já foi vist por todos os lunos que entrm n Universidde. Agor vmos onstruir iomtimente os números reis, isto é, os números reis serão definidos omo os números que stisfzem um determindo número de ioms ou postuldos, eitos sem demonstrção. O onjunto dos ompleos serão estuddos seprdmente. Os outros onjuntos são suonjuntos dos reis e lguns ioms dos reis não se plim nos suonjuntos, destremos quis não se plim. Muits vezes os ioms tmém são hmdos de proprieddes ou proprieddes ásis. É muito importnte que tenhmos em mente esses ioms, são eles que nos permitem enontrr novs definições e proprieddes. A plição nturl ds proprieddes dos reis é n resolução de equções e inequções, que surgem nos prolems de diverss áres de onheimento. As equções e inequções são eustivmente estudds n disiplin Pré-Cálulo. Ns simplifições ds equções e inequções são usds fortemente s proprieddes dos reis. Infelizmente, é muito omum o luno plir s proprieddes de form equivod, or porque são plids sem os devidos uiddos de verifir s hipóteses em que é possível plir, or porque no fã de simplifir, surgem proprieddes que não eistem. Um dos ojetivos do nosso estudo dos reis é onsolidr o onheimento dquirido té qui sore os reis, om um visão mis profundd, fzendo uso do que prendemos em noções de lógi. Esper-se que o finl do estudo o luno sej pz de plir os ioms dos reis em lgums demonstrções de outrs proprieddes em omo sej pz de identifir orretmente quis proprieddes podem ser usds em simplifições de equções e inequções. 2 Operções, ioms e proprieddes dos reis 2. As operções Som e Produto e os Aioms Algérios Sej R um onjunto, hmdo onjunto dos números reis ou onjunto dos reis. Som e Produto são operções plids sore quisquer dois elementos, R. Úni notção usul d som de e : + (lei-se mis ) Notções usuis do produto de por :, e. (lei-se vezes ) Pr,, R dmitem-se verddeiros os ioms lgérios desritos seguir. Aioms d Som Aioms do Produto Lei do fehmento AS : + R AP : R Lei ssoitiv AS2 : ( + ) + = + ( + ) AP 2 : ( ) = ( ) Lei omuttiv AS3 : + = + AP 3 : = Lei do elemento neutro AS4 : 0 R; + 0 = AP 4 : R; = Lei do elemento simétrio AS5 :, R; + ( ) = 0 (diz se : é o simétrio de ) Lei do elemento inverso AP 5 : 0, R; = (diz se : é o inverso de ) Aiom d Som e Produto Lei distriutiv ASP : ( + ) = +

3 UFF/GMA - Mtemáti Bási - Prte II - Números reis Nots de ul - Mrlene Oservções: Form truiuíds letrs (AS, AS2, AP5, et) pens pr filitr, qundo for preiso itr referênis os ioms. Qulquer outr propriedde lgéri dos reis pode ser deduzid ou provd prtir desses ioms. Listremos lgums importntes, lgums são triviis de demonstrr, outrs não. Os números reis, que são os elementos do onjunto dos reis, stisfzem esses ioms, ms pens esses ioms não rterizm os números reis, isto é, não são pens os números reis que stisfzem esses ioms. Os números rionis, os números irrionis e os números ompleos tmém stisfzem esses ioms. Os números nturis surgirm historimente om o ojetivo de ontr ojetos, onde poderi juntr ojetos e ontr, isto é, somr, poderi juntr por grupos, isto é, multiplir. Isto é, nos números nturis, poderim definir s operções som e multiplição. A lei de formção dos nturis omeçou om o número, depois, somndo o, otém o 2, somndo o 2, otém o 3, depois foi esteleido que todo número nturl pode ser otido omo som de um outro número nturl om o número, isto é, todo número nturl tem um suessor, logo 8 é o suessor de 7, 00 é o suessor de 000, ssim por dinte. E ssim, o onjunto dos nturis é {, 2, 3, 4, 5, }, omo já semos é denotdo por N. No onjunto N dos nturis não eiste o elemento neutro d som, nem o elemento simétrio, ms eiste o elemento neutro do produto, o únio elemento que possui elemento inverso é o próprio elemento neutro. O onjunto Z dos números inteiros é formdo pelos números nturis, pelo zero e pelos simétrios dos nturis. Isto é, Z = {0,,, 2, 2, 3, 3, }. No onjunto Z dos inteiros, os únios números que possuem elemento inverso são o e o. Agor vmos ver que sutrção, divisão e s potênis nturis podem ser definids usndo os ioms lgérios. Outr notção pr o elemento inverso de é, isto é, =. 2.2 Definição ds operções sutrção e divisão e d potêni nturl Definição (Sutrção) Sejm, R. A sutrção de é denotd por e definid omo som de om o simério de. Em símolos, := + ( ). (lei-se menos ) Definição (Divisão) Sejm, R e 0. A divisão de por é denotd por e definid omo o produto de pelo inverso de. Em símolos, :=. (lei-se dividido por ) Outrs notções: = = / Oservção sore divisão por 0: omo 0 não possui inverso, divisão por zero não é definid. Oservção sore os símolos := e =, onheidos omo por definição. Esses dois símolos têm etmente o mesmo signifido: epressão do ldo esquerdo do símolo é nov, está sendo definid pel epressão do ldo direito, que us lgo onheido previmente. O símolo = é mis usdo em tetos mtemátios, o símolo := tmém é usdo em tetos mtemátios mis reentes, é o mesmo símolo usdo em progrms omputionis.

4 UFF/GMA - Mtemáti Bási - Prte II - Números reis Nots de ul - Mrlene Definição (Potêni nturl) Sejm, R e n N. A potêni de elevd à n é denotd por n e n :=. }{{} n vezes 2.3 Proprieddes lgéris 2.3. Proprieddes lgéris ásis Assim denominds porque são stnte usds, junto om os ioms e s definições, pr demonstrr outrs proprieddes tmém importntes. Ns provs desss proprieddes são usdos pens os ioms, ms isso não signifi de form lgum que é fáil desorir omo provr tods els. Tente provr ntes de ver s demonstrções, ssim, provvelmente voê pereerá difiuldde em lgums dels. Em tods s provs será itdo o iom que está sendo usdo. Afirmção de ráter mis gerl que será usd ns demonstrções: Trnsitividde d iguldde: = e = = =. Propriedde PA Uniidde do elemento neutro d som Enunido: Só eiste um número rel que stisfz o iom de eistêni de elemento neutro d som. Prov: Suponh, por surdo, que tese é fls, isto é, suponh que eiste outro elemento neutro 0 R; 0 0. Por um ldo, 0 é elemento neutro d som = = 0. Por outro ldo, 0 é elemento neutro d som = = 0. 0 trnsitivvidde d iguldde + 0 = = 0 = 0. Ms, pel lei omuttiv d som, temos que Ms 0 = 0 e 0 0 não podem oorrer simultnemente, portnto não é possível negr tese, isto é, o elemento neutro 0 R é únio. Propriedde PA 2 Uniidde do elemento neutro do produto Enunido: Só eiste um número rel que stisfz o iom de eistêni de elemento neutro do produto. Prov: Suponh, por surdo, que tese é fls, isto é, suponh que eiste outro elemento neutro R;. Por um ldo, é elemento neutro d som = =. Por outro ldo, é elemento neutro d som = =. trnsitivvidde d iguldde = = =. Ms, pel lei omuttiv d som, temos que Ms = e não podem oorrer simultnemente. portnto não é possível negr tese, isto é, o elemento neutro R é únio. Propriedde PA =, R. Prov: Pel lei do elemento neutro d som, 0 R e por hipótese, R pel lei do elemento neutro d som, + 0 =, pel trnsitividde d iguldde, onluímos que 0 + =. Propriedde PA 4 =, R. Prov: (tente provr sozinho, ntes de ver demonstrção) Pel lei do elemento neutro do produto, R e por hipótese, R pel lei do elemento neutro do produto, =, pel trnsitividde d iguldde, onluímos que =. lei omuttiv d som = 0 + = + 0, lei omuttiv do produto = =, Propriedde PA 5 Uniidde do elemento simétrio Enunido: Só eiste um número rel que stisfz o iom de eistêni de elemento simétrio. Prov: (tente provr sozinho, ntes de ver demonstrção) Considere R e R um simétrio de. Suponh, por surdo, que tese é fls, isto é, eiste outro elemento simétrio ( ) R; ( ). Aplindo os ioms d som, ( ) AS4 = ( ) + 0 AS5 = ( ) + (() + ( )) AS2 = (( ) + ) + ( ) AS = 3

5 UFF/GMA - Mtemáti Bási - Prte II - Números reis Nots de ul - Mrlene = ( + ( ) ) + ( ) AS5 = 0 + ( ) AS4 = = ( ) =. Ms ( ) e ( ) = não podem oorrer simultnemente, portnto não é possível negr tese, isto é, o elemento simétrio R é únio. Propriedde PA 6 Uniidde do elemento inverso Enunido: Só eiste um número rel que stisfz o iom de eistêni de elemento inverso. Prov: eeríio. Oservção sore notção de eistêni e uniidde. O símolo! signifi eiste um únio. Pels proprieddes im, Podemos esrever! 0 R; + 0 =, R e tmém! R; =, R. Ddo R, podemos esrever,! R, e se 0 podemos esrever! Propriedde PA 7 + = 0, R. Prov: eeríio. Propriedde PA 8 Prov: eeríio. =, R e 0. Propriedde PA 9 ( ) =, R (lei-se: é o simétrio de ). Prov: Por hipótese, R = AS5 R = AS5 ( ) R tl que + ( ( )) = 0. Por outro ldo, R PA = 7 + = 0 Amos de verifir que tnto qunto ( ) são simétrios de. Como qulquer número rel dmite pens um simétrio, onluímos que ( ) =. Propriedde PA 0 ( =, R e 0 lei-se: é o inverso de ). Prov: eeríio. Propriedde PA ( + ) = +,,, R. Prov: lei omuttiv lei distriutiv lei omuttiv ( + ) = ( + ) = + = + R. Propriedde PA 2 0 = 0 = 0, R. Prov: (est, prentemente simples, não é simples de pereer omo provr, ms entender prov é simples) Pel lei do elemento neutro d som e propriedde PA 2,! 0 R; = 0. lei distriutiv elemento neutro trnsitividde d iguldde Por outro ldo, = (0 + 0) = 0 = = 0 Assim, pel uniidde do elemento neutro d som, 0 + }{{} 0 = 0. Isto é, 0 = 0. =0 Pr provr outr iguldde, st usr lei omuttiv, 0 = 0 = 0 Propriedde PA 3 ( ) = = ( ), R. Prov: (tente provr ntes, não é simples) Por hipótese, R, logo!, o simétrio de, tl que + ( ) = 0. Se provrmos que + ( )() = 0, poderemos onluir que + ( )() }{{} = 0. Isto é, ( ) =. = Logo, vmos lulr + ( )(). elemento neutro lei distriutiv elemento neutro + ( )() = + ( ) = ( + ( )) = 0 PA2 = 0. Provmos o que preisv provr. Pr provr outr iguldde, st usr lei omuttiv, ( ) = ( ) =.

6 UFF/GMA - Mtemáti Bási - Prte II - Números reis Nots de ul - Mrlene Outrs proprieddes lgéris importntes Vmos provr pens lgums desss proprieddes, outrs serão deids omo eeríio. Antes de ver demonstrção de d propriedde, tente provr sozinho. Pr provr d propriedde podemos usr s definições, ioms e proprieddes disponíveis, por esse motivo mneir de provr não é úni. Qunto mis proprieddes fim disponiveis, mior é o número de mneits diferentes de provr. Qundo preer o símolo :=, signifi que usmos lgum definição. Propriedde PA 4 ( ) = ( ) = ( ),, R. Prov d primeir iguldde: ( ) PA3 = ( ) ( ) ssoitiv = (( ) ()) PA3 = ( ) Prov d segund iguldde: ( ) PA3 = ( ) ( ) omuttiv = ( ) ( ) ssoitiv = ( ( )) PA3 = ( ) Propriedde PA 5 ( ) ( ) =,, R. Prov: ( ) ( ) PA4 = ( ( )) PA4 = = ( ( )) PA9 = Propriedde PA 6 = =,,, R, 0 ( ssoitiv Prov d primeir iguldde: := ( ) = ( ssoitiv Prov d segund iguldde: := ( ) = ssoitiv = ( ) := Propriedde PA 7 = =, R, 0 elemento neutro PA6 Prov d primeir iguldde: = = Prov d segund iguldde: Por outro ldo, ( ) Logo ) := ) omuttiv = PA3 = pel lei do elemento inverso, ( ) ( ) PA5 elemento neutro = () =. e são os inversos de. Como o inverso é únio, = = Propriedde PA 8,, R, 0, 0. ( ) Prov: Primeiro vmos verifir ( ) =. ( ) ( ) ( ) ( ) AP3 = AP2 = ( ) Assim, provmos que é o elemento inverso de ( ). Como o elemento inverso de ( ) é únio e é igul ( ) é o elemento inverso de. AP5 = () AP4 = ( ), temos que = AP5 =. Propriedde PA 9 Prov: AP2 = ( d = d := ( ) ) ( ) d := d d PA8 = ( ) d,,,, d R, 0, d 0. ( ) ( AP2 = d ) d ( AP3 = ) d

7 UFF/GMA - Mtemáti Bási - Prte II - Números reis Nots de ul - Mrlene Propriedde PA 20 Prov: eeríio. + = +,,, R, 0. Atenção: omo est propriedde é muito útil em simplifições, lguns pensm que st tror os numerdores om os denomindores e propriedde ontinu vlendo. Isso não é verdde. Eeríio: dê um ontr-eemplo pr mostrr que iguldde + = + é fls. Propriedde PA 2 ( + ) =,, R. Prov: eeríio. Propriedde PA 22 Prov: eeríio. Propriedde PA 23 Prov: eeríio. Propriedde PA 24 Prov: eeríio. + d Leis de nelmento = = =,,, R, 0.,, R,, 0. d,,,, d R,,, d 0. Propriedde PA 25 A iguldde não se lter qundo som-se ou multipli-se o mesmo número nos dois ldos d iguldde. Sejm,, R. Vlem s seguintes proprieddes: i) = = + = + (preservção d iguldde n som) ii) = = = (preservção d iguldde no produto) Prov: ness prov só é usd lógi, não é usdo nenhum iom ou propriedde dos reis. i) Semos que + = +,,. Logo, = = = e + = + = + = +. ii) Semos que =,,. Logo, = = = e = = =. Propriedde PA 26 Sejm,, R. Leis de nelmento d som e do produto (implições) Vlem s seguintes proprieddes: i) + = + = = (é reípro d preservção n som) ii) = e 0 = = (não é reípro d preservção no produto) Prov: i) + = + PA25 = + + ( ) = + + ( ) = AS5 + 0 = + 0 AS4 ii) = e 0 PA25 = = = = AP5 = = = AP4 = Oservção. Ess propriedde é onheid omo ort ort, ms é preiso tomr todo o uiddo no produto, só pode ortr se tem ertez que o termo ortdo é não nulo e outr iguldde é verddeir. Vej esse eemplo: 4 = 3, plindo o ort ort, 4 = 3, onluímos que 4 = 3. Ué? o que houve? Respost: iguldde 4 = 3 é verddeir pens qundo = 0, isto é, hipótese d lei do nelmento (4 = 3 e 0) é fls, não podemos plir propriedde.

8 UFF/GMA - Mtemáti Bási - Prte II - Números reis Nots de ul - Mrlene Lemre sempre Só podemos plir um propriedde qundo forem verddeirs s hipóteses d propriedde. Propriedde PA 27 Lei de nelmento d som (equivlêni) Sejm,, R. Vle seguinte propriedde: = + = +. Prov: (relei s proprieddes PA25 i) e PA26 i) ) (= ) Já está provd, é propriedde PA25 i). ( =) Já está provd, é propriedde PA26 i). Oservção: no nelmento do produto vmos preisr resentr 0 n hipótese pr que sej verddeir equivlêni. Isto é, sejm,, R, seguinte firmção, É FALSA PORQUE ( =) É FALSA. = = É FALSA, Contr-eemplo: = 0, = 2, = 0,,, R, hipótese 0 0 = 2 0 é verddeir e tese 0 = 2 é fls. Propriedde PA 28 Lei de nelmento do produto (equivlêni) Sejm,, R, 0. Vle seguinte propriedde: = =. Prov: (relei s proprieddes PA25 ii) e PA26 ii) ) (= ) Já está provd, é propriedde PA25 ii). ( =) Já está provd, é propriedde PA26 ii) Lei do nulmento do produto Propriedde PA 29 Lei do nulmento do produto Pr, R vle seguinte equivlêni: = 0 = 0 ou = 0 Prov: ( =) Por hipótese, = 0 ou = 0. Anlisndo d um dos dois sos, so = 0 = = 0 = 0 ou so = 0 = = 0 = 0 (= ) Pel lógi, ddo R, = 0 ou 0. Por hipótese, = 0. Assim, temos = 0 = = 0 e ( = 0 ou 0) = ( = 0 e = 0) ou ( = 0 e 0) Anlisndo d um dos dois sos, so ( = 0 e = 0) = = 0 ou so ( = 0 e 0) = = 0 = = 0 = = 0 Propriedde PA 30 Pr, R vle seguinte equivlêni: = = ou = 0 Prov: é simples entender que é um onsequêni d lei do nulmento. = + ( ) = + ( ) = 0 ( ) = 0 PA29 = 0 ou = 0 + = 0 + ou = = ou = 0 = ou = 0.

9 UFF/GMA - Mtemáti Bási - Prte II - Números reis Nots de ul - Mrlene Iguldde de frções Propriedde PA 3 Teste d iguldde de frções. Pr,,, d R,, d 0 é verddeir seguinte equivlêni: = d d =. Voê prestou tenção ns hipóteses, d 0? Sem esss hipóteses não vle equivlêni porque s epressões d iguldde do ldo esquerdo não estrim definids se tivessem denomindores nulos. Prov: Eeríio. Sugestão: use propriedde PA28. Propriedde PA 32 Simplifições em soms de frções (redução o mesmo denomindor). Pr,,, d, p, q R,, d, p, q 0, vlem s seguintes igulddes: i) ii) + d = d d + d + = d d d = d d d = d d iii) Qundo m=p=dq, + d = p p + q p + q = dq m Provs: Eeríio. Os. Se, d, p, q N, m será um múltiplo omum de e d Produtos notáveis Propriedde PA 33 Prinipis produtos notáveis. Sejm, R, n N. Vlem s seguintes igulddes. i) ( + ) 2 = ii) ( + ) 3 = iii) ( ) 2 = iv) ( ) 3 = v) 2 2 = ( )( + ) vi) 3 3 = ( )( ) vii) = ( + )( ) viii) n n = ( )( n + n n 2 + n ) Prov: eeríio. Provr d i) té viii). Há um produto notável importnte que será estuddo mis dinte, é o produto denomindo Binômio de Newton. O Binômio de Newton estelee um fórmul pr ( + ) n. 2.4 Implições e equivlênis em epressões e em equções Agor temos por ojetivo justifir o uso ds proprieddes lgéris pr simplifir epressões e equções. Primeiro vmos preisr responder s seguintes pergunts: 2.4. O que é um epressão? o que é um equção? o que é um solução de equção? Um epressão lgéri em A, que denotremos por E(), é o resultdo otido pel plição ds operções lgéris som, produto, sutrção, divisão, potenição e rdiição sore vriável e sore vlores fios ou onstntes. Aind não fizemos revisão de rdiição, será feit mis dinte. Eistem epressões em que não são epressões lgéris. Eemplos de epressões lgéris em : E() = ; E() = + 2. Eemplo de epressões não lgéris em : E() = 2 sen () + 4 os(2); E() = 3 log 0 (2) + 3 log 2 (3).

10 UFF/GMA - Mtemáti Bási - Prte II - Números reis Nots de ul - Mrlene As epressões trigonométris serão revisds e estudds em Pré-Cálulo e s logrítmis em Mtemáti Bási. Um equção em é um iguldde entre dus epressões em. Um vlor fio é um solução de um equção em se o triuírmos o vlor fio à vriável, enontrmos o mesmo vlor ns dus epressões d equção O que são epressões equivlentes? Diz-se que dus epressões são iguis ou equivlentes em A qundo pr todo A, se sutituirmos o vlor ns dus epressões, os resultdos otidos ns dus epressões são iguis. Qundo trnsformmos um epressão E() em outr epresssão trvés d plição suessiv de proprieddes lgéris sore os termos onstntes e sore o termo vriável d epressão E(), otemos um nov epressão F () n vríável. Alguns sos de plição de proprieddes ds operções lgéris em que otemos epressões iguis ou equivlentes: Se somrmos e sutrirmos um mesm epressão qulquer epressão que fç prte d epressão originl então será otid um nov epressão igul ou equivlente à originl. Justifitiv Considere H() um epressão que fz prte d epressão originl E(). Somndo e sutrindo um epressão G() H(), otemos H() + G() G() = H() + 0 = H(). Assim não ltermos epressão H(), onsequentemente não ltermos epressão E(). Eemplo E() = e vmos somr e sutrir 4 E(). F () = E() = = = = 4( ) 5 = 4( + ) 2 5. Assim, s epressões E() = e F () = 4( + ) 2 5 são iguis ou equivlentes. Eemplo 2 E() = 2 F () = 2 + e vmos somr e sutrir 2. = 2 + Assim, s epressões E() = 2 Eemplo 3 E() = F () = = Assim, s epressões E() = = e F () = = =. são iguis ou equivlentes. e vmos somr e sutrir 2 +. = e F () = = são iguis ou equivlentes. Se multiplirmos e dividirmos um mesm epressão não nul em A, por qulquer epressão que fç prte d epressão originl então será otid um nov epressão igul ou equivlente à epressão originl em A. Justifitiv Considere H() um epressão que fz prte d epressão originl E(). Multiplindo e dividindo H() por um epressão G(), onde é tl que G() 0, otemos: G() H() = H() = H(), onde é tl que G() 0 G() Assim não ltermos epressão H(), onsequentemente não ltermos epressão E() que G() 0. pr tl

11 UFF/GMA - Mtemáti Bási - Prte II - Números reis Nots de ul - Mrlene Eemplo E() = +, vmos multiplir e dividir por ( ), pr. ( ) F () = ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ( ) = ) 2 2 ( ) ( ) = pr. ( ) Assim, s epressões E() = + e F () = são iguis ou equivlentes pr. Vle pen oservr que lgums operções lgéris plids sore um epressão, não onduzem um nov epressão igul ou equivlente à epressão originl, isto é, onduzem um nov epressão que não é equivlente à epressão originl. Somr mesm epressão o numerdor e o denomindor de um epressão não onduz um epressão equivlente. + Eeríio : Verifique que + +, 0. + Eeríio 2: Sejm P (), Q(), H() epressões em tis que H() 0 e Q() + H() 0. Prove que P () P () + H() = P () = Q(). Q() Q() + H() Elevr um epressão o qudrdo não onduz um epressão equivlente. Eeríio: Verifique que O que são equções equivlentes? e ( ) 2 não são equivlentes. Considere dus equções em A, F () = G() e K() = L(). Esss equções são dits equivlentes em A qundo A é solução de F () = G() A é solução de L() = K(). Isto signifi que: A é solução de F () = G() = A é solução de L() = K() e A é solução de L() = K() = A é solução de F () = G() Simplifir epressões é o mesmo que simplifir equções? A respost é não. Simplifir um epressão E(), A signifi plir suessivmente proprieddes lgéris sore epressão E(), A pr oter um nov epressão F (), A igul ou equivlente à epressão originl E(), A. Simplifir um equção E() = F (), A signifi plir suessivmente proprieddes lgéris sore s epressôes E() e F (), A pr oter um nov equção K() = L(), A. Oservções importntes sore simplifição de equção: As epressões K() e L() otids d simplifição d equção E() = F () não são equivlentes às respetivs epressões E() e F (). Eemplo F () = 4 2 e G() = 8 4 n equção originl 4 2 = 8 4. Podemos plir proprieddes de nelmento d som = + = + e d multiplição pr 0, temos = =. E tmém propriedde 2 = 0 = 0 (não foi dd, prove). Aplindo s proprieddes pr simplifir,

12 UFF/GMA - Mtemáti Bási - Prte II - Números reis Nots de ul - Mrlene = 8 4 +( 8+4) ( 8 + 4) = ( 8 + 4) = 0 4( ) = (2 2 + ) = = 0 ( ) 2 = 0 = 0 =. Assim n simplifição otivemos omo últim equção =, isto é, temos K() = e L() =. F () = 4 2 e K() = não são equivlentes. G() = 8 4 e L() = não são equivlentes. Porque s soluções d últim equção simplifid são s únis ndidts soluções d primeir equção? Isso é um questão de lógi. Ao resolver equções, ns simplifições estremos usndo proprieddes. É muito omum esrevermos um equção emio d outr, sem epliitr se propriedde usd n simplifição é um propriedde de equivlêni ou se é um propriedde só de implição, isto é, não vle reípro d simplifição. Vej, tnto ns proprieddes de equivlêni qunto ns proprieddes de implição usds ns simplifições, temos: A é solução d equção E() = F () = A é solução d equção K() = L(). Semos que p = q é o mesmo que q = p. Aplindo ess propriedde de lógi, temos que: A não é solução d equção K() = L() = A não é solução d equção F () = G(). Isto é, pr ser solução de F () = G() é neessário ser solução d equção K() = L(). Qundo podemos firmr que tods s soluções d últim equção simplifid são etmente s soluções d equção originl? Respost: qundo tods s proprieddes usds ns simplifições form proprieddes de equivlêni, grntimos que s soluções d últim equção são tods s soluções d primeir equção. Eemplo No eemplo nterior, tods s simplifições form de equivlêni. Logo, omo úni solução d últim equção é = então úni solução d equção originl 4 2 = 8 4 será =. Qundo é preiso testr se s soluções d últim equção simplifid são etmente s soluções d primeir equção? Respost: Qundo ns simplifições foi usd pelo menos um propriedde em que só vle implição, isto é, não vle reípro d propriedde usd. Eemplo: Queremos resolver equção = 6. Pr resolver, vmos usr propriedde = = 2 = 2. Eeríio: prove que reípro é fls, isto é, 2 = 2 =. = 6 = ( ) 2 = (6 ) 2 = = = 0 = 3 ± = 3 ± 5 = 9 ou = Testndo s soluções n equção originl, Pr = 4, temos 4 = 2 e 6 4 = 2. Logo equção = 6 é verddeir pr = 4. Pr = 9, temos 9 = 3 e 6 9 = 3. Logo equção = 6 é fls pr = 9. Assim, úni solução é = 4. Lemre sempre Pr resolver equções é preiso ser em s proprieddes lgéris.

13 UFF/GMA - Mtemáti Bási - Prte II - Números reis Nots de ul - Mrlene Aioms e proprieddes de ordem 2.5. Aioms de ordem Os seguintes ioms (ou proprieddes) são eitos, sem demonstrção. Aiom d ordem. Ddo R, um e só um ds três possiiliddes é verddeir: (i) é positivo (ii) = 0 (iii) é positivo Conheido omo propriedde de triotomi d ordem. Qundo é positivo, diz-se que é negtivo. Aiom d ordem 2. Ddos, R vle s firmção: é positivo e é positivo = + é positivo e é positivo. Conheido omo propriedde de fehmento d ordem, n som e no produto. Consequêni imedit dos ioms: é positivo e é negtivo. Prov: semos que 0, logo pelo iom, temos dois sos eludentes: so (i) é positivo. so (iii) é positivo. Neste so, pelo iom 2, onluímos que ( )( ) é positivo. (*) Por outro ldo, semos que ( )( ) = (**). Por (*) e (**), onluímos que o número é positivo. Ess onlusão ontrdiz o o iom, pois não é possivel positivo e positivo. Logo, não é possível supor positivo. Só restou o so (i) é positivo. Ness prov vimos que não é positivo. Como semos que 0, só rest possiilidde ( ) é positivo, isto é, é negtivo. Definição. Ordenção dos números reis. Ddos quisquer, R, Diz-se que é mior do que se é positivo e denot-se por >. Diz-se que é menor do que se é positivo e denot-se por <. Consequêni d definição: so prtiulr, R e = 0: Diz-se que é mior do que 0 se 0 = é positivo, isto é, se é positivo e denot-se por > 0. Diz-se que é menor do que 0 se 0 = é positivo, isto é, se é negtivo e denot-se por < Proprieddes de ordem A prtir dos ioms d ordem, prov-se outrs proprieddes de ordem. Aqui estão listds lgums dels. Outrs, que não estão listds, podem ser demonstrds prtir dos ioms e ds proprieddes listds qui. Propriedde PO Ddo R, um e só um ds três possiiliddes é verddeir: (i) > 0 (ii) = 0 (iii) < 0 Tmém é onheid por triotomi d ordem. Prov: Pelo iom, um e só um ds três possiiliddes é verddeir (i) é positivo. Nesse so, por definição de mior do que, temos que é mior do que 0, denotdo por > 0. (ii) = 0. Nesse so é idêntio, nd provr. (iii) é positivo. Nesse so, por definição de menor do que, temos que é menor do que 0, denotdo por < 0. Propriedde PO 2 Ddos,, R, vle implição: < = + < +. Conheid omo propriedde de monotoniidde d dição ou lei de preservção d ordem n dição. menor do que Prov: < = > 0 = + 0 > 0 = + + ( ) > 0 = + > 0 = + ( + ) > 0 = + > + = + < +.

14 UFF/GMA - Mtemáti Bási - Prte II - Números reis Nots de ul - Mrlene Propriedde PO 3 Ddos,, R e > 0, vle implição: < = <. Conheid omo propriedde de monotoniidde do produto ou lei de preservção d ordem no produto. Prov: < e > 0 = > e > 0 = > 0 e > 0 iom 2 = ( ) > 0 > 0 = > = <. Propriedde PO 4 Ddos,, R e < 0, vle implição: < = >. Conheid omo lei de inversão d ordem no produto. menor do que Prov: < e < 0 = > 0 e 0 > 0 = > 0 e > 0 iom = 2 ( ) ( ) > 0 mior do que ( ) ( ) > 0 = + > 0 = > 0 = >. Propriedde PO 5 Ddos,, R, vle implição: < e < = <. Conheid omo propriedde trnsitiv d ordem. Prov: < e < = > 0 e > 0 iom 2 = + > 0 = + > > 0 = > 0 = > = <. Propriedde PO 6 (outr triotomi). Ddos, R, um e só um ds possiiliddes é verddeir: (i) < (ii) = (iii) > Prov: Ddos, R, podemos lulr. Aplindo propriedde PO (segund triotomi) em, temos 3 sos distintos: (i) < 0 (ii) = 0 (iii) > 0 Ms, plindo s definições de mior do que e menor do que, d um deles, temos respetivmente: (i) < (ii) = (iii) > Propriedde PO 7 Ddos,, R, vle equivlêni: < + < +. Prov: Vmos seprr em id (= ) e volt ( =). (= ) É própri PO 2. ( =) + < + PO = ( ) < + + ( ) = + 0 = + 0 = <. Propriedde PO 8 Ddo R; 0, vlem s equivlênis: (i) > 0 > 0 (ii) < 0 < 0 Prov: (i) (= ) > 0 = 0 =! 0; =. Suponh, por surdo, que menor do que < 0 = ( > 0 iom2 = ) > 0 = > 0, o que é surdo. Pelo iom, só rest o so > 0. ( ) menor do que ( =) > 0. Suponh, por surdo, que < 0 = > 0 iom2 = > 0 = > 0, o que é surdo. Pelo iom, só rest o so > 0. (ii) Eeríio Propriedde PO 9 Ddos,, R, > 0, vle equivlêni: < <. Prov: Vmos seprr em id (= ) e volt ( =). (= ) É própri PO 3. ( =) < e > 0 PO = 8 < e > 0 PO = 3 < = < = <. Propriedde PO 0 Ddos,, R, < 0, vle equivlêni: < >. Prov: Eeríio. Propriedde PO Ddos, R, vlem s equivlênis: (i) < 0 > 0 (ii) > 0 < 0 (iii) < > (iv) > <. Prov: PO 0 (i) < 0 e < 0 ( ) > ( ) 0 > 0

15 UFF/GMA - Mtemáti Bási - Prte II - Números reis Nots de ul - Mrlene (i) (ii) < 0 ( ) > 0 > 0 (iii) < e < 0 (PO 0) ( ) > ( ) > (iv) > e < 0 < e < 0 (PO 0) ( ) > ( ) > < Propriedde PO 2 Ddos, R, vlem s equivlênis: (i) > 0 ( > 0 e > 0) ou ( < 0 e < 0) (ii) < 0 ( > 0 e < 0) ou ( < 0 e > 0) Provs: Vmos provr (i). Eeríio: provr (ii) (i) ( =) Hipótese: ( > 0 e > 0) ou ( < 0 e < 0) As dus firmções entre prênteses são eludentes pois são flsos os seguintes sos: ( > 0 e > 0 e < 0) ou ( > 0 e > 0 e < 0) ou ( > 0 e < 0 e < 0) ou ( > 0 e < 0 e < 0). Assim, só restm os 2 sos verddeiros e eludentes: Cso ( > 0 e > 0) iom2 = > 0. Cso 2 PO ( < 0 e < 0) = > 0 e > 0 iom2 = ( )( ) > 0 = > 0. (= ) Hipótese: > 0. Pel triotomi d ordem, semos que = 0 ou < 0 ou > 0. Anlisndo d um deles, Cso = 0 = = 0 = 0. Logo o so = 0 e > 0 é flso. Cso 2 > 0 e > 0 PO = 8 Logo, nesse so, > 0 e > 0. Cso 3 < 0 e > 0 PO = 8 Logo, nesse so, < 0 e < 0. PO 3 > 0 e > 0 = > 0 = > 0 = > 0. PO 4 < 0 e > 0 = < 0 = < 0 = < 0. Propriedde PO 3 Ddo R, vle implição: > 0 = 2 > 0. Outr form de esrever ess propriedde é: pr todo R; > 0 temos que 2 > 0. Prov: Eeríio. Sugestão: use 2 = e o iom 2. Propriedde PO 4 Ddo R, não vle reípro d propriedde nterior, isto é, 2 > 0 > 0. Prov: Eeríio. Sugestão: presente um ontr-eemplo. Propriedde PO 5 Ddo R, vle implição: < 0 = 2 > 0. Outr form de esrever ess propriedde é: pr todo R; < 0 temos que 2 > 0. Prov: Eeríio. Sugestão: use 2 = = ( )( ) = ( ) 2, propriedde PO e o iom 2. Propriedde PO 6 Ddo R, vle equivlêni: 0 2 > 0. Outr form de esrever ess propriedde é: pr todo R; 0 se e só se 2 > 0. Prov: Eeríio. Sugestão: pr 0 sepre nos dois sos possíveis e eludentes, > 0 e < 0. Propriedde PO 7 Ddo R, vlem s equivlênis: (i) > 0 3 > 0 (ii) < 0 3 < 0. Prov: Eeríio. Sugestão: use 3 = 2, ioms e proprieddes nteriores Podemos tror < por e > por? A respost é SIM, em todos os ioms e proprieddes podemos tror. Ms é preiso entender o que isso signifi. Lemre que signifi = ou <, são sos eludentes. Qundo esrevemos = d signifi que: = = d = = d ou < d. Isto é, = = = d ou < d (ou elusivo) ou (elusivo)

16 UFF/GMA - Mtemáti Bási - Prte II - Números reis Nots de ul - Mrlene < = d = = d ou < d. Isto é, < = = d ou < d (ou elusivo) Ou ind, = = d ou < d (ou elusivo) Eemplo. Vmos verifir que seguinte firmção é verddeir 2 = 3. Prov: 2 = = 2 ou < 2 = ( = 2 ou < 2) e 2 < 3 = ( = 2 e 2 < 3) ou ( < 2 e 2 < 3) = ( < 3) ou ( < 3) = < 3 = 3. Propriedde PO 8 Vle seguinte implição: R = 2 0. Prov: Eeríio. Sugestão: pr R onsidere os 2 sos possíveis e eludentes = 0 e 0 e use proprieddes nteriores. Preste tenção pr grnde importâni dess propriedde. Como é um implição, podemos firmr: pr todo número rel, o seu qudrdo é positivo nulo. Ou dito de outr form, o qudrdo de qulquer número rel é positivo ou nulo. Podemos pensr em um outro onjunto que stisfç tods s proprieddes lgéris presentds té qui, ms que não stisfç ess propriedde, isto é, um onjunto onde o seu qudrdo pode ser um número negtivo. É justmente pensndo nisso que historimente surgirm os números ompleos. Isto é, eistem outros números que não são os reis, ujo qudrdo é um número negtivo. Estudremos os números ompleos no finl desse período. 2.6 Implições e equivlênis em inequções D mesm form que oservmos no item 2.4, vmos responder lgums pergunts O que é um desiguldde? O que é um inequção? Ddos dois números, R, semos que = ou. Como signifi que > ou <, nos dois sos, diz-se que há um desiguldde entre e. Considere A R. Um inequção em A é um desiguldde entre dus epressões E() e F () definids em A. Assim, E() < F (), A e E() > F (), A são inequções em A. Oservmos que E() F (), A é n verdde um form de esrever um equção e inequção simultnemente, ms é usul nos referimos pens omo inequção. Idem pr E() F (), A. Eemplo de inequção lgéri: > 4 2, A = { R;, 4}. 4 Eemplo de inequção não lgéri: sen 2 (2 3π) < os 2 (2), A = R O que é um solução de inequção? Um vlor fio é um solução de um inequção em se o triuírmos o vlor fio à vriável, desiguldde d inequção é verddeir. A solução de um inequção é o onjunto de tods s soluções d inequção. A solução de um inequção será um suonjunto dos números reis, poderá ser o onjunto dos reis, um suonjunto próprio e não vzio dos reis ou o onjunto vzio Como representr s soluções de um inequção? As forms usuis são: Usr s notções de desigulddes, por eemplo, { R; 3 < 4 ou > 0}. Usr s notções de intervlos, por eemplo, [ 3, 4) (0, ). Representr n ret numéri, por eemplo, Estmos dmitindo que os oneitos de intervlos e ret numéri form vistos em Pré-Cálulo.

17 UFF/GMA - Mtemáti Bási - Prte II - Números reis Nots de ul - Mrlene Podemos simplifir inequções etmente d mesm form que simplifimos equções? A respost é não. Motivo: s proprieddes ds equções e ds inequções nem sempre são s mesms. Eemplo: Resolver equção 2 = + 4 e inequção 2 < + 4. Pr resolver equção, vmos usr propriedde: pr, d 0, = d =. d Assim, pr 0 e 2 0, temos que 2 = = ( 2)( + 4) 2 = = = 2 4 = Solução d equção: = 4 Agor, imginndo que eiste um propriedde nálog pr resolver inequção, vmos sustituir = por < em tudo. 2 < < ( 2)( + 4) 2 < < < 2 4 < Solução d inequção: > 4 Agor, vmos testr se solução d inequção está orret em lguns vlores ritrários de. 6 Sustituindo = 6 > 4 nos dois ldos d inequção originl, 6 2 = 3 4 e = = 5 3. De fto, 3 4 < 5 3. Sustituindo = < 4 nos dois ldos d inequção originl, 2 = e + 4 = 5. Vemos, < 5. Ms, = < 4 não fz prte d solução enontrd. Logo, solução d inequção está errd. Isto signifi que foi ometido lgum erro n resolução d inequção. Antes de ler oservção io, tente desorir onde foi ometido o erro. Aqui está o erro. Foi dito, imginndo que eiste um propriedde nálog, ess propriedde não eiste!!!. Eeríio: dê pelo menos dois ontr-eemplos pr verifir que pr, d 0, < d < é FALSA. d Eeríio: resolv inequção, usndo s proprieddes lgéris pr simplifir epressões e usndo s proprieddes de implição ou de equivlêni reltivs à ordem dos números reis. Confir, solução d inequção é { R; 0 < < 2 ou > 4} = (0, 2) (4, ). Qundo podemos firmr que solução d últim inequção simplifid é etmente solução d inequção originl? Respost: qundo tods s proprieddes lgéris e de ordem usds ns simplifições form proprieddes de equivlêni, grntimos que solução d últim inequção é solução d primeir. Lemre sempre Pr resolver inequções é preiso ser em s proprieddes lgéris e s proprieddes de ordem.